Жадные алгоритмы и матроиды

Теорема 2. Если - матроид, то для любой весовой функции множество , найденное алгоритмом СПО, будет множеством наибольшего веса из . Если же не является матроидом, то найдется такая функция , что не будет множеством наибольшего веса из .

Доказательство. Предположим, что является матроидом и - множество, построенное алгоритмом СПО, причем . Очевидно, является базой матроида. Пусть - любое другое независимое множество и . Так как - база, то . Покажем, что для каждого . Действительно, положим , для некоторого . Согласно условию (2) определения матроида, в множестве имеется такой элемент , что и множество - независимое. В соответствии с алгоритмом, элементом наибольшего веса, который может быть добавлен к так, чтобы получилось независимое множество, является . Следовательно, .

Теперь предположим, что не является матроидом. Допустим сначала, что нарушается условие (1), т.е. существуют такие подмножества и множества , что , и . Определим функцию следующим образом:

Алгоритм СПО сначала будет рассматривать все элементы множества . Так как , то не все они войдут в построенное алгоритмом множество . Следовательно, w(A) < |Y|. В то же время имеется множество , такое, что . Таким образом, в этом случае алгоритм СПО строит не оптимальное множество. Если же условие (1) выполнено, а не выполняется условие (2), то существуют такие подмножества и множества , что , , |X| < |Y| и для каждого . Выберем такое , что , и определим функцию следующим образом:

Алгоритм СПО сначала выберет все элементы множества , а затем отвергнет все элементы из . В результате будет построено множество с весом , которое не является оптимальным, так как .