Московский государственный индустриальный университет
Опубликован: 27.09.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 3332 / 380 | Оценка: 4.17 / 3.79 | Длительность: 24:17:00
Специальности: Программист
Лекция 9:

Индуктивные функции на пространстве последовательностей

< Лекция 8 || Лекция 9: 12345 || Лекция 10 >

Критерий минимальности

Перед тем, как сформулировать критерий минимальности, докажем существование минимального индуктивного расширения.

Теорема 9.3. Минимальное индуктивное расширение для любой функции f\colon X^* \rightarrow Y существует.

Доказательство Для доказательства теоремы построим в три этапа каноническое минимальное индуктивное расширение \widehat F\colon X^* \rightarrow \widehat Y заданной функции f.

Первый этап. Рассмотрим на множестве цепочек X^* бинарное отношение \approx, задаваемое формулой a\approx b \Longleftrightarrow (\forall \omega \in X^* 
\ f(a\circ \omega) = f(b\circ \omega)), и покажем, что

1) \approxотношение эквивалентности на X^* ;

2) \forall a,b\in X^*\ \forall x\in X\ a\approx b \Rightarrow a\circ
x\approx
b\circ x ;

3) \forall a,b\in X^*\ a\approx b \Rightarrow f(a)=f(b).

Рефлексивность, симметричность и транзитивность отношения \approx вытекают соответственно из рефлексивности, симметричности и транзитивности отношения равенства.

Так как a\circ x\approx b\circ x\Longleftrightarrow (\forall \omega_1 \in X^* 
\ f(a\circ x\circ \omega_1) = f(b\circ x\circ \omega_1)), то взяв в качестве цепочки \omega, фигурирующей в определении отношения \approx, \omega=x\circ \omega_1, убеждаемся в истинности второго свойства.

Свойство 3) немедленно следует из определения отношения \approx, если в качестве \omega взять пустую цепочку \varepsilon.

Второй этап. Построим пространство \widehat Y и отображение \widehat
F\colon X^*
\rightarrow \widehat Y. В качестве \widehat Y возьмем фактормножество (множество классов эквивалентности) X^*/\approx, что можно сделать в силу свойства 1). Договоримся обозначать класс эквивалентности, содержащий цепочку \omega через [\omega] и определим отображение \widehat F\colon X^* \rightarrow \widehat Y формулой \widehat F(\omega)=
[\omega].

Переписав свойство 2) в эквивалентном виде \forall a,b\in X^*\ \forall x\in X\ \widehat F(a)= \widehat F(b)
\Rightarrow \widehat F(a\circ x) = \widehat F(b\circ x), из критерия индуктивности заключаем, что отображение \widehat F — индуктивно.

Покажем, что \widehat F является индуктивным расширением исходной функции f\colon X^* \rightarrow Y. Определим проекцию \pi\colon
\widehat Y
\rightarrow Y формулой \pi([\omega])=f(\omega). Корректность этого определения следует из свойства 3) — если две цепочки \omega_1 и \omega_2 принадлежат одному классу эквивалентности, то значение функции f на них совпадает. Так как f(\omega) = \pi(\widehat
F(\omega)) для произвольной цепочки \omega\in X^*, то \widehat F действительно является индуктивным расширением отображения f.

Третий этап. Нам осталось показать, что построенное каноническое индуктивное расширение является минимальным.

Сюръективность \widehat F следует непосредственно из его построения, ибо каждый класс эквивалентности [\omega] не пуст.

Предположим далее, что существует \widetilde F\colon X^* \rightarrow
\widetilde Y — иное индуктивное расширение исходной функции f, тогда для завершения доказательства теоремы нам необходимо показать, что \widetilde F \geqslant \widehat F.

Определим проекцию p \colon \widetilde Y \rightarrow \widehat
Y формулой p(y) = [\omega], где \omega — один из прообразов элемента y при отображении \widetilde F. Проверим корректность данного определения.

Пусть \widetilde F(\omega_1) = \widetilde F(\omega_2) = y. Тогда в силу индуктивности \widetilde F для произвольной цепочки \omega справедливо равенство \widetilde F(\omega_1\circ\omega) = \widetilde
F(\omega_2\circ\omega), а так как \widetilde Fиндуктивное расширение функции f, то и f(\omega_1\circ\omega) =
f(\omega_2\circ\omega). Полученное равенство может быть переписано в виде [\omega_1]=[\omega_2], показывающем корректность определения проекции p.

