k -го уровня рассматривается как элемент на соседнем более высоком (k–1) -м уровне абстрагирования.
(рис 13.1) Представление структуры объектаПредставим структуру некоторого объекта в виде множества элементов (рис 13.1) и связей между ними.
Выделим в соответствии с vi, zj или uk. Здесь vi относится к внутренним связям между элементами данного блока, zj и uk относятся к выходам и входам блока соответственно.
Рассмотрим важные для функциональных моделей понятия
где V, Z и U — векторы внутренних, выходных и входных фазовых переменных блока.
При большом количестве элементов размерность вектора V и порядок системы уравнений (13.2) становятся чрезмерно большими и требуют упрощения.
При переходе к более высокому иерархическому уровню упрощения они основаны на исключении из модели вектора внутренних переменных V. Полученная модель представляет собой систему уравнений
существенно меньшей размерности, чем
Модели (13.2) и (13.3) относятся друг к другу как п -м уровне иерархии. На более высоком (п–1) -м уровне блок А рассматривается как элемент, и (п–1) -м уровне.
В зависимости от сложности объекта при его проектировании используют большее или меньшее число уровней абстракции. Объединение уровней, родственных по характеру используемого математического аппарата, приводит к образованию в иерархии функциональных моделей для большинства проектируемых сложных объектов трех укрупненных уровней:
На
К типичным фазовым переменным на F и $$\psi$$ в уравнениях (13.2) фигурируют дифференциальные и интегральные операторы. Уравнения (13.2), дополненные краевыми условиями, составляют ММ объектов на
На
На
Модели на
где х, у, z — пространственные координаты; $$\phi$$ — искомая непрерывная функция; Кх, Ку, Kz — коэффициенты; Q — внешнее воздействие.
В двумерном случае при Кх = Kv = 1 уравнение (13.4) сводится к уравнению, которое описывает напряженное состояние, возникающее в поперечном сечении упругого однородного стержня под воздействием крутящего момента М:
где Е — модуль сдвига материала стержня; $$\theta$$ — угол закручивания на единицу длины, $$\phi$$ — функция, связанная с напряжениями сдвига $$\tau _{х}$$ и $$\tau _{у}$$ уравнениями
В уравнение (13.6) в явном виде не входит крутящий момент, связанный с искомой функцией напряжения $$\varphi$$ уравнением
$$M=2\int\limits_S \varphi dS,$$где S — площадь рассматриваемого сечения.
Точное решение краевых задач получают только в частных случаях. Поэтому реализация таких моделей заключается в использовании различных приближенных моделей. Широкое распространение получили модели на основе интегральных уравнений и модели на основе метода сеток. Одним из наиболее популярных методов решения краевых задач в САПР является метод конечных элементов.
Большинство технических подсистем характеризуется
I и напряжения U. Запишем уравнения трех типов простейших элементов.
I = U/R, где R — электрическое сопротивление.I = C(dU/dt), где С — электрическая емкость.U = L(dI/dt), где L — электрическая индуктивность.F и скорости V — соответственно аналоги токов и напряжений. Запишем уравнения трех типов простейших элементов:
F = V/RM, где RM = 1/k — аналог электрического сопротивления; к — коэффициент вязкого трения.F = mа = См (dV/dt), где а = dV/dt — ускорение; См = m — аналог электрической емкости (масса элемента).F = kх, где х — перемещение; k — жесткость пружины.Продифференцируем обе части уравнения по времени: dF/dt = kV, или V = LM(dF/dt), где LM = 1/k — аналог электрической индуктивности.
Аналогичное Р — напряжение в элементе; Е — модуль Юнга; l — длина элемента; А1 — изменение длины элемента. Умножив обе части этого уравнения на площадь S поперечного сечения элемента и продифференцировав по времени, получим $$d(PS)/dt = (ESA)(d\Delta l/dt); d(\Delta l)/dt = V; PS = F; dF/dt = (ES/I)V$$, или V=LM=(dF/dt); LM = 1/(ES).
М и угловые скорости $$\omega$$ — соответственно, аналоги токов и напряжений. Запишем уравнения трех типов простейших элементов.
