Математика и логика

Численные методы решения уравнений в частных производных

В программе рассматриваются вычислительные подходы к решению уравнений в частных производных, включая методы конечных разностей и конечных элементов.
Студентов 1925 Выпускников 343 Для всех
490 ₽ 1 200 ₽
или любая сумма на ваше усмотрение
Вы можете оплатить любую сумму, чтобы поддержать наш проект и авторов программы. Объем услуг не зависит от размера вашей оплаты.
Темы:
Математика
Объем
72 час.
Длительность
60 дней
Нагрузка в неделю
9 час.
Формат обучения
Дистанционно (самостоятельно)
Описание Эта учебная программа посвящена алгоритмам решения линейных и квазилинейных уравнений математической физики. В учебной программе изучаются разностные схемы, их устойчивость и применение к задачам теплопроводности и эволюционным уравнениям параболического, гиперболического и эллиптического типов. Материал выстроен вокруг применения многошаговых методов и метода конечных элементов для построения надежных вычислительных моделей. Учебная программа ориентирована на аналитиков, математикам и инженерам, занимающимся моделированием физических процессов и разработкой расчетных комплексов.
Цели
  • Дать представление о численных методах решения уравнений в частных производных.
  • Сформировать понимание принципов построения разностных схем.
  • Познакомить с основами метода конечных элементов.
Чему я научусь?
  • Использовать разностные схемы для эволюционных и стационарных уравнений.
  • Исследовать вычислительные алгоритмы на устойчивость и сходимость.
  • Решать задачи теплопроводности и гиперболические системы.

Авторы

Лобанов Алексей Иванович
Лобанов Алексей Иванович
Доктор физико-математических наук, профессор.
Чему я научусь?
  • Использовать разностные схемы для эволюционных и стационарных уравнений.
  • Исследовать вычислительные алгоритмы на устойчивость и сходимость.
  • Решать задачи теплопроводности и гиперболические системы.

