Вятский государственный университет
Опубликован: 21.03.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 1883 / 393 | Оценка: 4.39 / 4.31 | Длительность: 06:24:00
Специальности: Программист, Математик
Лекция 2:

Алгебра множеств

< Лекция 1 || Лекция 2: 12 || Лекция 3 >

Нахождение мощности объединения множеств

  1. Мощность объединения двух множеств:

    \left| А \cup В \right| = \left| A \right| + \left| B \right| - \left| А \cap В \right| ( рис. 2.4).


    Рис. 2.4.
  2. Мощность объединения трех множеств:

    \left| А \cup В \cup С \right|= \left| A \right| + \left| B \right| + \left| C \right| - 
\left| А \cap В  \right| - \left| А \cap С \right| - \left| В \cap С \right| + \left| А \cap В \cap С \right| ( рис. 2.5).


    Рис. 2.5.

    Доказательство:

    \begin{array} 
\left| А \cup В  \cup С | = \left| А \cup (В  \cup С) \right| = \left| А \right| + \left| В \cup С \right| - \left| А \cap (В  \cup С) \right| = \\
\left| A \right| + \left| B \right| + \left| C \right| - \left| В \cap С \right| - \left| (А \cap В) \cup (А \cap С) \right| = \\
 \left| A \right| + \left| B \right| + \left| C \right| - \left| В \cap С \right| - \left| А \cap В \right| - \left| А \cap С \right| + \left| А \cap В \cap С \right|. \\
 \end{array}
  3. Мощность объединения n множеств:

    Теорема. А_1, А_2, ....... А_n - некоторые множества, тогда мощность объединения n множеств определяется по формуле

    \begin{array}
\left| А_1 \cup А_2 \cup .... \cup A_n | = \left| A_1 \right| + \left| A_2 \right| +...+\\
+ \left| A_n \right| -  \left[ \left| А_1 \cap А_2 \right| + \left| А_1 \cap А_3 \right| + ...+ \left| A_{n-1} \cap A_n \right| \right] + \\
\left[  \left| А_1 \cap А_2  \cap А_3 \right| + \left| А_1 \cap А_2  \cap А_4 \right| + ... + \left| A_{n-2} \cap А_{n-1} \cap А_n \right| \right] -...\\
+ (-1)^{n-1}  \left| А_1 \cap А_2  \cap....A_n \right| .\\
\end{array}

    Правая часть этой формулы является суммой n слагаемых, k -е по порядку слагаемое имеет вид (-1)^{k-1} S_k (A_1, ....., A_n), где S_k(A_1, A_2, ....., A_n) есть сумма чисел мощностей \left| A_i1 \cap.... \cap A_lk \right| по всем возможным пересечениям k разных множеств из множеств А_1, ....., А_n.

    Пример. На потоке из 100 студентов 28 человек изучают английский язык, 30 человек - немецкий язык, 42 человека - французский язык. Причем 8 человек изучают два языка - английский и немецкий, 10 человек изучает английский и французский языки, 5 человек - немецкий и французский языки. 3 человека изучают все 3 языка. Сколько студентов не изучает ни один из перечисленных языков?

    Пусть S - множество студентов, \left| S \right|  = 100 (студентов). А - множество студентов, изучающих английский язык, \left| A \right| = 28 ; Н - множество студентов, изучающих немецкий язык \left| H \right| = 30, Ф - множество студентов, изучающих французский язык, \left| Ф \right| = 42.

    Соответственно множества студентов, изучающих по 2 или 3 иностранных языка заданы следующим образом: \left| А \cap Н \right| = 8, 
\left| А \cap Ф \right| = 10, \left| H \cap Ф \right| = 5, \left| А \cap Н \cap Ф \right| = 3.

    Y - множество студентов, изучающих иностранные языки.

    \left| Y \right| = \left| A \right| + \left| H \right| + \left| Ф \right| - \left| А \cap Н \right| - \left| А \cap Ф \right| - \left| Н \cap Ф \right| +  \left| А \cap Н \cap Ф \right| = \\
28 + 30 + 42 - 8 - 10 - 5 + 3 = 80

    X - множество студентов, не изучающих иностранный язык.

    \left| X \right| = 100 - 80 = 20.

Векторы и прямые произведения

Векторы. Проекция вектора

Вектор (или кортеж) - это упорядоченный набор элементов. Например, (0; 1; 3). Элементы вектора называются координатами или компонентами. Число координат - длина вектора (размерность).

Координаты вектора могут совпадать (0; 5; 4; 5).

