Математика и логика

Математический анализ - 1

Программа знакомит с основами дифференциального исчисления, числовыми множествами и теорией пределов.
Студентов 1316 Выпускников 81 Для всех
690 ₽ 1 200 ₽
или любая сумма на ваше усмотрение
Вы можете оплатить любую сумму, чтобы поддержать наш проект и авторов программы. Объем услуг не зависит от размера вашей оплаты.
Объем
36 час.
Длительность
30 дней
Нагрузка в неделю
9 час.
Формат обучения
Дистанционно (самостоятельно)
Описание Курс закладывает математический фундамент, необходимый для изучения точных и инженерных наук. Изучение начинается с теории числовых множеств и последовательностей, после чего рассматриваются пределы и непрерывность функций. Значительная часть материалов посвящена дифференциальному исчислению — от правил нахождения производных до доказательства теорем о средних значениях. Также подробно разбираются методы раскрытия неопределенностей, разложение функций в ряды Тейлора и Маклорена и алгоритмы полного исследования функций. Обучение ориентировано на студентов технических специальностей, аналитиков и всех, кто стремится освоить строгий математический аппарат для решения прикладных задач.
Цели
  • Сформировать систематическое понимание теоретических основ математического анализа.
  • Развить навыки строгого логического вывода и доказательства математических утверждений.
  • Подготовить к использованию аппарата дифференциального исчисления в смежных дисциплинах.
  • Систематизировать знания о свойствах элементарных функций и методах их исследования.
Чему я научусь?
  • Вычислять пределы числовых последовательностей и функций различными методами.
  • Находить производные элементарных и сложных функций, используя правила дифференцирования.
  • Применять формулы Тейлора и Маклорена для приближенных вычислений и анализа функций.
  • Проводить полное исследование функций и строить их графики на основе анализа производных и асимптот.
  • Использовать правило Лопиталя для раскрытия математических неопределенностей.

Авторы

Ардаширова Елена Владимировна
Ардаширова Елена Владимировна
Преподавала в МГТУ им. Баумана на кафедре "Высшая математика".
Чему я научусь?
  • Вычислять пределы числовых последовательностей и функций различными методами.
  • Находить производные элементарных и сложных функций, используя правила дифференцирования.
  • Применять формулы Тейлора и Маклорена для приближенных вычислений и анализа функций.
  • Проводить полное исследование функций и строить их графики на основе анализа производных и асимптот.
  • Использовать правило Лопиталя для раскрытия математических неопределенностей.

