Комплексные числа. Общепринятый способ описания квантового состояния использует комплексные, а не вещественные числа. Дадим здесь краткое введение в комплексные числа. Начальной точкой является введение мнимого числа i, которое представляет корень квадратный из минус единицы, мы постулируем $$i^2 = -1$$. Комплексное число записывается в форме а + bi, где а - вещественное число, представляющее вещественную часть комплексного числа, bi - мнимая часть с вещественным числом b. Приведем примеры сложения и умножения комплексных чисел:
Новой операцией над комплексными числами является операция сопряжения, которая меняет знак мнимой части. Операция обычно записывается как надчеркивание комплексного числа:
$$\overline{2+5i} =2-5i.$$Сопряжение имеет следующие свойства, справедливые для любой пары комплексных чисел z и w:
У комплексного числа есть аналог абсолютного значения, называемый нормой (модулем):
$$|а + bi| =\sqrt{ а^2 + b^2}.$$Норма ненулевого комплексного числа - положительное вещественное число. Существует легко проверяемая связь между комплексно сопряженным числом и нормой:
$$z *\bar z = |z|^2 .$$Это отношение позволяет определить операцию деления для комплексных чисел:
$$\frac1z=\frac{\bar z}{{z}^2}$$Приведем пример:
$$\frac{2+5i}{1+3i}=\frac{(2+5i)\overline{(1+3i)}}{|1+3i|^2}=\frac{(2+5i)(1-3i)}{|1+3i|^2}=\frac{17-i}{1^2+3^2}=\frac{17}{10}-\frac{1}{10}i$$Эрмитово векторное пространство состоит из векторов, чьи компоненты являются комплексными числами. Скалярное произведение в Эрмитовом пространстве определяется следующим образом:
$$\begin{pmatrix}z_1\\z_2 \\ \dots \\z_n \end{pmatrix}*\begin{pmatrix}w_1\\w_2 \\ \dots \\w_n \end{pmatrix}=\bar z_1w_1+\bar z_2w_2=\dots + \bar z_nw_n$$При таком определении скалярное произведение ненулевого комплексного вектора с самим собой является положительным веществеиным числом:
$$u*u = |z_1|^2+|z_2|^2+\dots+|z_n|^2$$для
$$u=\begin{pmatrix}z_1\\z_2 \\ \dots \\ z_n \end{pmatrix}$$Это позволяет определить длину комплексного вектора как $$|u| =\sqrt{u*u}$$ Кубит является комплексным вектором:
$$(а + bi) |0\rangle + (с + di) |1\rangle.$$Если при рассмотрении фотона учитывать его поляризацию при поворотах одновременно с линейной поляризацией, то его квантовое состояние моделируется комплексным 1-кубитом.
В общем случае, n-кубит выражается как:
с условием, что длина такого вектора равна 1:
$$\sum_{k=0}^{2^n-1}|z_k|^2=1$$Когда мы выполняем измерение такого n-кубита, вероятность наблюдения значения k равна $$|z_k|^2$$, которая является неотрицательным вещественным числом.
При обсуждении эволюции квантовых состояний в комплексных числах вещественные ортогональные матрицы заменяются матрицами комплексных чисел, удовлетворяющих условию $$А^{-1} = \bar А^$$Т. Здесь сопряженная матрица состоит из сопряженных элементов. Комплексная матрица, удовлетворяющая этому условию называется унитарной матрицей.
Многие функция могут быть расширены и определены для комплексных чисел. В частности, важным примером является комплексная экспоненциальная функция. Экспонента комплексного числа определена следующей формулой Эйлера:
$$e^{a+bi}=e^a(\cos(b)+i\sin(b))$$Комплексная версия дискретного преобразования Фурье основана на комплексной экспоненте. Оказывается, что с комплексной версией ДПФ проще работать, чем с ДПФ для вещественных чисел. Коэффициенты Фурье комплексной последовательности $$(f_0, f_1,\dots , f_{N-1})$$ вычисляются следующим образом:
$$c_p=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{k=0}^{N-1}f_ke^{-2\pi ikp/N}$$Обратное преобразование Фурье восстанавливает исходную последовательность подобным же способом:
$$f_k=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{p=0}^{N-1}c_pe^{2\pi ikp/N}$$Мы можем использовать эти формулы для построения квантового преобразования Фурье в комплексной области, используя унитарные квантовые стандартные элементы.
