Операции над отношениями. Реляционная алгебра

Напомним, что алгеброй называется множество объектов с заданной на нем совокупностью операций, замкнутых относительно этого множества, называемого основным множеством.

Основным множеством в реляционной алгебре является множество отношений. Всего Э. Ф. Коддом было предложено 8 операций. В общем это множество избыточное, так как одни операции могут быть представлены через другие, однако множество операций выбрано из соображений максимального удобства при реализации произвольных запросов к БД. Все множество операций можно разделить на две группы: теоретико-множественные операции и специальные операции. В первую группу входят 4 операции. Три первые теоретико-множественные операции являются бинарными, то есть в них участвуют два отношения и они требуют эквивалентных схем исходных отношений.

Теоретико-множественные операции реляционной алгебры

Объединением двух отношений называется отношение, содержащее множество кортежей, принадлежащих либо первому, либо второму исходным отношениям, либо обоим отношениям одновременно.

Пусть заданы два отношения R₁ = { r₁ } , R₂ = { r₂}, где r₁ и r₂ - соответственно кортежи отношений R₁ и R₂, то объединение

\[ R_{1} \cup R_{2} = \{ r | r \in R_{1} \vee r \in R_{2}\} \] .

Здесь r — кортеж нового отношения, \[ \vee \] — операция логического сложения "ИЛИ".

Пример применения операции объединения приведен на рис. 4.1. Исходными отношениями являются отношения R₁ и R₂, которые содержат перечни деталей, изготавливаемых соответственно на первом и втором участках цеха. Отношение R₃ содержит общий перечень деталей, изготавливаемых в цеху, то есть характеризует общую номенклатуру цеха.

Пересечением отношений называется отношение, которое содержит множество кортежей, принадлежащих одновременно и первому и второму отношениям. R₁ и R₂:

\[ R_{3} = R_{1} \cap R2 =\{ r | r \in R1 \wedge r \in R_{2} \} \]

здесь \[ \wedge \] — операция логического умножения (логическое "И").

В отношении R₄ содержатся перечень деталей, которые выпускаются одновременно на двух участках цеха.

Разностью отношений R₁ и R₂ называется отношение, содержащее множество кортежей, принадлежащих R₁ и не принадлежащих R₂:

\[ R_{5} =R_{1} \setminus R_{2} =\{ r | r \in R1 \wedge r \notin R_{2}\} \]

Отношение R₅ содержит перечень деталей, изготавливаемых только на участке 1, отношение R₆ содержит перечень деталей, изготавливаемых только на участке 2.

\[ R_{6} =R_{2} \setminus R_{1} =\{ r | r \in R_{2} \wedge r \notin R_{1} \} \]

Следует отметить, что первые две операции, объединение и пересечение, являются коммутативными операциями, то есть результат операции не зависит от порядка аргументов в операции. Операция же разности является принципиально несимметричной операцией, то есть результат операции будет различным для разного порядка аргументов, что и видно из сравнения отношений R₅ и R₆.

В отличие от навигационных средств манипулирования данными в теоретико-графовых моделях операции реляционной алгебры позволяют получить сразу иной качественный результат, который является семантически гораздо более ценным и понятным пользователям. Например, сравнение результатов объединения и разности номенклатуры двух участков позволит оценить специфику производства: насколько оно уникально на каждом участке, и, в зависимости от необходимости, принять соответствующее решение по изменению номенклатуры.

Для демонстрации возможностей трех первых операций реляционной алгебры рассмотрим еще один пример — уже из другой предметной области. Исходными являются три отношения R₁ R₂ и R₃. Все они имеют эквивалентные схемы.

• R₁= (ФИО, Паспорт, Школа) ;
• R₂= (ФИО, Паспорт, Школа) ;
• R₃= (ФИО, Паспорт, Школа).

Рассмотрим ситуацию поступления в высшие учебные заведения, которая была характерна для периода, когда были разрешены так называемые репетиционные вступительные экзамены, которые сдавались раньше основных вступительных экзаменов в вуз. Отношение R₁ содержит список абитуриентов, сдававших репетиционные экзамены. Отношение R₂ содержит список абитуриентов, сдававших экзамены на общих условиях. И наконец, отношение R₃ содержит список абитуриентов, принятых в институт. Будем считать, что при неудачной сдаче репетиционных экзаменов абитуриент мог делать вторую попытку и сдавать экзамены в общем потоке, поэтому некоторые абитуриенты могут присутствовать как в первом, так и во втором отношении.

