Понятие устойчивости систем и связанные с ним другие понятия первоначально были введены и исследованы для непрерывных систем [40], [41] и позже были распространены на класс дискретных линейных систем (ДЛС) [64]. Что касается ДЛС, то их задание возможно над различными полями: либо над полем $$GF(p) $$, как это сделано в случае линейных автоматов, либо над полем R вещественных чисел, либо над полем $$Z$$ комплексных чисел. Ниже основное внимание будет сосредоточено на линейных автоматах, заданных над полем $$GF(p) $$, и ДЛС, заданных над полем $$R$$.
Напомним предварительно некоторые определения из [64], которые понадобятся в дальнейшем. Поскольку понятие
Определение 13.1. ЛА $$\tilde A$$, заданный над полем $$GF(p) $$ уравнением
$$\bar s(t+1)=A\bar s(t)+B\bar u(t)$$называется свободным, если $$\bar u(t)=[0]$$ для любого $$t$$.
Определение 13.2. Состояние $$\bar s$$ свободного ЛА $$\tilde A$$ называется состоянием равновесия, если для любого $$t$$
$$\bar s=\bar s(t)$$Из этих определений следует, что состояние равновесия свободного ЛА должно удовлетворять равенству
$$\bar s=A\bar s$$Из (13.1) вытекает справедливость следующего утверждения.
Теорема 13.1. Нулевое состояние является состоянием равновесия любого свободного ЛА.
Рассматривая (13.1) как СЛАУ относительно неизвестных $$s_1, \dots s_n$$, являющихся компонентами вектора $$\bar s$$, нахождение состояния равновесия ЛА сводится к решению этой системы.
Понятно, что число состояний равновесия ЛА равно числу решений системы (13.1). Если определитель $$|A-E|$$ этой системы равен 0, где $$E$$ - единичная матрица, то ЛА имеет единственное (нулевое) состояние равновесия, в противном случае их существует конечное число, но больше одного.
В качестве примера рассмотрим ЛА над полем $$GF(2) $$ со следующей главной характеристической матрицей
$$A= \left [ \begin {matrix} 0111\\ 1011\\ 0001\\ 0010 \end {matrix} \right ] $$Система (13.1) в координатной форме в данном случае примет вид
$$s_1+s_2+s_3+s_4 = 0, \\ s_1+s_2+s_3+s_4 = 0,\\ s_3+s_4=0, \\ s_3+s_4=0$$Здесь операция "+" понимается как сложение по модулю 2.
Поскольку ранг матрицы $$A$$ равен 2, то система (13.2) имеет только два линейно независимых уравнения. Выберем в качестве таковых первое и третье уравнения. Считая переменные $$s_2$$ и $$s_4$$ свободными, выразим через них остальные переменные:
$$s_1=s_2+s_3+s_4=s_2,\\ s_3=s_4..$$Придавая значения 0 и 1 свободным переменным, получаем искомые состояния равновесия:
$$[0,0,0,0]', [0,0,1,1]', [1,1,0,0]', [1,1,1,1]'$$Определение 13.3. Состояние равновесия $$\bar s$$ свободного ЛА $$\tilde A$$ назовем асимптотически устойчивым, если
$$\forall \bar s \in S_n \exists k \in N t>k \to \bar s(t)=\bar s$$Через $$N$$ здесь обозначено множество натуральных чисел.
Содержательно последнее определение означает, что после отклонения ЛА от состояния равновесия он возвращается в это состояние после подачи на вход нулевой последовательности некоторой подходящей длины.
В рассмотренном выше примере ЛА ни одно из четырех состояний равновесия не является асимптотически устойчивым. В самом деле, вычисления показывают, что если этот ЛА стартует в состояниях $$[1,0,0,0]'$$ или $$]0,1,0,0]'$$, то при нулевой входной последовательности эти состояния переходят только друг в друга. Аналогичная ситуация имеет место и с состояниями $$[0,1,1,1]'$$ и $$[1,0,1,1]'$$, $$[0,0,0,1]'$$ и $$[1,1,1,0]'$$, $$[0,0,1,0]'$$ и $$[1,1,1,0]'$$, $$[0,1,0,1]'$$ и $$[0,1,1,0]'$$, $$[1,0,0,1]'$$ и $$[1,0,1,0]'$$.
Найдем условие, при котором состояние равновесия является асимптотически устойчивым. Из определения 13.3 и формулы (1.3) следует, что для асимптотически устойчивого состояния равновесия $$\bar s$$ должно существовать такое натуральное число $$k$$, что
$$\bar s=A^k\bar s(0)=A^k \tilde s(0)$$где $$\bar s(0), \tilde s(0)$$ - различные произвольные начальные состояния ЛА.
Вычитая одно равенство из другого, получим
$$A^k[\bar s(0)-\tilde s(0)]=[0]$$В силу произвольности состояний $$\bar s(0)$$ и $$\tilde s(0)$$ их разность может быть любым ненулевым вектором $$\hat s$$. Поэтому последнее равенство примет вид
$$A_k \hat s=[0]$$и оно должно выполняться для любого вектора $$\hat s \in S_n$$. Из этого факта вытекает, что однородная СЛАУ относительно координат вектора $$\hat s$$ имеет не единственное решение и таковыми для нее являются любые ненулевые вектора. Последнее обстоятельство позволяет сформулировать два следующих утверждения.
Теорема 13.2. Если свободный ЛА над полем $$GF(p) $$ имеет
Теорема 13.3. Для того чтобы свободный ЛА над полем $$GF(p) $$ имел
Из сопоставления последней теоремы с теоремой 1.1 вытекает справедливость следующего утверждения.
Теорема 13.4. Для того чтобы ЛА над полем $$GF(p) $$ имел
Напомним, что синхронизируемым называется такой ЛА, у которого существует СП.
Таким образом, для свободного ЛА над полем $$GF(p) $$ наличие асимптотически устойчивого состояния эквивалентно его синхронизируемости.
Попробуем провести параллель между
Состояние $$\bar s$$ свободной ДЛС асимптотически устойчиво, если
$$\lim_{t \to \infty}[\bar s(t)-\bar s]=[0] $$Областью асимптотической устойчивости ДЛ называется множество $$M$$ всех таких его состояний, что траектории ДЛС, начинающиеся в любом состоянии из $$M$$, при достаточно длинной нулевой входной последовательности заканчиваются в состоянии равновесия.
Состояние равновесия ДЛС устойчиво в большом, если существует только одно состояние равновесия и если областью
ДЛС над полем R по существу можно считать аналогом линейного автомата над полем $$GF(p) $$. Используя для свободных ЛА над полем $$GF(p) $$ аналоги только что приведенных понятий, на основании теоремы 13.3 можно сделать вывод, что для них понятия
Что касается устойчивости ДЛС над полем $$R$$, то она включает устойчивость по начальным условиям и устойчивость к внешним возмущениям.
Аналог этого понятия для ЛА введем следующим образом.
Определение 13.4. ЛА над полем $$GF(p) $$ назовем устойчивым, если в случае, когда для любого $$t$$ входной сигнал $$\bar u(t)=[0]$$,
$$\exists t_0 \in N\\ t \ge t_0 \to \bar s(t)=[0]$$Это определение по существу есть аналог устойчивости ЛА только по начальным условиям. Вторая же составляющая понятия устойчивости, устойчивость к внешним возмущениям, для ЛА над полем $$GF(p) $$ всегда имеет место, поскольку множества состояний и входов для ЛА являются ограниченными.
Как правило, для выполнения своих функций система должна постоянно находиться в некотором определенном состоянии фазового пространства, из которого она может быть выведена возникающими внешними возмущениями. В этом случае появляется необходимость в возвращении системы в упомянутое состояние всякий раз, когда она из него выводится. Такая задача, называемая задачей стабилизации, обычно решается путем организации в системе подходящей обратной связи.