Физическая реализация кубитов. Фактически, квантовые компьютеры могут быть построены не только на фотонах, но и на основе других физических систем:
Другие квантовые алгоритмы. Квантовые алгоритмы заведомо трудны для проектирования. На сегодняшний день известно лишь небольшое число алгоритмов и они не производят впечатляющего эффекта, подобного алгоритму Шора.
Перечислим несколько примеров квантовых алгоритмов:
f (х) = а.f (х)= f (у))f (х) - классическое вычисление $$f : _n\to В_k$$, . Для заданного а в $$В_k$$ мы хотим решить уравнение f (х) = а. Предположим для простоты, что уравнение имеет единственное решение х = r в $$В_n$$. Выберем $$N = 2^n$$.Начнем с инициализации n-кубита:
Чтобы решить задачу, необходимо увеличить тот коэффициент в кубите, который соответствует искомому терму: $$u = | r\rangle$$ .
Найдем угол $$\beta$$ между векторами v и u - начальным вектором и вектором, дающим решение задачи. Используя скалярное произведение, определим, что $$\cos \beta =\frac{1}{\sqrt{N}}$$ . Это значение близко к нулю, так что $$\beta$$ близко к $$\pi/2$$. Представим $$\beta=\pi/2-\alpha$$ тогда, используя тот факт, что $$\cos(\pi/2-\аlpha) = \sin \аlpha$$, вычислим угол $$\аlpha = \arcsin(1/\sqrt{N})\approx 1/\sqrt{N}$$.
Гровер сумел построить $$R_{2\alpha}$$ - трансформацию поворота на угол $$2\аlpha$$ в плоскости, натянутой на вектора v и u. Оказалось, для этого не нужно знать $$u = |r\rangle$$, достаточно знать, что f (r) = а. Каждый раз, когда применяем этот поворот угол между текущим квантовым состоянием и вектором u уменьшается на $$2\alpha$$. Если $$2k + 1\approx \pi\sqrt{N}/2$$, то после k поворотов получим вектор, близкий к $$u =| r\rangle$$ . Выполнив измерение, получим с высокой степенью вероятности значение r.
Алгоритм Гровера выполняется за $$\sqrt{N}$$ шагов. Это существенное улучшение в сравнения с классическим алгоритмом, требующим в среднем N/2 шагов для решения уравнения f (х) = а методом полного перебора. Если f не имеет отличительных свойств, которые позволили бы найти решение методом, отличным от полного перебора, то ясно, что в классическом случае нельзя построить алгоритм, решающий задачу за $$\sqrt{N}$$ шагов. Так что в случае, когда применим алгоритм Гровера, квантовый метод эффективнее классического.
Конечно достигаемое ускорение в $$\sqrt{N}$$ велико, но не столь значительно, как у алгоритма Шора, где достигается ускорение $$N/\log_2N$$.
Альтернативные квантовые вычислительные схемы. В дополнение к квантовой схеме, рассмотренной в этом курсе, существуют квантовые вычислительные схемы, основанные на других принципах.
В адиабатических квантовых компьютерах квантовые состояния реализованы переходами Джозефсона - сверхпроводящими элементами, охлажденными до температуры, превышающей абсолютный нуль всего на $$1\circ$$ по Кельвину
Управление элементами достигается за счет магнитных полей. Для каждой конфигурации магнитного поля существует множество возможных состояний сверхпроводящих элементов, соответствующие различным энергетическим уровням системы. Нас интересует нахождение основного состояния, то есть состояния с минимальной энергией. Если использовать аналогию с вибрирующей струной, то основное состояние колебания струны соответствует базовой частоте. Давайте представим себе, что "частица", которую мы рассматриваем, это не струна, а скорее ее колебание. Тогда струна в спокойном состоянии соответствует отсутствию частицы, а частица в состоянии с минимальной энергией - базовому состоянию. По аналогии это соответствует изучению улыбки в отсутствии Чеширского кота.
