В этой лекции мы обсудим аксиоматику квантовой механики. Со времен Ньютона понятие физического объекта описывалось с помощью числовых характеристик, таких как позиция объекта, его скорость и ускорение. Физические теории давали точное предсказание будущей траектории движения объекта, если известны начальные условия и все силы, действующие на объект. Квантовая механика утверждает, что будущее не является полностью определенным. Она постулирует, что мы можем предсказать будущие события лишь с некоторой вероятностью, и что неопределенность следует из законов природы.
Состояние квантовой системы - это вектор длины 1 в пространстве состояний. Для наших целей квантовых вычислений мы будем рассматривать это пространство как $$2^n$$-мерное пространство n-кубита для некоторого значения n. Пространство n-кубита является $$2^n$$-мерным пространством, поскольку каждый n-кубит имеет $$2^n$$ компонент, также как в 3-х мерном пространстве каждый вектор имеет 3 компоненты. В общем случае, в квантовой механике пространство может иметь любую размерность и быть даже бесконечномерным пространством. Более того, в общепринятой формализации квантовой механики компоненты векторов являются комплексными числами, но мы для простоты рассмотрения ограничиваемся ситуацией, когда компоненты представлены вещественными числами.
В классической механике траектория движения объекта описывается вторым законом Ньютона, математически представленным в виде дифференциального уравнения. Второй закон Ньютона гласит, что произведение массы на ускорение равно силе, действующей на объект, а ускорение является второй производной от позиции объекта. Таким образом мы получаем уравнение для второй производной, представляющее дифференциальное уравнение.
В квантовой механике эволюция квантовой системы также описывается некоторым дифференциальным уравнением, называемым уравнением Шредингера. Уравнение Шредингера само по себе для нашего изложения не так важно, поэтому мы не будем выписывать его непосредственно. Для нас более важен тот факт, что эволюция замкнутой квантовой системы задается ортогональными линейными трансформациями. В следующей лекции мы детально объясним, что представляют собой эти трансформации.
Вероятностная природа квантовой механики проявляется в процессе измерений. Измерение является единственным способом извлечения данных, определяющих квантовое состояние.
Рассмотрим n-кубит
с нормализацией (длина вектора равна 1)
$$\sum^{2^n-1}_{k=0}a^2_k=1$$Когда мы будем вьполнять измерение состояния этого кубита, то получим одно из классических значений совокупности n битов от 000...0 до 111...1, где значение k (в двоичном представления) появится с вероятностью $$а^2_k$$. Условие нормализации говорит, что сумма вероятностей всех возможных событий равна 1, как и должно быть.
Для проведения измерений мы должны активно воздействовать на квантовую систему В результате сразу же после измерения квантовая система разрушается. После измерения квантовая система переходит в чистое состояние, соответствующее наблюденному значению.
Например, если мы выполним измерение для 2-кубита
$$0.3|00\rangle +0.1|01\rangle +0.9|10\rangle +0.3|11\rangle$$то возможны 4 исхода:
Зачастую нам требуется измерить состояние лишь некоторых кубитов в большом n-кубите. Давайте обсудим, что происходит в подобной ситуации. Предположим у нас есть 3-кубит:
Мы хотим измерить состояние первых двух битов кубита, но не трогать третий бит. Для первых двух битов возможны 4 наблюдаемых состояния: 00, 01, 10 и 11. Каковы вероятности возможных исходов? После измерения первые два бита получат определенные значения, значение третьего бита не будет фиксировано. Вероятность наблюдения для первых двух битов значения "00" определяется коэффициентами первых двух термов в записи 3-кубита: $$0.09 + 0.36 = 0.45$$. Для нормализации состояния третьего не наблюдаемого бита необходимо коэффициенты этих двух термов разделить на корень квадратный из вероятности появления данного исхода. В нашем примере получим следующие результаты:
Заметьте, учитывая особенности нашего 3-кубита, в последних двух случаях вероятность того, что третий бит соответственно принимает значения 1 и 0, равна 1.
Опишем теперь, как можно реализовать процедуру измерения, используя поляризационные фильтры. Мы можем использовать зеркально подобный поляризационный фильтр, который отражает свет с горизонтальной поляризацией $$|10\rangle$$ и позволяет пропускать свет с вертикальной поляризацией $$|10\rangle$$. Что произойдет, когда фотон с линейной поляризацией под углом а проходит через этот фильтр? Нельзя в точности предсказать, что произойдет с фотоном, поскольку исход эксперимента носит вероятностный характер. Начальное состояние фотона:
$$\соs(\alpha) |10\rangle + \sin(\alpha) |1\rangle$$С вероятностью $$\cos^2 (\alpha)$$ фотон отразится и изменит свою поляризацию на горизонтальную $$|0\rangle$$, с вероятностью $$\sin^2(\alpha)$$ фотон пройдет через фильтр и изменит свою поляризацию на вертикальную $$|1\rangle$$ .