Учебный план

№ Занятия
Экзамен экстерном Внимание! Экзамен экстерном не обязательный для сдачи. При желании вы можете его пройти, если хотите подтвердить свои знания по данному курсу без его изучения или поверить свои знания по нему. Экзамен экстерном можно сдать только один раз. 90 мин
1 Действительные числа и множества Вводится понятие множества. Даётся определение действительных чисел, модуля (абсолютной величины) и числовой прямой. Вводится понятие точной... Вводится понятие множества. Даётся определение действительных чисел, модуля (абсолютной величины) и числовой прямой. Вводится понятие точной верхней и нижней грани множества. ещё
Действительные числа и множества тест для курса Математический анализ - 1 80 мин
Числовая последовательность и ее предел тест для курса Математический анализ - 1 30 мин
2 Сходимость числовой последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие поcледовательности. Число е Изучаются вопросы сходимости последовательности. Вводится понятия ограниченной и монотонной последовательности. Дается определение бесконечно больших и бесконечно... Изучаются вопросы сходимости последовательности. Вводится понятия ограниченной и монотонной последовательности. Дается определение бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей, а также рассматриваются их свойства. Вводится число е. ещё
Сходимость числовой последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие поcледовательности. Число е тест для курса Математический анализ - 1 70 мин
3 Множества. Метод математической индукции Решаются задачи, связанные с понятием множества, подмножества, операций над множествами. Рассматриваются счётные множества. Определяются точные верхние... Решаются задачи, связанные с понятием множества, подмножества, операций над множествами. Рассматриваются счётные множества. Определяются точные верхние и нижние грани множества. Решаются задачи, связанные с понятием действительного числа и его модуля. С помощью метода математической индукции доказываются некоторые утверждения. ещё
4 Числовая последовательность и ее предел "Решаются задачи, связанные с понятием числовой последовательности и ее предела. Вычисляются пределы различных последовательностей, в том... "Решаются задачи, связанные с понятием числовой последовательности и ее предела. Вычисляются пределы различных последовательностей, в том числе методами ""деления на наибольшую степень"" и ""умножения на сопряженное"". Рассматривается вопрос сходимости некоторых последовательностей." ещё
5 Функция. Предел функции в точке и бесконечности. Теоремы о пределах Вводится понятие функции, рассматриваются способы задания функций. Даются определения предела функции в точке по Коши и... Вводится понятие функции, рассматриваются способы задания функций. Даются определения предела функции в точке по Коши и по Гейне и в терминах окрестностей. Доказываются теоремы о единственности предела, об ограниченности функции, имеющей предел , о переходе к пределу в неравенствах и пределе промежуточной функции. Даётся определение предела функции в бесконечности. ещё
Функция. Предел функции в точке и бесконечности. Теоремы о пределах тест для курса Математический анализ - 1 35 мин
6 Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства. Арифметические свойства пределов Вводится понятие бесконечно малых функций (б.м.ф.). Рассматриваются их свойства: сумма б.м.ф., произведение б.м.ф. на ограниченную и... Вводится понятие бесконечно малых функций (б.м.ф.). Рассматриваются их свойства: сумма б.м.ф., произведение б.м.ф. на ограниченную и др. Доказываются арифметические свойства пределов. Вводится понятие бесконечно большой функции и устанавливается связь между б.б.ф. и б.м.ф. ещё
Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства. Арифметические свойства пределов тест для курса Математический анализ - 1 55 мин
7 Непрерывность функции. Основные элементарные функции. Замечательные пределы. Операции над непрерывными функциями Вводятся различные определения непрерывности функции в точке, устанавливается связь между ними. Изучаются локальные свойства непрерывных функций.... Вводятся различные определения непрерывности функции в точке, устанавливается связь между ними. Изучаются локальные свойства непрерывных функций. Рассматриваются основные элементарные функции и доказывается их непрерывность на примере функции cos x. Вычисляются замечательные пределы и рассматриваются операции над непрерывными функциями. Вводится понятие сложной функции и изучается её непрерывность. ещё
Непрерывность функции. Основные элементарные функции. Замечательные пределы. Операции над непрерывными функциями тест для курса Математический анализ - 1 40 мин