Для поиска основного состояния, дающего решение стоящей перед нами задачи, требуется спроектировать подходящую конфигурацию магнитного поля. Трудность в том, что при создании конфигурации магнитного поля нет гарантии, что наш квантовый процессор находиться в основном состоянии. Возможная стратегия заключается в следующем: вначале создается очень простая конфигурация магнитного поля, для которой основное состояние хорошо известно (и соответствует нулевому значению п-кубита). Мы инициализируем квантовый процессор нулевым основным состоянием. Затем постепенно начинаем изменять конфигурацию магнитного поля, превращая ее в финальную конфигурацию, которая должна давать решение задачи. При изменениях магнитного поля квантовое состояние процессора остается в основном энергетическом состоянии, которое эволюционирует в ответ на изменение магнитного поля. Финальное основное состояние дает решение задачи.
Еще одна модель квантовых вычислений дается топологическими квантовыми компьютерами. В этой модели квантовые вычисления выполняются сцепленными траекториями энионов.
Энионы не являются частицами в обычном понимания, - это скорее возбуждения в системе электронов. Такая система изменяет свое состояние, когда два эниона кружат друг возле друга. Есть надежда, что топологический квантовый компьютер будет более стабильным, так как результат вычислений зависит только от траектории энионов и толерантен к малым возмущениям
Комплексные числа. Общепринятый способ описания квантового состояния использует комплексные, а не вещественные числа. Дадим здесь краткое введение в комплексные числа. Начальной точкой является введение мнимого числа i, которое представляет корень квадратный из минус единицы, мы постулируем $$i^2 = -1$$. Комплексное число записывается в форме а + bi, где а - вещественное число, представляющее вещественную часть комплексного числа, bi - мнимая часть с вещественным числом b. Приведем примеры сложения и умножения комплексных чисел:
Новой операцией над комплексными числами является операция сопряжения, которая меняет знак мнимой части. Операция обычно записывается как надчеркивание комплексного числа:
$$\overline{2+5i} =2-5i.$$Сопряжение имеет следующие свойства, справедливые для любой пары комплексных чисел z и w:
У комплексного числа есть аналог абсолютного значения, называемый нормой (модулем):
$$|а + bi| =\sqrt{ а^2 + b^2}.$$Норма ненулевого комплексного числа - положительное вещественное число. Существует легко проверяемая связь между комплексно сопряженным числом и нормой:
$$z *\bar z = |z|^2 .$$Это отношение позволяет определить операцию деления для комплексных чисел:
$$\frac1z=\frac{\bar z}{{z}^2}$$Приведем пример:
$$\frac{2+5i}{1+3i}=\frac{(2+5i)\overline{(1+3i)}}{|1+3i|^2}=\frac{(2+5i)(1-3i)}{|1+3i|^2}=\frac{17-i}{1^2+3^2}=\frac{17}{10}-\frac{1}{10}i$$Эрмитово векторное пространство состоит из векторов, чьи компоненты являются комплексными числами. Скалярное произведение в Эрмитовом пространстве определяется следующим образом:
$$\begin{pmatrix}z_1\\z_2 \\ \dots \\z_n \end{pmatrix}*\begin{pmatrix}w_1\\w_2 \\ \dots \\w_n \end{pmatrix}=\bar z_1w_1+\bar z_2w_2=\dots + \bar z_nw_n$$При таком определении скалярное произведение ненулевого комплексного вектора с самим собой является положительным веществеиным числом:
$$u*u = |z_1|^2+|z_2|^2+\dots+|z_n|^2$$для
$$u=\begin{pmatrix}z_1\\z_2 \\ \dots \\ z_n \end{pmatrix}$$Это позволяет определить длину комплексного вектора как $$|u| =\sqrt{u*u}$$ Кубит является комплексным вектором:
$$(а + bi) |0\rangle + (с + di) |1\rangle.$$Если при рассмотрении фотона учитывать его поляризацию при поворотах одновременно с линейной поляризацией, то его квантовое состояние моделируется комплексным 1-кубитом.
