НОУ ИНТУИТ | Графы и алгоритмы. Лекция 7: Пространство циклов графа

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского

Опубликован: 27.09.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 3852 / 211 | Оценка: 4.44 / 4.11 | Длительность: 13:45:00

Тема: Алгоритмы и дискретные структуры

Специальности: Программист, Математик

|

Вам нравится? Нравится 42 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Квазициклы

В этом разделе слово "цикл" мы будем понимать несколько иначе, чем до сих пор. Именно, циклом будем называть граф, у которого одна компонента связности является простым циклом, а остальные - изолированными вершинами. На рис. 7.1 показано, что в результате сложения двух циклов иногда получается цикл. Это не всегда так (например, когда складываемые циклы не имеют общих ребер), но все-таки графы, которые можно получить, складывая циклы, обладают определенными особенностями. На этом основан алгебраический подход к изучению устройства множества циклов графа.

Рассмотрим некоторый граф $G\in \Gamma_{V}$ . Среди его остовных подграфов, возможно, имеется некоторое количество циклов. Обозначим через C[G] подпространство пространства подграфов, порождаемое всеми этими циклами. C[G] называется пространством циклов графа . Оно содержит граф (если в нет циклов, то является единственным элементом пространства циклов), а все остальные его элементы - это всевозможные линейные комбинации циклов графа . Заметим, что коэффициентами в линейных комбинациях являются элементы множества $\{0,1\}$ , поэтому речь идет на самом деле просто о всевозможных суммах циклов.

Остовный подграф, у которого степени всех вершин четны, называется квазициклом. Оказывается, множество C[G] состоит в точности из всех квазициклов графа . Прежде чем доказать это, покажем сначала, что множество всех квазициклов замкнуто относительно сложения.

Лемма 1. Сумма двух квазициклов есть квазицикл.

Доказательство. Пусть $H_{1}$ и $H_{2}$ - квазициклы. Рассмотрим произвольную вершину $a\in V$ , и пусть ее степени в $H_{1}$ и $H_{2}$ равны соответственно $d_{1}$ и $d_{2}$ . Тогда степень вершины в графе $H_{1} \oplus H_{2}$ будет равна $d=d_{1}+d_{2} -2d_{1,2}$ , где $d_{1,2}$ - число вершин, с которыми смежна в обоих графах $H_{1}$ и $H_{2}$ . Отсюда видно, что число четно, если четны оба числа $d_{1}$ и $d_{2}$ .

Следующая лемма объясняет строение квазициклов.

Лемма 2. Любой квазицикл с непустым множеством ребер является объединением простых циклов, не имеющих общих ребер.

Доказательство. В квазицикле в любой компоненте связности, состоящей не менее чем из двух вершин, степени всех вершин не меньше 2, следовательно, в нем есть цикл, а, значит, и простой цикл. Взяв какой-нибудь простой цикл в и удалив его ребра из , снова получим квазицикл. Если в этом новом квазицикле есть хотя бы одно ребро, то в нем также имеется простой цикл, и т.д. В конце концов, когда останется пустой граф, будет построено семейство простых циклов, не имеющих общих ребер и в совокупности содержащих все ребра графа .

Теорема 1. Граф принадлежит множеству C[G] тогда и только тогда, когда он является квазициклом графа .

Доказательство. Всякий цикл является квазициклом. Так как элементы C[G] - это суммы циклов, то, по лемме 1, все они - квазициклы. Обратное утверждение (каждый квазицикл принадлежит C[G] ) следует из леммы 2, так как объединение циклов, не имеющих общих ребер, совпадает с их суммой.

Дальше >>

Авторизоваться

Графы и алгоритмы

Пространство циклов графа

Квазициклы

Вопросы и ответы