Опубликован: 27.07.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 4406 / 1100 | Оценка: 4.28 / 4.13 | Длительность: 26:56:00
Специальности: Программист
Лекция 8:

Системы компьютерной алгебры

Матричные вычисления

Maxima позволяет легко манипулировать матрицами. В следующем примере задаются две матрицы, которые затем складываются (+) и перемножаются (.):

(C1) A:matrix([1,2],[3,4]);
				    [ 1	 2 ]
(D1) 				    [ 	   ]
				    [ 3	 4 ]
(C2) B:matrix([1,1],[1,1]);
				    [ 1	 1 ]
(D2) 				    [ 	   ]
				    [ 1	 1 ]
(C3) A + B;
				    [ 2	 3 ]
(D3) 				    [ 	   ]
				    [ 4	 5 ]
(C4) A . B;
				    [ 3	 3 ]
(D4) 				    [ 	   ]
				    [ 7	 7 ]

Функция determinant вычисляет определитель матрицы.

(C5) determinant(A);
(D5) 				  - 2

(C6) determinant(matrix([a,b],[c,d]));
(D6) 				  a d - b c

Транспонирование матрицы осуществляется функцией transpose.

(C7) transpose(A);
			       [ 1  3 ]
(D7) 			       [      ]
			       [ 2  4 ]

Для получению обратной матрицы используется операция ^^-1 или функция invert.

(C8) A^^-1;
			[ - 2    1  ]
	                [           ]
(D8) 			[  3      1 ]
			[  -    - - ]
			[  2	  2 ]
(C9) invert(A);
                        [ - 2    1  ]
                        [           ]
(D9)                    [  3      1 ]
                        [  -    - - ]
                        [  2      2 ]

Как известно, каждый элемент bij обратной матрицы B = A-1 получается делением алгебраического дополнения Aij соответствующего элемента исходной матрицы на ее определитель |A|. Для того чтобы вынести 1/|A| в качестве сомножителя применяется функция detout.

(C10) invert(A), detout;
			      [	 4   - 2 ]
			      [ 	 ]
			      [ - 3   1	 ]
(D10) 			    - ------------
				   2

Убедимся в правильности полученного результата, умножив A на обратную к ней матрицу:

(C11) A . d9;
			       [ 1  0 ]
(D11) 			       [      ]
			       [ 0  1 ]

Будьте внимательны: в результате выполнения операции ^-1 получится матрица, каждый элемент которой обратен элементу исходной, а не обратная матрица.

(C12) A^-1;
				    [	 1 ]
				    [ 1	 - ]
				    [	 2 ]
(D12) 				    [ 	   ]
				    [ 1	 1 ]
				    [ -	 - ]
				    [ 3	 4 ]

Использование матриц позволяет легко решать системы линейных уравнений с несколькими переменными. Пусть A - матрица коэффициентов системы, X - матрица неизвестных, B - матрица свободных членов системы. Тогда матрица X находится по формуле X = A -1 . B, где операция . означает матричное умножение.

Пример

Решим следующую систему уравнений матричным способом.


Сначала заполним соответствующие матрицы, а затем получим матрицу результатов:

(C14) A:matrix([1, 2, 1], [2, 1, 1], [1, 3, 1]);

			  [ 1  2  1 ]
			  [	    ]
(D14) 			  [ 2  1  1 ]
			  [	    ]
			  [ 1  3  1 ]

(C15) B:matrix([0, 1, 0]);
(D15) 			  [ 0  1  0 ]

(C16) (A^^-1).B;
			    [  1  ]
			    [	  ]
(D16) 			    [  0  ]
			    [	  ]
			    [ - 1 ]

Задания

  1. Вычислите произведение матриц A.B и B.A, где

  2. Найдите определители матриц C и D

  3. Для матрицы D найдите обратную, после чего проверьте, что в результате их произведения получается единичная матрица.
  4. Решите следующую систему уравнений матричным способом

Программирование в системе Maxima

До сих пор мы использовали систему Maxima в интерактивном режиме, подобно калькулятору. Если часто приходится выполнять определенную последовательность вычислений, то лучше оформить ее в виде программы, которая затем вызывается в случае надобности. Ниже приводится небольшая программа для нахождения критических точек функции f(x). Пользователю предлагается ввести функцию f, после чего вычисляется производная введенной функции и при помощи функции solve решается уравнение fx = 0. Программа записывается в текстовый файл и затем загружается в систему Maxima при помощи функции batch. Приведем текст программы:

/* -----------------------------------------------------
   Это файл critpoints.max: 
   (Maxima использует комментарии в стиле C)
   -------------------------------------------------- */

critpts():=(
   print("Программа нахождения критических точек"),

/* Запрос на ввод функции     */
   print("Введите функцию f(x):"),
   f:read(),

/* Печать введенной функции (для контроля) */
   print("f = ",f),

/* В переменную eq помещаем значение производной */
   eq:diff(f,x),

/* Решаем уравнение */
   solve(eq, x)   
)$

Программа состоит из единственной функции (без аргументов), которая называется critpts. Команды отделяются друг от друга запятыми. Вот пример выполнения программы:

(C1) batch("critpoints.max");

batching #p/home/test/critpoints.max
(C2) critpts() := (PRINT("Программа #
нахождения критических точек"), 
PRINT("Введите функцию f(x):"), 
f : READ(), 
PRINT("f = ", f), 
eq : DIFF(f, x), 
SOLVE(eq, x))

(C3) critpts() ;
Программа нахождения критических точек
Введите функцию f(x): 
(x+2)/(x^2+1);

                  x + 2
            f =  ------ 
                  2
                 x  + 1

(D3) [x = - SQRT(5) - 2, x = SQRT(5) - 2]
Дмитрий Фаттахов
Дмитрий Фаттахов
Виктория Бельгесова
Виктория Бельгесова

Добрый день. Как получить удостоверение о прохождении данного курса?