Базисные средства манипулирования реляционными данными: реляционное исчисление

Исчисление кортежей

Для определения кортежной переменной используется оператор RANGE. Например, для того чтобы определить переменную СЛУЖАЩИЙ, областью определения которой является отношение СЛУЖАЩИЕ, нужно употребить конструкцию

RANGE СЛУЖАЩИЙ IS СЛУЖАЩИЕ

Как уже говорилось, из этого определения следует, что в любой момент времени переменная СЛУЖАЩИЙ представляет некоторый кортеж отношения СЛУЖАЩИЕ. При использовании кортежных переменных в формулах можно ссылаться на значение атрибута переменной (это аналогично тому, как, например, при программировании на языке C можно сослаться на значение поля структурной переменной). Например, для того, чтобы сослаться на значение атрибута СЛУ_ИМЯ переменной СЛУЖАЩИЙ, нужно употребить конструкцию СЛУЖАЩИЙ.СЛУ_ИМЯ.

Правильно построенные формулы

Правильно построенная формула (Well-Formed Formula, WFF) служит для выражения условий, накладываемых на кортежные переменные.

Простые условия

Основой WFF являются простые условия, представляющие собой операции сравнения скалярных значений (значений атрибутов переменных или литерально заданных констант). Например, конструкции

СЛУЖАЩИЙ.СЛУ_НОМ = 2934 и

СЛУЖАЩИЙ.СЛУ_НОМ = ПРОЕКТ.ПРОЕКТ_РУК

являются простыми условиями. Первое условие принимает значение true в том и только в том случае, когда значение атрибута СЛУ_НОМ кортежной переменной СЛУЖАЩИЙ равно 2934. Второе условие принимает значение true в том и только в том случае, когда значения атрибутов СЛУ_НОМ и ПРОЕКТ_РУК переменных СЛУЖАЩИЙ и ПРОЕКТ совпадают.

По определению, простое сравнение является WFF, а WFF, заключенная в круглые скобки, представляет собой простое сравнение.

Более сложные варианты WFF строятся с помощью логических связок NOT, AND, OR и IF ... THENЧерез IF … THEN здесь обозначается одна из важных логических функций – импликация. По определению, IF a THEN b эквивалентно NOT a OR b. Хотя операция импликации является избыточной, она явно вводится в реляционное исчисление, поскольку часто требуется на практике для выражения условий. с учетом обычных приоритетов операций ( NOT > AND > OR ) и возможности расстановки скобок. Так, если form – WFF, а comp – простое сравнение, то NOT form, comp AND form, comp OR form и IF comp THEN form являются WFF.

Для примеров воспользуемся отношениями СЛУЖАЩИЕ, ПРОЕКТЫ и НОМЕРА_ПРОЕКТОВ из предыдущей лекции (см. рис. 5.1).

Правильно построенной является следующая формула:

IF СЛУЖАЩИЙ.СЛУ_ИМЯ = 'Иванов'
THEN (СЛУЖАЩИЙ.СЛУ_ЗАРП >= 22400.00 AND СЛУЖАЩИЙ.ПРО_НОМ = 1)

Эта формула будет принимать значение true для следующих значений кортежной переменной СЛУЖАЩИЙ:

Конечно, нужно представлять себе какой-нибудь способ реализации системы, которая сможет по заданной WFF при существующем состоянии базы данных произвести такой результат. И таким очевидным способом является следующий: в некотором порядке просмотреть область определения переменной и к каждому очередному кортежу применить условие. Результатом будет то множество кортежей, для которых при вычислении условия производится значение true. Очевидно, что результат эквивалентен выполнению алгебраической операции СЛУЖАЩИЕ WHERE (NOT (СЛУЖАЩИЙ.СЛУ_ИМЯ = 'Иванов') OR (СЛУЖАЩИЙ.СЛУ_ЗАРП >= 22400.00 AND СЛУЖАЩИЙ.ПРО_НОМ = 1)) над отношением, тело которого представляет собой область определения кортежной переменной.

