Компьютерные науки

Численные методы решения уравнений математической физики

Программа по вычислительной математике, изучающая конечно-разностные, вариационные и проекционные методы на примерах задач газовой динамики и теплопроводности.
Студентов 106 Для специалистов
690 ₽ 1 200 ₽
или любая сумма на ваше усмотрение
Вы можете оплатить любую сумму, чтобы поддержать наш проект и авторов программы. Объем услуг не зависит от размера вашей оплаты.
Объем
36 час.
Длительность
30 дней
Нагрузка в неделю
9 час.
Формат обучения
Дистанционно (самостоятельно)
Описание Учебный курс рассматривает вычислительные подходы к решению уравнений в частных производных. Изучаются разностные схемы для эволюционных уравнений, их устойчивость и сходимость, численное решение параболических и гиперболических задач на примерах уравнений теплопроводности и газовой динамики, а также элементы вариационных и проекционных методов. Материал адресован студентам и исследователям в области прикладной математики и вычислительной физики.
Цели
  • Сформировать понимание свойств разностных схем.
  • Развить умение анализировать устойчивость и сходимость численных методов.
  • Подготовить к численному решению задач математической физики.
Чему я научусь?
  • Применять разностные схемы к эволюционным уравнениям.
  • Анализировать устойчивость численных схем.
  • Решать задачи теплопроводности и газовой динамики численно.

Авторы

Лобанов Алексей Иванович
Лобанов Алексей Иванович
Доктор физико-математических наук, профессор.
Петров Игорь Борисович
Петров Игорь Борисович
Доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой информатики МФТИ.
Чему я научусь?
  • Применять разностные схемы к эволюционным уравнениям.
  • Анализировать устойчивость численных схем.
  • Решать задачи теплопроводности и газовой динамики численно.