8 Точки разрыва. Свойства функций, непрерывных на отрезке Вводится понятие точек разрыва функции и даётся их классификация. Рассматривается непрерывность справа и слева, на интервале... Вводится понятие точек разрыва функции и даётся их классификация. Рассматривается непрерывность справа и слева, на интервале и на отрезке. Изучаются свойства функций, непрерывных на отрезке: теоремы о нуле функции, о промежуточных значениях, теоремы Вейерштрасса. ещё
Точки разрыва. Свойства функций, непрерывных на отрезке тест для курса Математический анализ - 1 35 мин
9 Равномерная непрерывность. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентность. Символы о и О Вводится понятие равномерной непрерывности и изучается ее связь с непрерывностью. Для бесконечно малых функций вводятся понятие... Вводится понятие равномерной непрерывности и изучается ее связь с непрерывностью. Для бесконечно малых функций вводятся понятие порядка и эквивалентности. Доказываются теорема о замене бесконечно малых функций на эквивалентные и условие эквивалентности. Вводятся символы Ландау и изучаются асимптотические формулы. ещё
Равномерная непрерывность. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентность. Символы о и О тест для курса Математический анализ - 1 50 мин
10 Предел функции Доказывается существование предела функции с помощью определения Коши. Вычисляются пределы функций, применяя теорему об арифметических свойствах... Доказывается существование предела функции с помощью определения Коши. Вычисляются пределы функций, применяя теорему об арифметических свойствах предела. Раскрываются неопределенности с помощью разложения на множители, деления на наибольшую степень, умножения на сопряженное выражение, введения новой переменной. Решаются задачи с использованием замечательных пределов. ещё
11 Предел функции. Замечательные пределы Вычисляются пределы степенно-показательных функций, пределы на бесконечности. При решении используются замечательные пределы и теорема о замене... Вычисляются пределы степенно-показательных функций, пределы на бесконечности. При решении используются замечательные пределы и теорема о замене бесконечно малых функций на эквивалентные. ещё
12 Сравнение бесконечно малых функций. Асимптотические формулы Определяется порядок бесконечно малых функций. Доказывается эквивалентность бесконечно малых функций. Вычисляются пределы функций с помощью асимптотических... Определяется порядок бесконечно малых функций. Доказывается эквивалентность бесконечно малых функций. Вычисляются пределы функций с помощью асимптотических формул. ещё
13 Непрерывность, точки разрыва. Решение уравнений и неравенств Доказывается непрерывность функций, используя различные определения. Исследуются функции на непрерывность, определяются точки разрыва и их характер.... Доказывается непрерывность функций, используя различные определения. Исследуются функции на непрерывность, определяются точки разрыва и их характер. Решаются задачи о нахождении корней уравнения с помощью теоремы Больцано-Коши. Методом интервалов решаются неравенства. ещё
14 Производная. Дифференцируемость функции. Дифференциал функции Вводится понятие производной функции в точке, рассматривается её геометрический и физический смысл. Даются определение касательной и... Вводится понятие производной функции в точке, рассматривается её геометрический и физический смысл. Даются определение касательной и нормали к кривой и выводятся их уравнения. Понятия правой и левой производной функции в точке, бесконечной производной, гладкой функции рассматриваются на примерах. Вводится понятие дифференцируемой в точке функции, рассматривается связь дифференцируемости и существования производной. Доказывается непрерывность дифференцируемой функции. Даётся определение дифференциала функции и рассматривается его геометрический смысл. ещё
Производная. Дифференцируемость функции. Дифференциал функции тест для курса Математический анализ - 1 50 мин
15 Дифференцирование суммы, произведения и частного. Производные некоторых основных элементарных функций. Дифференцирование сложной функции Даются правила дифференцирования суммы, произведения и частного двух функций. Вычисляются производные функций Доказывается правило дифференцирования сложной... Даются правила дифференцирования суммы, произведения и частного двух функций. Вычисляются производные функций Доказывается правило дифференцирования сложной функции и рассматривается инвариантность формы дифференциала. ещё
Дифференцирование суммы, произведения и частного. Производные некоторых основных элементарных функций. Дифференцирование сложной функции тест для курса Математический анализ - 1 40 мин