Напомним математическую постановку задачи стабилизации: для ЛА $$\tilde A$$, траектория которого описывается уравнением (1.1) и который находится в начальном состоянии $$\bar s(0)$$, требуется выбрать обратную связь $$\bar u(t)=-P\bar s(t)$$ так, чтобы обеспечить устойчивость
Для ДЛС, заданной над полем $$R$$, известно следующее утверждение [38] если пара матриц $$A, B$$ является невырожденной, то всегда можно выбрать матрицу $$P$$ коэффициентов обратной связи $$\bar u(t)=-P\bar s(t)$$ так, чтобы
Напомним, что пара матриц A, B называется невырожденной, если
$$rank(A,AB,K,A^{n-1}B)=n$$где $$n$$ - размерность ДЛС.
Покажем, что в отличие от ДЛС над полем $$R$$ задача стабилизации для ЛА над полем $$GF(p) $$ в общем случае не всегда разрешима.
Пусть ЛА над полем $$GF(3) $$ задан следующими характеристическими матрицами:
$$A= \left [ \begin {matrix} 0200\\ 1021\\ 0110\\ 2011 \end {matrix} \right ], B= \left [ \begin {matrix} 1\\ 0\\ 0\\ 0 \end {matrix} \right ]$$Для этого автомата $$n = 4, l = 1$$, следовательно, матрица $$P$$ из (13.4) имеет вид
$$P=[p_1, p_2, p_3, p_4]$$Выполнив вычисления по правилам поля $$GF(3) $$, построим матрицу
$$[A, AB, A^2B, A^3B]= \left [ \begin {matrix} 1021\\ 0120\\ 0010\\ 0221 \end {matrix} \right ] $$Можно проверить, что определитель этой матрицы равен 1, т. е. отличен от нуля, тогда ее ранг равен 4. Таким образом, рассматриваемая пара матриц является невырожденной.
Легко сообразить, что для свободного ЛА над полем $$GF(p) $$ понятие устойчивости, введенное в определении 13.4, совпадает с понятием
Поскольку размерность ЛА в рассматриваемом примере равна 4, то для доказательства невозможности обращения в нулевую матрицы $$[A-BP]^k $$ при любом k достаточно установить, что $$[A-BP]^4 \ne [0]$$.
Вычисления показывают, что
$$[A-BP]= \left [ \begin {matrix} -p_1 2-p_2 -p_3-p_4\\ 1021\\ 0110\\ 2011 \end {matrix} \right ],$$ $$[A-BP]^2= \left [ \begin {matrix} p_1-p_2-2p_4+2p_1p_2-2p_1-p_3p_1p_3-2p_2-p_3-p_4+1p_1p_2-p_2-p_4+2\\ 2-p_11-p_2-p_31-p_4\\ 1101\\ 2-2p_12-2p_22-2p_31-2p_4 \end {matrix} \right ]$$Из-за громоздкости мы здесь не приводим всю матрицу $$[A-BP]^4$$ (ее можно получить, возведя в квадрат последнюю матрицу), а выпишем лишь элементы ее третьей строки:
$$p_1 - p_2 - 2p_4,\\ p_1p_2 - 2p_1 - p_3,\\ p_1p_3 - p_3 - 2p_2 - p_4,\\ p_1p_4 - p_2 - p_4 + 1.$$Приравняв все эти элементы нулю, получим нелинейную систему уравнений, из которой найдем $$p_i (i=\overline {1,4})$$. Выполнив перебор, можно убедиться, что полученная система имеет единственное решение
$$p_1=0, p_2=2, p_3=0, p_4=2.$$Понятно, что матрица $$[A-BP]^4$$ будет нулевой лишь в том случае, когда при приведенных значениях $$p_i$$ в нуль обратятся все остальные элементы матрицы. Можно убедиться путем вычислений, что элемент (4,1) матрицы $$[A-BP]^4$$ таков:
$$(2-p_1)(p_1^2+2-p_2-p_4)+(2-2p_2)(2-p_1)+2-2p_3+(1-2p_4)(2-2p_1)$$Подставив в это выражение приведенные выше значения $$p_i$$ и выполнив вычисления по правилам поля $$GF(3) $$, получим значение 2. Отсюда следует, что матрица $$[A-BP]^4$$ не может быть сделана нулевой за счет подходящего выбора матрицы $$P$$. Таким образом, для рассматриваемого ЛА над полем $$GF(3) $$ задача стабилизации с помощью обратных связей неразрешима.
Вместе с тем заметим, что если с помощью приведенных выше матриц $$A, B$$ задать ДЛС над полем $$R$$, то вычисления в поле $$R$$ дают следующую матрицу
$$[A,AB,A^2B,A^3B]= \left [ \begin {matrix} 1024\\ 0126\\ 0013\\ 0227 \end {matrix} \right ] $$Определитель этой матрицы равен 1, следовательно, ее ранг равен 4.
Таким образом, пара тех же матриц $$A, B$$ над полем $$R$$ также является невырожденной, но тогда, как это следует из приведенного выше утверждения из [38], задача стабилизации для соответствующей
Понятие синхронизирующей последовательности, введенное в разделе 1.2 лекции 1 для ЛА над полем $$GF(p) $$, может быть распространено и на ДЛС, заданной над полем $$R$$.
Введем следующие обозначения. Пусть $$\hat u(t)=\bar u(0), \bar u(1), \dots, \bar y(t)$$ - входная последовательность длины $$t+1$$, $$\bar {s^i}(0)$$ - начальное состояние ДЛС ( $$i = 1, 2,\dots $$ ), $$\bar {s^f}(\bar {s^i}(0), \hat u(t))$$ - конечное состояние ДЛС после подачи на ее вход последовательности $$\hat u(t)$$, если она стартует из состояния $$s^{-i}(0)$$.
Для ДЛС над полем $$R$$ можно ввести понятие синхронизирующей последовательности, почти дословно повторив ее определение, приведенное в разделе 1.2. Легко доказать, что в этом случае для ДЛС справедлив аналог теоремы 1.1.
Введем теперь некоторую модификацию понятия СП.
Определение 13.5.
где $$\hat u(t)$$ - начальный отрезок длины $$t+1$$ входной последовательности $$\{\tilde u(t)\}$$.
Поясним содержательно различие между СП и $$\varepsilon $$ -СП. После подачи СП (она имеет конечную длину) ДЛС оказывается в одном и том же известном конечном состоянии. В то же время после подачи начального отрезка $$\varepsilon $$ -СП ДЛС переводится хотя и в различные конечные состояния, но расстояние между ними может быть сделано меньше любого заранее заданного числа $$\varepsilon$$ за счет подходящего выбора длины упомянутого начального отрезка.
Теорема 13.5. Для того чтобы ДЛС $$\tilde A$$, у которой множество допустимых начальных состояний $$Init (\tilde A)$$ ограничено, имела $$\varepsilon $$ -СП, достаточно, чтобы все
Доказательство. Проведем его для случая, когда все
В силу аналога формулы (1.3) для ДЛС этот предел эквивалентен
$$\lim_{t \to \infty}|A^{t+1}(\bar {s^1}(0)-\bar {s^2}(0))|=0$$По условию теоремы $$|\bar {s^1}(0)|<M$$ и $$|\bar {s^2}(0)|>M$$, где $$M=const$$, но тогда и для состояния $$\tilde s(0)=\bar {s^1}(0)-\bar {s^2}(0)$$ выполняется неравенство $$|\bar {s^1}(0)-\bar {s^2}(0)|>M$$.