В общем случае, n-кубит выражается как:
с условием, что длина такого вектора равна 1:
$$\sum_{k=0}^{2^n-1}|z_k|^2=1$$Когда мы выполняем измерение такого n-кубита, вероятность наблюдения значения k равна $$|z_k|^2$$, которая является неотрицательным вещественным числом.
При обсуждении эволюции квантовых состояний в комплексных числах вещественные ортогональные матрицы заменяются матрицами комплексных чисел, удовлетворяющих условию $$А^{-1} = \bar А^$$Т. Здесь сопряженная матрица состоит из сопряженных элементов. Комплексная матрица, удовлетворяющая этому условию называется унитарной матрицей.
Многие функция могут быть расширены и определены для комплексных чисел. В частности, важным примером является комплексная экспоненциальная функция. Экспонента комплексного числа определена следующей формулой Эйлера:
$$e^{a+bi}=e^a(\cos(b)+i\sin(b))$$Комплексная версия дискретного преобразования Фурье основана на комплексной экспоненте. Оказывается, что с комплексной версией ДПФ проще работать, чем с ДПФ для вещественных чисел. Коэффициенты Фурье комплексной последовательности $$(f_0, f_1,\dots , f_{N-1})$$ вычисляются следующим образом:
$$c_p=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{k=0}^{N-1}f_ke^{-2\pi ikp/N}$$Обратное преобразование Фурье восстанавливает исходную последовательность подобным же способом:
$$f_k=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{p=0}^{N-1}c_pe^{2\pi ikp/N}$$Мы можем использовать эти формулы для построения квантового преобразования Фурье в комплексной области, используя унитарные квантовые стандартные элементы.
Физическая реализация кубитов. Фактически, квантовые компьютеры могут быть построены не только на фотонах, но и на основе других физических систем:
Другие квантовые алгоритмы. Квантовые алгоритмы заведомо трудны для проектирования. На сегодняшний день известно лишь небольшое число алгоритмов и они не производят впечатляющего эффекта, подобного алгоритму Шора.
Перечислим несколько примеров квантовых алгоритмов:
f (х) = а.f (х)= f (у))f (х) - классическое вычисление $$f : _n\to В_k$$, . Для заданного а в $$В_k$$ мы хотим решить уравнение f (х) = а. Предположим для простоты, что уравнение имеет единственное решение х = r в $$В_n$$. Выберем $$N = 2^n$$.Начнем с инициализации n-кубита:
Чтобы решить задачу, необходимо увеличить тот коэффициент в кубите, который соответствует искомому терму: $$u = | r\rangle$$ .
Найдем угол $$\beta$$ между векторами v и u - начальным вектором и вектором, дающим решение задачи. Используя скалярное произведение, определим, что $$\cos \beta =\frac{1}{\sqrt{N}}$$ . Это значение близко к нулю, так что $$\beta$$ близко к $$\pi/2$$. Представим $$\beta=\pi/2-\alpha$$ тогда, используя тот факт, что $$\cos(\pi/2-\аlpha) = \sin \аlpha$$, вычислим угол $$\аlpha = \arcsin(1/\sqrt{N})\approx 1/\sqrt{N}$$.
Гровер сумел построить $$R_{2\alpha}$$ - трансформацию поворота на угол $$2\аlpha$$ в плоскости, натянутой на вектора v и u. Оказалось, для этого не нужно знать $$u = |r\rangle$$, достаточно знать, что f (r) = а. Каждый раз, когда применяем этот поворот угол между текущим квантовым состоянием и вектором u уменьшается на $$2\alpha$$. Если $$2k + 1\approx \pi\sqrt{N}/2$$, то после k поворотов получим вектор, близкий к $$u =| r\rangle$$ . Выполнив измерение, получим с высокой степенью вероятности значение r.