Пусть имеется следующее определение кортежной переменной ПРОЕКТ:

RANGE ПРОЕКТ IS ПРОЕКТЫ

Вот еще пример правильно построенной формулы:

СЛУЖАЩИЙ.СЛУ_ИМЯ = ПРОЕКТ.ПРОЕКТ_РУК

Эта формула будет принимать значение true для следующих пар значений кортежных переменных СЛУЖАЩИЙ и ПРОЕКТ:

Очевидный способ реализации системы, которая по заданной WFF при существующем состоянии базы данных производит такой результат, заключается в следующем. В некотором порядке просматривать область определения (например) переменной СЛУЖАЩИЙ. Для каждого текущего кортежа из области определения переменной СЛУЖАЩИЙ просматривать область определения переменной ПРОЕКТ. Оставлять в области истинности те пары кортежей, для которых формула принимает значение true. Возможен и альтернативный подход: начать просмотр с области определения переменной ПРОЕКТ, и для каждого кортежа ПРОЕКТ просматривать область определения СЛУЖАЩИЙ.

Здесь нужно сделать несколько замечаний. Во-первых, если бы в данном случае формула была тождественно истинной (например, имела вид

((СЛУЖАЩИЙ.СЛУ_ИМЯ = СЛУЖАЩИЙ.СЛУ_ИМЯ) 
AND (ПРОЕКТ.ПРОЕКТ_РУК = ПРОЕКТ.ПРОЕКТ_РУК))

то областью истинности этой формулы являлось бы декартово произведение (в строгом математическом смысле) тел отношений СЛУЖАЩИЙ и ПРОЕКТ. В реляционном исчислении кортежей, как и в реляционной алгебре, принято иметь дело с операцией расширенного декартова произведения, и поэтому считается, что в подобных случаях областью истинности WFF является отношение, заголовок которого представляет собой объединение заголовков отношений, на телах которых определены кортежные переменные, а кортежи являются объединением соответствующих кортежей из областей определения переменных. При этом имя атрибута результирующего отношения уточняется именем соответствующей переменной. Поэтому правильнее было бы изображать область истинности формулы

СЛУЖАЩИЙ.СЛУ_ИМЯ = ПРОЕКТ.ПРОЕКТ_РУК

следующим образом:

Во-вторых, как видно, показанное результирующее отношение в точности совпадает с результатом алгебраической операции СЛУЖАЩИЕ JOIN ПРОЕКТЫ WHERE СЛУ_ИМЯ = ПРОЕКТ_РУК с учетом особенности именования атрибутов результирующего отношения. Наконец, заметим, что описанный выше способ реализации, который приводит к получению области истинности рассмотренной формулы, в действительности является наиболее общим (и зачастую неоптимальным) способом выполнения операций соединения (он называется методом вложенных циклов – nested loops join ).

Кванторы, свободные и связанные переменные

При построении WFF допускается использование кванторов существования (EXISTS) и всеобщности (FORALL). Если form – это WFF, в которой участвует переменная var, то конструкции EXISTS var (form) и FORALL var (form) представляют собой WFF. По определению, формула EXISTS var (form) принимает значение true в том и только в том случае, если в области определения переменной var найдется хотя бы одно значение (кортеж), для которого WFF form принимает значение true. Формула FORALL var (form) принимает значение true, если для всех значений переменной var из ее области определения WFF form принимает значение true.

Переменные, входящие в WFF, могут быть свободными или связанными. По определению, все переменные, входящие в WFF, при построении которой не использовались кванторы, являются свободными . Фактически, это означает, что если для какого-то набора значений свободных кортежных переменных при вычислении WFF получено значение true, то эти значения кортежных переменных могут входить в результирующее отношение. Если же имя переменной использовано сразу после квантора при построении WFF вида EXISTS var (form) или FORALL var (form), то в этой WFF и во всех WFF, построенных с ее участием, var является связанной переменной . Это означает, что такая переменная не видна за пределами минимальной WFF, связавшей эту переменную. При вычислении значения такой WFF используется не одно значение связанной переменной, а вся область ее определения.