Rвр – 1/k — аналог электрического сопротивления; k — коэффициент трения вращения.J — аналог электрической емкости (момент инерции элемента).М — крутящий момент; G — модуль сдвига; Jp — полярный момент инерции сечения; $$\theta = d\varphi /dl$$ — относительный угол закручивания.Рассмотрим брус конечной длины, тогда $$\theta = \varphi /l$$, где $$\phi$$ — угол закручивания; l — длина бруса. Продифференцируем обе части уравнения по времени, т. е. $$dM/dt – (GJ_{р}/l)(d\varphi /dt)$$, или если учесть, что $$(d\varphi /dt) = \omega$$ и Lвр = l/(GJp), то $$\omega = L_{вр} (dM/dt)$$, где Lвр — аналог электрической индуктивности (вращательная гибкость).
Аналогичное с — жесткость пружины. Продифференцировав обе части уравнения по времени, получим $$\omega = L_{вp}(dM/dt); L_{вp} = l/c$$.
Математические модели в технологических системах довольно разнообразны.
Для создания технологических структур из РТК необходимо приобрести n PTK для участка. Для этого выделен фонд в сумме N рублей. Стоимость РТК j -ro типа — Cj, а производительность — aj, j = . Требуется выбрать РТК, обеспечивающие максимальную суммарную производительность в пределах установленного денежного лимита N. Математическая модель:
где x = (x1, x2, ..., xj, …, xn); aj >= 0; Cj >= 0; N > 0 — целые числа.
Решение ведется методом ветвей и границ.
Если отбросим требования целочисленности, переменные aj, Cj изменяются непрерывно на отрезке [0, 1]. Решение такой непрерывной задачи будет верхней границей (так как определяется максимум) множества значений целевой функции на соответствующем подмножестве решения. Алгоритм решения непрерывной задачи состоит в следующем. Упорядочим коэффициенты a1, a2, ..., aj ... ап порядке убывания величин $$\lambda _{j} = a_{j} /C_{j}$$ и соответственно этому порядку нумеруем переменные и параметры задачи.
Процедура разбиения (методом ветвей и границ) допустимого множества G, задаваемого ограничениями, такова: разбивают G на два подмножества G1 и G2, первому подмножеству принадлежат все решения с х1=1, а второму — с x1 = 0. Далее каждое из подмножеств G1 и G2 опять разбивают на два: в первом x1 = 1, во втором х1 = 0 и т. д.
На каждом шаге очередного разбиения выбирают подмножество, которому соответствует максимальное значение оценки. Поиск решения заканчивают, если на некотором шаге получают допустимое решение значения целевой функции, на котором шаг будет наибольшим по сравнению с оценками для всех подмножеств — кандидатов на разбиение.
Эти системы основаны на марковском случайном процессе. Физическая система S с течением времени меняет свое состояние (переходит из одного состояния в другое) случайным образом [38]. Тогда в системе S протекает случайный процесс, который называется марковским, если для любого момента времени t0 вероятностные характеристики процесса в "будущем" зависят только от его состояния в данный момент времени t0 и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние. Вероятностные характеристики в "будущем" можно найти: например, вероятность того, что через некоторое время $$\tau$$ система S окажется в состоянии S1 или сохранит состояние S0 и т. .
Таким образом, в марковском случайном процессе "будущее" зависит от "прошлого" только через "настоящее".
Рассматривая марковские процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем, удобно будет представлять, что все переходы системы S из состояния в состояние происходят под действием каких-то потоков событий (поток вызовов, отказов, восстановлений и т. п.). Если все потоки событий, переводящие систему S из состояния в состояние, — простейшие, то процесс, протекающий в системе, будет марковским. Это и естественно, так как простейший поток не обладает последействием: в нем "будущее" не зависит от "прошлого".
Если система S находится в каком-то состоянии Si, из которого есть непосредственный переход в другое состояние Sj (стрелка, ведущая из Si в Sj на графе состояний), то это можно представлять так, как будто на систему, пока она находится в состоянии Sj, действует простейший поток событий, приводящий ее по стрелке Si – Sj. Как только появится первое событие этого потока, происходит "перескок" системы из Si в Sj.