Рассмотрим ДЛС $$\tilde A*$$, заданную уравнением переходов
$$\tilde s(t+1)=A\tilde s(t)$$Очевидно, что существование $$\varepsilon$$ -СП для ДЛС $$\tilde A$$ эквивалентно выполнению следующего равенства для ДЛС $$\tilde A*$$:
$$\lim_{t \to \infty}|\tilde s(t+1)|= \lim_{t \to \infty}|A^{t+1}\tilde s(0)|=0$$Введем замену $$\tilde s(t)=Sz(t)$$, где $$S$$ - невырожденная матрица, столбцами которой являются
где $$diag\{\lambda_{\nu}\}$$ - диагональная матрица. Если $$|\bar s(t)|<M$$, то, очевидно, и $$|\bar z(t)<M_1|$$, где $$M_1=conct$$. Из уравнения (13.6) следует, что
$$z(t+1)=S^{-1}AS \bar z(t)$$или в координатной форме $$z_{\nu}(t+1)=\lambda_{\nu}z_{\nu}(t)$$.
Учитывая, что
$$z_{\nu}(t+1)=\lambda_{\nu}^t z_{\nu}(0)\to {z_{\nu}(t+1|=|\lambda_{\nu}^t|{z_{\nu}(0)|$$в силу условия (13.5) и того факта, что $$|z_{\nu}(t)|<M_1$$, получаем
$$\lim_{t \to \infty}|z_{\nu}(t+1)|=0$$Отсюда вытекает, что
$$\lim_{t \to \infty}|\bar s(t+1)|= \lim_{t \to \infty}|S\barz(t+1)|=0$$а это, как было упомянуто выше, эквивалентно существованию $$\varepsilon$$ -СП для ДЛС $$\tilde A$$.
Заметим, что эта теорема остается справедливой и в случае кратных собственных чисел, но доказательство ее немного усложняется.
Следствие. Если у ДЛС $$\tilde A$$ над полем $$R$$ все
Справедливость следствия вытекает из того, что в условиях теоремы 13.5 входная последовательность $$\{\tilde u(t)\}$$ является произвольной.
Коснемся теперь связи между устойчивостью ДЛС над полем $$R$$ и свойством $$\varepsilon$$ -синхронизации. Напомним [38], что свободная ДЛС над полем $$R$$ называется устойчивой по начальным условиям, если
$$\lim_{t \to \infty}\bar s(t)=[0]$$ДЛС, для которой из условия $$|\bar u(t)|\le M=const$$ следует ограниченность $$|\bar s(t)|$$, называется устойчивой к внешним возмущениям. При наличии обоих указанных свойств ДЛС называется устойчивой.
Понятно, что из устойчивости ДЛС по начальным условиям вытекает справедливость равенства
$$\lim_{t \to \infty}|\bar s(t)|=0$$Последнее означает, что бесконечная нулевая входная последовательность является для ДЛС $$\varepsilon$$ -СП.
Известно [38], что условие (13.5) есть достаточное условие устойчивости. Таким образом, из теоремы 13.5 следует, что для свободной ДЛС в случае выполнения условия (13.5) понятие $$\varepsilon$$ -синхронизации и устойчивости равносильны.
Из существования СП следует существование $$\varepsilon$$ -СП (она состоит из двух подпоследовательностей, первая из которых совпадает с СП, а вторая, бесконечная, может выбираться произвольно), однако обратная импликация места не имеет.
Состояние ДЛС $$\tilde A$$, в которое она переходит после подачи на ее входы СП ( $$\varepsilon$$ -СП), назовем синхросостоянием. Ясно, что в общем случае различные СП ( $$\varepsilon$$ -СП) могут переводить ДЛС как в различные, так и совпадающие синхросостояния.
В разделе 1.2 лекции 1 была рассмотрена задача о переводе ЛА над полем $$GF(p) $$ в заданное синхросостояние с помощью СП. Точно такая же задача может быть сформулирована и для ДЛС над полем $$R$$, и метод ее решения аналогичен методу, предложенному для случая ЛА.
Сформулируем подобную задачу для ДЛС, когда в качестве "переводящей" последовательности используется $$\varepsilon$$ -СП.
Пусть заданы ДЛС $$\tilde A$$ размерности $$n$$ над полем $$R$$, синхросостояние $$\bar s$$ и величина $$\varepsilon$$. Требуется найти входную последовательность конечной длины (начальный отрезок $$\varepsilon$$ -СП), которая переводит ДЛС в такое состояние $$\bar s$$, что $$|\tilde s-\bar s|<\varepsilon$$.
Пусть множество $$Init(\tilde A)$$ допустимых начальных состояний ДЛС $$\tilde A$$ ограничено и для любого
$$\tilde s=[s_1*, \dots, s_n*] \in Init(\tilde A)$$выполняется неравенство
$$|\tilde s| \le M$$Очевидно, что если
$$|s_i*| \le \frac {M}{\sqrt n}, i=1m \dots, n$$то неравенство (13.7) заведомо будет выполнено. Теперь найдем такое минимальное число $$k$$, чтобы выполнялось неравенство
$$|A^k \tilde S*| \le \varepsilon$$где $$\tilde s*=\left [ \frac {M}{\sqrt n}, \dots, \frac {M}{\sqrt n}\right ]$$.
Используя аналог формулы (1.3) для ДЛС $$\tilde A$$, выпишем следующее равенство:
$$A^{k-1}B\bar u(0)+A^{k-2}B\bar u(1)+ \dots +AB\bar u(k-2)+B\bar u(k-1)=\bar s-A^k\bar s*$$Его можно рассматривать как СЛАУ относительно координат векторов входной последовательности $$\bar u(0), \bar u(1), \dots, \bar u(k-1)$$. Понятно, что решение этой системы будет давать искомую входную последовательность.
Проиллюстрируем изложенное на примере. Пусть ДЛС над полем $$R$$ с одним входным каналом задана характеристическими матрицами
$$A= \left [ \begin {matrix} 0.010.050.00\\ 0.050.0010.02\\ 0.000.020.0001 \end {matrix} \right ], B= \left [ \begin {matrix} 2.0\\ 3.0\\ 4.0 \end {matrix} \right ]$$Путем вычислений можно убедиться, что собственными значениями матрицы $$A$$ являются числа $$\lambda_1=0.01, \lambda_2=0.001, \lambda_3=0.0001$$. Отсюда на основании теоремы 13.5 можно утверждать, что рассматриваемая ДЛС является синхронизируемой.
Пусть требуется перевести эту ДЛС в синхросостояние $$\bar s=[0.4,1.2,-0.3]'$$, и пусть точность, с которой это надо осуществить, равна $$\varepsilon = 0.001$$. Предположим, что для любого $$\tilde s \in Init(\tilde A)$$ выполняется неравенство $$|\tilde s| \le 1.3$$ Отсюда получаем, что $$\tilde s*=[0.75,0.75,0.75]'$$.
Определим теперь минимальную начальную длину отрезка $$\varepsilon$$ -СП, обеспечивающую перевод рассматриваемой ДЛС в заданное синхросостояние с точностью $$\varepsilon =0.001$$. В соответствии с изложенным вычислим
$$A^2= \left [ \begin {matrix} 0.00260.000550.001\\ 0.000550.0029010.000022\\ 0.0010.0000220.0004 \end {matrix} \right ], A^2\tilde s*= \left [ \begin {matrix} 0.00312\\ 0.006312\\ 0.001066 \end {matrix} \right ], |A^2\bar s*|=0.007141 $$Поскольку $$|A^2\tilde s*|>\varepsilon = 0.001$$, вычислим
$$A_3= \left [ \begin {matrix} 0.00540.0001510.000011\\ 0.00020.0000310.00\\ 0.000110.0000580.00 \end {matrix} \right ], A^3\tilde s*= \left [ \begin {matrix} 0.00016\\ 0.000173\\ 0.000052 \end {matrix} \right ], |A^3\tilde s*|=0.000242 $$Поскольку $$|A^3\tilde s*|<\varepsilon = 0.001$$, заданная точность достигнута. Таким образом, начальный отрезок искомой $$\varepsilon$$ -СП, обеспечивающий перевод рассматриваемой ДЛС в синхросостояние $$[0.4,1.2-0.3]'$$ с заданной точностью $$\varepsilon = 0.001$$, будет иметь длину $$k = 3$$. Исходя из этого, система (13.8) примет вид
$$A^2B\bar u(0)+AB\bar u(1)+B\bar u(2)=\bar s-A^3\bar s*$$В координатной форме эта система такова:
$$0.01085 u(0) + 0.17 u(1) + 2.0 u(2) = 0.399839,\\ 0.00989 u(0) + 0.1834 u(1) + 3.0 u(2) = 1.119827,\\ 0.00366 u(0) + 0.0604 u(1) + 4.0 u(2) = -0.299048.$$Решая эту систему, получим следующий результат:
$$u(0) = -507.625899, u(1) = 36.675231, u(2) = -0.163412.$$Итак, полученная входная последовательность переводит рассматриваемую ДЛС из любого состояния множества $$Init (\tilde A)$$, состоящего из всевозможных трехмерных векторов, длины которых не превосходят величины $$M = 1.3$$, в состояния, отстоящие от заданного синхросостояния $$\bar s=[0.4,1.2,-0.3]'$$ не более чем на 0.001.
