Множества
Число элементов
Число элементов в конечном
множестве 
называют также его мощностью
и обозначают 
(а также 
). (Вскоре мы
будем говорить о мощностях и для бесконечных множеств.)
Следующая формула позволяет найти мощность объединения
нескольких множеств, если известны мощности каждого из них, а
также мощности всех пересечений.
Теорема 1. Формула включений и исключений.
равно
Доказательство.
Это утверждение несложно доказать индукцией по 
, но мы
приведем другое доказательство. Фиксируем произвольное
множество 
, подмножествами которого являются множества 
.
Характеристической функцией
множества 
называют функцию 
, которая равна 
на
элементах 
и 
на остальных элементах . Операции над
подмножествами
множества соответствуют операциям с их характеристическими
функциями. В частности, пересечению множеств соответствует
произведение характеристических функций: 
.
Дополнению (до )
соответствует функция 
, если 
-
характеристическая функция исходного множества.
Число элементов множества можно записать как сумму значений его характеристической функции:
можно записать как
дополнение к пересечению дополнений множеств 
;
в терминах характеристических функций имеем
(обе они есть функции на ),
получим формулу включений и исключений.15. Докажите, что 
равно
Подсчет количеств элементов в конечных множествах относят к комбинаторике. Некоторые начальные сведения из комбинаторики приведены дальше в качестве задач. Сейчас нас в первую очередь интересует следующий принцип:
если между двумя множествами можно установить взаимно однозначное соответствие, то в них одинаковое число элементов.
(Взаимная однозначность требует, чтобы каждому элементу первого множества соответствовал ровно один элемент второго и наоборот.)
Вот несколько примеров использования этого принципа.
16. На окружности выбраны 1000 белых точек и одна черная. Чего больше - треугольников с вершинами в белых точках или четырехугольников, у которых одна вершина черная, а остальные три белые? (Решение: их поровну, поскольку каждому четырехугольнику соответствует треугольник, образованный тремя его белыми вершинами.)
17. Каких подмножеств больше у 
- элементного множества:
мощности 
или мощности 
? (Указание: 
.)
18. Докажите, что последовательностей длины , составленных из
нулей и единиц, столько же, сколько подмножеств у множества 
. (Указание: каждому подмножеству 
соответствует " характеристическая
последовательность", на 
- м месте которой стоит единица,
если и только если 
.)
19. Докажите, что последовательностей нулей и единиц длины ,
в которых число единиц равно 
, равно числу -
элементных
подмножеств - элементного множества.
Это число называется числом сочетаний из n по
k и
обозначается 
в русских книжках; в
иностранных обычно
используется обозначение 
.
20. Докажите, что 
.
21. Докажите, что 
.
22. Пусть - непустое конечное множество. Докажите, что
подмножеств множества , имеющих четную мощность, столько же,
сколько имеющих нечетную мощность. (Указание: фиксируем
элемент 
и объединим в пары подмножества, отличающиеся
только
в точке 
.
23. Докажите, что 
.
(Указание: как это связано с предыдущей задачей?)
24. Докажите формулу бинома Ньютона:
25. Докажите, что способов расстановки скобок (указывающих порядок
действий) в неассоциативном произведении из элементов
столько же, сколько способов разбить выпуклый 
- угольник на треугольники непересекающимися диагоналями.
(Для произведения трех множителей есть два варианта 
и 
; с другой стороны, есть два способа разрезать
четырехугольник на два треугольника, проведя диагональ. Для
произведения четырех сомножителей и для пятиугольника имеется по 
вариантов.)