Для наглядности очень удобно представлять граф состояний. Построим размеченный граф состояний для технического устройства из двух узлов. Состояния системы будут:
S0 — оба узла исправны;S1 — первый узел ремонтируется, второй исправен;S2 — второй узел ремонтируется, первый исправен;S3 — оба узла ремонтируются.Интенсивность потоков событий, переводящих систему из состояния в состояние, вычисляется при условии, что среднее время ремонта узла не зависит от того, ремонтируется ли один узел или оба сразу. Это будет именно так, если ремонтом каждого узла занят отдельный специалист. Найдем все интенсивности потоков событий, переводящих систему из состояния в состояние. Пусть система находится в состоянии So. Какой поток событий переводит ее в состояние S1? Очевидно, поток отказов первого узла. Его интенсивность $$\lambda _{1}$$ равна единице, деленной на среднее время безотказной работы первого узла. Какой поток событий переводит систему обратно из Si в Sj? Очевидно, поток "окончаний ремонтов" первого узла. Его интенсивность $$\mu _{1}$$ равна единице, деленной на среднее время ремонта первого узла. Аналогично вычисляются
интенсивности потоков событий, переводящих систему по всем стрелкам графа рис 13.2.
Имея в своем распоряжении размеченный граф состояний системы, легко построить математическую модель данного процесса.
В самом деле, пусть рассматривается система S, имеющая n возможных состояний S1, S2, …, Sn. Назовем вероятностью i -го состояния вероятность pi(t) того, что в момент t система будет находиться в состоянии Sj. Очевидно, что для любого момента сумма всех вероятностей состояний равна единице:
(рис 13.2) Размеченный графИмея в своем распоряжении размеченный граф состояний, можно найти все вероятности состояний pi(t) как функции времени. Для этого составляют и решают так называемые уравнения Колмогорова — особый вид дифференциальных уравнений, в которых неизвестными функциями являются вероятности состояний.
На рис 13.3 приводится Р — конечное непустое множество позиций (состояний); Т — конечное непустое множество переходов (событий), причем $$p \in P$$ и $$t_{i} \in T; F: Р x Т — \{ 0, 1, 2, \dots \} ; Н: Т x Р \to \{ 0, 1, 2, \dots \}$$ — функции входных и выходных инциденций; $$\mu _{0} : Р \to \{ 0, 1, 2, \dots \}$$ — начальная маркировка. Вершины сети $$p \in P$$ изображены кружками, а вершины $$t_{i} \in T$$ — черточками (маркерами). Дуги соответствуют функциям инцидентности позиций и переходов. Точки в кружочках означают заданную начальную маркировку. Число маркеров в позиции равно значению функции $$\mu : Р \to \{ 0, 1, 2, \dots \}$$. Переход от одной маркировки к другой осуществляется срабатыванием переходов. Переход t может сработать при маркировке $$\mu,$$
если он является возбужденным:
(рис 13.3) Сеть ПетриДанное условие показывает, что в каждой входной позиции перехода t число маркеров не меньше веса дуги, соединяющей эту позицию с переходом. В результате срабатывания перехода t, удовлетворяющего условию (13.10), маркировку $$\mu$$ заменяют маркировкой $$\mu '$$ по следующему правилу:
По этому правилу в результате срабатывания из всех входных позиций перехода t изымается F(p,t) маркеров и в каждую выходную позицию добавляется H(t,p) маркеров. Это означает, что маркировка $$\mu '$$ непосредственно достижима из маркировки $$\mu.$$ Функционирование
Состояние сети в данный момент времени определяется ее текущей маркировкой. Важная характеристика t дугой, помеченной символами перехода $$t \in T$$ или $$\mu ^{t} \to \mu '$$. Маркировка $$\mu '$$ такая последовательность переходов: $$\tau = t_{1}, t_{2}, \dots , t_{k}$$ является достижимой из маркировки $$\mu,$$ если существует, что $$\mu ^{t1}\to \mu '^{t2} \to \dots \mu ^{ tk} \to \mu$$.