Пусть здесь и далее в этом разделе СЛУ1 и СЛУ2 представляют собой две кортежные переменные, определенные на отношении СЛУЖАЩИЕ. Тогда WFF

EXISTS СЛУ2 (СЛУ1.СЛУ_ЗАРП > СЛУ2.СЛУ_ЗАРП)

для текущего кортежа переменной СЛУ1 принимает значение true в том и только в том случае, если во всем отношении СЛУЖАЩИЕ найдется такой кортеж (ассоциированный с переменной СЛУ2 ), чтобы значение его атрибута СЛУ_ЗАРП удовлетворяло внутреннему условию сравнения. Легко видеть, что эта формула принимает значение true только для тех значений кортежной переменной СЛУ1, которые соответствуют служащим, не получающим минимальную зарплату. Соответствующее множество кортежей показано на рис. 5.2a (для тела отношения СЛУЖАЩИЕ из рис. 5.1).

Правильно построенная формула

FORALL СЛУ2 (СЛУ1.СЛУ_ЗАРП >= СЛУ2.СЛУ_ЗАРП)

для текущего кортежа переменной СЛУ1 принимает значение true в том и только в том случае, если для всех кортежей отношения СЛУЖАЩИЕ (связанных с переменной СЛУ2 ) значения атрибута СЛУ_ЗАРП удовлетворяют условию сравнения. Снова легко видеть, что формула принимает значение true только для тех значений кортежной переменной СЛУ1, которые соответствуют служащим, получающим максимальную зарплатуУпражнение для читателей. Почему в первой формуле (с EXISTS ) использовано условие СЛУ1.СЛУ_ЗАР > СЛУ2.СЛУ_ЗАРП, а второй формуле (с FORALL ) – СЛУ1.СЛУ_ЗАР >= СЛУ2.СЛУ_ЗАРП? . Соответствующее множество кортежей показано на рис. 5.2b.

Очевидно, что показанные на рис. 5.2 отношения соответствуют условиям обеих формул. Но как в данном случае можно реализовать систему, которая по заданной формуле производит правильный результат? Наиболее очевидный способ интерпретации обеих обсуждавшихся выше формул следующий. В некотором порядке просматривать область определения свободной кортежной переменной СЛУ1. Для каждого очередного кортежа из области определения СЛУ1 просматривать область определения связанной переменной СЛУ2 до тех пор, пока не будет установлено истинностное значение формулы для данного кортежа СЛУ1 (в случае наличия квантора существования процесс просмотра для СЛУ2 можно остановить после нахождения первого кортежа, для которого значением подформулы, находящейся под знаком квантора, станет true ; при наличии квантора всеобщности необходимо просмотреть всю область определения СЛУ2 ). Заметим, что здесь мы снова получаем два цикла, как и при интерпретации WFF с двумя свободными переменными. Но в данном случае во внешнем цикле обязательно просматривается область определения свободной переменной.

На самом деле, правильнее говорить не о свободных и связанных переменных, а о свободных и связанных вхождениях переменных. Если переменная var является связанной в WFF form, то во всех WFF, включающих form, вне form может использоваться вхождение того же имени переменной var, которое может быть свободным или связанным, но в любом случае не имеет никакого отношения к вхождению переменной var в WFF form. Вот пример:

EXISTS СЛУ2 (СЛУ1.ПРО_НОМ = СЛУ2.ПРО_НОМ
  AND СЛУ1.СЛУ_НОМЕР != СЛУ2.СЛУ_НОМЕР)
  AND FORALL СЛУ2 (IF СЛУ1.ПРО_НОМ = СЛУ2.ПРО_НОМ
    THEN СЛУ1.СЛУ_ЗАРП = СЛУ2.СЛУ_ЗАРП)

Эта формула принимает значение true только для тех значений переменной СЛУ1, которые соответствуют служащим, участвующим в проектах с более чем одним участником, причем все участники проекта получают одну и ту же зарплату. Здесь мы имеем два связанных вхождения переменной СЛУ2 с совершенно разным смыслом. Грубо говоря, для текущего значения переменной СЛУ1 переменная СЛУ2 два раза "пробежит" свою область определения – первый раз при вычислении части формулы с квантором существования, а второй при вычислении части с квантором всеобщности. Кстати, к тому же результату приведет формула с одним квантором всеобщности вида:

FORALL СЛУ2 (IF (СЛУ1.ПРО_НОМ = СЛУ2.ПРО_НОМ AND
     СЛУ1.СЛУ_НОМЕР != СЛУ2.СЛУ_НОМЕР)
  THEN СЛУ1.СЛУ_ЗАРП = СЛУ2.СЛУ_ЗАРП)

Легко заметить, что кванторы можно трактовать как булевские функции (функции, принимающие значения true или false ) над множеством значений связанной кортежной переменной. С тем же успехом можно ввести в реляционное исчисление числовые функции над множествами, такие, как MIN (минимальное значение), MAX (максимальное значение), AVG (среднее значение) и т. д.

