Компьютерные науки
Математика и логика

Основы вычислительной математики

Учебная программа посвящена вычислительной математике и численным методам. В программе рассматривается решение СЛАУ, интерполяция и анализ устойчивости алгоритмов.
Студентов 1605 Выпускников 538 Для специалистов
690 ₽ 1 200 ₽
или любая сумма на ваше усмотрение
Вы можете оплатить любую сумму, чтобы поддержать наш проект и авторов программы. Объем услуг не зависит от размера вашей оплаты.
Темы:
Алгоритмы и сложность, Математика
Объем
36 час.
Длительность
30 дней
Нагрузка в неделю
9 час.
Формат обучения
Дистанционно (самостоятельно)
Описание Эта учебная программа предлагает детальный разбор алгоритмов численного решения нелинейных уравнений, краевых задач и жестких систем дифференциальных уравнений. Слушатели знакомятся с вариационными методами, проблемой собственных значений и теоремами об устойчивости разностных схем. Материал выстроен как последовательное исследование точности и сходимости вычислительных процедур. Темы охватывают путь от задач дифференцирования до современных методов решения многошаговых систем и проблем устойчивости на различных траекториях. Программа необходима для реализации точных и быстрых расчетов в рамках разработки научного программного обеспечения и физико-математических исследований.
Цели
  • Сформировать понимание принципов численного моделирования математических процессов.
  • Раскрыть механизмы решения систем линейных и нелинейных уравнений.
  • Познакомить с методами численного интегрирования дифференциальных уравнений.
Чему я научусь?
  • Выбирать и реализовывать оптимальные численные методы для решения инженерных задач.
  • Анализировать погрешности вычислений и обеспечивать сходимость итерационных процессов.
  • Применять методы интерполяции и аппроксимации для обработки данных.

Авторы

Лобанов Алексей Иванович
Лобанов Алексей Иванович
Доктор физико-математических наук, профессор.
Чему я научусь?
  • Выбирать и реализовывать оптимальные численные методы для решения инженерных задач.
  • Анализировать погрешности вычислений и обеспечивать сходимость итерационных процессов.
  • Применять методы интерполяции и аппроксимации для обработки данных.