Два вектора равны, если они имеют одинаковую длину и равны соответствующие координаты: (а_1, а_2, ....., а_m) и (b_1, b_2, ...., b_n)

m = n, a_1 = b_1, a_2 = b_2, ....., a_m = b_n .

Проекцией вектора V на ось i ( пр_i V ) называется его i-я компонента. V = (a; b; c; d),  пр_2 V = (b).

Проекцией вектора V = (a_1, a_2, ...., a_n) на оси с номерами i_1, i_2,...., i_k называется вектор (a_{i1}, a_{i2}, ...., a_{ik}) длины k: пр_{i1,..,ik} V.

Пример: V = \left\{ {(a; b; d); (c; b; d); (d; b; b)} \right\},

пр_1 V = \left\{ {a, c, d} \right\},
пр_2 V = \left\{ {b} \right\},
пр_{2,3} V = \left\{ {(b,d); (b, b)} \right\}.

Прямое произведение

Прямым (декартовым) произведением множеств A и B ( A \times B ) называется множество всех векторов (a; b), таких, что a \in А, b \in В:

A \times B = \left\{ { x : x = (a; b), a \in А, b \in В} \right\}.

Если A = B, то A \times A = A^2 . Аналогично для нескольких множеств. Прямым произведением множества A_1 \times A_2 \times .... \times A_m называется множество всех векторов длины m, таких, что a_1 \in А_1, a_2 \in А_2, ...., a_m \in A_m (a_1, a_2, ..., a_m) .

A_1 \times A_2 \times .... \times A_m = \left\{ {x: x=(a_1, a_2, ..., a_m), a_1 \in A_1, a_2 \in A_2, ..., a_m \in A_m} \right\}.

Примеры.

  1. Множество R \times R=R^2 - множество точек плоскости, точнее пар вида (a, b), где a, b \in R и являются координатами.
  2. A = \left\{ {a, b, c, d, e, f, g, h} \right\}, B = \left\{ {1, 2, .., 8} \right\}.

    Тогда A \times B = \left\{ { (a; 1), (a; 2), ..., (d; 7), (d; 8), ... (h; 7), 
(h; 8)} \right\} - множество всех 64 клеток шахматной доски.

  3. A - множество букв, символов, знаков препинания и т. д. Тогда элементы множества A^n - слова длины n. Множество всех слов A^* = \cup A_i = A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup...; i \in N составляет язык.
  4. X = \left\{ {2, 3} \right\}, Y = \left\{ {a, b} \right\}. \\
X \times Y = \left\{ {(2; a), (2; b), (3; a), (3; b)} \right\}.\\
Y \times X = \left\{ {(a; 2), (a; 3), (b; 2), (b; 3)} \right\}.

    Следовательно, X \times Y \ne Y \times X.

Теорема о мощности прямого произведения

Пусть A_1, A_2, ..., A_n - конечные множества. Соответственно мощности этих множеств равны: \left| A_1 \right| = m_1, \left| A2 \right| = m_2, ..., \left| A_n \right| = m_n.

Тогда мощность прямого произведения n множеств равна произведению мощностей соответствующих множеств, т.е. \left| A_1 \times A_2 \times A_3 \times ... \times A_n \right| = m_1 \cdot m_2 \cdot ... \cdot m_n.

Доказательство методом математической индукции.

Для n = 1 теорема тривиально верна. Предположим, что она верна и для n = k и докажем ее справедливость для n = k+1.

По предположению \left| A_1 \times A_2 \times A_3 \times ... \times A_k \right| = m_1 m_2... m_k. Возьмем любой вектор (a_1, a_2, ... a_k) из A_1 \times A_2 \times A_3 \times ... \times A_k и припишем справа элемент a_{k+1} \in A_{k+1}. Это можно сделать m_{k+1} способом, т. е. получим m_{k+1} различных векторов из A_1 \times A_2 \times A_3 \times ... \times A_{k+1} .

Таким образом, из всех m_1 m_2 ... m_k векторов приписыванием справа элемента из A_{k+1} можно получить m_1 m_2 ... m_{k+1} векторов, причем все они различны. Поэтому для n=k+1 теорема верна и, следовательно, верна для любых n.

Следствие: \left| A^n \right| = \left| A \right|^n

< Лекция 1 || Лекция 2: 12 || Лекция 3 >
Владислав Бариков
Владислав Бариков

Непонятно почему в примере - отношение t НЕ транзитивно, ведь пары (2,4) и (4, 6) влекут (2, 6) и эта пара имеет общий делитель 2.​

Александр Кибирев
Александр Кибирев
Россия, Иваново, Ивановский государственный университет, 1999