Компьютерные науки
Математика и логика

Нелинейные вычислительные процессы

Программа посвящена численным методам решения дифференциальных уравнений в частных производных. Изучаются разностные схемы высокого порядка, критерии монотонности, а также уравнения гиперболического и параболического типов.
Студентов 406 Выпускников 14 Для специалистов
690 ₽ 1 200 ₽
или любая сумма на ваше усмотрение
Вы можете оплатить любую сумму, чтобы поддержать наш проект и авторов программы. Объем услуг не зависит от размера вашей оплаты.
Темы:
Алгоритмы и сложность, Математика
Объем
36 час.
Длительность
30 дней
Нагрузка в неделю
9 час.
Формат обучения
Дистанционно (самостоятельно)
Описание Учебная программа посвящена алгоритмам моделирования процессов с разрывными решениями и большими градиентами. В учебной программе рассматриваются метод неопределенных коэффициентов А.С. Холодова, интегро-интерполяционный метод и способы построения мажорантных схем на неструктурированных сетках. Освоение выстроено от анализа устойчивости простейших схем переноса до решения прикладных краевых задач для эллиптических систем. Учебная программа будет полезна математикам-программистам, специалистам по вычислительной аэрогидродинамике и физикам-теоретикам.
Цели
  • Дать системное представление о современных методах численного моделирования.
  • Раскрыть принципы построения монотонных разностных схем высокого порядка.
  • Познакомить с алгоритмами решения нелинейных уравнений в частных производных.
Чему я научусь?
  • Разрабатывать и анализировать разностные схемы для гиперболических систем.
  • Применять численные методы для моделирования процессов теплопроводности.
  • Использовать неструктурированные сетки для решения краевых задач.

Авторы

Холодов Александр Сергеевич
Холодов Александр Сергеевич
Д.ф-м.н., профессор, чл.-кор. РАН, зав. кафедрой вычислительной математики МФТИ.\n
Чему я научусь?
  • Разрабатывать и анализировать разностные схемы для гиперболических систем.
  • Применять численные методы для моделирования процессов теплопроводности.
  • Использовать неструктурированные сетки для решения краевых задач.

