Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»
Опубликован: 16.10.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 8611 / 2651 | Оценка: 4.50 / 4.16 | Длительность: 23:53:00
ISBN: 978-5-9556-0054-3
Специальности: Разработчик аппаратуры
Лекция 2:

Микросхемы и их функционирование

< Лекция 1 || Лекция 2: 123456 || Лекция 3 >

В табл. 2.4 приведены примеры 16-ричного кодирования первых 20 чисел (в скобках приведены двоичные числа), а на рис. 2.10 показан пример записи двоичного числа в 16-ричном виде. Для обозначения 16-ричного кодирования иногда применяют букву "h" или "H" (от английского Hexadecimal) в конце числа, например, запись A17F h обозначает 16-ричное число A17F. Здесь А1 представляет собой старший байт числа, а 7F — младший байт числа. Все число (в нашем случае — двухбайтовое) называется словом.

Таблица 2.4. 16-ричная система кодирования
Десятичная система 16-ричная система Десятичная система 16-ричная система
0 0 (0000) 10 A (1010)
1 1(0001) 11 B (1011)
2 2 (0010) 12 C (1100)
3 3 (0011) 13 D (1101)
4 4 (0100) 14 E (1110)
5 5 (0101) 15 F (1111)
6 6 (0110) 16 10 (00010000)
7 7 (0111) 17 11 (00010001)
8 8 (1000) 18 12 (00010010)
9 9 (1001) 19 13 (00010011)

Для перевода 16-ричного числа в десятичное необходимо умножить значение младшего (нулевого) разряда на единицу, значение следующего (первого) разряда на 16, второго разряда на 256 (162) и т.д., а затем сложить все произведения. Например, возьмем число A17F:

A17F=F*160 + 7*161 + 1*162 + A*163 = 15*1 + 7*16+1*256+10*4096=41343
Таблица 2.5. 8-ричная система кодирования
Десятичная система 8-ричная система Десятичная система 8-ричная система
0 0 (000) 10 12 (001010)
1 1(001) 11 13 (001011)
2 2 (010) 12 14 (001100)
3 3 (011) 13 15 (001101)
4 4 (100) 14 16 (001110)
5 5 (101) 15 17 (001111)
6 6 (110) 16 20 (010000)
7 7 (111) 17 21 (010001)
8 10 (001000) 18 22 (010010)
9 11 (001001) 19 23 (010011)

Но каждому специалисту по цифровой аппаратуре (разработчику, оператору, ремонтнику, программисту и т.д.) необходимо научиться так же свободно обращаться с 16-ричной и двоичной системами, как и с обычной десятичной, чтобы никаких переводов из системы в систему не требовалось.

Значительно реже, чем 16-ричное, используется восьмеричное кодирование, которое строится по такому же принципу, что и 16-ричное, но двоичные разряды разбиваются на группы по три разряда. Каждая группа (разряд кода) затем обозначается одним символом. Каждый разряд 8-ричного кода может принимать восемь значений: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (табл. 2.5).

Помимо рассмотренных кодов, существует также и так называемое двоично-десятичное представление чисел. Как и в 16-ричном коде, в двоично-десятичном коде каждому разряду кода соответствует четыре двоичных разряда, однако каждая группа из четырех двоичных разрядов может принимать не шестнадцать, а только десять значений, кодируемых символами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. То есть одному десятичному разряду соответствует четыре двоичных. В результате получается, что написание чисел в двоично-десятичном коде ничем не отличается от написания в обычном десятичном коде (табл. 2.6), но в реальности это всего лишь специальный двоичный код, каждый разряд которого может принимать только два значения: 0 и 1. Двоично-десятичный код иногда очень удобен для организации десятичных цифровых индикаторов и табло.

