Опубликован: 09.10.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 4378 / 711 | Оценка: 4.09 / 3.28 | Длительность: 11:25:00
Специальности: Математик
Лекция 10:

Подпространства линейного пространства. Евклидово пространство. Линейные преобразования в линейном пространстве. Представление линейного преобразования матрицей. Действия над линейными преобразованиями. Примеры линейных преобразований

< Лекция 9 || Лекция 10: 123456

Таблица коэффициентов системы (9.1)

\begin{bmatrix}
\alpha_1^1 & \alpha_1^2 & \ldots & \alpha_1^k \\
\alpha_2^1 & \alpha_2^2 & \ldots & \alpha_2^k \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
\alpha_k^1 & \alpha_k^2 & \ldots & \alpha_k^k
\end{bmatrix}

определяет матрицу преобразования одной системы координат в другую. Заметим, так как старые единичные векторы линейно независимы, т.е. \sum p_k \overrightarrow{e}_k=0, только тогда, когда p_{k} \equiv  0, и определитель системы (9.1) отличен от нуля

\Delta=
\begin{bmatrix}
\alpha_1^1 & \alpha_1^2 & \ldots & \alpha_1^k \\
\alpha_2^1 & \alpha_2^2 & \ldots & \alpha_2^k \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
\alpha_k^1 & \alpha_k^2 & \ldots & \alpha_k^k
\end{bmatrix}
\ne 0,
то новые векторы тоже будут линейно независимыми.

Систему (9.1) можно записать в свернутом виде:

E_m=\sum_k \alpha_m^k\overrightarrow{e}_k,\; m=1,2,\ldots,r. ( 9.2)

Система (9.2), как и система (9.1), дает новые единичные векторы \overrightarrow{E}_m как функции старых единичных векторов \overrightarrow{e}_k.

Имеет место и обратный случай: возможно восстановление старых единичных векторов по известным новым. Эта задача математически сводится к решению системы (9.1) относительно \overrightarrow{e}_r. В результате имеем

\left\{
\begin{aligned}
& \overrightarrow{e}_1=\beta_1^1\overrightarrow{E}_1+\beta_1^2\overrightarrow{E}_2+\ldots+\beta_1^r\overrightarrow{E}_r; \\
& \overrightarrow{e}_2=\beta_2^1\overrightarrow{E}_1+\beta_2^2\overrightarrow{E}_2+\ldots+\beta_2^r\overrightarrow{E}_r; \\
& \ldots \\
& \overrightarrow{e}_r=\beta_r^1\overrightarrow{E}_1+\beta_r^2\overrightarrow{E}_2+\ldots+\beta_r^r\overrightarrow{E}_r
\end{aligned}
\right. ( 9.3)
или в свернутом виде
\overrightarrow{e}_k=\sum_m \beta_k^m \overrightarrow{E}_m . ( 9.4)

Матрица \beta линейного преобразования (9.4), очевидно, будет обратной матрице \alpha - прямого преобразования (9.2), и, следовательно, общий элемент матрицы \beta можно записать как

\beta_k^m=\frac{A_m^k}{\Delta},
где A_m^k - алгебраическое дополнение элемента \alpha_m^k определителя \Delta матрицы \alpha.

Рассмотрим сумму произведений \sum_m \alpha_m^k\beta_j^m. При k = j она равна единице, а при k \ne  j должна быть тождественно равна нулю. Это вытекает из того, что \beta  = \alpha ^{-1}, а произведение таких матриц есть единичная матрица, у которой элементы находятся на главной диагонали, равны 1, а все остальные - нулю.

Пользуясь символом Кронекера1По определению \delta_m^n=\left\{ \begin{aligned}1,\quad m=n\\0,\quad m\ne n \end{aligned}.\right. , определим сумму произведений

\sum_m \alpha_m^k\beta_j^m=\delta_j^k\quad\text{и}\quad\sum\alpha_m^k\beta_k^l=\delta_m^l.

И наконец, общий элемент матрицы \alpha можно записать как

\alpha_m^k=\frac{B_k^m}{\Delta},
где B_k^m - алгебраическое дополнение элемента \beta_k^m определителя \Delta матрицы \beta.

Определение 16. Говорят, что в линейном пространстве R задано скалярное произведение, если каждой паре векторов х и у из R поставлено в соответствие такое число (х,у), что выполняются следующие условия:

(x,y)=(y,x);
\\
(x1+x2,y)=(x1,y)+(x2,y);
\\
(\lambda x,y)=\lambda (y,x);
\\
(x,x)>0, \ если x\ne 0, и \ (x,x)\equiv 0, если \ x=0.

Определение 17. Линейное пространство, в котором задано скалярное произведение, называется евклидовым пространством и обозначается Е.

Определение 18. Длиной или модулем вектора х в евклидовом пространстве называют корень квадратный из его скалярного квадрата и обозначают |x|=x=\sqrt{(x,x)}.