В качестве примера рассматривается
$$N = (Р, Т, F, Н, \mu _{0})$$, где Р = {Р1, Р2, Р3, Р4, Р5},
$$T = \{ t_{1}, t_{2}, t_{3}, t_{4}, t_{5}\} , \mu _{0} = (1, 1, 0, 0, 0)$$. Функции F и Н заданы матрицами
| P1 | P2 | P3 | P4 | P5 | ||
| H = | t1 | 0 | 0 | 1 | 2 | 0 |
| t2 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | |
| t3 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | |
| t4 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| t1 | t2 | t3 | t4 | ||
| F = | P1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| P2 | 1 | 0 | 0 | 0 | |
| P3 | 0 | 1 | 0 | 0 | |
| P4 | 0 | 0 | 1 | 0 | |
| P5 | 0 | 0 | 0 | 1 |
Фрагмент графа достижимости для
(рис 13.4) Фрагмент графа достижимости сети Петри
Структурные или структурно-логические модели, согласно ГОСТ 14.416-83, подразделяются на
Здесь Si — свойства моделей, влияющих на содержание проектирования; F(S) — набор свойств, если все графы объектов Ак, проектируемых по данной модели, простые пути или цепи, Fg = 1 и Fg = 0 в противном случае; Fn — набор свойств, учитывающих число элементов во всех вариантах объектов Ak ( Fn = 1 — число элементов во всех ai одинаково, Fn = 0 — в противном случае); $$F_{\lambda }$$ — набор свойств, учитывающих отношения между любыми элементами объекта $$a_{i}a_{j} \in А_{k}$$ во всех вариантах объектов Аk ( $$F_{\lambda } = 1$$ — отношение не меняется, $$F_{\lambda } = 0$$ — в противном случае); Fа — набор свойств,
учитывающих состав элементов ai в Аk ( Fа = 1 — состав одинаков, Fа = 0 — в противном случае).
| Fg | Fa | $$F_{\lambda}$$ | Fn | ||
| [Si x F(S)] = | 1 | 1 | 1 | 1 | S1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | S2 | |
| 1 | 1 | 0 | 1 | S3 | |
| 1 | 1 | 0 | 0 | S4 | |
| 1 | 0 | 1 | 0 | S5 | |
| 1 | 0 | 0 | 0 | S6 | |
| 0 | 1 | 1 | 1 | S7 | |
| 0 | 1 | 1 | 0 | S8 | |
| 0 | 1 | 0 | 1 | S9 | |
| 0 | 1 | 0 | 0 | S10 | |
| 0 | 0 | 1 | 0 | S11 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | S12 |
В матрице (13.2) модели класса Si называют F(Аk) соответствует единственный вариант проектируемого объекта Аk, поэтому S2 , S5 , S7 , S8 и S11 называют Аk, однако во всех вариантах сохраняется неизменным соотношение порядка между входящими элементами. Модели классов S3 , S4 , S6 , S9 , S10 и S12 называют Аk в перестановочных объектах обычно задается с помощью графа, содержащего ориентировочные циклы, причем все варианты объектов Аk, проектируемые по
Объектом проектирования Аk может быть технологический процесс, операция или технологический переход. Если рассматривать технологический процесс в качестве объекта проектирования, то операции будут элементами. При проектировании операции элементами будут технологические переходы.
Если Аk должен содержать фиксированный набор элементов $$a_{i} \in А_{k},$$ то
Если Аk может содержать любой элемент $$a_{i} \in А_{k}$$, то
А если какой-либо единственный элемент $$a_{i} \in А_{k}$$, то
$$A=a_1\nabla a_2\nabla,\ldots,\nabla a_i\nabla,\ldots,\nabla a_n=\bigtriangledown\limits_{i=1}^n a_i$$При обработке группы деталей на токарном прутковом автомате с помощью F1, F2, ...., F8 с определенными свойствами, поэтому состав свойств поверхностей, относящихся к группе деталей, будет
Если ввести совокупность свойств более высокого уровня:
$$F_1' = \{F_1, F_2, F_4, F_8\}, \mbox { то получим}$$ $$F'A) = F_1' \vee F_3 \vee F_5 \vee F_6 \vee F_7,$$а если совокупность свойств деталей 1-й, 2-й, 3-й групп (соответственно, элементам а1, а2, а3 группы А деталей, т. е. $$а_{1}, а_{2}, а_{3} \in А$$ ), то получим
k -го уровня рассматривается как элемент на соседнем более высоком (k–1) -м уровне абстрагирования.
(рис 13.1) Представление структуры объектаПредставим структуру некоторого объекта в виде множества элементов (рис 13.1) и связей между ними.
Выделим в соответствии с vi, zj или uk. Здесь vi относится к внутренним связям между элементами данного блока, zj и uk относятся к выходам и входам блока соответственно.
