НОУ ИНТУИТ | Введение в теорию множеств и комбинаторику. Лекция 2: Алгебра множеств

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Вятский государственный университет

Опубликован: 21.03.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 2141 / 489 | Оценка: 4.39 / 4.31 | Длительность: 06:24:00

Теги: beta, алгебра, арифметическая операция, делитель, законы, книги, комбинаторика, пересечение, перестановка, подмножество, проекция, разность, формула включения-исключения, шифр, элемент множества, элементы

|

Вам нравится? Нравится 34 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Аннотация: Приводятся сведения об алгебре множеств и основные законы. Даются возможные способы доказательств законов. Рассматривается нахождение мощности множеств, являющихся объединением нескольких множеств. Даются понятия вектора и прямого произведения множеств

Алгеброй называется совокупность множества с заданными в нем операциями S: A=<M,S> , где - носитель, - сигнатура.

Алгеброй множеств называется совокупность булеана универсального множества с заданными в нем операциями:

$A_k = < \beta(Е), S_M >,$

где S_M - множество операций: пересечение, объединение, дополнение, разность.

Законы алгебры множеств

Для операций объединения, пересечения и дополнения выполняются следующие законы:

коммутативности:
$А \cup В = В \cup А; А \cap В = В \cap А;$
ассоциативности:
$А \cup ( B \cup C ) = ( A \cup B ) \cup C,$

$A \cap ( B \cap C ) = ( A \cap B ) \cap C;$
дистрибутивности:
- пересечения относительно объединения:
  $A \cap ( B \cup C ) = ( A \cap B ) \cup ( A \cap C );$
- объединение относительно пересечения:
  $A \cup ( B \cap C ) = ( A \cup B ) \cap ( A \cup C);$
идемпотентности:
$A \cup A = A, A \cap A = A;$
действия с универсальным и пустым множествами:
$A \cup \emptyset = A, A \cap \emptyset = \emptyset,$

$A \cup E = E, A \cap E = A;$

$A \cup \overline A = E, A \cap \overline A = \emptyset;$
де Моргана:
$\overline {A \cap B} = \overline A \cup \overline B,$

$\overline {A \cup B} = \overline A \cap \overline B ;$
двойного дополнения:
$\overline{\overline A} = A.$

Доказательство законов можно выполнить графически или посредством последовательности утверждений типа "если , то ", которое записывается как "P =>Q" .

Докажем закон дистрибутивности:

$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C).$

Графическое доказательство состоит в построении диаграмм Эйлера-Венна для правой и левой частей ( рис. 2.1).

Доказательство

Если $х \in A \cap (B \cup C) => x \in A$ и $x \in (B \cup C) => x \in A$ и $(x \in B \mbox{ или } x \in C) => (x \in A \mbox{ и } x \in B)$ или $( x \in A \mbox{ и } x \in C) => (x \in A \cap B)$ или $(x \in A \cap C) => x \in (A \cap B) \cup (A \cap C)$ .

Рис. 2.1.

Таким образом, $A \cap (B \cup C) \subseteq (A \cap B) \cup (A \cap C)$ . Необходимо доказать включение в обратную сторону:

$x \in ( A \cap B ) \cup ( A \cap C ) => (x \in A \cap B)$ или $(x \in A \cap C) =>$

$(x \in A { и } x \in B )$ или $( x \in A \mbox{ и } x \in C) => x \in A$ и $(x \in B \mbox{ или } x \in C) => x \in A$ и $x \in (B \cup C) => x \in A \cap (B \cup C)$ .

Следовательно, $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$ .

Докажем закон де Моргана

$\overline {A \cap B} = \overline A \cup \overline B.$

Графическая интерпретация представлена на рис. 2.2.

Рис. 2.2.

Рассмотрим графическую интерпретацию левой части закона де Моргана, в которой можно выделить три составные части ( рис. 2.3).

Рис. 2.3.

$x \in \overline {A \cap B} \Rightarrow x \in (\overline A \cap B) \cup (A \cap \overline B ) \cup (\overline A \cap \overline B ) \Rightarrow$

Используя закон идемпотентности $\left[ х \cup х = х \right]}$ , получим:

$x \in (\overline A \cap B) \cup ( \overline A \cap \overline B ) \cup (A \cap \overline B ) \cap ( \overline A \cap \overline B ) \Rightarrow$

$x \in ( (\overline A \cap B) \cup ( \overline A \cap \overline B ) ) \cup ( (A \cap \overline B ) \cup ( \overline A \cap \overline B ) ) \Rightarrow$

по закону дистрибутивности

$x \in ( (\overline A \cap ( В \cup \overline B ) ) \cup (\overline В \cap (А \cup \overline А )) \Rightarrow x \in ( \overline А \cap Е ) \cup (\overline В \cap Е) \Rightarrow$

$х \in \overline A \cup \overline B.$

Таким образом, $\overline {A \cap B} \subseteq \overline A \cup \overline B$ .

Аналогично доказывается включение в обратную сторону:

$x \in \overline A \cup \overline B \Rightarrow x \in \overline {Е \cap A \cap B} \Rightarrow x \in \overline {Е \cap A \cap Е \cap B} \Rightarrow x \in \overline {A \cap B}.$

Следовательно,

$\overline {A \cap B} = \overline A \cup \overline B.$

Дальше >>

Авторизоваться

Введение в теорию множеств и комбинаторику

Алгебра множеств

Законы алгебры множеств

Вопросы и ответы