Из определения 18 вытекают два свойства модуля:

  • |x|>0 при x\ne 0 и |x|=0 при x=0 ;
  • |\lambda x|=|\lambda ||x|.

Определение 19. Вектор х, длина которого равна 1, называют нормированным вектором.

Из определения 19 следует интересный вывод: всякий ненулевой вектор можно нормировать, т.е. умножить вектор на число \lambda=\frac{1}{|x|}. Полученный вектор y=\frac{x}{|x|} будет нормированным.

Определение 20. Угол \phi между векторами х и у определяется равенством \cos(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})=\frac{(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})}{|\overrightarrow{x}|\cdot|\overrightarrow{y}|}.

Из определения 20 следует математическое выражение для скалярного произведения

(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})=|\overrightarrow{x}|\cdot|\overrightarrow{y}|\cdot\cos(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}). ( 9.5)

Определение 21. Два вектора евклидова пространства называют ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю, т.е. (\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})=0.

Это определение следует из анализа формулы (9.5). Действительно, если длины векторов x и y не равны нулю, то только cos(x^y) может дать нуль в произведении, а это значит, что угол между векторами должен быть равен 90 \deg.

Определение 22. Базис е1, е2, ..., еr евклидова пространства называется ортогональным, если векторы попарно ортогональны.

Определение 23. Если базис евклидова пространства е1, е2, ..., еr ортогонален и модули i|=1 при i = 1, 2, ..., n, то базис называют ортонормированным.

Выразим скалярное произведение через координаты перемножаемых векторов. Пусть теперь е1, е2, ..., еr - произвольный базис евклидова пространства R, в котором заданы два вектора х и y. Распишем векторы в координатной форме по заданному базису

x=x1e1+x2e2+...+xnen; y=y1e1+y2e2+...+ynen

и найдем скалярное произведение этих векторов. В результате имеем

\begin{gathered}
(x,y)=(x_1 e_1+x_2 e_2+\ldots+x_n e_n;\; y_1 e_1+y_2 e_2+\ldots+y_n e_n)= \\
=x_1 y_1(e_1 e_1)+x_1 y_2(e_1 e_2)+\ldots+x_1 y_n(e_1 e_n)+ \\
+x_2 y_1(e_2 e_1)+x_2 y_2(e_2 e_2)+\ldots+x_2 y_n(e_2 e_n)+\ldots+x_n y_1(e_n e_1)+ \\
+x_n y_2(e_n e_2)+\ldots+x_n y_n(e_n e_n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n x_i y_j(e_i e_j).
\end{gathered}

Если базис е1, е2, ..., еr ортонормирован, то в силу определения (19) скалярного произведения все произведения i, ej) будут равны нулю при i \ne  j и единице, при i = j. Значит,

(x,y)=x_1 y_1+x_2 y_2+\ldots+x_n y_n . ( 9.6)

Если х = y, то из выражения (9.6) получаем

(x,x)=x_1 x_1+x_2 x_2+\ldots+x_n x_n=x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2,
откуда можно выразить модуль (длину) вектора в ортонормированном базисе
|x|=\sqrt{(x,x)}=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2}. ( 9.7)

Выражение (9.7) часто называют нормой вектора х = (х1, х2, ..., хn). Возвращаясь к определению (26), найдем выражение \lambda как

\lambda=\frac{1}{\sqrt{x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2}}. ( 9.8)

Теорема. Попарно ортогональные и отличные от нуля векторы линейно независимы.

Доказательство. Пусть х1, х2, ..., хn - ненулевые векторы, попарно ортогональные, т.е. (xi, xj) = 0, если i \ne  j. Предположим, что векторы х1, х2, ..., хn линейно зависимые, т.е. существуют такие \alpha _{1}, \alpha _{2}, \dots , \alpha _{n}, не равные нулю, при которых

\alpha_1 x_1+\alpha_2 x_2+\ldots+\alpha_n x_n=0 ( 9.9)

Для определенности (без ограничения общности) положим \alpha _{1} \ne  0. Умножим равенство (9.9) скалярно на вектор х1, и с учетом того, что все произведения i, хj) будут равны нулю при i \ne  j, останется только одно произведение \alpha _{1}(x_{1}, x_{1}) = 0, но (x_{1}, x_{1}) \ne  0, следовательно \alpha _{1} = 0, что противоречит нашему предположению. Значит, предположение неверно и теорема доказана.

< Лекция 9 || Лекция 10: 123456
Арсений Черномаз
Арсений Черномаз

Добрый день. Подскажите пожалуйста, я прошел ваш курс Введение в линейную алгебру: Информация, - сдал экзамен и у меня высветилось окно, где необходимо оформить доставку сертификата. Однако, я случайно закрыл это окно и теперь не могу найти этот подраздел, чтобы оформить доставку. Где можно это найти?

Светлана Соболева
Светлана Соболева