В этом случае можно было бы написать, например, WFF

СЛУ1.СЛУ_ЗАРП > MIN СЛУ2.СЛУ_ЗАРП (СЛУ1.ПРО_НОМ = СЛУ2.ПРО_НОМ)

в области истинности которой содержатся все кортежи отношения СЛУЖАЩИЕ, соответствующие тем служащим, которые получают заработную плату, превышающую минимальную зарплату служащих, участвующих в том же проекте. Понятно, что для получения результирующего отношения можно интерпретировать формулу таким же образом, как в обсуждавшемся выше случае наличия кванторов.

Целевые списки и выражения реляционного исчисления

Итак, WFF обеспечивают средства формулировки условия выборки из отношений БД. Чтобы можно было использовать исчисление для реальной работы с БД, требуется еще один компонент, который определяет набор и имена атрибутов результирующего отношения. Этот компонент называется целевым списком (target list) .

Целевой список строится из целевых элементов, каждый из которых может иметь следующий вид:

Последний вариант требуется в тех случаях, когда в WFF используется несколько свободных переменных с одинаковой областью определения. Фактически применение целевого списка к области истинности WFF эквивалентно действию алгебраической операции проекции, а последний из приведенных вариантов представляет собой некоторую разновидность алгебраической операции переименования атрибута.

Выражением реляционного исчисления кортежей называется конструкция вида target_list WHERE WFF . Значением выражения является отношение, тело которого определяется WFF, а множество атрибутов и их имена – целевым списком.

В качестве простого примера покажем выражение реляционного исчисления кортежей, результат которого совпадает с результатом операции СЛУЖАЩИЕ DIVIDE BY НОМЕРА_ПРОЕКТОВ (рис. 3.11 из лекции 3):

СЛУ1, СЛУ2 RANGE IS СЛУЖАЩИЕ
НОМЕР_ПРОЕКТА range is НОМЕРА_ПРОЕКТОВ
СЛУ1.СЛУ_НОМЕР, СЛУ1.СЛУ_ИМЯ, СЛУ1.СЛУ_ЗАРП
WHERE FORALL НОМЕР_ПРОЕКТА EXISTS СЛУ2
  (СЛУ1.СЛУ_НОМЕР = СЛУ2.СЛУ_НОМЕР AND
  СЛУ1.ПРО_НОМ = НОМЕРА_ПРОЕКТА.ПРО_НОМ)

Конечно, результатом этого выражения является отношение

Исчисление доменов

В исчислении доменов областью определения переменных являются не отношения, а домены. Применительно к базе данных СЛУЖАЩИЕ-ПРОЕКТЫ можно говорить, например, о доменных переменных ИМЯ (значения – допустимые имена) или НОСЛУ (значения – допустимые номера служащих).

Условия членства

Основным формальным отличием исчисления доменов от исчисления кортежей является наличие дополнительного множества предикатов, позволяющих выражать так называемые условия членства. Если R – это n -арное отношение с атрибутами a1, a2, ..., an, то условие членства имеет вид R (ai1 : vi1, ai2 : vi2, ..., aim : vim) (m <= n), где vij – это либо литерально задаваемая константа, либо имя доменной переменной. Условие членства принимает значение true в том и только в том случае, если в отношении R существует кортеж, содержащий указанные значения указанных атрибутов. Если vij – константа, то на атрибут aij накладывается жесткое условие, не зависящее от текущих значений доменных переменных; если же vij – имя доменной переменной, то условие членства может принимать разные значения при разных значениях этой переменной.