16 Понятие обратной функции. Производная обратной функции. Производные гиперболических функций. Логарифмическое дифференцирование. Применение дифференциалов в приближённых вычислениях Вводится понятие обратной функции и формулируется правило её дифференцирования. Вычисляются производные функций , а также гиперболических... Вводится понятие обратной функции и формулируется правило её дифференцирования. Вычисляются производные функций , а также гиперболических функций. Составляется таблица производных основных элементарных функций. Рассматривается приём логарифмического дифференцирования для отыскания производной сложной функции. Выводится формула для приближённого вычисления значения функции. ещё
Понятие обратной функции. Производная обратной функции. Производные гиперболических функций. Логарифмическое дифференцирование. Применение дифференциалов в приближённых вычислениях тест для курса Математический анализ - 1 35 мин
17 Производные высших порядков. Дифференциалы высших порядков. Дифференцирование функции, заданной параметрически. Вектор-функция скалярного аргумента Вводится понятие производной высшего порядка, определяются правила вычисления производных суммы и произведения функций. Даётся определение дифференциала... Вводится понятие производной высшего порядка, определяются правила вычисления производных суммы и произведения функций. Даётся определение дифференциала высшего порядка и выводится его связь с производными. Рассматриваются функции, заданные параметрически, изучается вопрос их дифференцирования. Вводится понятие вектор-функции скалярного аргумента, её предела и непрерывности. Рассматривается производная вектор-функции по её аргументу. Формулируются правила дифференцирования. ещё
Производные высших порядков. Дифференциалы высших порядков. Дифференцирование функции, заданной параметрически. Вектор-функция скалярного аргумента тест для курса Математический анализ - 1 40 мин
18 Производная. Правила и формулы дифференцирования Вычисляются производные функций по определению. Вычисляются производные функций с помощью арифметических правил и таблицы производных элементарных... Вычисляются производные функций по определению. Вычисляются производные функций с помощью арифметических правил и таблицы производных элементарных функций. Вычисляются производные сложных функций. ещё
19 Правила и формулы дифференцирования. Геометрический и физический смысл производной Вычисляются производные степенно-показательных функций. Строятся касательные и нормали к графикам функции в точках, находится угол пересечения... Вычисляются производные степенно-показательных функций. Строятся касательные и нормали к графикам функции в точках, находится угол пересечения между кривыми. Решаются задачи, связанные со скоростью. ещё
20 Дифференцируемые функции и дифференциал. Приближенное вычисление значений функций Вычисляется дифференциал различных функций. С помощью дифференциала вычисляются приближённые значения функции.
21 Дифференцирование функций, заданных параметрически. Производная вектор-функции. Производные и дифференциалы высших порядков Вычисляются производные функций, заданных параметрически и производные вектор-функций. Вычисляются производные и дифференциалы высшего порядка для различных... Вычисляются производные функций, заданных параметрически и производные вектор-функций. Вычисляются производные и дифференциалы высшего порядка для различных функций, в том числе для заданных параметрически. ещё
22 Теоремы о среднем значении Формулируются и доказываются теоремы Роля, Лагранжа и Коши. Рассматриваются их взаимосвязь. Дается геометрическая интерпретация теорем Роля... Формулируются и доказываются теоремы Роля, Лагранжа и Коши. Рассматриваются их взаимосвязь. Дается геометрическая интерпретация теорем Роля и Лагранжа. ещё
Теоремы о среднем значении тест для курса Математический анализ - 1 35 мин
23 Раскрытие неопределенностей (правило Лопиталя) Рассматриваются неопределенности при вычислении пределов, формулируется и доказывается правило Лопиталя для их раскрытия. Рассматривается применение правила... Рассматриваются неопределенности при вычислении пределов, формулируется и доказывается правило Лопиталя для их раскрытия. Рассматривается применение правила Лопиталя при неопределtнностях. Рассматриваются конкретные примеры вычисления пределов. ещё
Раскрытие неопределенностей (правило Лопиталя) тест для курса Математический анализ - 1 30 мин
24 Формула Тейлора. Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций Выводится формула Тейлора для многочлена степени n, дается определение формулы Маклорена для многочлена. Вводится понятия формулы... Выводится формула Тейлора для многочлена степени n, дается определение формулы Маклорена для многочлена. Вводится понятия формулы Тейлора для функции и вычисляется остаточный член в форме Лагранжа. Рассматривается остаточный член в форме Пеано. Раскладываются по формуле Маклорена некоторые элементарные функции. Получение асимптотических оценок для элементарных функций из формулы Маклорена. ещё
