Подстановки, перестановки
Четность перестановок и подстановок
Будем говорить, что числа i и j в перестановке (...,i,...,j,...) образуют инверсию, если число i расположено левее, чем j, но i>j (в противном случае будем говорить, что числа i и j расположены в правильном порядке). Ясно, что сумма числа всех инверсией и числа всех порядков в любой перестановке из n чисел 1,2,...,n равна .
Пример 5.4.1. Число инверсий в перестановке (1,2,...,n) равно нулю, в перестановке (n,n-1,...,2,1) равно .
Удобный алгоритм подсчета числа инверсий: считаем, сколько инверсий образует 1 (все числа, находящиеся левее), после чего вычеркиваем 1 и переходим к 2 и т. д.
Теорема 5.4.2. Транспозиция в перестановке меняет четность числа инверсий.
Доказательство. Рассмотрим транспозицию элементов i и j:
Сначала рассмотрим случай "соседей": Так как при перестановке чисел i и j их отношение с числами, расположенными левее (как и правее) не изменяется, то число инверсий изменяется на единицу (т. е. ), следовательно, четность числа инверсий изменяется.Если же между числами i и j находится k элементов, то последовательно переставляя i с правыми соседними элементами k раз, потом с j, затем переставляя k раз элемент j с левыми соседними элементами, мы, проведя k+1+k=2k+1 транспозиций соседних элементов, осуществим транспозицию чисел i и j. Таким образом, четность изменилась.
Следствие 5.4.3. Число четных перестановок при равно числу нечетных перестановок и равно .
Доказательство. Расположив все n! перестановок, начиная, например, с (1,2,...,n), в список, в котором каждая следующая перестановка получается из предыдущей одной транспозицией, мы видим, что четные перестановки чередуются с нечетными, поэтому число четных перестановок равно числу нечетных и равно .
Четность подстановки
определяется как четность суммы числа инверсий в верхней строчке и числа инверсий в нижней строчке.Предложение 5.4.4. Четность подстановки не зависит от ее записи.
Доказательство. Если
две записи подстановки , то, переходя конечным числом транспозиций от перестановки (i_1,...,i_n) к перестановке (i'1,...,i'n), переставляя при этом соответствующие "столбики" приходим от нижней строчки к строчке . Перестановка двух "столбиков" является транспозицией в верхней и в нижней строчках, следовательно, меняется четность в верхней и в нижней строчках, в итоге четность суммы числа транспозиций в верхней и в нижней строчке при перестановке двух "столбиков" не изменится.Замечание 5.4.5. Подстановка, обратная к четной подстановке, четная. Действительно, если
четная, то четная.Четность произведения подстановок
Возможность использовать произвольную запись подстановки удобна для рассмотрения произведения:
откуда следуетЛемма 5.5.1 (о четности произведения).
Рассмотрим отображение
Замечание 5.5.2. Напомним, что {1,-1} - коммутативная группа относительно операции произведения. Действительно, произведение является операцией на {1,-1} ; эта операция ассоциативна и коммутативна; 1 - нейтральный элемент; (1)-1=1, (-1)-1=-1.
Следствие 5.5.3. Если , то:
(т. е. - гомоморфизм групп);Следствие 5.5.4. Если - разложение подстановки в произведение транспозиций , то .
Доказательство. Отметим только, что если - транспозиция, то .
Упражнение 5.5.5. для цикла (i_1... i_r) длины r, .
Теорема 5.5.6. Четные подстановки An являются группой (подгруппой в группе подстановок Sn ) при .
Доказательство. Так как произведение четных подстановок является четной подстановкой, то имеем операцию произведения на множестве An, которая ассоциативна. Тождественная подстановка четная и является нейтральным элементом в An. Если , то мы уже отметили, что .
Задача 5.5.7.Найти разбиение в классы сопряженных элементов групп A4, A5.
Задача 5.5.8. Группа An, , порождается тройными циклами (любой элемент группы An является произведением тройных циклов и обратных к ним; обратный элемент к тройному циклу сам является тройным циклом).
Указание Четная подстановка может быть представлена в виде произведения четного числа транспозиций, при различных i, j, k (i k)(i j)=(i j k), при различных i, j, k, l (i j)(k l)=(j k l)(i l j).