Если вынуть фильтры, применяемые в 3D очках, и поместить друг против друга эти два поляризованных фильтра, то можно заметить, что в одном положении они будут совершенно прозрачными, но стоит один фильтр повернуть на 90 градусов относительно другого, то свет будет блокирован. При вращении прозрачность постепенно меняется и в соответствии с приведенным выше объяснением интенсивность проходящего света пропорциональна $$\соs^2 (\аlpha)$$, где $$\alphа$$ - угол между осями фильтра.
В общем случае схема квантовых вычислений состоит из трех этапов:
n-кубита квантового компьютера, кодируем входные данные алгоритма. Можно все начальные значения положить равными $$|00 \dots 0\rangle$$, если вход встроен в сам алгоритм.Понятно, что главная сложность связана с разработкой квантового алгоритма. Заключительный шаг вычислений носит вероятностный характер и может давать различные результаты. Квантовому алгоритму нужно создать такое состояние, которое в результате измерения будет давать корректный ответ с достаточно высокой степенью вероятности. Так как состояние квантовой системы изменяется в результате измерения, то у нас есть лишь одна попытка извлечения информации из заключительного состояния. Понятно, что из-за вероятностного характера извлечения информации полученный ответ может быть некорректным. К счастью для многих важных задач существует достаточно простой способ проверки корректности ответа на классических компьютерах. Если такого способа нет, то единственное, что остается, запустить алгоритм несколько раз.
Далее мы переходим к обсуждению " запутывания" (entarnglement) -важного феномена в квантовой механике.
Допустим у нас есть два кубита: $$а_0 |0\rangle + а_1 |1\rangle and b_0 |0\rangle + b_1 |1\rangle$$. Нам хотелось бы объединить их и сформировать из них 2-кубит. Это можно сделать, используя операцию тензорного произведения:
$$(а_0|0\rangle+a_1|1\rangle)(b_0|0\rangle+b_1|1\rangle)=a_0b_0|00\rangle+a_0b_1|01\rangle+a_1b_0|10\rangle+a_1b_1|11\rangle$$Можно считать, что выполнялось обычное умножение, а при умножении базисных векторов выполнялась конкатенация: $$|0\rangle |1\rangle = |01\rangle$$.
Физически эта операция соответствует тому, что берутся два невзаимодействующих фотона и они рассматриваются как части единой квантовой системы.
Можно ли сделать противоположное и факторизовать 2-кубит, рассматривая его как произведение двух 1 -кубитов?
Давайте попытаемся проделать это для 2-кубита $$\frac{1}{\sqrt 2}|00\rangle +\frac{1}{\sqrt 2}|11\rangle $$ :
$$\frac{1}{\sqrt 2}|00\rangle +\frac{1}{\sqrt 2}|11\rangle=(a_0|0\rangle+a_1|1\rangle)(b_0|0\rangle+b_1|1\rangle)$$Приравнивая коэффициенты при базисных векторах, получим 4 уравнения:
$$a_0b_0=\frac{1}{\sqrt 2}\\ a_1b_1=\frac{1}{\sqrt 2}\\ a_1b_0=0,\\a_0b_1=0$$Из первых двух уравнений следует, что $$a_0a_1b_0b_1=\frac12$$. Следующие два уравнения для этого произведения дают значение 0. Приходим к противоречию, из которого следует, что наш 2-кубит не может быть представлен как тензорное произведение двух 1-кубитов. Такие квантовые состояния и называются запутанными. Части запутанной квантовой системы не могут рассматриваться независимо.
С физической точки зрения это означает, что фотоны в паре $$\frac{1}{\sqrt 2}|00\rangle +\frac{1}{\sqrt 2|11\rangle $$ взаимодействуют.
Сегодня мы можем генерировать пары запутанных фотонов. Меньше успехов, однако, к запутыванию "на лету" уже существующих фотонов. То, что квантовые компьютеры имеют астрономическую емкость памяти связано с запутанностью. Верно и то, что эффективные квантовые алгоритмы должны использовать запутанные состояния.
Давайте выясним различие между запутанным и незапутанным состоянием с точки зрения измерений. Рассмотрим следующий эксперимент: генерируются пары фотонов и один фотон в каждой паре посылается в точку А (Алисе), другой в точку В (Бобу). Алиса и Боб выполняют измерения на фотонах, которые они получают.