Сделаем замечание, касающееся методов решения системы уравнений вида (13.8). Отметим, что правая часть этой системы является не точной, а приближенной величиной. Это же относится и к элементам различных степеней матриц и произведений матриц, поскольку при их вычислении производятся округления. Поэтому для решения системы (13.8) целесообразно пользоваться приближенными методами. Сейчас известен широкий спектр подобных методов [4], каждый из которых характеризуется различными условиями сходимости, и поэтому для каждой конкретной системы вида (13.8) необходимо подбирать такой, который гарантирует сходимость. Что касается практической реализации, то приближенные методы к тому же, как правило, менее трудоемки, чем точные.
Приведенные выше результаты относились к стационарным ЛА. Что касается нестационарных ЛА, то полные аналоги этих результатов оказываются справедливыми и для них.
Так, определив для НЛА состояние равновесия и
Теорема 13.3. Для того чтобы свободный НЛА $$\tilde A$$ над полем $$GF(p) $$ имел
Заметим, что для НЛА над полем $$GF(p) $$ асимптотическая устойчивость и устойчивость в большом просто совпадают, как это было и для стационарных ЛА.
По аналогии с определением 13.5 для стационарных ЛА можно ввести понятие $$\varepsilon$$ -СП для нестационарного ЛА.
Среди всего множества НЛА рассмотрим далее такой класс НЛА, у которых характеристические матрицы $$A(t)$$ являются периодическими (с периодом $$\lambda$$ ), т. е. для них выполняется равенство $$A(t+\lambda)=A(t)$$, где $$\lambda$$ - целое положительное число. Построим стационарный ЛА $$\tilde A_c$$, согласованный с НЛА $$\tilde A$$, задав
где $$\hat A=A(\lambda -1)A(\lambda -2) \dots A(0)$$. Напомним [68], что спектральным радиусом $$\rho (A)$$ матрицы $$A$$ называют число $$\rho (A)=max \{|\lambda |; \lambda$$ - собственные значения матрицы $$A\}$$.
Теорема 13.6. Для того чтобы периодический НЛА $$\tilde A$$ с ограниченным множеством $$Init(\tilde A)$$ допустимых начальных состояний имел $$\varepsilon$$ -СП, достаточно, чтобы при любом $$t$$ выполнялось неравенство
$$\rho (A) <1$$Доказательство. Как следует из определения $$\varepsilon$$ -СП, ее существование равносильно выполнению неравенства
$$\lim_{t \to \infty}|\bar {s^f}(0), \hat u(ty))-\bar {s^f}(\bar {s^2}(0), \hat u(t))=0|$$Здесь использованы те же обозначения, что и в определении 13.5. Если матрица $$A(t)$$ периодическая, то по индукции можно показать, что формула (1.7) примет вид
$$\bar s(t+1)=A(t-\mu [t\ \mu])A(t-\mu [t\ \mu]-1) \dots A(0)\hat A\bar s(0)+A(t-\mu [t\ \mu])\dots\\ \dots A(1) \hat A^{[t\ \mu]}B(0)\bar u(0)+\dots +A(t)B(t-1)\bar u(t-1)+B(t)\bar u(t),$$где $$[t\ \mu]$$ - целая часть числа $$t\ \mu$$.
Из (13.11) следует, что (13.10) эквивалентно соответственно
$$\lim_{t \to \infty}|A(t-\mu [t\ \mu])\dots A(0)\hat A^{[t\ \mu]}(\bar {s^1}(0)-\bar {s^2}(0)|=0$$Согласно лемме 5.6.10 из [68], существует по крайней мере одна матричная форма, для которой справедливы оценки $$\rho (A) \le \|A\| \le \rho (A)+ \varepsilon$$ при заданном $$\varepsilon$$. Отсюда следует, что
$$\|\hat A\|=\|A(\mu-1)\dota a(0)\| \le \|A(\mu -1)\|\dots \|A(0)\| \le \Pi_{i=1}^{\mu -1}(\rho (A_i)+ \varepsilon_i)$$Поскольку по условиям теоремы $$\rho (A(i))<1$$ для $$i=\overline {1, \mu}$$, при соответствующем выборе величин $$\varepsilon_i$$ каждый из сомножителей в правой части последнего неравенства, а следовательно, и вся его правая часть, может быть сделана меньше единицы. Из этого следует (см. лемму 5.6.11 из [68]), что
$$\lim_{t \to \infty}\hat A^k=[0]$$т. е. все элементы матрицы $$\hat A^k$$ стремятся к нулю при $$k \to \infty$$.
Условимся говорить, что матрица $$G$$ не превосходит матрицу $$H$$ ( $$G$$ и $$H$$ имеют одинаковую размерность), и писать $$G \le H$$, если каждый элемент матрицы $$G$$ не превосходит соответствующего элемента матрицы $$H$$. Положим
$$M=max_{1 \le m \le \mu}|q_{ij}^{(m)}|, i,j=\overline {1,n}$$где $$q_{ij}^{(m)}$$ - элементы матрицы $$A(m-1)A(m-2) \dots A(0) $$. Тогда при любом $$t$$
$$A(t -\mu [t\ \mu ]) \dots A(0)\hat A^{[t\ \mu]}(\bar {s^1}(0)-\bar {s^2}(0)) \le D(M) \hat A^{[t\ \mu]}(\bar {s^1}(0)-\bar {s^2}(0))$$На основании (13.13) и (13.14) и того факта, что длина вектора $$\bar {s^1}(0)-\bar {s^2}(0)$$ ограничена в силу ограниченности $$|\bar {s^1}|$$ и $$|\bar {s^2}|$$ согласно условиям теоремы, вытекает справедливость (13.12).
Следствие. Для периодического НЛА $$\tilde A$$, у которого при любом $$t$$ спектральный радиус матрицы $$A(t)$$ меньше 1, а множество $$Init(\tilde A)$$ ограничено, любая бесконечная входная последовательность $$\{\tilde u(t)\}$$ является $$\varepsilon$$ -синхронизирующей.
Можно показать, что по аналогии со стационарными ЛА для нестационарных ЛА при выполнении условий теоремы 13.6 понятие $$\varepsilon$$ -синхронизируемости и
Заметим, наконец, что решение задачи о переводе НЛА в заданное синхросостояние можно осуществить тем же самым методом, что описан для стационарного ЛА.
Понятие устойчивости систем и связанные с ним другие понятия первоначально были введены и исследованы для непрерывных систем [40], [41] и позже были распространены на класс дискретных линейных систем (ДЛС) [64]. Что касается ДЛС, то их задание возможно над различными полями: либо над полем $$GF(p) $$, как это сделано в случае линейных автоматов, либо над полем R вещественных чисел, либо над полем $$Z$$ комплексных чисел. Ниже основное внимание будет сосредоточено на линейных автоматах, заданных над полем $$GF(p) $$, и ДЛС, заданных над полем $$R$$.