Алгоритм Гровера выполняется за $$\sqrt{N}$$ шагов. Это существенное улучшение в сравнения с классическим алгоритмом, требующим в среднем N/2 шагов для решения уравнения f (х) = а методом полного перебора. Если f не имеет отличительных свойств, которые позволили бы найти решение методом, отличным от полного перебора, то ясно, что в классическом случае нельзя построить алгоритм, решающий задачу за $$\sqrt{N}$$ шагов. Так что в случае, когда применим алгоритм Гровера, квантовый метод эффективнее классического.
Конечно достигаемое ускорение в $$\sqrt{N}$$ велико, но не столь значительно, как у алгоритма Шора, где достигается ускорение $$N/\log_2N$$.
Альтернативные квантовые вычислительные схемы. В дополнение к квантовой схеме, рассмотренной в этом курсе, существуют квантовые вычислительные схемы, основанные на других принципах.
В адиабатических квантовых компьютерах квантовые состояния реализованы переходами Джозефсона - сверхпроводящими элементами, охлажденными до температуры, превышающей абсолютный нуль всего на $$1\circ$$ по Кельвину
Управление элементами достигается за счет магнитных полей. Для каждой конфигурации магнитного поля существует множество возможных состояний сверхпроводящих элементов, соответствующие различным энергетическим уровням системы. Нас интересует нахождение основного состояния, то есть состояния с минимальной энергией. Если использовать аналогию с вибрирующей струной, то основное состояние колебания струны соответствует базовой частоте. Давайте представим себе, что "частица", которую мы рассматриваем, это не струна, а скорее ее колебание. Тогда струна в спокойном состоянии соответствует отсутствию частицы, а частица в состоянии с минимальной энергией - базовому состоянию. По аналогии это соответствует изучению улыбки в отсутствии Чеширского кота.
Для поиска основного состояния, дающего решение стоящей перед нами задачи, требуется спроектировать подходящую конфигурацию магнитного поля. Трудность в том, что при создании конфигурации магнитного поля нет гарантии, что наш квантовый процессор находиться в основном состоянии. Возможная стратегия заключается в следующем: вначале создается очень простая конфигурация магнитного поля, для которой основное состояние хорошо известно (и соответствует нулевому значению п-кубита). Мы инициализируем квантовый процессор нулевым основным состоянием. Затем постепенно начинаем изменять конфигурацию магнитного поля, превращая ее в финальную конфигурацию, которая должна давать решение задачи. При изменениях магнитного поля квантовое состояние процессора остается в основном энергетическом состоянии, которое эволюционирует в ответ на изменение магнитного поля. Финальное основное состояние дает решение задачи.
Еще одна модель квантовых вычислений дается топологическими квантовыми компьютерами. В этой модели квантовые вычисления выполняются сцепленными траекториями энионов.
Энионы не являются частицами в обычном понимания, - это скорее возбуждения в системе электронов. Такая система изменяет свое состояние, когда два эниона кружат друг возле друга. Есть надежда, что топологический квантовый компьютер будет более стабильным, так как результат вычислений зависит только от траектории энионов и толерантен к малым возмущениям
Для получения официальных документов о завершении программы дополнительного профессионального образования (удостоверения о повышении квалификации, дипломов о профессиональной переподготовке и MBA) необходимо предоставить:
Внимание! Вы можете не заказывать доставку бумажной версии официального документы, а скачать его в электронном виде и распечатать самостоятельно. Информация о выданном документе в течение 1 месяца загружается в Федеральную информационную систему «Федеральный реестр сведений о документах об образовании и (или) о квалификации, документах об обучении» - ФИС ФРДО.
Доступ на новый сайт осуществляется с использованием адреса электронной почты, который был указан вами при регистрации на "старом". Мы постарались перенести все ваши данные с прежнего ресурса, однако не исключена вероятность потери части информации.
При возникновении проблемы со входом, воспользуйтесь функцией сброса пароля
Если вы обнаружите несоответствия, пожалуйста, сообщите нам.