Опубликован: 27.07.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 4408 / 1102 | Оценка: 4.28 / 4.13 | Длительность: 26:56:00
Специальности: Программист
Лекция 8:

Системы компьютерной алгебры

Определение функций

Для определения функции следует указать ее имя, аргумент (или аргументы), заключенный в круглые скобки, символы := и саму функцию, например,

C1) p(x):= x^2+3*x-8;
			             2
(D1) 		            p(x) := x  + 3 x - 8
(C2) p(2*x);
			             2
(D2) 		                  4 x  + 6 x - 8
(C3) factor(p(2*x-4));
			            2
(D3) 		              2 (2 x  - 5 x - 2)
(C4) f(x):=sin(x);
(D4) 		                  f(x) := SIN(x)
(C5) g(x):=log(x);
(D5) 		                  g(x) := LOG(x)
(C6) f(g(x));
(D6)		                     SIN(LOG(x))
(C7) g(f(x));
(D7)		                     LOG(SIN(x))
(C8) dist(x,y):=sqrt(x^2+y^2);
	                                 2    2
(D8)	             dist(x, y) := SQRT(x  + y )
(C9) dist(3,4);
(D9) 	                                       5

Функция может быть задана и подобным образом:

(C10) eta(x,y):= if x = y then x 
               else (if x > y then x-y else x+y);
(D10) 	    eta(x, y) := IF x = y THEN x ELSE 
              (IF x > y THEN x - y ELSE x + y)
(C11) eta(5,6);
(D11) 				  11
(C12) eta(eta(7,7), eta(1,2));
(D12) 				  4

Построение графиков

Графики строятся при помощи функции plot2d, например,

(C1) plot2d([2*sin(x), cos(x)], [x, -2*%PI, 2*%PI]);

Для построения изображений трехмерных объектов используется функция plot3d. Вот как, например, запишется функция для рисования листа Мебиуса:

(C2) plot3d([cos(x)*(3+y*cos(x/2)), 
  sin(x)*(3+y*cos(x/2)), y*sin(x/2)],
  [x,-%pi,%pi],[y,-1,1],['grid,40,15]);

В левом верхнем углу рисунка находится меню (появляющееся при подведении курсора). Оно содержит ряд опций для сохранения рисунка и его преобразований. Ниже приводятся два рисунка, соответствующие рассматриваемой с разных точек римановой поверхности.

(C3) Plot3d(r^.33*cos(th/3),[r,0,1],[th,0,6*%pi],
     ['grid,12,80],
     ['transform_xy,polar_to_xy],
     ['view_direction,1,1,1.4],
     ['colour_z,true]);


Операции математического анализа

Maxima может вычислять производные и интегралы, раскладывать функции в ряды Тейлора, вычислять пределы и находить точные решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Для нахождения производной используется функция diff, первым аргументом которой является функция, вторым - переменная, по которой производится дифференцирование, и третьим (необязательным) - порядок производной:

(C1) f:(x-2*sqrt(x))/x^2;
                         x - 2 SQRT(x)
(D1) 	                 -------------
		               2
		              x

(C2) diff(f, x);
           1
      1 - -------
	  SQRT(x)   2 (x - 2 SQRT(x))
(D2)  ----------- - -----------------
	   2		    3
	  x		   x

(C3) expand("c2);
		             3     1
(D3) 		            ---- - --
		             5/2    2
		            x      x

(C4) g:x^6;
		                   6
(D4) 		                  x

(C5) diff(g, x, 1);
		                   5
(D5) 		                6 x

(C6) diff(g, x, 4);
		                   2
(D6) 		              360 x

При вычислении кратных производных по нескольким переменным после указания функции перечисляются переменные дифференцирования с указанием соответствующих кратностей, например,

(C7) diff(x^6*y^3, x, 4, y, 2);
		                   2
(D7) 		          2160 x  y

Функция integrate позволяет вычислять интегралы. Для нахождения неопределенного интеграла после функции указывается единственный аргумент - переменная интегрирования:

(C8) f:x^2/(4*x^6+1);
		                2
		               x
(D8) 		            --------
	                       6
                            4 x  + 1

(C9) integrate(f, x);
			          3
         		  ATAN(2 x )
(D9) 	                  ----------
		              6