Напомним предварительно некоторые определения из [64], которые понадобятся в дальнейшем. Поскольку понятие
Определение 13.1. ЛА $$\tilde A$$, заданный над полем $$GF(p) $$ уравнением
$$\bar s(t+1)=A\bar s(t)+B\bar u(t)$$называется свободным, если $$\bar u(t)=[0]$$ для любого $$t$$.
Определение 13.2. Состояние $$\bar s$$ свободного ЛА $$\tilde A$$ называется состоянием равновесия, если для любого $$t$$
$$\bar s=\bar s(t)$$Из этих определений следует, что состояние равновесия свободного ЛА должно удовлетворять равенству
$$\bar s=A\bar s$$Из (13.1) вытекает справедливость следующего утверждения.
Теорема 13.1. Нулевое состояние является состоянием равновесия любого свободного ЛА.
Рассматривая (13.1) как СЛАУ относительно неизвестных $$s_1, \dots s_n$$, являющихся компонентами вектора $$\bar s$$, нахождение состояния равновесия ЛА сводится к решению этой системы.
Понятно, что число состояний равновесия ЛА равно числу решений системы (13.1). Если определитель $$|A-E|$$ этой системы равен 0, где $$E$$ - единичная матрица, то ЛА имеет единственное (нулевое) состояние равновесия, в противном случае их существует конечное число, но больше одного.
В качестве примера рассмотрим ЛА над полем $$GF(2) $$ со следующей главной характеристической матрицей
$$A= \left [ \begin {matrix} 0111\\ 1011\\ 0001\\ 0010 \end {matrix} \right ] $$Система (13.1) в координатной форме в данном случае примет вид
$$s_1+s_2+s_3+s_4 = 0, \\ s_1+s_2+s_3+s_4 = 0,\\ s_3+s_4=0, \\ s_3+s_4=0$$Здесь операция "+" понимается как сложение по модулю 2.
Поскольку ранг матрицы $$A$$ равен 2, то система (13.2) имеет только два линейно независимых уравнения. Выберем в качестве таковых первое и третье уравнения. Считая переменные $$s_2$$ и $$s_4$$ свободными, выразим через них остальные переменные:
$$s_1=s_2+s_3+s_4=s_2,\\ s_3=s_4..$$Придавая значения 0 и 1 свободным переменным, получаем искомые состояния равновесия:
$$[0,0,0,0]', [0,0,1,1]', [1,1,0,0]', [1,1,1,1]'$$Определение 13.3. Состояние равновесия $$\bar s$$ свободного ЛА $$\tilde A$$ назовем асимптотически устойчивым, если
$$\forall \bar s \in S_n \exists k \in N t>k \to \bar s(t)=\bar s$$Через $$N$$ здесь обозначено множество натуральных чисел.
Содержательно последнее определение означает, что после отклонения ЛА от состояния равновесия он возвращается в это состояние после подачи на вход нулевой последовательности некоторой подходящей длины.
В рассмотренном выше примере ЛА ни одно из четырех состояний равновесия не является асимптотически устойчивым. В самом деле, вычисления показывают, что если этот ЛА стартует в состояниях $$[1,0,0,0]'$$ или $$]0,1,0,0]'$$, то при нулевой входной последовательности эти состояния переходят только друг в друга. Аналогичная ситуация имеет место и с состояниями $$[0,1,1,1]'$$ и $$[1,0,1,1]'$$, $$[0,0,0,1]'$$ и $$[1,1,1,0]'$$, $$[0,0,1,0]'$$ и $$[1,1,1,0]'$$, $$[0,1,0,1]'$$ и $$[0,1,1,0]'$$, $$[1,0,0,1]'$$ и $$[1,0,1,0]'$$.
Найдем условие, при котором состояние равновесия является асимптотически устойчивым. Из определения 13.3 и формулы (1.3) следует, что для асимптотически устойчивого состояния равновесия $$\bar s$$ должно существовать такое натуральное число $$k$$, что
$$\bar s=A^k\bar s(0)=A^k \tilde s(0)$$где $$\bar s(0), \tilde s(0)$$ - различные произвольные начальные состояния ЛА.
Вычитая одно равенство из другого, получим
$$A^k[\bar s(0)-\tilde s(0)]=[0]$$В силу произвольности состояний $$\bar s(0)$$ и $$\tilde s(0)$$ их разность может быть любым ненулевым вектором $$\hat s$$. Поэтому последнее равенство примет вид
$$A_k \hat s=[0]$$и оно должно выполняться для любого вектора $$\hat s \in S_n$$. Из этого факта вытекает, что однородная СЛАУ относительно координат вектора $$\hat s$$ имеет не единственное решение и таковыми для нее являются любые ненулевые вектора. Последнее обстоятельство позволяет сформулировать два следующих утверждения.
Теорема 13.2. Если свободный ЛА над полем $$GF(p) $$ имеет
Теорема 13.3. Для того чтобы свободный ЛА над полем $$GF(p) $$ имел
Из сопоставления последней теоремы с теоремой 1.1 вытекает справедливость следующего утверждения.
Теорема 13.4. Для того чтобы ЛА над полем $$GF(p) $$ имел
Напомним, что синхронизируемым называется такой ЛА, у которого существует СП.
Таким образом, для свободного ЛА над полем $$GF(p) $$ наличие асимптотически устойчивого состояния эквивалентно его синхронизируемости.
Попробуем провести параллель между
Состояние $$\bar s$$ свободной ДЛС асимптотически устойчиво, если
$$\lim_{t \to \infty}[\bar s(t)-\bar s]=[0] $$Областью асимптотической устойчивости ДЛ называется множество $$M$$ всех таких его состояний, что траектории ДЛС, начинающиеся в любом состоянии из $$M$$, при достаточно длинной нулевой входной последовательности заканчиваются в состоянии равновесия.
Состояние равновесия ДЛС устойчиво в большом, если существует только одно состояние равновесия и если областью
ДЛС над полем R по существу можно считать аналогом линейного автомата над полем $$GF(p) $$. Используя для свободных ЛА над полем $$GF(p) $$ аналоги только что приведенных понятий, на основании теоремы 13.3 можно сделать вывод, что для них понятия
Что касается устойчивости ДЛС над полем $$R$$, то она включает устойчивость по начальным условиям и устойчивость к внешним возмущениям.
Аналог этого понятия для ЛА введем следующим образом.
Определение 13.4. ЛА над полем $$GF(p) $$ назовем устойчивым, если в случае, когда для любого $$t$$ входной сигнал $$\bar u(t)=[0]$$,
$$\exists t_0 \in N\\ t \ge t_0 \to \bar s(t)=[0]$$Это определение по существу есть аналог устойчивости ЛА только по начальным условиям. Вторая же составляющая понятия устойчивости, устойчивость к внешним возмущениям, для ЛА над полем $$GF(p) $$ всегда имеет место, поскольку множества состояний и входов для ЛА являются ограниченными.
Как правило, для выполнения своих функций система должна постоянно находиться в некотором определенном состоянии фазового пространства, из которого она может быть выведена возникающими внешними возмущениями. В этом случае появляется необходимость в возвращении системы в упомянутое состояние всякий раз, когда она из него выводится. Такая задача, называемая задачей стабилизации, обычно решается путем организации в системе подходящей обратной связи.
Напомним математическую постановку задачи стабилизации: для ЛА $$\tilde A$$, траектория которого описывается уравнением (1.1) и который находится в начальном состоянии $$\bar s(0)$$, требуется выбрать обратную связь $$\bar u(t)=-P\bar s(t)$$ так, чтобы обеспечить устойчивость
Для ДЛС, заданной над полем $$R$$, известно следующее утверждение [38] если пара матриц $$A, B$$ является невырожденной, то всегда можно выбрать матрицу $$P$$ коэффициентов обратной связи $$\bar u(t)=-P\bar s(t)$$ так, чтобы
Напомним, что пара матриц A, B называется невырожденной, если
$$rank(A,AB,K,A^{n-1}B)=n$$где $$n$$ - размерность ДЛС.