Формула Тейлора. Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций тест для курса Математический анализ - 1 30 мин
25 Теоремы о среднем. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей Решаются задачи на применение теорем Роля, Лагранжа и Коши. С помощью правила Лопиталя раскрытия неопределенностей вычисляются... Решаются задачи на применение теорем Роля, Лагранжа и Коши. С помощью правила Лопиталя раскрытия неопределенностей вычисляются пределы. ещё
26 Формула Тейлора Раскладываются функции по формуле Тейлора и Маклорена. С помощью разложений Тейлора вычисляются приближённые значения. Используя основные... Раскладываются функции по формуле Тейлора и Маклорена. С помощью разложений Тейлора вычисляются приближённые значения. Используя основные разложения, вычисляются пределы. ещё
27 Признаки возрастания и убывания функции. Экстремум функции Дается определение монотонной функции и доказывается связь между интервалами знакопостоянства производной и монотонности функции. Изучаются достаточные... Дается определение монотонной функции и доказывается связь между интервалами знакопостоянства производной и монотонности функции. Изучаются достаточные условие возрастания функции в точке. Вводятся понятия локального экстремума, максимума и минимума. Рассматриваются необходимое и достаточное условия эстремума Проводится исследование функций на максимум и минимум при помощи второй производной. ещё
Признаки возрастания и убывания функции. Экстремум функции тест для курса Математический анализ - 1 50 мин
Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке. Направление выпуклости и точки перегиба кривой тест для курса Математический анализ - 1 30 мин
28 Асимптоты графика функции Даются определение асимптот: вертикальной, наклонной и горизонтальной. Доказываются формулы для вычисления коэффициентов наклонной асимптоты. Приводится схема... Даются определение асимптот: вертикальной, наклонной и горизонтальной. Доказываются формулы для вычисления коэффициентов наклонной асимптоты. Приводится схема построения графика функции. ещё
Асимптоты графика функции тест для курса Математический анализ - 1 45 мин
29 Исследование функций на экстремум с помощью производных высшего порядка. Вычисление корней уравнений методами хорд и касательных Проводится исследование функций на экстремум с помощью производных высшего порядка. Формулируется достаточное условие точки перегиба с... Проводится исследование функций на экстремум с помощью производных высшего порядка. Формулируется достаточное условие точки перегиба с помощью производных высшего порядка. Рассматривается метод хорд и касательных для решения уравнения. ещё
Исследование функций на экстремум с помощью производных высшего порядка. Вычисление корней уравнений методами хорд и касательных тест для курса Математический анализ - 1 25 мин
30 Монотонность функции. Локальные экстремумы Решаются задачи на нахождение интервалов возрастания и убывания функций. Проводится исследование функций на экстремум.
31 Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке. Направление выпуклости и точки перегиба кривой. Асимптоты графика функции Применяется правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке. Решаются прикладные задачи. Определяются интервалы выпуклости... Применяется правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке. Решаются прикладные задачи. Определяются интервалы выпуклости и точки перегиба. Строятся асимптоты для графиков функций. ещё
32 Построение графиков функции Проводится полное исследование функций и строятся их графики.
Самостоятельная работа тест для курса Математический анализ - 1 50 мин
Контрольная работа тест для курса Математический анализ - 1 50 мин
Тренировочный экзамен Внимание! Тренировочный экзамен экстерном не обязательный для сдачи. При желании вы можете его пройти, если хотите проверить свои знания курса перед сдачей экзамена. Тренировочный экзамен можно сдавать сколько угодно один раз. 90 мин
Экзамен 60 мин

Какой документ я получу?

Сертификат

Выдаётся автоматически после успешного завершения программы.

Удостоверение о повышении квалификации

Выдается при наличии среднего специального или высшего образования (необходимые документы).

Стоимость программы

690 ₽ 1 200 ₽
или любая сумма на ваше усмотрение
Вы можете оплатить любую сумму, чтобы поддержать наш проект и авторов программы. Объем услуг не зависит от размера вашей оплаты.
^