НОУ ИНТУИТ | Графы и алгоритмы. Лекция 4: Поиск в ширину

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского

Опубликован: 27.09.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 3853 / 211 | Оценка: 4.44 / 4.11 | Длительность: 13:45:00

Тема: Алгоритмы и дискретные структуры

Специальности: Программист, Математик

|

Вам нравится? Нравится 42 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

BFS-дерево и вычисление расстояний

Другая простая задача, для решения которой можно применить поиск в ширину, - построение каркаса. Напомним, что каркасом графа называется остовный лес, у которого области связности совпадают с областями связности графа. Каркас связного графа - остовное дерево.

Ребра, исследуемые в процессе обхода графа, можно разделить на две категории: если ребро соединяет активную вершину с новой вершиной , то оно классифицируется как прямое, в противном случае - как обратное. В зависимости от решаемой задачи прямые и обратные ребра могут подвергаться различной обработке.

Предположим, что алгоритм поиска в ширину применяется к связному графу. Покажем, что в этом случае по окончании обхода множество всех прямых ребер образует дерево. Действительно, допустим, что на некотором шаге работы алгоритма обнаруживается новое прямое ребро (x,y) , а множество прямых ребер, накопленных к этому шагу, образует дерево . Тогда вершина принадлежит дереву , а вершина не принадлежит ему. Поэтому при добавлении к дереву ребра (x,y) связность сохранится, а циклов не появится.

Итак, если применить поиск в ширину к связному графу и запомнить все прямые ребра, то получим каркас графа. Для произвольного графа будет получен лес, также, очевидно, являющийся каркасом.

Каркас, который будет построен описанным образом в результате поиска в ширину в связном графе, называется BFS-деревом. Его можно рассматривать как корневое дерево с корнем в стартовой вершине . BFS-дерево с заданным корнем , вообще говоря, не единственное - зависит от того, в каком порядке просматриваются окрестности вершин. Однако всякое BFS-дерево обладает свойством, на котором и основаны наиболее важные применения поиска в ширину. Каркас связного графа с корнем назовем геодезическим деревом, если для любой вершины путь из в в дереве является кратчайшим путем между и в графе .

Теорема 1. Любое BFS-дерево является геодезическим деревом.

Доказательство. Обозначим через D(i) множество всех вершин графа, находящихся на расстоянии от стартовой вершины . Работа алгоритма начинается с посещения стартовой вершины, т.е. единственной вершины, составляющей множество D(0) . При первом выполнении цикла while будут посещены и помещены в очередь все вершины из множества D(1) . Затем эти вершины будут одна за другой извлекаться из очереди, становиться активными, и для каждой из них будут исследоваться все смежные вершины. Те из них, которые еще не посещались, будут посещены и помещены в очередь. Но это как раз все вершины из множества D(2) (когда начинается исследование окрестностей вершин из D(1) , ни одна вершина из D(2) еще не посещалась и каждая из них смежна хотя бы с одной вершиной из D(1) ). Следовательно, каждая вершина из D(2) будет посещена после всех вершин из D(1) . Рассуждая далее таким образом, приходим к следующему выводу.

(А) Все вершины из D(i+1) будут посещены после всех вершин из D(i) , $i=0,1,\ldots$ .

Строгое доказательство легко провести индукцией по . Отметим еще следующий факт.

(Б) Если активной является вершина из D(i) , то в этот момент все вершины из D(i) уже посещены.

В самом деле, из (А) следует, что вершины из D(i) попадут в очередь после вершин из D(i-1) . Поэтому, когда первая вершина из D(i) становится активной, все вершины из D(i-1) уже закрыты. Значит, к этому моменту окрестности всех вершин из D(i-1) полностью исследованы, и, следовательно, все вершины из D(i) посещены.

Рассмотрим теперь момент работы алгоритма, когда активной является вершина $x\in D(i)$ и обнаруживается смежная с ней новая вершина . В BFS-дереве расстояние между и на 1 больше, чем расстояние между и . В графе расстояние между и не больше, чем i+1 , так как и смежны. Ввиду (А) это расстояние не может быть меньше , а ввиду (Б) оно не может быть равно . Значит, $y\in D(i+1)$ , т.е. в графе расстояние между и тоже на 1 больше, чем расстояние между и . Следовательно, если до какого-то момента работы алгоритма расстояния от каждой из посещенных вершин до стартовой вершины в графе и в дереве были равны, то это будет верно и для вновь посещаемой вершины. Поскольку это верно вначале, когда имеется единственная посещенная вершина (оба расстояния равны ), то это останется верным и тогда, когда будут посещены все вершины.

Итак, мы можем применить поиск в ширину для вычисления расстояний от стартовой вершины до всех остальных вершин графа - нужно только в процессе обхода для каждой посещаемой вершины определять расстояние от до в BFS-дереве. Это сделать легко: d(a,y)=d(a,x)+1 , где - активная вершина. Вначале устанавливаем d(a,a)=0 .

Если граф несвязен, некоторые расстояния будут бесконечными. Чтобы учесть эту возможность, положим вначале $d(a,x)=\infty$ для всех $x\ne a$ . Пока вершина остается новой, для нее сохраняется значение $d(a,x)=\infty$ , когда же она посещается, d(a,x) становится равным расстоянию между и и больше не меняется. Таким образом, бесконечность расстояния можно использовать как признак того, что вершина новая. Если по окончании работы $d(a,x)=\infty$ для некоторой вершины , это означает, что не достижима из , то есть принадлежит другой компоненте связности.

Для того чтобы не только определять расстояния, но и находить кратчайшие пути от до остальных вершин, достаточно для каждой вершины знать ее отца F(y) в BFS-дереве. Очевидно, что F(y)=x , где - вершина, активная в момент посещения вершины . Заполнение таблицы фактически означает построение BFS-дерева.