Покажем, что в отличие от ДЛС над полем $$R$$ задача стабилизации для ЛА над полем $$GF(p) $$ в общем случае не всегда разрешима.
Пусть ЛА над полем $$GF(3) $$ задан следующими характеристическими матрицами:
$$A= \left [ \begin {matrix} 0200\\ 1021\\ 0110\\ 2011 \end {matrix} \right ], B= \left [ \begin {matrix} 1\\ 0\\ 0\\ 0 \end {matrix} \right ]$$Для этого автомата $$n = 4, l = 1$$, следовательно, матрица $$P$$ из (13.4) имеет вид
$$P=[p_1, p_2, p_3, p_4]$$Выполнив вычисления по правилам поля $$GF(3) $$, построим матрицу
$$[A, AB, A^2B, A^3B]= \left [ \begin {matrix} 1021\\ 0120\\ 0010\\ 0221 \end {matrix} \right ] $$Можно проверить, что определитель этой матрицы равен 1, т. е. отличен от нуля, тогда ее ранг равен 4. Таким образом, рассматриваемая пара матриц является невырожденной.
Легко сообразить, что для свободного ЛА над полем $$GF(p) $$ понятие устойчивости, введенное в определении 13.4, совпадает с понятием
Поскольку размерность ЛА в рассматриваемом примере равна 4, то для доказательства невозможности обращения в нулевую матрицы $$[A-BP]^k $$ при любом k достаточно установить, что $$[A-BP]^4 \ne [0]$$.
Вычисления показывают, что
$$[A-BP]= \left [ \begin {matrix} -p_1 2-p_2 -p_3-p_4\\ 1021\\ 0110\\ 2011 \end {matrix} \right ],$$ $$[A-BP]^2= \left [ \begin {matrix} p_1-p_2-2p_4+2p_1p_2-2p_1-p_3p_1p_3-2p_2-p_3-p_4+1p_1p_2-p_2-p_4+2\\ 2-p_11-p_2-p_31-p_4\\ 1101\\ 2-2p_12-2p_22-2p_31-2p_4 \end {matrix} \right ]$$Из-за громоздкости мы здесь не приводим всю матрицу $$[A-BP]^4$$ (ее можно получить, возведя в квадрат последнюю матрицу), а выпишем лишь элементы ее третьей строки:
$$p_1 - p_2 - 2p_4,\\ p_1p_2 - 2p_1 - p_3,\\ p_1p_3 - p_3 - 2p_2 - p_4,\\ p_1p_4 - p_2 - p_4 + 1.$$Приравняв все эти элементы нулю, получим нелинейную систему уравнений, из которой найдем $$p_i (i=\overline {1,4})$$. Выполнив перебор, можно убедиться, что полученная система имеет единственное решение
$$p_1=0, p_2=2, p_3=0, p_4=2.$$Понятно, что матрица $$[A-BP]^4$$ будет нулевой лишь в том случае, когда при приведенных значениях $$p_i$$ в нуль обратятся все остальные элементы матрицы. Можно убедиться путем вычислений, что элемент (4,1) матрицы $$[A-BP]^4$$ таков:
$$(2-p_1)(p_1^2+2-p_2-p_4)+(2-2p_2)(2-p_1)+2-2p_3+(1-2p_4)(2-2p_1)$$Подставив в это выражение приведенные выше значения $$p_i$$ и выполнив вычисления по правилам поля $$GF(3) $$, получим значение 2. Отсюда следует, что матрица $$[A-BP]^4$$ не может быть сделана нулевой за счет подходящего выбора матрицы $$P$$. Таким образом, для рассматриваемого ЛА над полем $$GF(3) $$ задача стабилизации с помощью обратных связей неразрешима.
Вместе с тем заметим, что если с помощью приведенных выше матриц $$A, B$$ задать ДЛС над полем $$R$$, то вычисления в поле $$R$$ дают следующую матрицу
$$[A,AB,A^2B,A^3B]= \left [ \begin {matrix} 1024\\ 0126\\ 0013\\ 0227 \end {matrix} \right ] $$Определитель этой матрицы равен 1, следовательно, ее ранг равен 4.
Таким образом, пара тех же матриц $$A, B$$ над полем $$R$$ также является невырожденной, но тогда, как это следует из приведенного выше утверждения из [38], задача стабилизации для соответствующей
Понятие синхронизирующей последовательности, введенное в разделе 1.2 лекции 1 для ЛА над полем $$GF(p) $$, может быть распространено и на ДЛС, заданной над полем $$R$$.
Введем следующие обозначения. Пусть $$\hat u(t)=\bar u(0), \bar u(1), \dots, \bar y(t)$$ - входная последовательность длины $$t+1$$, $$\bar {s^i}(0)$$ - начальное состояние ДЛС ( $$i = 1, 2,\dots $$ ), $$\bar {s^f}(\bar {s^i}(0), \hat u(t))$$ - конечное состояние ДЛС после подачи на ее вход последовательности $$\hat u(t)$$, если она стартует из состояния $$s^{-i}(0)$$.
Для ДЛС над полем $$R$$ можно ввести понятие синхронизирующей последовательности, почти дословно повторив ее определение, приведенное в разделе 1.2. Легко доказать, что в этом случае для ДЛС справедлив аналог теоремы 1.1.
Введем теперь некоторую модификацию понятия СП.
Определение 13.5.
где $$\hat u(t)$$ - начальный отрезок длины $$t+1$$ входной последовательности $$\{\tilde u(t)\}$$.
Поясним содержательно различие между СП и $$\varepsilon $$ -СП. После подачи СП (она имеет конечную длину) ДЛС оказывается в одном и том же известном конечном состоянии. В то же время после подачи начального отрезка $$\varepsilon $$ -СП ДЛС переводится хотя и в различные конечные состояния, но расстояние между ними может быть сделано меньше любого заранее заданного числа $$\varepsilon$$ за счет подходящего выбора длины упомянутого начального отрезка.
Теорема 13.5. Для того чтобы ДЛС $$\tilde A$$, у которой множество допустимых начальных состояний $$Init (\tilde A)$$ ограничено, имела $$\varepsilon $$ -СП, достаточно, чтобы все
Доказательство. Проведем его для случая, когда все
В силу аналога формулы (1.3) для ДЛС этот предел эквивалентен
$$\lim_{t \to \infty}|A^{t+1}(\bar {s^1}(0)-\bar {s^2}(0))|=0$$По условию теоремы $$|\bar {s^1}(0)|<M$$ и $$|\bar {s^2}(0)|>M$$, где $$M=const$$, но тогда и для состояния $$\tilde s(0)=\bar {s^1}(0)-\bar {s^2}(0)$$ выполняется неравенство $$|\bar {s^1}(0)-\bar {s^2}(0)|>M$$.
Рассмотрим ДЛС $$\tilde A*$$, заданную уравнением переходов
$$\tilde s(t+1)=A\tilde s(t)$$Очевидно, что существование $$\varepsilon$$ -СП для ДЛС $$\tilde A$$ эквивалентно выполнению следующего равенства для ДЛС $$\tilde A*$$:
$$\lim_{t \to \infty}|\tilde s(t+1)|= \lim_{t \to \infty}|A^{t+1}\tilde s(0)|=0$$Введем замену $$\tilde s(t)=Sz(t)$$, где $$S$$ - невырожденная матрица, столбцами которой являются
где $$diag\{\lambda_{\nu}\}$$ - диагональная матрица. Если $$|\bar s(t)|<M$$, то, очевидно, и $$|\bar z(t)<M_1|$$, где $$M_1=conct$$. Из уравнения (13.6) следует, что
$$z(t+1)=S^{-1}AS \bar z(t)$$или в координатной форме $$z_{\nu}(t+1)=\lambda_{\nu}z_{\nu}(t)$$.