Рассмотрим важные для функциональных моделей понятия
где V, Z и U — векторы внутренних, выходных и входных фазовых переменных блока.
При большом количестве элементов размерность вектора V и порядок системы уравнений (13.2) становятся чрезмерно большими и требуют упрощения.
При переходе к более высокому иерархическому уровню упрощения они основаны на исключении из модели вектора внутренних переменных V. Полученная модель представляет собой систему уравнений
существенно меньшей размерности, чем
Модели (13.2) и (13.3) относятся друг к другу как п -м уровне иерархии. На более высоком (п–1) -м уровне блок А рассматривается как элемент, и (п–1) -м уровне.
В зависимости от сложности объекта при его проектировании используют большее или меньшее число уровней абстракции. Объединение уровней, родственных по характеру используемого математического аппарата, приводит к образованию в иерархии функциональных моделей для большинства проектируемых сложных объектов трех укрупненных уровней:
На
К типичным фазовым переменным на F и $$\psi$$ в уравнениях (13.2) фигурируют дифференциальные и интегральные операторы. Уравнения (13.2), дополненные краевыми условиями, составляют ММ объектов на
На
На
Модели на
где х, у, z — пространственные координаты; $$\phi$$ — искомая непрерывная функция; Кх, Ку, Kz — коэффициенты; Q — внешнее воздействие.
В двумерном случае при Кх = Kv = 1 уравнение (13.4) сводится к уравнению, которое описывает напряженное состояние, возникающее в поперечном сечении упругого однородного стержня под воздействием крутящего момента М:
где Е — модуль сдвига материала стержня; $$\theta$$ — угол закручивания на единицу длины, $$\phi$$ — функция, связанная с напряжениями сдвига $$\tau _{х}$$ и $$\tau _{у}$$ уравнениями
В уравнение (13.6) в явном виде не входит крутящий момент, связанный с искомой функцией напряжения $$\varphi$$ уравнением
$$M=2\int\limits_S \varphi dS,$$где S — площадь рассматриваемого сечения.
Точное решение краевых задач получают только в частных случаях. Поэтому реализация таких моделей заключается в использовании различных приближенных моделей. Широкое распространение получили модели на основе интегральных уравнений и модели на основе метода сеток. Одним из наиболее популярных методов решения краевых задач в САПР является метод конечных элементов.
Большинство технических подсистем характеризуется
I и напряжения U. Запишем уравнения трех типов простейших элементов.
I = U/R, где R — электрическое сопротивление.I = C(dU/dt), где С — электрическая емкость.U = L(dI/dt), где L — электрическая индуктивность.F и скорости V — соответственно аналоги токов и напряжений. Запишем уравнения трех типов простейших элементов:
F = V/RM, где RM = 1/k — аналог электрического сопротивления; к — коэффициент вязкого трения.F = mа = См (dV/dt), где а = dV/dt — ускорение; См = m — аналог электрической емкости (масса элемента).F = kх, где х — перемещение; k — жесткость пружины.Продифференцируем обе части уравнения по времени: dF/dt = kV, или V = LM(dF/dt), где LM = 1/k — аналог электрической индуктивности.
Аналогичное Р — напряжение в элементе; Е — модуль Юнга; l — длина элемента; А1 — изменение длины элемента. Умножив обе части этого уравнения на площадь S поперечного сечения элемента и продифференцировав по времени, получим $$d(PS)/dt = (ESA)(d\Delta l/dt); d(\Delta l)/dt = V; PS = F; dF/dt = (ES/I)V$$, или V=LM=(dF/dt); LM = 1/(ES).
М и угловые скорости $$\omega$$ — соответственно, аналоги токов и напряжений. Запишем уравнения трех типов простейших элементов.
Rвр – 1/k — аналог электрического сопротивления; k — коэффициент трения вращения.J — аналог электрической емкости (момент инерции элемента).М — крутящий момент; G — модуль сдвига; Jp — полярный момент инерции сечения; $$\theta = d\varphi /dl$$ — относительный угол закручивания.Рассмотрим брус конечной длины, тогда $$\theta = \varphi /l$$, где $$\phi$$ — угол закручивания; l — длина бруса. Продифференцируем обе части уравнения по времени, т. е. $$dM/dt – (GJ_{р}/l)(d\varphi /dt)$$, или если учесть, что $$(d\varphi /dt) = \omega$$ и Lвр = l/(GJp), то $$\omega = L_{вр} (dM/dt)$$, где Lвр — аналог электрической индуктивности (вращательная гибкость).
