НОУ ИНТУИТ | Введение в линейную алгебру. Лекция 7: Скалярное произведение векторов. Свойства. Векторное произведение векторов. Свойства. Смешанное произведение векторов. Свойства

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 09.10.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 4550 / 791 | Оценка: 4.09 / 3.28 | Длительность: 11:25:00

Тема: Математика

Специальности: Математик

Теги: линейные пространства, метод Гауса, определители, векторы, матрицы

|

Вам нравится? Нравится 45 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

3. Векторное произведение двух векторов.

Определение 15. Под векторным произведением векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ понимают вектор $\overrightarrow{c}$ , имеющий длину и направленный перпендикулярно к плоскости $|\overrightarrow{c}|=|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|\cdot\sin(\overrightarrow{a}^{\wedge}\overrightarrow{b})$ , определяемой векторами $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ , причем так, что векторы $\overrightarrow{a}$ , $\overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}$ образуют правую тройку векторов (рис. 6.2).

Рис. 6.2.

Можно заметить, что длина вектора $\overrightarrow{c}$ численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ как на сторонах ( это геометрический смысл векторного произведения ).

Векторное произведение обозначают: $\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}$ или $[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]$ . Очевидно, что $\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=-\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{a}$ (из определения векторного произведения), т.е. векторное произведение не коммутативно. Векторное произведение также не ассоциативно, $\overrightarrow{a}\times(\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{c})\ne(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b})\times\overrightarrow{c}$ , в чем можно легко убедиться самостоятельно. Векторное произведение подчиняется только распределительному закону:

$\overrightarrow{a}\times(\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{c}.$

Так как $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}$ перпендикулярен плоскости, определяемой векторами $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ , и численно равен площади параллелограмма, сторонами которого являются векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ , то, очевидно, что проекции вектора на оси ординат 0х, 0у и 0z будут численно равны площадям проекций указанного параллелограмма на соответствующие координатные плоскости:

$\left. \begin{aligned} c_x=a_y b_z-a_z b_y; \\ c_y=a_z b_x-a_x b_z; \\ c_z=a_x b_y-a_y b_x. \end{aligned} \right\}$

Тогда векторное произведение $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}$ расписывается по базису $\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}$ следующим образом^{3Из этого равенства видно, что вектор является антисимметричным тензором третьего ранга.}:

$\begin{gathered} \overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=c_x\overrightarrow{i}+c_y\overrightarrow{j}+c_z\overrightarrow{k}=(a_y b_z-a_z b_y)\overrightarrow{i}+ \\ +(a_z b_x-a_x b_z)\overrightarrow{j}+(a_x b_y-a_y b_x)\overrightarrow{k}= \begin{vmatrix} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix} \end{gathered}.$

Замечание 1. $\overrightarrow{i}\times\overrightarrow{j}=\overrightarrow{k};\overrightarrow{j}\times\overrightarrow{k}=\overrightarrow{i};\overrightarrow{k}\times\overrightarrow{i}=\overrightarrow{j}$ . Используя это свойство векторного произведения проверяют ортогональность трех векторов. Если векторное произведение двух любых из трех векторов равно третьему вектору, то тогда говорят , что векторы ортогональны (или линейно независимы) между собой.

Замечание 2. Двойное векторное произведение $\overrightarrow{a}\times(\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{c})$ есть вектор $\overrightarrow{d}$ , компланарный векторам $\overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}$ , вычисляемый по формуле

$\overrightarrow{a}\times(\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{c})=\overrightarrow{b}(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c})-\overrightarrow{c}(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}).$

Замечание 3. $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}= \begin{vmatrix} a_y & a_z \\ b_y & b_z \end{vmatrix} \cdot\overrightarrow{i}- \begin{vmatrix} a_x & a_z \\ b_x & b_z \end{vmatrix} \cdot\overrightarrow{j}+ \begin{vmatrix} a_x & a_y \\ b_x & b_y \end{vmatrix} \cdot\overrightarrow{k}$ .

4. Смешанное произведение векторов.

Определение 16. Смешанным произведением векторов $\overrightarrow{a}$ , $\overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}$ назовем число К, равное объему параллелепипеда, построенного на этих векторах (рис. 6.3) и вычисляемое как:

$K=\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c})= \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix}$

Очевидно, что если $\overrightarrow{a}$ , $\overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}$ компланарны, то $К=\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{c})=0$ .

Рис. 6.3.

Определение 17. Скалярным произведением двух векторных произведений назовем число, равное выражению

$(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{c}\times\overrightarrow{d})=(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c})\cdot(\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{d})-(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{d})\cdot(\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c})= \begin{vmatrix} \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c} & \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{d} \\ \overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c} & \overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{d} \end{vmatrix}.$

Заметим, что $(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b})^2=|\overrightarrow{a}|^2\cdot|\overrightarrow{b}|^2-(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b})^2$ .

Из определения смешанного произведения следует интересный факт, что произведение не зависит от порядка следования векторов в смешанном произведении, так как объем параллелепипеда (положительный или отрицательный) зависит только от расположения этих векторов в пространстве (левая или правая тройка) потому, что является псевдоскаляром. Следовательно, можно записать

$\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{c})=\overrightarrow{b}\cdot(\overrightarrow{c}\times\overrightarrow{a})=\overrightarrow{c}\cdot(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b})\;\text{или}\;\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{c})=(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b})\cdot\overrightarrow{c}$

Это замечательное свойство смешанного произведения служит обоснованием упрощения записи смешанного произведения:

$\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}.$

Дальше >>

Авторизоваться

Введение в линейную алгебру

Скалярное произведение векторов. Свойства. Векторное произведение векторов. Свойства. Смешанное произведение векторов. Свойства

Вопросы и ответы