Учитывая, что
$$z_{\nu}(t+1)=\lambda_{\nu}^t z_{\nu}(0)\to {z_{\nu}(t+1|=|\lambda_{\nu}^t|{z_{\nu}(0)|$$в силу условия (13.5) и того факта, что $$|z_{\nu}(t)|<M_1$$, получаем
$$\lim_{t \to \infty}|z_{\nu}(t+1)|=0$$Отсюда вытекает, что
$$\lim_{t \to \infty}|\bar s(t+1)|= \lim_{t \to \infty}|S\barz(t+1)|=0$$а это, как было упомянуто выше, эквивалентно существованию $$\varepsilon$$ -СП для ДЛС $$\tilde A$$.
Заметим, что эта теорема остается справедливой и в случае кратных собственных чисел, но доказательство ее немного усложняется.
Следствие. Если у ДЛС $$\tilde A$$ над полем $$R$$ все
Справедливость следствия вытекает из того, что в условиях теоремы 13.5 входная последовательность $$\{\tilde u(t)\}$$ является произвольной.
Коснемся теперь связи между устойчивостью ДЛС над полем $$R$$ и свойством $$\varepsilon$$ -синхронизации. Напомним [38], что свободная ДЛС над полем $$R$$ называется устойчивой по начальным условиям, если
$$\lim_{t \to \infty}\bar s(t)=[0]$$ДЛС, для которой из условия $$|\bar u(t)|\le M=const$$ следует ограниченность $$|\bar s(t)|$$, называется устойчивой к внешним возмущениям. При наличии обоих указанных свойств ДЛС называется устойчивой.
Понятно, что из устойчивости ДЛС по начальным условиям вытекает справедливость равенства
$$\lim_{t \to \infty}|\bar s(t)|=0$$Последнее означает, что бесконечная нулевая входная последовательность является для ДЛС $$\varepsilon$$ -СП.
Известно [38], что условие (13.5) есть достаточное условие устойчивости. Таким образом, из теоремы 13.5 следует, что для свободной ДЛС в случае выполнения условия (13.5) понятие $$\varepsilon$$ -синхронизации и устойчивости равносильны.
Из существования СП следует существование $$\varepsilon$$ -СП (она состоит из двух подпоследовательностей, первая из которых совпадает с СП, а вторая, бесконечная, может выбираться произвольно), однако обратная импликация места не имеет.
Состояние ДЛС $$\tilde A$$, в которое она переходит после подачи на ее входы СП ( $$\varepsilon$$ -СП), назовем синхросостоянием. Ясно, что в общем случае различные СП ( $$\varepsilon$$ -СП) могут переводить ДЛС как в различные, так и совпадающие синхросостояния.
В разделе 1.2 лекции 1 была рассмотрена задача о переводе ЛА над полем $$GF(p) $$ в заданное синхросостояние с помощью СП. Точно такая же задача может быть сформулирована и для ДЛС над полем $$R$$, и метод ее решения аналогичен методу, предложенному для случая ЛА.
Сформулируем подобную задачу для ДЛС, когда в качестве "переводящей" последовательности используется $$\varepsilon$$ -СП.
Пусть заданы ДЛС $$\tilde A$$ размерности $$n$$ над полем $$R$$, синхросостояние $$\bar s$$ и величина $$\varepsilon$$. Требуется найти входную последовательность конечной длины (начальный отрезок $$\varepsilon$$ -СП), которая переводит ДЛС в такое состояние $$\bar s$$, что $$|\tilde s-\bar s|<\varepsilon$$.
Пусть множество $$Init(\tilde A)$$ допустимых начальных состояний ДЛС $$\tilde A$$ ограничено и для любого
$$\tilde s=[s_1*, \dots, s_n*] \in Init(\tilde A)$$выполняется неравенство
$$|\tilde s| \le M$$Очевидно, что если
$$|s_i*| \le \frac {M}{\sqrt n}, i=1m \dots, n$$то неравенство (13.7) заведомо будет выполнено. Теперь найдем такое минимальное число $$k$$, чтобы выполнялось неравенство
$$|A^k \tilde S*| \le \varepsilon$$где $$\tilde s*=\left [ \frac {M}{\sqrt n}, \dots, \frac {M}{\sqrt n}\right ]$$.
Используя аналог формулы (1.3) для ДЛС $$\tilde A$$, выпишем следующее равенство:
$$A^{k-1}B\bar u(0)+A^{k-2}B\bar u(1)+ \dots +AB\bar u(k-2)+B\bar u(k-1)=\bar s-A^k\bar s*$$Его можно рассматривать как СЛАУ относительно координат векторов входной последовательности $$\bar u(0), \bar u(1), \dots, \bar u(k-1)$$. Понятно, что решение этой системы будет давать искомую входную последовательность.
Проиллюстрируем изложенное на примере. Пусть ДЛС над полем $$R$$ с одним входным каналом задана характеристическими матрицами
$$A= \left [ \begin {matrix} 0.010.050.00\\ 0.050.0010.02\\ 0.000.020.0001 \end {matrix} \right ], B= \left [ \begin {matrix} 2.0\\ 3.0\\ 4.0 \end {matrix} \right ]$$Путем вычислений можно убедиться, что собственными значениями матрицы $$A$$ являются числа $$\lambda_1=0.01, \lambda_2=0.001, \lambda_3=0.0001$$. Отсюда на основании теоремы 13.5 можно утверждать, что рассматриваемая ДЛС является синхронизируемой.
Пусть требуется перевести эту ДЛС в синхросостояние $$\bar s=[0.4,1.2,-0.3]'$$, и пусть точность, с которой это надо осуществить, равна $$\varepsilon = 0.001$$. Предположим, что для любого $$\tilde s \in Init(\tilde A)$$ выполняется неравенство $$|\tilde s| \le 1.3$$ Отсюда получаем, что $$\tilde s*=[0.75,0.75,0.75]'$$.
Определим теперь минимальную начальную длину отрезка $$\varepsilon$$ -СП, обеспечивающую перевод рассматриваемой ДЛС в заданное синхросостояние с точностью $$\varepsilon =0.001$$. В соответствии с изложенным вычислим
$$A^2= \left [ \begin {matrix} 0.00260.000550.001\\ 0.000550.0029010.000022\\ 0.0010.0000220.0004 \end {matrix} \right ], A^2\tilde s*= \left [ \begin {matrix} 0.00312\\ 0.006312\\ 0.001066 \end {matrix} \right ], |A^2\bar s*|=0.007141 $$Поскольку $$|A^2\tilde s*|>\varepsilon = 0.001$$, вычислим
$$A_3= \left [ \begin {matrix} 0.00540.0001510.000011\\ 0.00020.0000310.00\\ 0.000110.0000580.00 \end {matrix} \right ], A^3\tilde s*= \left [ \begin {matrix} 0.00016\\ 0.000173\\ 0.000052 \end {matrix} \right ], |A^3\tilde s*|=0.000242 $$Поскольку $$|A^3\tilde s*|<\varepsilon = 0.001$$, заданная точность достигнута. Таким образом, начальный отрезок искомой $$\varepsilon$$ -СП, обеспечивающий перевод рассматриваемой ДЛС в синхросостояние $$[0.4,1.2-0.3]'$$ с заданной точностью $$\varepsilon = 0.001$$, будет иметь длину $$k = 3$$. Исходя из этого, система (13.8) примет вид
$$A^2B\bar u(0)+AB\bar u(1)+B\bar u(2)=\bar s-A^3\bar s*$$В координатной форме эта система такова:
$$0.01085 u(0) + 0.17 u(1) + 2.0 u(2) = 0.399839,\\ 0.00989 u(0) + 0.1834 u(1) + 3.0 u(2) = 1.119827,\\ 0.00366 u(0) + 0.0604 u(1) + 4.0 u(2) = -0.299048.$$Решая эту систему, получим следующий результат:
$$u(0) = -507.625899, u(1) = 36.675231, u(2) = -0.163412.$$Итак, полученная входная последовательность переводит рассматриваемую ДЛС из любого состояния множества $$Init (\tilde A)$$, состоящего из всевозможных трехмерных векторов, длины которых не превосходят величины $$M = 1.3$$, в состояния, отстоящие от заданного синхросостояния $$\bar s=[0.4,1.2,-0.3]'$$ не более чем на 0.001.