Учебный план

№ Занятия
Экзамен экстерном Внимание! Экзамен экстерном не обязательный для сдачи. При желании вы можете его пройти, если хотите подтвердить свои знания по данному курсу без его изучения или поверить свои знания по нему. Экзамен экстерном можно сдать только один раз. 90 мин
1 Задачи численного дифференцирования и алгебраической интерполяции Введение. Историческая справка. Основные задачи и проблемы.
Задачи численного дифференцирования и алгебраической интерполяции тест для курса Основы вычислительной математики 60 мин
2 Задача алгебраической интерполяции (продолжение) Теорема о существовании и единственности решения задачи алгебраической интерполяции. Остаточный член интерполяции. Разделенные разности. Интерполяционный полином... Теорема о существовании и единственности решения задачи алгебраической интерполяции. Остаточный член интерполяции. Разделенные разности. Интерполяционный полином в форме Ньютона. Обусловленность задачи интерполяции. Постоянная Лебега. Минимизация остаточного члена интерполяции. Сетки с узлами из нолей полиномов Чебышёва. Полиномы Чебышева первого рода. ещё
3 Задача алгебраической интерполяции (окончание) и интерполяция сплайнами Полиномы Чебышёва первого рода (окончание). Ноли полинома Чебышёва. Задача о полиноме, наименее уклоняющемся от ноля. Интерполяция... Полиномы Чебышёва первого рода (окончание). Ноли полинома Чебышёва. Задача о полиноме, наименее уклоняющемся от ноля. Интерполяция сплайнами (Шонберга) Экстремальные свойства сплайна. Система уравнений для моментов кубического сплайна. Система линейных уравнений с трехдиагональной матрицей. Метод решения системы – метод прогонки. ещё
4 Интерполяция сплайнами (окончание). Задача численного интегрирования Условие устойчивости прогонки – условие диагонального преобладания. Сплайны произвольной степени. Порядок и дефект сплайна. Кусочно-линейная интерполяция.... Условие устойчивости прогонки – условие диагонального преобладания. Сплайны произвольной степени. Порядок и дефект сплайна. Кусочно-линейная интерполяция. Сплайны с конечным носителем (В-сплайны). В-сплайн порядков 1 и 3. Базис в пространстве сплайн-интерполяций. Интерполяция с помощью В-сплайнов. Локальные сплайны (В.С.Рябенького). Задача численного интегрирования. Квадратурные формулы интерполяционного типа. ещё
Интерполяция сплайнами (окончание). Задача численного интегрирования тест для курса Основы вычислительной математики 60 мин
5 Задача численного интегрирования (окончание). Численные методы линейной алгебры Квадратурные формулы интерполяционного типа. Основные квадратурные формулы – трапеций, Симпсона. Оценка погрешности формул численного интегрирования. Формула... Квадратурные формулы интерполяционного типа. Основные квадратурные формулы – трапеций, Симпсона. Оценка погрешности формул численного интегрирования. Формула Симпсона на равномерной сетке. Погрешность формулы Симпсона. Правило 3/8. Правильные квадратурные формулы. Устойчивость задачи численного интегрирования. Повышение точности квадратурных формул – экстраполяция Ричардсона. Вычисление интегралов от функции, имеющей особенность. Квадратурные формулы Гаусса. Полиномы Лежандра. Численные методы линейной алгебры. Нормы векторов. Норма матрицы, согласованная с нормой вектора. ещё
Задача численного интегрирования (окончание). Численные методы линейной алгебры тест для курса Основы вычислительной математики 60 мин
6 Прямые и итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений Норма матрицы, согласованная с нормой вектора. Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Прямые и... Норма матрицы, согласованная с нормой вектора. Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Прямые и итерационные методы. Метод Гаусса. Метод Гаусса с выбором главного (ведущего) элемента. Число обусловленности СЛАУ. Метод простых итераций. Каноническая форма записи двухслойного итерационного метода. Невязка. Условие сходимости метода простых итераций. Выбор оптимального значения итерационного параметра для систем с самосопряженной положительной матрицей. Скорость сходимости метода простых итераций с оптимальным выбором параметра. ещё
7 Сходимость итерационных методов решения СЛАУ Устойчивость метода простых итераций. Двуслойный метод простой итерации с оптимальным набором параметров. Чебышевский набор итерационных параметров.... Устойчивость метода простых итераций. Двуслойный метод простой итерации с оптимальным набором параметров. Чебышевский набор итерационных параметров. Устойчивость метода простой итерации с Чебышёвским набором параметров. Упорядочевание параметров. Неявные итерационные методы, их запись в каноническом виде. Методы Якоби, Зейделя, верхней релаксации. Энергетическая норма. Вариационные методы решения СЛАУ с самосопряженной положительной матрицей. Функционал энергии. ещё
8 Вариационные методы решения СЛАУ и проблема собственных значений Функционал энергии. Эквивалентность решения задач о минимизации функционала энергии и решения СЛАУ. Метод наискорейшего спуска. Метод... Функционал энергии. Эквивалентность решения задач о минимизации функционала энергии и решения СЛАУ. Метод наискорейшего спуска. Метод минимальных невязок. Метод сопряженных градиентов. Базис Крылова. Проблема собственных значений. Поиск наибольшего числа самосопряженной матрицы степенным методом. ещё