Учебный план

№ Занятия
Экзамен экстерном Внимание! Экзамен экстерном не обязательный для сдачи. При желании вы можете его пройти, если хотите подтвердить свои знания по данному курсу без его изучения или поверить свои знания по нему. Экзамен экстерном можно сдать только один раз. 90 мин
1 Решение задачи Коши для жестких систем ОДУ Явление жесткости. Определение жесткой системы. Пример жесткой системы – уравнение Ван-Дер-Поля. Особенности поля фазовых скоростей ЖС... Явление жесткости. Определение жесткой системы. Пример жесткой системы – уравнение Ван-Дер-Поля. Особенности поля фазовых скоростей ЖС ОДУ Явные, неявные и диагонально неявные методы решения ЖС ОДУ. Их представление в виде таблицы Бутчера. Функция устойчивости метода Рунге-Кутты. A-устойчивость, L-устойчивость (асимптотическая устойчивость). ещё
2 Функции устойчивости неявных методов Рунге-Кутты и многошаговых методов "Функция устойчивости метода Рунге-Кутты. Построение функции устойчивости для модельной линейной задачи. Ее выражение через коэффициенты таблицы... "Функция устойчивости метода Рунге-Кутты. Построение функции устойчивости для модельной линейной задачи. Ее выражение через коэффициенты таблицы Бутчера. Жестко-устойчивые методы. Двухстадийные однократно о диагонально неявные методы второго и третьего порядка аппроксимации методов. ФДН-методы (многошаговые методы ""формулы дифференцирования назад""). Их представление через неопределенные коэффициенты. Условия порядка для многошагового метода. Функция устойчивости многошагового метода для решения ЖС ОДУ." ещё
3 Многошаговые методы для жестких систем ОДУ (окончание) и решение стационарного уравнения теплопроводности методом конечных элементов Многошаговые методы в представлении Нордсика. Семейство методов Розенброка. Численное решение уравнений в частных производных. Уравнение теплопроводности.... Многошаговые методы в представлении Нордсика. Семейство методов Розенброка. Численное решение уравнений в частных производных. Уравнение теплопроводности. Постановка задачи для уравнения теплопроводности. Стационарное уравнение теплопроводности. Самосопряженная форма уравнения. Основные идеи метода конечных элементов. ещё
Многошаговые методы для жестких систем ОДУ (окончание) и решение стационарного уравнения теплопроводности методом конечных элементов тест для курса Численные методы решения уравнений в частных производных 60 мин
4 Основы методов конечных элементов и простейшая разностная схема для уравнения теплопроводности Основные идеи метода конечных элементов. Вариационная форма метода конечных элементов (метод Ритца). Проекционная форма метода (метод... Основные идеи метода конечных элементов. Вариационная форма метода конечных элементов (метод Ритца). Проекционная форма метода (метод Галеркина) Базисные функции метода конечных элементов с финитным носителем. Численное решение нестационарного уравнения теплопроводности. Простейшая явная схема. ещё
5 Численное решение уравнения теплопроводности Численное решение нестационарного уравнения теплопроводности. Простейшая явная схема. Шаблон разностной схемы. Исследование на аппроксимацию. Первое дифференциальное... Численное решение нестационарного уравнения теплопроводности. Простейшая явная схема. Шаблон разностной схемы. Исследование на аппроксимацию. Первое дифференциальное приближение разностной схемы (ПДП). Решение нестационарного уравнения теплопроводности методом конечных элементов. Устойчивость разностной схемы для уравнения теплопроводности. Каноническая форма записи двухслойной разностной схемы. ещё
Численное решение уравнения теплопроводности тест для курса Численные методы решения уравнений в частных производных 60 мин
6 Устойчивость разностных схем для эволюционных уравнений и решение квазилинейного уравнения теплопроводности Устойчивость разностных схем. Спектральный признак устойчивости (фон Неймана). Неявная схема и схема Алена-Чена. Квазилинейное уравнение теплопроводности.... Устойчивость разностных схем. Спектральный признак устойчивости (фон Неймана). Неявная схема и схема Алена-Чена. Квазилинейное уравнение теплопроводности. Тестовая задача – задача Я.Б. Зельдовича о бегущей волне. Консервативные разностные схемы. Интегро-интерполяционный метод построения консервативных разностных схем. ещё
Устойчивость разностных схем для эволюционных уравнений и решение квазилинейного уравнения теплопроводности тест для курса Численные методы решения уравнений в частных производных 60 мин
7 Принцип замороженных коэффициентов и энергетический признак устойчивости Исследование нелинейной разностной схемы на устойчивость по принципу замороженных коэффициентов. Линеаризация схемы. Практический алгоритм исследования на... Исследование нелинейной разностной схемы на устойчивость по принципу замороженных коэффициентов. Линеаризация схемы. Практический алгоритм исследования на устойчивость. Разностный оператор, поиск его собственных значений и собственный функций. Самосопряженный оператор и энергетическая норма. Устойчивость по начальным данным. ещё