Сделаем замечание, касающееся методов решения системы уравнений вида (13.8). Отметим, что правая часть этой системы является не точной, а приближенной величиной. Это же относится и к элементам различных степеней матриц и произведений матриц, поскольку при их вычислении производятся округления. Поэтому для решения системы (13.8) целесообразно пользоваться приближенными методами. Сейчас известен широкий спектр подобных методов [4], каждый из которых характеризуется различными условиями сходимости, и поэтому для каждой конкретной системы вида (13.8) необходимо подбирать такой, который гарантирует сходимость. Что касается практической реализации, то приближенные методы к тому же, как правило, менее трудоемки, чем точные.
Приведенные выше результаты относились к стационарным ЛА. Что касается нестационарных ЛА, то полные аналоги этих результатов оказываются справедливыми и для них.
Так, определив для НЛА состояние равновесия и
Теорема 13.3. Для того чтобы свободный НЛА $$\tilde A$$ над полем $$GF(p) $$ имел
Заметим, что для НЛА над полем $$GF(p) $$ асимптотическая устойчивость и устойчивость в большом просто совпадают, как это было и для стационарных ЛА.
По аналогии с определением 13.5 для стационарных ЛА можно ввести понятие $$\varepsilon$$ -СП для нестационарного ЛА.
Среди всего множества НЛА рассмотрим далее такой класс НЛА, у которых характеристические матрицы $$A(t)$$ являются периодическими (с периодом $$\lambda$$ ), т. е. для них выполняется равенство $$A(t+\lambda)=A(t)$$, где $$\lambda$$ - целое положительное число. Построим стационарный ЛА $$\tilde A_c$$, согласованный с НЛА $$\tilde A$$, задав
где $$\hat A=A(\lambda -1)A(\lambda -2) \dots A(0)$$. Напомним [68], что спектральным радиусом $$\rho (A)$$ матрицы $$A$$ называют число $$\rho (A)=max \{|\lambda |; \lambda$$ - собственные значения матрицы $$A\}$$.
Теорема 13.6. Для того чтобы периодический НЛА $$\tilde A$$ с ограниченным множеством $$Init(\tilde A)$$ допустимых начальных состояний имел $$\varepsilon$$ -СП, достаточно, чтобы при любом $$t$$ выполнялось неравенство
$$\rho (A) <1$$Доказательство. Как следует из определения $$\varepsilon$$ -СП, ее существование равносильно выполнению неравенства
$$\lim_{t \to \infty}|\bar {s^f}(0), \hat u(ty))-\bar {s^f}(\bar {s^2}(0), \hat u(t))=0|$$Здесь использованы те же обозначения, что и в определении 13.5. Если матрица $$A(t)$$ периодическая, то по индукции можно показать, что формула (1.7) примет вид
$$\bar s(t+1)=A(t-\mu [t\ \mu])A(t-\mu [t\ \mu]-1) \dots A(0)\hat A\bar s(0)+A(t-\mu [t\ \mu])\dots\\ \dots A(1) \hat A^{[t\ \mu]}B(0)\bar u(0)+\dots +A(t)B(t-1)\bar u(t-1)+B(t)\bar u(t),$$где $$[t\ \mu]$$ - целая часть числа $$t\ \mu$$.
Из (13.11) следует, что (13.10) эквивалентно соответственно
$$\lim_{t \to \infty}|A(t-\mu [t\ \mu])\dots A(0)\hat A^{[t\ \mu]}(\bar {s^1}(0)-\bar {s^2}(0)|=0$$Согласно лемме 5.6.10 из [68], существует по крайней мере одна матричная форма, для которой справедливы оценки $$\rho (A) \le \|A\| \le \rho (A)+ \varepsilon$$ при заданном $$\varepsilon$$. Отсюда следует, что
$$\|\hat A\|=\|A(\mu-1)\dota a(0)\| \le \|A(\mu -1)\|\dots \|A(0)\| \le \Pi_{i=1}^{\mu -1}(\rho (A_i)+ \varepsilon_i)$$Поскольку по условиям теоремы $$\rho (A(i))<1$$ для $$i=\overline {1, \mu}$$, при соответствующем выборе величин $$\varepsilon_i$$ каждый из сомножителей в правой части последнего неравенства, а следовательно, и вся его правая часть, может быть сделана меньше единицы. Из этого следует (см. лемму 5.6.11 из [68]), что
$$\lim_{t \to \infty}\hat A^k=[0]$$т. е. все элементы матрицы $$\hat A^k$$ стремятся к нулю при $$k \to \infty$$.
Условимся говорить, что матрица $$G$$ не превосходит матрицу $$H$$ ( $$G$$ и $$H$$ имеют одинаковую размерность), и писать $$G \le H$$, если каждый элемент матрицы $$G$$ не превосходит соответствующего элемента матрицы $$H$$. Положим
$$M=max_{1 \le m \le \mu}|q_{ij}^{(m)}|, i,j=\overline {1,n}$$где $$q_{ij}^{(m)}$$ - элементы матрицы $$A(m-1)A(m-2) \dots A(0) $$. Тогда при любом $$t$$
$$A(t -\mu [t\ \mu ]) \dots A(0)\hat A^{[t\ \mu]}(\bar {s^1}(0)-\bar {s^2}(0)) \le D(M) \hat A^{[t\ \mu]}(\bar {s^1}(0)-\bar {s^2}(0))$$На основании (13.13) и (13.14) и того факта, что длина вектора $$\bar {s^1}(0)-\bar {s^2}(0)$$ ограничена в силу ограниченности $$|\bar {s^1}|$$ и $$|\bar {s^2}|$$ согласно условиям теоремы, вытекает справедливость (13.12).
Следствие. Для периодического НЛА $$\tilde A$$, у которого при любом $$t$$ спектральный радиус матрицы $$A(t)$$ меньше 1, а множество $$Init(\tilde A)$$ ограничено, любая бесконечная входная последовательность $$\{\tilde u(t)\}$$ является $$\varepsilon$$ -синхронизирующей.
Можно показать, что по аналогии со стационарными ЛА для нестационарных ЛА при выполнении условий теоремы 13.6 понятие $$\varepsilon$$ -синхронизируемости и
Заметим, наконец, что решение задачи о переводе НЛА в заданное синхросостояние можно осуществить тем же самым методом, что описан для стационарного ЛА.
Для получения официальных документов о завершении программы дополнительного профессионального образования (удостоверения о повышении квалификации, дипломов о профессиональной переподготовке и MBA) необходимо предоставить:
Внимание! Вы можете не заказывать доставку бумажной версии официального документы, а скачать его в электронном виде и распечатать самостоятельно. Информация о выданном документе в течение 1 месяца загружается в Федеральную информационную систему «Федеральный реестр сведений о документах об образовании и (или) о квалификации, документах об обучении» - ФИС ФРДО.
Доступ на новый сайт осуществляется с использованием адреса электронной почты, который был указан вами при регистрации на "старом". Мы постарались перенести все ваши данные с прежнего ресурса, однако не исключена вероятность потери части информации.
При возникновении проблемы со входом, воспользуйтесь функцией сброса пароля
Если вы обнаружите несоответствия, пожалуйста, сообщите нам.