Ответим на следующие вопросы:

1. Список абитуриентов, которые поступали два раза и не поступили в вуз.

   \[ R = R_{1} \cap R_{2} \setminus R_{3} \]
2. Список абитуриентов, которые поступили в вуз с первого раза, то есть они сдавали экзамены только один раз и сдали их так хорошо, что сразу были зачислены в вуз.

   \[ R = (R_{1} \setminus R_{2} \cap R_{3}) \cup (R_{2} \setminus R_{1} \cap R_{3}) \]
3. Список абитуриентов, которые поступили в вуз только со второго раза.

   Прежде всего это те абитуриенты, которые присутствуют в отношениях R₁ и R₂, потому что они поступали два раза, и присутствуют в отношении R₃, потому что они поступили.

   \[ R=R_{1} \cap R_{2} \cap R_{3 } \]
4. Список абитуриентов, которые поступали только один раз и не поступили.

   Это прежде всего те абитуриенты, которые присутствуют в R₁ и не присутствуют в R₂, и те, кто присутствуют в R₂ и не присутствуют в R₁. И разумеется, никто из них не присутствует в R₃.

   \[ R = (R_{1} \setminus R_{2}) \cup (R_{2} \setminus R_{1}) \setminus R_{3} \]

В отсутствие скобок порядок выполнения операций реляционной алгебры естественный, поэтому сначала будут выполнены операции в скобках, а затем будет выполнена последняя операция вычитания отношения R₃.

Операции объединения, пересечения и разности применимы только к отношениям с эквивалентными схемами.

Кроме трех перечисленных операций в рамках реляционной алгебры определена еще одна теоретико-множественная операция — расширенное декартово произведение. Эта операция не накладывает никаких дополнительных условий на схемы исходных отношений, поэтому операция расширенного декартова произведения, обозначаемая \[ R_{1} \otimes R_{2} \] , допустима для любых двух отношений. Но прежде чем определить саму операцию, введем дополнительно понятие конкатенации, или сцепления, кортежей.

Сцеплением,или конкатенацией,кортежей c = <c₁, c₂, ..., c_n> и q = <q₁, q₂, ..., q_m> называется кортеж, полученный добавлением значений второго в конец первого. Сцепление кортежей c и q обозначается как (c , q).

(c, q) = <c₁, c2, ... , c_n, q₁, q₂, ..., q_m>

Здесь n — число элементов в первом кортеже с, m — число элементов во втором кортеже q.

Все предыдущие операции не меняли степени или арности отношений — это следует из определения эквивалентности схем отношений. Операция декартова произведения меняет степень результирующего отношения.

Расширенным декартовым произведением отношения R₁ степени n со схемой

S_R1 = (A₁, A₂, ... , A_n),

и отношения R₂ степени m со схемой

S_R2 = (B₁, B₂, ..., B_m),

называется отношение R₃ степени n+m со схемой

S_R3 = (A₁, A₂, ... , A_n, B₁, B₂, ..., B_m),

содержащее кортежи, полученные сцеплением каждого кортежа r отношения R₁ с каждым кортежем q отношения R₂.

То есть если R₁ = { r }, R₂ = { q }

\[ R_{1} \otimes R_{2} = \{ (r, q) | r \in R_{1} \wedge q \in R_{2}\} \]

Операцию декартова произведения с учетом возможности перестановки атрибутов в отношении можно считать симметричной. Очень часто операция расширенного декартова произведения используется для получения некоторого универсума — т. е. отношения, которое характеризует все возможные комбинации между элементами отдельных множеств. Однако самостоятельного значения результат выполнения операции обычно не имеет, он участвует в дальнейшей обработке. Например, на производстве в отношении R7 задана обязательная номенклатура деталей для всех цехов, а в отношении R8 дан перечень всех цехов.

Тогда отношение R₉, которое соответствует ситуации, когда каждый цех изготавливает все требуемые детали, будет выглядеть следующим образом:

В каких запросах нужно использовать расширенное декартово произведение? Эта операция моделирует некоторую ситуацию, которая характеризуется словом "все". Поэтому если нам надо узнать, какие детали в каких цехах из общей обязательной номенклатуры не выпускаются, то мы можем вычесть из полученного отношения R₉ отношение R₁₀, характеризующее реальный выпуск деталей в каждом цехе.

Отношение R₁₁, которое является результатом выполнения этой операции, имеет вид:

R₁₁ =R₉ \R₁₀

Группа теоретико-множественных операций избыточна, так, например, операцию пересечения можно заменить сочетанием операций объединения и разности.

\[ (R_{1} \cup R_{2}) \setminus (R_{1} \setminus R_{2}) \setminus (R_{2} \setminus R_{1}) \]

Однако это достаточно сложная формула, и именно поэтому все три теоретико-множественные операции вошли в базовый набор операций реляционной алгебры.

Далее мы переходим к группе операций, названных специальными операциями реляционной алгебры.