Для большей ясности приведем пару примеров. Для простоты будем считать, что мы определили доменные переменные, имена которых совпадают с именами атрибутов отношения СЛУЖАЩИЕ, а в случае, когда требуется несколько доменных переменных, определенных на одном домене, мы будем добавлять в конце имени цифры. WFF исчисления доменов

СЛУЖАЩИЕ (СЛУ_НОМ:2934, СЛУ_ИМЯ:'Иванов',
  СЛУ_ЗАРП:22400.00, ПРО_НОМ:1)

примет значение true в том и только в том случае, когда в теле отношения СЛУЖАЩИЕ содержится кортеж <2934, 'Иванов', 22400.00, 1>. Соответствующие значения доменных переменных образуют область истинности этой WFF. С другой стороны, WFF

СЛУЖАЩИЕ (СЛУ_НОМ:2934, СЛУ_ИМЯ:'Иванов',
  СЛУ_ЗАРП:22400.00, ПРО_НОМ:ПРО_НОМ)

будет принимать значение true для всех комбинаций явно заданных значений и допустимых значений переменной ПРО_НОМ, которые соответствуют кортежам, входящим в тело отношения СЛУЖАЩИЕ. При наличии тела отношения СЛУЖАЩИЕ, показанного на рис. 5.1, областью истинности этой WFF являются два следующих набора значений доменных переменных: <2934, 'Иванов', 22400.00, 1> и <2934, 'Иванов', 22400.00, 2>.

Выражения исчисления доменов

Во всех остальных отношениях формулы и выражения исчисления доменов выглядят похожими на формулы и выражения исчисления кортежей. В частности, формулы могут включать кванторы, и различаются свободные и связанные вхождения доменных переменных.

Для примера выражения исчисления доменов сформулируем с использованием исчисления доменов запрос "Выдать номера и имена служащих, не получающих минимальную заработную плату":

СЛУ_НОМ, СЛУ_ИМЯ WHERE EXISTS СЛУ_ЗАРП1
(СЛУЖАЩИЕ (СЛУ_ЗАРП1) AND
  СЛУЖАЩИЕ (СЛУ_НОМ, СЛУ_ИМЯ, СЛУ_ЗАРП) AND
  СЛУ_ЗАРП > СЛУ_ЗАРП1)

Реляционное исчисление доменов является основой большинства языков запросов, основанных на использовании форм. В частности, на этом исчислении базировался известный язык Query-by-Example, который был первым (и наиболее интересным) языком в семействе языков, основанных на табличных формах.

Заключение

Этой лекцией мы завершаем обзор реляционной модели данных. В последних трех лекциях рассматривалась манипуляционная составляющая реляционной модели данных. Были представлены два варианта реляционной алгебры. Конечно, с формальной точки зрения можно было бы обойтись одним из вариантов, поскольку их выразительные средства эквивалентны. Но алгебра Кодда в большей степени базируется на теории множеств. Базовыми операциями являются переименование атрибутов, объединение, пересечение, взятие разности, декартово произведение, проекция и ограничение. Операция соединения общего вида, хотя и включается в алгебру, является вторичной и явно представляется через другие операции. Фундаментальная же в реляционном подходе операция естественного соединения выражается через соединение общего вида и в алгебру не включается. В терминах алгебры Кодда проще всего определяются алгебраические черты языка SQL, в частности общая семантика оператора SELECT.

Базисом Алгебры A являются операции реляционного отрицания (дополнения), реляционной конъюнкции (или дизъюнкции) и проекции (удаления атрибута). Реляционные аналоги логических операций определяются в терминах отношений на основе обычных теоретико-множественных операций и позволяют выражать напрямую операции пересечения, декартова произведения, естественного соединения, объединения отношений. Путем комбинирования базовых операций выражаются операции переименования атрибутов, соединения общего вида, взятия разности отношений. Алгебра A позволяет лучше осознать логические основы реляционной модели, хотя, безусловно, является в меньшей степени ориентированной на практическое применение, чем алгебра Кодда.

Реляционному исчислению мы отвели меньше места, поскольку не ставили перед собой задачу определить какой-либо полноценный логический язык запросов. Цель состояла в том, чтобы показать возможность декларативной логической формулировки запросов. В этом случае выполнение запроса происходит путем интерпретации логической формулы, а не вычисления алгебраического выражения. Были рассмотрены два варианта реляционного исчисления, первый из которых – реляционное исчисление кортежей – был определен сравнительно полно, а для второго – реляционного исчисления доменов – были только отмечены и проиллюстрированы основные отличительные черты.