8 Знергетический признак устойчивости (продолжение) и решение многомерного уравнения теплопроводности Энергетический признак устойчивости (А.А. Самарского) (продолжение). Энергетическое тождество. Необходимое и достаточное условие устойчивости разностной схемы. Исследование... Энергетический признак устойчивости (А.А. Самарского) (продолжение). Энергетическое тождество. Необходимое и достаточное условие устойчивости разностной схемы. Исследование на устойчивость схемы Кранка–Никольсон. Разностные схемы для уравнения теплопроводности с несколькими пространственными переменными. Методы дробных шагов и переменных направлений (локально-одномерные). ещё
Знергетический признак устойчивости (продолжение) и решение многомерного уравнения теплопроводности тест для курса Численные методы решения уравнений в частных производных 60 мин
9 Методы дробных шагов и переменных направлений. Разностные схемы для уравнений гиперболического типа Численное решение уравнений гиперболического типа. Простейшие разностные схемы для одномерного волнового уравнения. Спектральная устойчивость схем. Число... Численное решение уравнений гиперболического типа. Простейшие разностные схемы для одномерного волнового уравнения. Спектральная устойчивость схем. Число Куранта. Характеристики. Области влияния. Условие устойчивости Куранта, Фридрихса и Леви. Система дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа. Характеристики системы. ещё
Методы дробных шагов и переменных направлений. Разностные схемы для уравнений гиперболического типа тест для курса Численные методы решения уравнений в частных производных 60 мин
10 Разностные схемы для систем уравнений гиперболического типа и теорема С.К.Годунова Система дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа (продолжение). Характеристики системы. Инварианты Римана. Разностные схемы в... Система дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа (продолжение). Характеристики системы. Инварианты Римана. Разностные схемы в инвариантах. Методы численного решения уравнения переноса. Простейшие схемы – явный левый уголок, явный правый уголок, схема Лакса, схема с центральной разностью. Диссипативная и дисперсионная ошибка. Первое дифференнциальное приближение, Г-форма и П-форма ПДП. Монотонные разностные схемы. Теорема С.К. Годунова (без доказательства). Построение разностных схем с помощью метода неопределенных коэффициентов. Понятие о гибридных схемах. ещё
11 Метод неопределенных коэффициентов и гибридные схемы Построение разностных схем с помощью метода неопределенных коэффициентов. Понятие о гибридных схемах (продолжение). Численные методы решения... Построение разностных схем с помощью метода неопределенных коэффициентов. Понятие о гибридных схемах (продолжение). Численные методы решения квазилинейных уравнений гиперболического типа (на примере уравнения Хопфа). Градиентная катастрофа. Дивергентные формы записи квазилинейных уравнений. Консервативные схемы. ещё
Метод неопределенных коэффициентов и гибридные схемы тест для курса Численные методы решения уравнений в частных производных 60 мин
12 Простейшая разностная схема для эллиптических уравнений и ее устойчивость "Численные методы решения уравнений эллиптического типа. Простейшая разностная схема ""крест"" для уравнений Лапласа или Пуассона в... "Численные методы решения уравнений эллиптического типа. Простейшая разностная схема ""крест"" для уравнений Лапласа или Пуассона в прямоугольной области. Устойчивость разностной схемы. Сеточный принцип максимума. Итерационные методы решения систем сеточных уравнений. Понятие о многосеточном методе (Р.П. Федоренко)." ещё
13 Идея попеременно-треугольного итерационного метода. Заключение Численные методы решения уравнений эллиптического типа (окончание). Схемы бегущего счета для уравнения теплопроводности (схема Саульева). Обобщение... Численные методы решения уравнений эллиптического типа (окончание). Схемы бегущего счета для уравнения теплопроводности (схема Саульева). Обобщение на многомерный случай – попеременно-треугольный итерационный метод (ПТИМ) для эллиптических уравнений. Теорема о сходимости ПТИМ (без доказательства). Обзор важных тем, оставшихся за рамками лекционного курса. ещё
Идея попеременно-треугольного итерационного метода. Заключение тест для курса Численные методы решения уравнений в частных производных 60 мин
Тренировочный экзамен Внимание! Тренировочный экзамен экстерном не обязательный для сдачи. При желании вы можете его пройти, если хотите проверить свои знания курса перед сдачей экзамена. Тренировочный экзамен можно сдавать сколько угодно один раз. 90 мин
Экзамен 60 мин

Какой документ я получу?

Сертификат

Выдаётся автоматически после успешного завершения программы.

Удостоверение о повышении квалификации

Выдается при наличии среднего специального или высшего образования (необходимые документы).

Стоимость программы

490 ₽ 1 200 ₽
или любая сумма на ваше усмотрение
Вы можете оплатить любую сумму, чтобы поддержать наш проект и авторов программы. Объем услуг не зависит от размера вашей оплаты.
^