Математика и логика

Дифференциальные уравнения

В программе представлены знания по теории обыкновенных дифференциальных уравнений, включая методы их решения, исследование задачи Коши и начальные концепции вариационного исчисления. Материал служит надежным математическим фундаментом для изучения уравнений математической физики.
Студентов 2477 Выпускников 183 Для специалистов
690 ₽ 1 200 ₽
или любая сумма на ваше усмотрение
Вы можете оплатить любую сумму, чтобы поддержать наш проект и авторов программы. Объем услуг не зависит от размера вашей оплаты.
Объем
36 час.
Длительность
30 дней
Нагрузка в неделю
9 час.
Формат обучения
Дистанционно (самостоятельно)
Описание В рамках курса подробно разбираются фундаментальные аспекты теории дифференциальных уравнений: от простейших типов до сложных систем с постоянными коэффициентами. Предусмотрено освоение аналитических методов решения, применение преобразования Лапласа и знакомство с основами вариационного исчисления. Материал включает изучение задачи Коши, анализ устойчивости по Ляпунову и работу с уравнениями в частных производных первого порядка. Обучение помогает студентам, инженерам и аналитикам систематизировать знания в сфере математического моделирования. В процессе развиваются навыки строгого математического вывода и отрабатывается применение готовых алгоритмов для решения конкретных физических задач.
Цели
  • Сформировать системное понимание теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
  • Научить подбирать эффективные аналитические методы для различных математических моделей.
  • Подготовить к использованию вариационных методов и преобразования Лапласа на практике.
  • Обучить методам анализа устойчивости и качественного исследования решений.
Чему я научусь?
  • Решать обыкновенные дифференциальные уравнения разных порядков и их системы.
  • Находить решения линейных уравнений с помощью преобразования Лапласа.
  • Использовать методы вариационного исчисления и строить уравнения Эйлера.
  • Анализировать устойчивость решений по Ляпунову и определять первые интегралы.
  • Проверять задачу Коши на существование и единственность решения.

Авторы

Абрамов Александр Александрович
Абрамов Александр Александрович
Доктор физико-математических наук, профессор Московского физико-технического института, главный научный сотрудник Вычислительного центра им. А.А.Дородницына РАН.\n
Чему я научусь?
  • Решать обыкновенные дифференциальные уравнения разных порядков и их системы.
  • Находить решения линейных уравнений с помощью преобразования Лапласа.
  • Использовать методы вариационного исчисления и строить уравнения Эйлера.
  • Анализировать устойчивость решений по Ляпунову и определять первые интегралы.
  • Проверять задачу Коши на существование и единственность решения.