Равенство \widehat F(\omega) = [\omega] = p(\widetilde
F(\omega)) для произвольной цепочки \omega\in X^* показывает, что \widetilde F \geqslant
\widehat F. Теорема полностью доказана.

Построенное в процессе доказательства этой теоремы каноническое индуктивное расширение позволяет убедиться в истинности следующего критерия минимальности.

Теорема 9.4. Критерий минимальности. Индуктивное расширение \widetilde F\colon X^* \rightarrow \widetilde Y \text{\ функции\ }
f\colon X^* \rightarrow Y
\text{ — минимально} \Longleftrightarrow
(
(\widetilde F(X^*)=\widetilde Y) \land
(\forall a,b\in X^*\ \widetilde F(a)\ne \widetilde F(b) \Rightarrow
a\not\approx b)
).

Доказательство Необходимость первого условия критерия следует непосредственно из определения минимальности. Второе условие выполнено по построению для канонического минимального индуктивного расширения \widehat F\colon X^* \rightarrow \widehat Y, а так как по теореме единственности отображения \widehat F и \widetilde F изоморфны, то и для \widetilde F.

Для доказательства достаточности рассмотрим каноническое минимальное индуктивное расширение \widehat F\colon X^* \rightarrow \widehat Y и покажем, что оно изоморфно нашему \widetilde F \colon X^* \rightarrow \widetilde Y. В силу минимальности \widehat F существует отображение p \colon \widetilde Y \rightarrow \widehat Y, такое что \widehat F(\omega) = p(\widetilde F(\omega)) для произвольной цепочки \omega\in X^*. Критерий будет доказан, если мы покажем, что отображение p — биекция.

Сюръективность p вытекает из сюръективности \widehat
F и \widetilde F, а инъективность доказывается следующим рассуждением. Рассмотрим различные u и v из \widetilde
Y и, воспользовавшись сюръективностью \widetilde F, найдем цепочки a и b из X^* такие, что \widetilde F(a) = u, а \widetilde F(b) = v. Так как \widetilde F(a)\ne \widetilde F(b), то в силу данного нам условия a\not\approx b, что эквивалентно неравенству \widehat F(a)\ne \widehat F(b).

Следовательно, отображение p различные u и v преобразует в различные же p(u)=\widehat F(a) и p(v)=\widehat F(b), что и требовалось доказать.

Докажем, что функция F\colon \mathbb{R}^*_1 \rightarrow \mathbb{R}\times \mathbb{N}, определенная по формуле \displaystyle F(\omega)=\left(\sum_{i=1}^{n} a_i,
n\right), где \omega = a_1a_2\ldots a_n, n=|\omega| и \pi(s,n) = s/n, является минимальным индуктивным расширением для f\colon \mathbb{R}^*_1 \rightarrow  \mathbb{R} среднее арифметическое элементов последовательности. Для доказательства сюръективности функции F предъявим прообраз произвольного элемента (s,n)
\in \mathbb{R}\times \mathbb{N}. Им будет цепочка из n элементов, первый из которых равен s, а остальные — нулевые. Для того чтобы проверить второе условие критерия минимальности, необходимо убедиться в том, что \forall a,b\in X^*\ F(a)\ne F(b)\ \exists \omega \in X^*\ f(a\circ
\omega) \ne
f(b\circ \omega). Пусть F(a)=(s_1,n_1), F(b)=(s_2,n_2) и либо s_1\ne s_2, либо n_1\ne n_2. Если для пустой цепочки \omega=
\varepsilon верно, что f(a\circ \omega) \ne f(b\circ
\omega), то все доказано. Иначе имеем s_1/n_1 = f(a) = f(b) = s_2/n_2. Возьмем теперь в качестве \omega одноэлементную цепочку 0. Предположив, что для нее f(a\circ \omega) = f(b\circ \omega), из системы

\begin{cases}
s_1/n_1 &= s_2/n_2,\\
s_1/(n_1+1)&=s_2/(n_2+1)
\end{cases}

получим s_1=s_2, n_1=n_2, что противоречит предположению. Это завершает доказательство минимальности F.

Минимальные индуктивные расширения обладают тем достоинством, что позволяют свести к минимуму ту дополнительную информацию, которая необходима для индуктивного перевычисления исходной функции. Иначе это свойство может быть сформулировано следующим образом.

Теорема 9.5. Для произвольной функции f на пространстве последовательностей существует единственный с точностью до изоморфизма однопроходный алгоритм с минимальной емкостной сложностью.

< Лекция 8 || Лекция 9: 12345 || Лекция 10 >
Анастасия Халудорова
Анастасия Халудорова
екатерина яковлева
екатерина яковлева