9 Проблема собственных значений (окончание). Методы решения нелинейных алгебраических уравнений и систем Самосопряженная проблема собственных значений. Метод обратной итерайии для поиска собственного числа, наиболее близкого к заданному. Метод... Самосопряженная проблема собственных значений. Метод обратной итерайии для поиска собственного числа, наиболее близкого к заданному. Метод вращений. Методы решения нелинейных алгебраических уравнений. Принцип сжимающих отображений. Метод простой итерации. Условие сходимости метода простой итерации. Скорость сходимости итерационного метода. Оптимизация метода простой итерации. Метод Ньютона (метод касательных) Геометрическая интерпретация метода простых итераций – лестница Ламерея. Геометрическая интерпретация метода Ньютона. Метод Ньютона для системы нелинейных уравнений. ещё
Проблема собственных значений (окончание). Методы решения нелинейных алгебраических уравнений и систем тест для курса Основы вычислительной математики 60 мин
10 Методы решения нелинейных алгебраических уравнений (окончание) Простейшие численные методы для решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Теорема о квадратичной сходимости метода... Простейшие численные методы для решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Теорема о квадратичной сходимости метода Ньютона. Численное решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений – задача Коши Сетка и сеточная функция. Аппроксимация. Простейший способ аппроксимации – метод конечных разностей. Определения аппроксимации, устойчивости и сходимости. Метод Эйлера-Коши. Аппроксимация первого порядка, исследование явного метода Эйлера на аппроксимацию. Теорема о связи аппроксимации, устойчивости и сходимости (основная теорема вычислительной математики, теорема П.Лакса и В.С.Рябенького). ещё
Методы решения нелинейных алгебраических уравнений (окончание) тест для курса Основы вычислительной математики 60 мин
11 Основная теорема вычислительной математики. Методы Рунге-Кутты для решения систем ОДУ "Идея доказательства основной теоремы. Явные методы Рунге-Кутты. Запись явного матода Рунге-Кутты через неопределенные коэффициенты. Представление метода... "Идея доказательства основной теоремы. Явные методы Рунге-Кутты. Запись явного матода Рунге-Кутты через неопределенные коэффициенты. Представление метода в виде таблицы Бутчера. Исследование на аппроксимацию методов Рунге-Кутты. Условия порядка для явного двухстадийного метода. Однопараметрическое семейство явных двухстадийных методов Рунге-Кутты. Условия порядка для методов с большим числом стадий, необязательное условие Кутты. Четырехстадийные методы Рунге-Кутты – ""классический"" и ""правило 3/8"". Барьеры Бутчера. Теорема об устойчивости методов Рунге-Кутты с правой частью системы, непрерывной по Липшицу. Устойчивость явных методов на устойчивых траектория системы ОДУ." ещё
12 Устойчивость методов Рунге-Кутты на различных траекториях и многошаговые методы "Устойчивость явных методов на устойчивых траектория системы ОДУ. Устойчивость численных методов на ""не неустойчивой"" траекториии Понятие... "Устойчивость явных методов на устойчивых траектория системы ОДУ. Устойчивость численных методов на ""не неустойчивой"" траекториии Понятие о жестких системах обыкновенных дифференциальных уравнений (ЖС ОДУ). Консервативность численных методов. Нарушение законов сохрания при использовании явных методов Рунге-Кутты на примере уравнения колебаний маятника. Необходимость построения неявных методов. Методы Адамса (линейные многошаговые методы). Исследование многошагового метода на устойчивость." ещё
Устойчивость методов Рунге-Кутты на различных траекториях и многошаговые методы тест для курса Основы вычислительной математики 60 мин
13 Численное решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений – Краевые задачи Основные методы решения линейной краевой задачи для уравнения Штурма-Лиувилля. Метод построения общего решения. Метод разностной прогонки.... Основные методы решения линейной краевой задачи для уравнения Штурма-Лиувилля. Метод построения общего решения. Метод разностной прогонки. Разностные схемы повышенного порядка аппроксимации – аппроксимация Нумерова. Методы решения нелинейных краевых задач. Сведение к задаче Коши. Метод стрельбы. Метод линеаризации (метод Ньютона) ещё
Численное решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений – Краевые задачи тест для курса Основы вычислительной математики 60 мин
Тренировочный экзамен Внимание! Тренировочный экзамен экстерном не обязательный для сдачи. При желании вы можете его пройти, если хотите проверить свои знания курса перед сдачей экзамена. Тренировочный экзамен можно сдавать сколько угодно один раз. 90 мин
Экзамен 60 мин

Какой документ я получу?

Сертификат

Выдаётся автоматически после успешного завершения программы.

Удостоверение о повышении квалификации

Выдается при наличии среднего специального или высшего образования (необходимые документы).

Стоимость программы

690 ₽ 1 200 ₽
или любая сумма на ваше усмотрение
Вы можете оплатить любую сумму, чтобы поддержать наш проект и авторов программы. Объем услуг не зависит от размера вашей оплаты.
^