Московский государственный индустриальный университет
Опубликован: 27.09.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 3322 / 377 | Оценка: 4.17 / 3.79 | Длительность: 24:17:00
Специальности: Программист
Лекция 3:

Высказывания и предикаты

< Лекция 2 || Лекция 3: 12345 || Лекция 4 >
Аннотация: Значение предикатов для программиста. Синтаксис языка предикатов. Семантика предикатов. Расширение понятия предиката. Приоритеты и ассоциативность операторов языка Java.
Ключевые слова: ПО, правильная программа, доказательство, язык предикатов, знание, инвариант цикла, предикат, тестирование программы, линейная программа, правильность программы, вероятность, программа, определение, высказывание, функция, множества, нормальная форма Бэкуса-Наура, алфавит, произвольное, символ алфавита, цепочка над алфавитом, длина цепочки, длина, операция конкатенации, язык над алфавитом, язык, подмножество, метаалфавит, метасимвол, грамматика, стартовый метасимвол, выводимая цепочка, терминал, метасимволы, нетерминал, язык порожденный граматикой, синтаксис, множество предикатов, истина, ложь, идентификатор, отрицание, дизъюнкция, конъюнкция, импликация, эквивалентность, выражение, вывод, значение, , дерево вывода, терминальный символ, цепочка символов, семантика, константный предикат, таблица истинности, состояние, отображение, пространство состояний, прямое произведение множеств, операции, undefined, тавталогия, таблица, тавтология, эквивалентные высказывания, закон эквивалентности, законы коммутативности, законы ассоциативности, Законы дистрибутивности, Законы де Моргана, Закон исключенного третьего, Закон противоречия, законы упрощения, логический, вычисление, пространство, связанный идентификатор, свободный идентифитор, логические выражения, предикат в расширенном смысле, Java, подстановка, ассоциативность, запись, бинарный оператор, очередь, операторы, знаковый бит, оператор условия

Материал этого и некоторых из следующих параграфов в значительной мере основан на подходе к программированию, применяемом в книге [4], знакомство с которой весьма полезно. Что же касается собственно математической теории предикатов, то нам необходимы только ее основы, и поэтому обращение к какой-либо специальной дополнительной литературе по этой тематике не требуется.

Зачем программисту предикаты

Все знают, что в программах бывают ошибки (bugs). Существуют специальные теории, посвященные тому, как лучше их находить и исправлять ( debugging дословно означает "выведение клопов"). Зачастую нахождение ошибки — очень нетривиальная задача, так как ее последствия могут сказываться совершенно в другом месте программы и быть весьма неожиданными.

При этом часто забывается тот очевидный факт, что ошибку гораздо легче предотвратить при написании программы, нежели найти и исправить потом. Существуют методы проектирования программ (по крайней мере, небольших), позволяющие не только написать правильную программу, но и получить одновременно с этим совершенно строгое доказательство ее правильности. Изучению таких методов и будет посвящена в основном вторая глава данной книги.

Однако для того, чтобы изучить какую-либо теорию, необходимо выучить язык, на котором теория может быть изложена. Язык предикатов — это именно тот язык, на котором можно строго сформулировать постановку задачи и доказать правильность конкретной программы. Попробуйте решить следующую задачу.

Задача 3.1. Задача о банке с кофейными зернами. В банке имеется несколько черных и белых кофейных зерен. Следующий процесс надо повторять, пока это возможно:

  • случайно выберите из банки два зерна и
  • если они одного цвета, отбросьте их, но положите в банку другое черное зерно (имеется достаточный запас черных зерен, чтобы делать это);
  • если они разного цвета, поместите белое зерно обратно в банку и отбросьте черное зерно.

Выполнение этого процесса уменьшает количество зерен в банке на единицу. Повторение процесса должно прекратиться, когда в банке останется всего одно зерно, так как тогда нельзя уже выбрать два зерна. Можно ли что-то сказать о цвете оставшегося зерна, если известно, сколько вначале в банке было черных и белых зерен?

Попытка решать эту задачу, используя тестовые примеры с небольшим начальным количеством зерен в банке, не приводит ни к какому результату в течение значительного промежутка времени. Этот подход к решению является в каком-то смысле аналогом тестирования программы с целью выявления ошибок в ней.

Знание теории позволяет получить ответ на вопрос задачи почти мгновенно, однако объяснить это решение практически невозможно без привлечения такого понятия, как инвариант цикла, речь о котором пойдет в нашем курсе значительно позже. Инвариант цикла — это предикат, обладающий некоторыми специальными свойствами. Интересно, что при этом даже пятиклассник может справиться с рассматриваемой задачей, решив ее как-то. Под этим понимается по существу правильное решение, правильность которого доказать абсолютно невозможно.

Теперь рассмотрим вопрос о том, насколько сложно протестировать уже написанную программу. При этом мы будем предполагать для простоты, что для линейной программы (без ветвлений) достаточно всего одного теста, для программы с одним оператором if — двух (чтобы протестировать правильность каждой из его ветвей) и так далее.

Реальные большие программы, конечно, не сводятся к совокупности вложенных друг в друга условных операторов. Однако они не проще, а сложнее — ведь в них есть и циклы и вызовы функций, подпрограмм или методов, обработка исключительных ситуаций и многое другое.

Вернемся к нашей модели. Если в программе 10 операторов if, то нужно выполнить 2^{10}=1024 теста, а если их 20, то уже 2^{20}\approx 10^6! Можно ли надеяться на то, что в процессе тестирования реальной большой программы удастся проверить все возможные варианты ее работы? Нет, конечно. Именно поэтому так важно не делать ошибок, так как потом их скорее всего просто не обнаружить.

В заключение поговорим о правильности большой программы, состоящей из многих небольших частей. Предположим, что для каждой из этих частей мы можем гарантировать правильность ее работы с вероятностью 99%. Это значит, что в среднем только в одном случае из ста что-то может быть не так, а в 99 случаях каждая часть будет работать абсолютно правильно. Пусть всего таких частей n. Какова вероятность правильной работы программы в целом?

Это — простейшая задача по курсу теории вероятностей и ответ у нее такой: P = p^n. Здесь pвероятность правильной работы каждой из частей, а Pвероятность правильной работы программы в целом. При p=0.99 получаем результаты, приведенные в таблице 3.1.

Таблица 3.1. Вероятность правильной работы программы, содержащей n ветвлений
n 10 100 1000
P 0.904 0.366 0.00004

При n=100 программа будет работать правильно чуть более, чем в одной трети всех ситуаций, а при n=1000 увидеть ее работающей вообще вряд ли удастся. Этот пример показывает, что нужно всеми силами стараться избегать написания почти правильных программ!

< Лекция 2 || Лекция 3: 12345 || Лекция 4 >
Анастасия Халудорова
Анастасия Халудорова
екатерина яковлева
екатерина яковлева