Учебный план

№ Занятия
Экзамен экстерном Внимание! Экзамен экстерном не обязательный для сдачи. При желании вы можете его пройти, если хотите подтвердить свои знания по данному курсу без его изучения или поверить свои знания по нему. Экзамен экстерном можно сдать только один раз. 90 мин
1 Простейшие типы уравнений В лекции даются основные понятия теории дифференциальных уравнений. Вводятся уравнения первого порядка, уравнения в полных дифференциалах... В лекции даются основные понятия теории дифференциальных уравнений. Вводятся уравнения первого порядка, уравнения в полных дифференциалах и уравнения с разделяющимися переменными. ещё
Простейшие типы уравнений тест для курса Дифференциальные уравнения 40 мин
2 Уравнения в полных дифференциалах Лекция посвящена уравнениям в полных дифференциалах. В ней даются условие интегрируемости Клеро-Эйлера, метод лагранжа вариации постоянных.... Лекция посвящена уравнениям в полных дифференциалах. В ней даются условие интегрируемости Клеро-Эйлера, метод лагранжа вариации постоянных. Рассказывается о решениях в квадратурах, задаче Коши и методе введения параметра. ещё
Уравнения в полных дифференциалах тест для курса Дифференциальные уравнения 40 мин
3 Уравнения высших порядков В лекции рассказывается об использование инвариантности уравнения относительно группы преобразований для понижения порядка уравнения. Изучаются некоторые... В лекции рассказывается об использование инвариантности уравнения относительно группы преобразований для понижения порядка уравнения. Изучаются некоторые конкретные типы уравнений, допускающих понижение порядка. ещё
Уравнения высших порядков тест для курса Дифференциальные уравнения 40 мин
4 Однородные и неоднородные линейные дифференциальные уравнения Лекция посвящена решениям однородных и неоднородных уравнения, в правой части которых квазимногочлен. Рассказывается о вещественной форме... Лекция посвящена решениям однородных и неоднородных уравнения, в правой части которых квазимногочлен. Рассказывается о вещественной форме записи вещественного решения уравнения с вещественными коэффициентами. ещё
5 Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами Первая краевая задача для линейного уравнения второго порядка. Простейшие задачи с сингулярно входящим малым параметром.
Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами тест для курса Дифференциальные уравнения 40 мин
6 Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Общие сведения о системах уравнений. Нормальная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, общий метод решения.
7 Поиск решения методом неопределенных коэффициентов Однородные системы. Неоднородные системы, в правой части которых квазимногочлен. Вещественная форма записи вещественного решения системы с... Однородные системы. Неоднородные системы, в правой части которых квазимногочлен. Вещественная форма записи вещественного решения системы с вещественными коэффициентами. ещё
8 Матричные формулы Экспонента от матрицы и ее вычисление. Матричная формула решения нормальной системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными... Экспонента от матрицы и ее вычисление. Матричная формула решения нормальной системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. ещё
Матричные формулы тест для курса Дифференциальные уравнения 40 мин
9 Преобразование Лапласа Свойства преобразования Лапласа, теоремы о представлении оригинала в виде интеграла от изображения, об однозначном восстановлении оригинала... Свойства преобразования Лапласа, теоремы о представлении оригинала в виде интеграла от изображения, об однозначном восстановлении оригинала и об отображении множеств квазимногочленов и правильных рациональных дробей. ещё
10 Применение преобразования Лапласа к решению дифференциальных уравнений Применение преобразования Лапласа к решению линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и систем таких уравнений. Операционный... Применение преобразования Лапласа к решению линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и систем таких уравнений. Операционный метод решения для систем. ещё
Применение преобразования Лапласа к решению дифференциальных уравнений тест для курса Дифференциальные уравнения 40 мин
11 Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера В лекции рассматривается простейшая задача вариационного исчисления, даются основные результаты. Рассматривается уравнение Эйлера и его применение... В лекции рассматривается простейшая задача вариационного исчисления, даются основные результаты. Рассматривается уравнение Эйлера и его применение для определения экстремального функционала. ещё
12 Теорема о достаточных условиях для минимума и задача о брахистохроне Некоторые свойства простейшей задачи вариационного исчисления. Примеры - задачи о брахистохроне и о поверхности вращения, имеющей... Некоторые свойства простейшей задачи вариационного исчисления. Примеры - задачи о брахистохроне и о поверхности вращения, имеющей минимальную площадь. ещё
13 Функционалы, зависящие от нескольких функций Функционалы, зависящие от нескольких функций. Функционалы, зависящие от от старших производных. Задача со свободным концом.
14 Изопараметрическая задача и задача Лагранжа В лекции рассматриваются изопериметрическая задача и задача Лагранжа.
Изопараметрическая задача и задача Лагранжа тест для курса Дифференциальные уравнения 40 мин
15 Исследование задачи Коши Вспомогательные сведения. Приближенные решения задачи Коши для нормальных систем дифференциальных уравнений. Теорема о сравнении двух приближенных... Вспомогательные сведения. Приближенные решения задачи Коши для нормальных систем дифференциальных уравнений. Теорема о сравнении двух приближенных решений задачи Коши. ещё
16 Теоремы существования и единственности задачи Коши и о продолжении решения Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальных систем дифференциальных уравнений. Теорема о продолжении решения.
17 Теорема об уравнении в вариациях и дифференцируемости решения по параметру задачи Коши Зависимость решения задачи Коши от параметров, входящих в уравнение, и от начальных данных (непрерывность, дифференцируемость, уравнение... Зависимость решения задачи Коши от параметров, входящих в уравнение, и от начальных данных (непрерывность, дифференцируемость, уравнение в вариациях). ещё
18 Уравнения неразрешенные относительно старшей производной Уравнение первого порядка, не разрешенное относительно производной, постановка задачи Коши. Теорема существования и единственности решения задачи... Уравнение первого порядка, не разрешенное относительно производной, постановка задачи Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Особые решения. ещё
Уравнения неразрешенные относительно старшей производной тест для курса Дифференциальные уравнения 40 мин
19 Автономные системы дифференциальных уравнений Основные свойства автономных систем. Положение равновесия. Классификация положений равновесия линейной автономной системы второго порядка.
20 Устойчивость по Ляпунову и первые интегралы Положение равновесия нелинейной автономной системы, устойчивость и асимптотическая устойчивость, теорема Ляпунова.
Устойчивость по Ляпунову и первые интегралы тест для курса Дифференциальные уравнения 40 мин
21 Первые интегралы Связь теории первых интегралов с теорией линейных однородных уравнений с частными производными первого порядка. Независимые первые... Связь теории первых интегралов с теорией линейных однородных уравнений с частными производными первого порядка. Независимые первые интегралы. Теорема о максимальном числе независимых первых интегралов. ещё
22 Линейные однородные уравнения с частными производными первого порядка Связь теории первых интегралов с теорией линейных однородных уравнений с частными производными первого порядка. Независимые первые... Связь теории первых интегралов с теорией линейных однородных уравнений с частными производными первого порядка. Независимые первые интегралы. Теорема о максимальном числе независимых первых интегралов. ещё
Линейные однородные уравнения с частными производными первого порядка тест для курса Дифференциальные уравнения 40 мин
23 Фундаментальные системы решений Уточнение теоремы существования и единственности решения задачи Коши. Однородные нормальные системы. Фундаментальные системы решений. Теорема Лиувилля-Остроградского.
24 Неоднородные нормальные системы. Метод вариации постоянных Неоднородные нормальные системы. Метод вариации постоянных. Следствия для одного уравнения (однородного и неоднородного) n-го порядка.
Неоднородные нормальные системы. Метод вариации постоянных тест для курса Дифференциальные уравнения 40 мин
25 Теорема Штурма Осцилляционные свойства решений однородного уравнения второго порядка, теорема Штурма и ее следствия.
Теорема Штурма тест для курса Дифференциальные уравнения 60 мин
26 Доказательство теоремы Жордана "Доказательство теоремы о возможности приведения матрицы линейного преобразования к жордановой форме
Тренировочный экзамен Внимание! Тренировочный экзамен экстерном не обязательный для сдачи. При желании вы можете его пройти, если хотите проверить свои знания курса перед сдачей экзамена. Тренировочный экзамен можно сдавать сколько угодно один раз. 90 мин
Экзамен 60 мин

Какой документ я получу?

Сертификат

Выдаётся автоматически после успешного завершения программы.

Удостоверение о повышении квалификации

Выдается при наличии среднего специального или высшего образования (необходимые документы).

Стоимость программы

690 ₽ 1 200 ₽
или любая сумма на ваше усмотрение
Вы можете оплатить любую сумму, чтобы поддержать наш проект и авторов программы. Объем услуг не зависит от размера вашей оплаты.
^