Таблица 2.6. Двоично-десятичная система кодирования
Десятичная система Двоично-десятичная система Десятичная система Двоично-десятичная система
0 0 (0000) 10 10 (00010000)
1 1(0001) 11 11 (00010001)
2 2 (0010) 12 12 (00010010)
3 3 (0011) 13 13 (00010011)
4 4 (0100) 14 14 (00010100)
5 5 (0101) 15 15 (00010101)
6 6 (0110) 16 16 (00010110)
7 7 (0111) 17 17 (00010111)
8 8 (1000) 18 18 (00011000)
9 9 (1001) 19 19 (00011001)

В двоичном коде над числами можно проделывать любые арифметические операции: сложение, вычитание, умножение, деление.

Рассмотрим, например, сложение двух 4-разрядных двоичных чисел. Пусть надо сложить число 0111 (десятичное 7) и 1011 (десятичное 11). Сложение этих чисел не сложнее, чем в десятичном представлении:

\frac{
+
{\mbox{0111}\atop
\mbox{1011}}
\,\,
}
{
\mbox{10010}
}

При сложении 0 и 0 получаем 0, при сложении 1 и 0 получаем 1, при сложении 1 и 1 получаем 0 и перенос в следующий разряд 1. Результат — 10010 (десятичное 18). При сложении любых двух n-разрядных двоичных чисел может получиться n-разрядное или (n+1) -разрядное число.

Точно так же производится вычитание. Пусть из числа 10010 (18) надо вычесть число 0111 (7). Записываем числа с выравниванием по младшему разряду и вычитаем точно так же, как в случае десятичной системы:

\frac{
-
{\mbox{10010}\atop
\mbox{\,\ 0111}}
}
{
\mbox{\,\ \ \ 1011}
}

При вычитании 0 из 0 получаем 0, при вычитании 0 из 1 получаем 1, при вычитании 1 из 1 получаем 0, при вычитании 1 из 0 получаем 1 и заем 1 в следующем разряде. Результат — 1011 (десятичное 11).

При вычитании возможно получение отрицательных чисел, поэтому необходимо использовать двоичное представление отрицательных чисел.

Для одновременного представления как двоичных положительных, так и двоичных отрицательных чисел чаще всего используется так называемый дополнительный код. Отрицательные числа в этом коде выражаются таким числом, которое, будучи сложено с положительным числом такой же величины, даст в результате нуль. Для того чтобы получить отрицательное число, надо поменять все биты такого же положительного числа на противоположные (0 на 1, 1 на 0) и прибавить к результату 1. Например, запишем число –5. Число 5 в двоичном коде выглядит 0101. Заменяем биты на противоположные: 1010 и прибавляем единицу: 1011. Суммируем результат с исходным числом: 1011 + 0101 = 0000 (перенос в пятый разряд игнорируем).

Помимо стандартных арифметических операций, в двоичной системе счисления используются и некоторые специфические операции, например, сложение по модулю 2. Эта операция (обозначается A) является побитовой, то есть никаких переносов из разряда в разряд и заемов в старших разрядах здесь не существует. Правила сложения по модулю 2 следующие: 0 \oplus 0 = 0, 0 \oplus 1 = 1, 1 \oplus 0 = 1, 1 \oplus 1 = 0. Эта же операция называется функцией Исключающее ИЛИ. Например, просуммируем по модулю 2 два двоичных числа 0111 и 1011:

\frac{
\oplus
{\mbox{0111}\atop
\mbox{1011}}
}
{
\ \ \,
\mbox{1100}
}

Среди других побитовых операций над двоичными числами можно отметить функцию И и функцию ИЛИ. Функция И дает в результате единицу только тогда, когда в соответствующих битах двух исходных чисел обе единицы, в противном случае результат —0. Функция ИЛИ дает в результате единицу тогда, когда хотя бы один из соответствующих битов исходных чисел равен 1, в противном случае результат 0.

< Лекция 1 || Лекция 2: 123456 || Лекция 3 >
Ильяз Султанов
Ильяз Султанов
Анна Фёдорова
Анна Фёдорова
Илья Соглаев
Илья Соглаев
Россия, г. Москва
Дмитрий Панишев
Дмитрий Панишев
Россия, Москва