НОУ ИНТУИТ | Графы и алгоритмы. Лекция 6: Блоки

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского

Опубликован: 27.09.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 3858 / 211 | Оценка: 4.44 / 4.11 | Длительность: 13:45:00

Тема: Алгоритмы и дискретные структуры

Специальности: Программист, Математик

|

Вам нравится? Нравится 42 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Выявление блоков

Рассмотрим связный граф и в нем DFS-дерево , построенное поиском в глубину из стартовой вершины . Через F(x) будем обозначать отца вершины в этом дереве, при этом считаем, что F(a)=a . Будем также считать, что в процессе обхода графа вычисляются значения функций Dnum и Low , определенных в предыдущем разделе.

Пусть - блок графа, а - вершина этого блока с наименьшим значением Dnum(x) . Иначе говоря, - вершина блока, посещаемая при обходе первой. Среди сыновей вершины имеется единственная вершина , принадлежащая блоку . Вершину будем называть начальной вершиной, а ребро (x,y) - начальным ребром блока .

Теорема 4. Пусть x=F(y) в DFS-дереве . Ребро (x,y) является начальным ребром некоторого блока тогда и только тогда, когда $\Low(y)=\Dnum(x)$ .

Доказательство. Если x=a , то для каждого сына вершины имеет место равенство $\Low(y)=\Dnum(x)$ и ребро (x,y) является начальным ребром некоторого блока.

Пусть $x\ne a$ и (x,y) - начальное ребро блока . Предположим, что $\Low(y)\ne \Dnum(x)$ . Это означает, что имеется ребро, соединяющее некоторого потомка вершины с собственным предком вершины . Но тогда ребра (x,y) и (x,F(x)) оказываются циклически связанными, а отсюда следует, что вершина F(x) принадлежит блоку . Но это противоречит тому, что - начальная вершина блока, так как $\Dnum(F(x)) \lt \Dnum(x)$ .

Обратно, пусть $\Low(y)=\Dnum(x)$ . Тогда вершина является шарниром графа. Рассмотрим поддерево, состоящее из всех потомков вершины . Ни одна из вершин этого поддерева не смежна ни с одной отличной от вершиной вне поддерева. Значит, все вершины блока, содержащего ребро (x,y) , принадлежат этому поддереву, и (x,y) - начальное ребро этого блока.

В основе описываемого ниже алгоритма выявления блоков лежит рекурсивная процедура вычисления функции $\Low$ из предыдущего раздела. Напомним, что $\Low(x)$ есть наименьший из глубинных номеров вершин, смежных с потомками вершины . Переменная - счетчик блоков, B(k) - множество вершин блока с номером . В стеке накапливаются вершины графа, впервые встречающиеся в процессе обхода (т.е. превращающиеся из новых в открытые).

Множества вершин блоков строит процедура NewBlock. Она вызывается всякий раз, когда обнаруживается начальное ребро $(x,\,y)$ некоторого блока (выполняется равенство $\Low(y)=\Dnum(x)$ ). Эта процедура включает в новое множество B(k) вершины , и все вершины, находящиеся в стеке выше вершины . Эти вершины удаляются из стека (кроме вершины , которая является начальной вершиной блока и может принадлежать еще и другим блокам). Для обоснования алгоритма остается убедиться в том, что блок состоит именно из этих вершин. Доказательство можно провести индукцией по номеру блока . Вершина помещается в стек , когда она становится открытой, а условие $\Low(y)=\Dnum(x)$ проверяется для вершины тогда, когда она превращается в закрытую. Все вершины, помещаемые в стек между этими двумя событиями, будут потомками вершины в DFS-дереве, каждый потомок вершины будет помещен в стек после , и когда становится закрытой, все эти вершины уже закрыты. Если k=1 , то среди потомков вершины нет начальных вершин блоков (иначе номер этого блока был бы больше 1), следовательно, блок c начальным ребром (x,y) состоит из всех этих вершин и вершины . Если же $k \gt 1$ , то, по предположению индукции, все вершины других блоков, состоящих из потомков вершины , не принадлежащие блоку B(k) , к моменту обнаружения начального ребра (x,y) уже удалены из стека, следовательно, B(k) состоит в точности из , и вершин, находящихся в стеке выше вершины .