Maxima в случае неоднозначного ответа может задавать дополнительные вопросы, как в следующем примере:

(C10) integrate(x^n,x);
Is  n + 1  zero or nonzero?
nonzero;
                               n + 1
		              x
(D10) 		              ------
		              n + 1
(C11) integrate(x^n,x);
Is  n + 1  zero or nonzero?
zero;
(D11)                         LOG(x)

Можно использовать функцию assume для задания дополнительных условий (не забывайте затем удалить наложенные ограничения):

(C12) assume(notequal(n,-1));
(D12) 			 [NOT EQUAL(n, - 1)]
(C13) integrate(x^n,x);
			      	 n + 1
				x
(D13) 			        ------
				n + 1
(C14) forget(notequal(n,-1));
(D14) 			 [NOT EQUAL(n, - 1)]
(C15) integrate(x^n,x);
Is  n + 1  zero or nonzero?

zero;
(D15) 			        LOG(x)

Для нахождения определенного интеграла следует указать дополнительные агрументы - пределы интегрирования:

(C16) integrate(x^2, x, 0, 6);
(D16) 	                              72

(C17) integrate(sin(x), x, 0, %PI);
(D17) 				       2

(C18) integrate(integrate(x*y, x, 1, 3), y, 0, 4);
(D18) 				      32

Maxima допускает задание и бесконечных пределов интегрирования. Для обозначения бесконечности используется переменная INF ( inf ):

(C19) integrate(1/x^2, x, 1, inf);
(D19)                          1  

(C20) integrate(1/(1+x^2), x, -inf, inf);
(D20) 				      %PI
 
(C21) integrate(1/x, x, 0, inf);
 
Integral is divergent  - an error.  
Quitting. To debug this try DEBUGMODE(TRUE);)

В последнем примере система сообщила о невозможности вычисления интеграла, т. к. он расходится (is divergent).

При вычислении достаточно сложных интегралов ответ не всегда будет представлен в наиболее простом виде. В следующем примере Maxima не может в символьном виде получить ответ, равный PI/4:

C22) g:1/sqrt(2-x^2);
                		    1
(D22) 	                      ------------
			                2
                              SQRT(2 - x )

(C23) integrate(g,x, 0,1);

                                  SQRT(2)
(D23) 	                     ASIN(-------)
		                     2

Для вычисления конечных и бесконечных сумм следует записать сумму в символьном виде, после чего упростить полученное выражение:

(C24) sum(1/n^2,n,1,inf);
	                        INF
		               ====
		               \      1
(D24) 		                >    --
		               /      2
		               ====  n
	                       n = 1
(C25) %,simpsum;
			              2
		                   %PI
(D25) 		                   ----
		                    6

Maxima способна находить разложение функций в ряд Тейлора. Получим многочлен Тейлора порядка 4 для функции f(x)=ln x в точке x=1:

(C26) g:log(x);
(D26)                            LOG(x)
(C27) taylor(g,x,1,4);
		       2	  3	     4
		 (x - 1)    (x - 1)    (x - 1)
(D27)/T/ x - 1 - -------- + -------- - -------- + ...
		    2	       3	  4

Для вычисления пределов используется функция limit:

(C28) limit(1/x,x,inf);
(D28) 		                   0

Для вычисления односторонних пределов используется дополнительный параметр, принимающий значение plus для вычисления предела справа и minus - слева.

Пример

Исследуем на непрерывность функцию arctg(1/(x-4)). Эта функция не определена в точке x = 4. Вычислим пределы справа и слева:

(C28) limit(atan(1/(x-4)), x, 4, plus);
				      %PI
(D28) 				      ---
				       2
(C29) limit(atan(1/(x-4)), x, 4, minus);
				       %PI
(D29) 				     - ---
					2

Как видим, точка x = 4 является точкой разрыва I рода для данной функции, так как существуют пределы слева и справа, равные - PI/2 и PI/2 соответственно.

Задания

  1. Вычислите первую производную функции tg2(x4 - 2)
  2. Найдите предел при x -> 0 функции (3x - sin x)/tg 2x
  3. Найдите одну из первообразных функции cos2 x
Дмитрий Фаттахов
Дмитрий Фаттахов
Виктория Бельгесова
Виктория Бельгесова

Добрый день. Как получить удостоверение о прохождении данного курса?