Учебный план

№ Занятия
Экзамен экстерном Внимание! Экзамен экстерном не обязательный для сдачи. При желании вы можете его пройти, если хотите подтвердить свои знания по данному курсу без его изучения или поверить свои знания по нему. Экзамен экстерном можно сдать только один раз. 90 мин
1 Исследование разностных схем для эволюционных уравнений на устойчивость и сходимость В лекции рассматриваются методы исследования устойчивости разностных схем для линейных эволюционных уравнений в частных производных (гиперболического... В лекции рассматриваются методы исследования устойчивости разностных схем для линейных эволюционных уравнений в частных производных (гиперболического и параболического типов) Обсуждается применение спектрального признака устойчивости, энергетического признака, условия Куранта, Фридрихса и Леви для гиперболических уравнений. Формулируется и доказывается теорема (В. С. Рябенького - П. Лакса) о связи аппроксимации, устойчивости и сходимости для линейных разностных схем ещё
Исследование разностных схем для эволюционных уравнений на устойчивость и сходимость тест для курса Численные методы решения уравнений математической физики 60 мин
2 Численное решение дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа на примере уравнения теплопроводности В лекции рассматриваются разностные схемы для решения линейного уравнения теплопроводности, нелинейного уравнения теплопроводности. Приводится пример интегро... В лекции рассматриваются разностные схемы для решения линейного уравнения теплопроводности, нелинейного уравнения теплопроводности. Приводится пример интегро - интерполяционного метода для построения разностных схем. Отдельно рассматриваются экономичные схемы решения многомерных задач для уравнения теплопроводности — переменных направлений, дробных шагов, Дугласа - Ганна ещё
Численное решение дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа на примере уравнения теплопроводности тест для курса Численные методы решения уравнений математической физики 60 мин
3 Численные методы решения уравнений в частных производных гиперболического типа (на примере уравнения переноса) В лекции дается понятие о простейших разностных схемах для решения линейного уравнения переноса. Приводится вид некоторых... В лекции дается понятие о простейших разностных схемах для решения линейного уравнения переноса. Приводится вид некоторых часто употребляемых схем. Обсуждаются способы конструирования гибридных разностных схем. Обсуждаются вопросы обобщения на квазилинейный случай. Дается первоначальное представление о способах регуляризации решений с большими градиентами. Вводится понятие схем с уменьшением полной вариации (TVD). Рассматриваются основные идеи метода конструирования разностных схем в пространстве неопределенных коэффициентов ещё
Численные методы решения уравнений в частных производных гиперболического типа (на примере уравнения переноса) тест для курса Численные методы решения уравнений математической физики 60 мин
4 Введение в методы численного решения уравнений газовой динамики Лекция не обязательна при первом прочтении книги. В лекции приводятся некоторые часто употребляемые численные методы решения... Лекция не обязательна при первом прочтении книги. В лекции приводятся некоторые часто употребляемые численные методы решения уравнений газовой динамики. Особое внимание уделено идее конструирования разностных схем из семейства сеточно - характеристических ещё
Введение в методы численного решения уравнений газовой динамики тест для курса Численные методы решения уравнений математической физики 60 мин
5 Численное решение уравнений в частных производных гиперболического типа с большими градиентами решений Лекция продолжает тему предыдущей лекции и также является необязательной. В ней рассматриваются некоторые идеи, нашедшие свое... Лекция продолжает тему предыдущей лекции и также является необязательной. В ней рассматриваются некоторые идеи, нашедшие свое применение для построения разностных схем решения задач механики сплошной среды. Рассматриваются способы построения гибридных схем для задач с большими градиентами решения, описываются идеи TVD - и ENO - схем. Вкратце описываются разностные схемы, построенные на основе решения задачи о распаде произвольного газодинамического разрыва (схемы С.К. Годунова) ещё
Численное решение уравнений в частных производных гиперболического типа с большими градиентами решений тест для курса Численные методы решения уравнений математической физики 60 мин
6 Численное решение уравнений в частных производных эллиптического типа на примере уравнений Лапласа и Пуассона "В лекции разбираются постановка простейшей разностной задачи для уравнений Лапласа и Пуассона в прямоугольной области (схема... "В лекции разбираются постановка простейшей разностной задачи для уравнений Лапласа и Пуассона в прямоугольной области (схема ""крест""). Дается обзор методов решения сеточных уравнений. Вкратце описываются идеи современных методов решения эллиптических уравнений в области произвольной геометрии — многосеточный метод и метод построения мажорантных разностных схем в пространстве неопределенных коэффициентов" ещё
Численное решение уравнений в частных производных эллиптического типа на примере уравнений Лапласа и Пуассона тест для курса Численные методы решения уравнений математической физики 60 мин
7 Понятие о методах конечных элементов Лекция дает первое представление о классе методов конечных элементов. Приводятся вариационная и проекционная постановки задачи. Рассматривается... Лекция дает первое представление о классе методов конечных элементов. Приводятся вариационная и проекционная постановки задачи. Рассматривается применение МКЭ к стационарным и нестационарным задачам. Вкратце обсуждаются вопросы устойчивости методов конечных элементов при решении нестационарных задач. Рассматривается общая схема применения методов конечных элементов к решению многомерных задач математической физики ещё
Понятие о методах конечных элементов тест для курса Численные методы решения уравнений математической физики 60 мин
8 Методы расщепления Лекция знакомит с идеями построения экономичных разностных схем для уравнений математической физики, основанных на методах покомпонентного... Лекция знакомит с идеями построения экономичных разностных схем для уравнений математической физики, основанных на методах покомпонентного расщепления (локально - одномерные схемы) и на принципах расщепления по физическим процессам ещё
Методы расщепления тест для курса Численные методы решения уравнений математической физики 60 мин
9 Применение вариационных принципов для построения разностных схем В необязательной лекции приводятся примеры использования вариационных принципов Лагранжа и Гамильтона для построения разностных схем на... В необязательной лекции приводятся примеры использования вариационных принципов Лагранжа и Гамильтона для построения разностных схем на основе вариации дискретного аналога лагранжиана (гамильтониана) системы. В Приложении на примере решения конкретной задачи по проектированию установки рассмотрены основные схемы распараллеливания численных методов ещё
Применение вариационных принципов для построения разностных схем тест для курса Численные методы решения уравнений математической физики 60 мин
10 Приложение. Параллельные вычисления на кластерах из персональных компьютеров в математической физике (В.Е.Карпов, А.И.Лобанов)
Тренировочный экзамен Внимание! Тренировочный экзамен экстерном не обязательный для сдачи. При желании вы можете его пройти, если хотите проверить свои знания курса перед сдачей экзамена. Тренировочный экзамен можно сдавать сколько угодно один раз. 90 мин
Экзамен 60 мин

Какой документ я получу?

Сертификат

Выдаётся автоматически после успешного завершения программы.

Удостоверение о повышении квалификации

Выдается при наличии среднего специального или высшего образования (необходимые документы).

Стоимость программы

690 ₽ 1 200 ₽
или любая сумма на ваше усмотрение
Вы можете оплатить любую сумму, чтобы поддержать наш проект и авторов программы. Объем услуг не зависит от размера вашей оплаты.
^