Учебный план

№ Занятия
Экзамен экстерном Внимание! Экзамен экстерном не обязательный для сдачи. При желании вы можете его пройти, если хотите подтвердить свои знания по данному курсу без его изучения или поверить свои знания по нему. Экзамен экстерном можно сдать только один раз. 90 мин
1 Системы уравнений гиперболического типа (СУГТ) Характеристическая форма уравнений. Дивергентная форма уравнений. Сохранение дивергентной формы при преобразовании независимых переменных. Продолженные (расширенные) системы.
2 Постановка краевых условий и примеры систем уравнений гиперболического типа Постановка краевых условий. Примеры СУГТ – линейное уравнение 2-го порядка, уравнения газовой динамики и др. Их... Постановка краевых условий. Примеры СУГТ – линейное уравнение 2-го порядка, уравнения газовой динамики и др. Их характеристическая и дивергентная формы. ещё
Постановка краевых условий и примеры систем уравнений гиперболического типа тест для курса Нелинейные вычислительные процессы 60 мин
3 Разностные схемы для простейшего уравнения переноса Простейшее уравнение переноса (УП). Разностные схемы для УП в пространстве неопределенных коэффициентов. Условия аппроксимации и устойчивости.... Простейшее уравнение переноса (УП). Разностные схемы для УП в пространстве неопределенных коэффициентов. Условия аппроксимации и устойчивости. Некоторые методы регуляризации численных решений. Примеры простейших разностных схем. ещё
4 Критерии монотонности разностных схем Критерии монотонности разностных схем (Фридрихса, Годунова, Хартена, Ван Лира). Монотонные по Фридрихсу схемы в пространстве неопределенных... Критерии монотонности разностных схем (Фридрихса, Годунова, Хартена, Ван Лира). Монотонные по Фридрихсу схемы в пространстве неопределенных коэффициентов (схемы с положительной аппроксимацией). Схемы повышенного порядка аппроксимации для уравнения переноса. Невозможность построения линейных, монотонных по Фридрихсу схем с порядком аппроксимации выше первого (теорема Годунова). ещё
5 Схемы высокого порядка аппроксимации Наименее осциллирующие на разрывах схемы высокого порядка аппроксимации. Гибридные (TVD) схемы. Схемы повышенного порядка аппроксимации для... Наименее осциллирующие на разрывах схемы высокого порядка аппроксимации. Гибридные (TVD) схемы. Схемы повышенного порядка аппроксимации для уравнения переноса на нерасширяющихся сеточных шаблонах. Метод параметрической коррекции разностных схем. ещё
Схемы высокого порядка аппроксимации тест для курса Нелинейные вычислительные процессы 60 мин
6 Разностные схемы в пространстве сеточных функций Монотонные по Ван Лиру схемы повышенного порядка аппроксимации в пространстве сеточных функций. Обобщение критериев монотонности на... Монотонные по Ван Лиру схемы повышенного порядка аппроксимации в пространстве сеточных функций. Обобщение критериев монотонности на случай многослойных и неявных сеточных шаблонов. Монотонные по Ван Лиру схемы повышенного порядка аппроксимации для многослойных и нерасширяющихся сеточных шаблонов. ещё
7 Обобщение разностных схем для одномерных гиперболических систем уравнений Обобщение разностных схем для уравнения переноса на случай квазилинейной системы уравнений гиперболического типа. Консервативные схемы.
8 Обобщение разностных схем на многомерный случай Решение сеточных уравнений в случае неявных схем. Обобщение разностных схем для квазилинейной системы уравнений гиперболического типа... Решение сеточных уравнений в случае неявных схем. Обобщение разностных схем для квазилинейной системы уравнений гиперболического типа на многомерный случай. Методы расщепления по пространственным переменным в случае канонической области интегрирования. Методы на неструктурированных сетках для решения в сложных, в том числе многосвязных областях. ещё
Обобщение разностных схем на многомерный случай тест для курса Нелинейные вычислительные процессы 60 мин
9 Квазилинейные параболические уравнения и системы "Расщепление по ""физическим процессам"". Примеры: автомодельная задача о бегущей волне, одномерные уравнения Навье-Стокса. Постановка краевых задач.... "Расщепление по ""физическим процессам"". Примеры: автомодельная задача о бегущей волне, одномерные уравнения Навье-Стокса. Постановка краевых задач. Разностные схемы для простейшего уравнения теплопроводности. Условия аппроксимации и устойчивости." ещё
10 Разностные схемы для простейшего уравнения теплопроводности Разностные схемы для простейшего уравнения теплопроводности в пространстве неопределенных коэффициентов. Монотонные схемы (схемы с положительной аппроксимацией)... Разностные схемы для простейшего уравнения теплопроводности в пространстве неопределенных коэффициентов. Монотонные схемы (схемы с положительной аппроксимацией) с порядком аппроксимации O(dt,dr^2) и O(dt^2,dr^2). Обобщение разностных схем для уравнения теплопроводности на случай квазилинейных уравнений и систем параболического типа. ещё
11 Консервативные схемы для уравнений и систем параболического типа Обобщение разностных схем для квазилинейной системы уравнений параболического типа на многомерный случай. Методы расщепления по пространственным... Обобщение разностных схем для квазилинейной системы уравнений параболического типа на многомерный случай. Методы расщепления по пространственным переменным. ещё
Консервативные схемы для уравнений и систем параболического типа тест для курса Нелинейные вычислительные процессы 60 мин
12 Методы на неструктурированных сетках Методы на неструктурированных сетках для решения систем уравнений параболического типа в сложных, в том числе многосвязных... Методы на неструктурированных сетках для решения систем уравнений параболического типа в сложных, в том числе многосвязных областях интегрирования. ещё
13 Некоторые численные методы решения краевых задач для эллиптических уравнений Простейшее уравнение эллиптического типа и его разностные аппроксимации. Схемы с положительной аппроксимацией в случае регулярных и... Простейшее уравнение эллиптического типа и его разностные аппроксимации. Схемы с положительной аппроксимацией в случае регулярных и нерегулярных (неструктурированных) сеток. ещё
14 Примеры решения модельных и прикладных задач Системы уравнений гиперболического типа на графах (переходные ударно-волновые процессы в сетях). Примеры сетевых вычислительных моделей: уравнения... Системы уравнений гиперболического типа на графах (переходные ударно-волновые процессы в сетях). Примеры сетевых вычислительных моделей: уравнения мелкой воды, интенсивного дорожного движения, электроэнергетических сетей, дыхательной и кровеносной систем человека. Примеры расчетов модельных уравнений различными схемами: явная схема Куранта–Изаксона–Риса и ее консервативные варианты. Схемы П.Лакса, Лакса–Вендроффа, Маккормака, Бима–Уорминга, Русанова, трехслойная схема Головизнина. Неявные схемы Карлсона, Ландау–Меймана–Халатникова, Бабенко. Гибридные схемы и схемы со сглаживанием (Федоренко, Бориса – Бука, TVD-схемы). Высокоточные нелинейные монотонные схемы. Некоторые задачи, моделируемые уравнениями магнитогазодинамики, упруго-деформируемых тел и др. ещё
Примеры решения модельных и прикладных задач тест для курса Нелинейные вычислительные процессы 60 мин
Тренировочный экзамен Внимание! Тренировочный экзамен экстерном не обязательный для сдачи. При желании вы можете его пройти, если хотите проверить свои знания курса перед сдачей экзамена. Тренировочный экзамен можно сдавать сколько угодно один раз. 90 мин
Экзамен 60 мин

Какой документ я получу?

Сертификат

Выдаётся автоматически после успешного завершения программы.

Удостоверение о повышении квалификации

Выдается при наличии среднего специального или высшего образования (необходимые документы).

Стоимость программы

690 ₽ 1 200 ₽
или любая сумма на ваше усмотрение
Вы можете оплатить любую сумму, чтобы поддержать наш проект и авторов программы. Объем услуг не зависит от размера вашей оплаты.
^