Аналогичное с — жесткость пружины. Продифференцировав обе части уравнения по времени, получим $$\omega = L_{вp}(dM/dt); L_{вp} = l/c$$.
Математические модели в технологических системах довольно разнообразны.
Для создания технологических структур из РТК необходимо приобрести n PTK для участка. Для этого выделен фонд в сумме N рублей. Стоимость РТК j -ro типа — Cj, а производительность — aj, j = . Требуется выбрать РТК, обеспечивающие максимальную суммарную производительность в пределах установленного денежного лимита N. Математическая модель:
где x = (x1, x2, ..., xj, …, xn); aj >= 0; Cj >= 0; N > 0 — целые числа.
Решение ведется методом ветвей и границ.
Если отбросим требования целочисленности, переменные aj, Cj изменяются непрерывно на отрезке [0, 1]. Решение такой непрерывной задачи будет верхней границей (так как определяется максимум) множества значений целевой функции на соответствующем подмножестве решения. Алгоритм решения непрерывной задачи состоит в следующем. Упорядочим коэффициенты a1, a2, ..., aj ... ап порядке убывания величин $$\lambda _{j} = a_{j} /C_{j}$$ и соответственно этому порядку нумеруем переменные и параметры задачи.
Процедура разбиения (методом ветвей и границ) допустимого множества G, задаваемого ограничениями, такова: разбивают G на два подмножества G1 и G2, первому подмножеству принадлежат все решения с х1=1, а второму — с x1 = 0. Далее каждое из подмножеств G1 и G2 опять разбивают на два: в первом x1 = 1, во втором х1 = 0 и т. д.
На каждом шаге очередного разбиения выбирают подмножество, которому соответствует максимальное значение оценки. Поиск решения заканчивают, если на некотором шаге получают допустимое решение значения целевой функции, на котором шаг будет наибольшим по сравнению с оценками для всех подмножеств — кандидатов на разбиение.
Эти системы основаны на марковском случайном процессе. Физическая система S с течением времени меняет свое состояние (переходит из одного состояния в другое) случайным образом [38]. Тогда в системе S протекает случайный процесс, который называется марковским, если для любого момента времени t0 вероятностные характеристики процесса в "будущем" зависят только от его состояния в данный момент времени t0 и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние. Вероятностные характеристики в "будущем" можно найти: например, вероятность того, что через некоторое время $$\tau$$ система S окажется в состоянии S1 или сохранит состояние S0 и т. .
Таким образом, в марковском случайном процессе "будущее" зависит от "прошлого" только через "настоящее".
Рассматривая марковские процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем, удобно будет представлять, что все переходы системы S из состояния в состояние происходят под действием каких-то потоков событий (поток вызовов, отказов, восстановлений и т. п.). Если все потоки событий, переводящие систему S из состояния в состояние, — простейшие, то процесс, протекающий в системе, будет марковским. Это и естественно, так как простейший поток не обладает последействием: в нем "будущее" не зависит от "прошлого".
Если система S находится в каком-то состоянии Si, из которого есть непосредственный переход в другое состояние Sj (стрелка, ведущая из Si в Sj на графе состояний), то это можно представлять так, как будто на систему, пока она находится в состоянии Sj, действует простейший поток событий, приводящий ее по стрелке Si – Sj. Как только появится первое событие этого потока, происходит "перескок" системы из Si в Sj.
Для наглядности очень удобно представлять граф состояний. Построим размеченный граф состояний для технического устройства из двух узлов. Состояния системы будут:
S0 — оба узла исправны;S1 — первый узел ремонтируется, второй исправен;S2 — второй узел ремонтируется, первый исправен;S3 — оба узла ремонтируются.Интенсивность потоков событий, переводящих систему из состояния в состояние, вычисляется при условии, что среднее время ремонта узла не зависит от того, ремонтируется ли один узел или оба сразу. Это будет именно так, если ремонтом каждого узла занят отдельный специалист. Найдем все интенсивности потоков событий, переводящих систему из состояния в состояние. Пусть система находится в состоянии So. Какой поток событий переводит ее в состояние S1? Очевидно, поток отказов первого узла. Его интенсивность $$\lambda _{1}$$ равна единице, деленной на среднее время безотказной работы первого узла. Какой поток событий переводит систему обратно из Si в Sj? Очевидно, поток "окончаний ремонтов" первого узла. Его интенсивность $$\mu _{1}$$ равна единице, деленной на среднее время ремонта первого узла. Аналогично вычисляются
интенсивности потоков событий, переводящих систему по всем стрелкам графа рис 13.2.
Имея в своем распоряжении размеченный граф состояний системы, легко построить математическую модель данного процесса.
В самом деле, пусть рассматривается система S, имеющая n возможных состояний S1, S2, …, Sn. Назовем вероятностью i -го состояния вероятность pi(t) того, что в момент t система будет находиться в состоянии Sj. Очевидно, что для любого момента сумма всех вероятностей состояний равна единице:
(рис 13.2) Размеченный графИмея в своем распоряжении размеченный граф состояний, можно найти все вероятности состояний pi(t) как функции времени. Для этого составляют и решают так называемые уравнения Колмогорова — особый вид дифференциальных уравнений, в которых неизвестными функциями являются вероятности состояний.
На рис 13.3 приводится Р — конечное непустое множество позиций (состояний); Т — конечное непустое множество переходов (событий), причем $$p \in P$$ и $$t_{i} \in T; F: Р x Т — \{ 0, 1, 2, \dots \} ; Н: Т x Р \to \{ 0, 1, 2, \dots \}$$ — функции входных и выходных инциденций; $$\mu _{0} : Р \to \{ 0, 1, 2, \dots \}$$ — начальная маркировка. Вершины сети $$p \in P$$ изображены кружками, а вершины $$t_{i} \in T$$ — черточками (маркерами). Дуги соответствуют функциям инцидентности позиций и переходов. Точки в кружочках означают заданную начальную маркировку. Число маркеров в позиции равно значению функции $$\mu : Р \to \{ 0, 1, 2, \dots \}$$. Переход от одной маркировки к другой осуществляется срабатыванием переходов. Переход t может сработать при маркировке $$\mu,$$
если он является возбужденным:
(рис 13.3) Сеть ПетриДанное условие показывает, что в каждой входной позиции перехода t число маркеров не меньше веса дуги, соединяющей эту позицию с переходом. В результате срабатывания перехода t, удовлетворяющего условию (13.10), маркировку $$\mu$$ заменяют маркировкой $$\mu '$$ по следующему правилу:
По этому правилу в результате срабатывания из всех входных позиций перехода t изымается F(p,t) маркеров и в каждую выходную позицию добавляется H(t,p) маркеров. Это означает, что маркировка $$\mu '$$ непосредственно достижима из маркировки $$\mu.$$ Функционирование
Состояние сети в данный момент времени определяется ее текущей маркировкой. Важная характеристика t дугой, помеченной символами перехода $$t \in T$$ или $$\mu ^{t} \to \mu '$$. Маркировка $$\mu '$$ такая последовательность переходов: $$\tau = t_{1}, t_{2}, \dots , t_{k}$$ является достижимой из маркировки $$\mu,$$ если существует, что $$\mu ^{t1}\to \mu '^{t2} \to \dots \mu ^{ tk} \to \mu$$.
В качестве примера рассматривается
$$N = (Р, Т, F, Н, \mu _{0})$$, где Р = {Р1, Р2, Р3, Р4, Р5},
$$T = \{ t_{1}, t_{2}, t_{3}, t_{4}, t_{5}\} , \mu _{0} = (1, 1, 0, 0, 0)$$. Функции F и Н заданы матрицами
| P1 | P2 | P3 | P4 | P5 | ||
| H = | t1 | 0 | 0 | 1 | 2 | 0 |
| t2 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | |
| t3 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | |
| t4 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| t1 | t2 | t3 | t4 | ||
| F = | P1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| P2 | 1 | 0 | 0 | 0 | |
| P3 | 0 | 1 | 0 | 0 | |
| P4 | 0 | 0 | 1 | 0 | |
| P5 | 0 | 0 | 0 | 1 |
Фрагмент графа достижимости для
(рис 13.4) Фрагмент графа достижимости сети Петри
Структурные или структурно-логические модели, согласно ГОСТ 14.416-83, подразделяются на
Здесь Si — свойства моделей, влияющих на содержание проектирования; F(S) — набор свойств, если все графы объектов Ак, проектируемых по данной модели, простые пути или цепи, Fg = 1 и Fg = 0 в противном случае; Fn — набор свойств, учитывающих число элементов во всех вариантах объектов Ak ( Fn = 1 — число элементов во всех ai одинаково, Fn = 0 — в противном случае); $$F_{\lambda }$$ — набор свойств, учитывающих отношения между любыми элементами объекта $$a_{i}a_{j} \in А_{k}$$ во всех вариантах объектов Аk ( $$F_{\lambda } = 1$$ — отношение не меняется, $$F_{\lambda } = 0$$ — в противном случае); Fа — набор свойств,
учитывающих состав элементов ai в Аk ( Fа = 1 — состав одинаков, Fа = 0 — в противном случае).
| Fg | Fa | $$F_{\lambda}$$ | Fn | ||
| [Si x F(S)] = | 1 | 1 | 1 | 1 | S1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | S2 | |
| 1 | 1 | 0 | 1 | S3 | |
| 1 | 1 | 0 | 0 | S4 | |
| 1 | 0 | 1 | 0 | S5 | |
| 1 | 0 | 0 | 0 | S6 | |
| 0 | 1 | 1 | 1 | S7 | |
| 0 | 1 | 1 | 0 | S8 | |
| 0 | 1 | 0 | 1 | S9 | |
| 0 | 1 | 0 | 0 | S10 | |
| 0 | 0 | 1 | 0 | S11 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | S12 |
В матрице (13.2) модели класса Si называют F(Аk) соответствует единственный вариант проектируемого объекта Аk, поэтому S2 , S5 , S7 , S8 и S11 называют Аk, однако во всех вариантах сохраняется неизменным соотношение порядка между входящими элементами. Модели классов S3 , S4 , S6 , S9 , S10 и S12 называют Аk в перестановочных объектах обычно задается с помощью графа, содержащего ориентировочные циклы, причем все варианты объектов Аk, проектируемые по
Объектом проектирования Аk может быть технологический процесс, операция или технологический переход. Если рассматривать технологический процесс в качестве объекта проектирования, то операции будут элементами. При проектировании операции элементами будут технологические переходы.
Если Аk должен содержать фиксированный набор элементов $$a_{i} \in А_{k},$$ то
Если Аk может содержать любой элемент $$a_{i} \in А_{k}$$, то
А если какой-либо единственный элемент $$a_{i} \in А_{k}$$, то
$$A=a_1\nabla a_2\nabla,\ldots,\nabla a_i\nabla,\ldots,\nabla a_n=\bigtriangledown\limits_{i=1}^n a_i$$При обработке группы деталей на токарном прутковом автомате с помощью F1, F2, ...., F8 с определенными свойствами, поэтому состав свойств поверхностей, относящихся к группе деталей, будет
Если ввести совокупность свойств более высокого уровня:
$$F_1' = \{F_1, F_2, F_4, F_8\}, \mbox { то получим}$$ $$F'A) = F_1' \vee F_3 \vee F_5 \vee F_6 \vee F_7,$$а если совокупность свойств деталей 1-й, 2-й, 3-й групп (соответственно, элементам а1, а2, а3 группы А деталей, т. е. $$а_{1}, а_{2}, а_{3} \in А$$ ), то получим
Для получения официальных документов о завершении программы дополнительного профессионального образования (удостоверения о повышении квалификации, дипломов о профессиональной переподготовке и MBA) необходимо предоставить:
Внимание! Вы можете не заказывать доставку бумажной версии официального документы, а скачать его в электронном виде и распечатать самостоятельно. Информация о выданном документе в течение 1 месяца загружается в Федеральную информационную систему «Федеральный реестр сведений о документах об образовании и (или) о квалификации, документах об обучении» - ФИС ФРДО.
Доступ на новый сайт осуществляется с использованием адреса электронной почты, который был указан вами при регистрации на "старом". Мы постарались перенести все ваши данные с прежнего ресурса, однако не исключена вероятность потери части информации.
При возникновении проблемы со входом, воспользуйтесь функцией сброса пароля
Если вы обнаружите несоответствия, пожалуйста, сообщите нам.