Давайте начнем рассмотрение со случая, когда все пары имеют одно и то же незапутанное состояние:
$$a_0b_0|00\rangle +a_0b_1|01\rangle +a_1b_0|10\rangle +a_1b_1|11\rangle $$Посчитаем вероятность того, что в результате измерений Алиса получит значение " 0". Это значение соответствует двум чистым состояниям: $$|00\rangle$$ и $$|01\rangle$$ и, следовательно, вероятность события равна $$A^2_0B^2_0+A^2_0B^2_1=A^2_0$$. Аналогично, вероятность того, что в результате измерений Боб получит значение " 0", равна $$B^2_0$$.
Определим вероятность наблюдения Алисой " 0" при условии, что Боб наблюдает значение " 0". Такая вероятность называется условной.
Пусть Р(а, b) - это вероятность того, что произошли события а и b. Справедливо следующее соотношение: Р(а, b) = Р(b)Р(а/b), то есть полная вероятность возникновения двух событий а и b равна произведению вероятности появления события b - Р(b) на условную вероятность появления события а при условии, что произошло событие b - Р(а/b). Поскольку события а и b равноправны, то справедливо и соотношение: Р(а, b) = Р(а)Р(b/а). Условная вероятность Р(а/b) - вероятность возникновения события а при условии, что событие b произошло, определяется как отношение Р(а, b)/Р(b).
В нашем случае событие а - Алиса наблюдает значение " 0", событие b -Боб наблюдает значение " 0". Полная вероятность события Р(а, b), когда Алиса и Боб оба наблюдают значение " 0", определяется первым термом кубита и равна $$a^2_0b^2_0$$. Вероятность Р(b) - вероятность того, что Боб наблюдает значение " 0", как мы выяснили, равна $$b^2_0$$. Отсюда следует, что условная вероятность того, что Алиса будет наблюдать " 0", при условии, что Боб наблюдает " 0", равна $$a^2_0$$, что совпадает с безусловной вероятностью наблюдения " 0" Алисой.
В теории вероятностей два события а и b называются независимыми, если вероятность появления события а равна условной вероятности появления события а при условии появления события b. Другими словами, события а и b независимы, если появление одного события никак не влияет на вероятность появления другого события. В этом случае Р(а, b) = Р(а)Р(b).
Продолжим рассмотрение того же эксперимента, но при условии, что пары фотонов находятся в запутанном состоянии: $$]frac{1}{\sqrt 2}|00\rangle +\frac{1}{\sqrt 2}|11\rangle $$.
Здесь с вероятностью 0.5 и Алиса и Боб будут наблюдать значение " 0", и с той же вероятностью 0.5 - значение " 1". Если Боб наблюдает " 0", то это означает, что система находится в состоянии $$|00\rangle$$ и Алиса также будет наблюдать значение " 0", - другого выбора нет. Так что безусловная вероятность для Алисы наблюдать " 0" равна 0.5, а условная вероятность наблюдения Алисой " 0" при условии, что Боб наблюдает " 0", равна 1. Из этого следует, что для запутанных состояний результаты наблюдений для Алисы и Боба не являются независимыми, говорят, что результаты наблюдений в этой ситуации коррелированы.
В 1935 году Эйнштейн, Подольски и Розен написали статью по основаниям квантовой механики, где они выражали мнение, что для запутанной пары частиц, которые пространственно разделены, измерение, выполненное для первой частицы, не отражается на состоянии второй частицы. Это означает, что результаты измерений пространственно разнесенных частиц должны быть независимыми. Последующие эксперименты показали, что они ошибались.
В этой лекции мы обсудим аксиоматику квантовой механики. Со времен Ньютона понятие физического объекта описывалось с помощью числовых характеристик, таких как позиция объекта, его скорость и ускорение. Физические теории давали точное предсказание будущей траектории движения объекта, если известны начальные условия и все силы, действующие на объект. Квантовая механика утверждает, что будущее не является полностью определенным. Она постулирует, что мы можем предсказать будущие события лишь с некоторой вероятностью, и что неопределенность следует из законов природы.
Состояние квантовой системы - это вектор длины 1 в пространстве состояний. Для наших целей квантовых вычислений мы будем рассматривать это пространство как $$2^n$$-мерное пространство n-кубита для некоторого значения n. Пространство n-кубита является $$2^n$$-мерным пространством, поскольку каждый n-кубит имеет $$2^n$$ компонент, также как в 3-х мерном пространстве каждый вектор имеет 3 компоненты. В общем случае, в квантовой механике пространство может иметь любую размерность и быть даже бесконечномерным пространством. Более того, в общепринятой формализации квантовой механики компоненты векторов являются комплексными числами, но мы для простоты рассмотрения ограничиваемся ситуацией, когда компоненты представлены вещественными числами.
В классической механике траектория движения объекта описывается вторым законом Ньютона, математически представленным в виде дифференциального уравнения. Второй закон Ньютона гласит, что произведение массы на ускорение равно силе, действующей на объект, а ускорение является второй производной от позиции объекта. Таким образом мы получаем уравнение для второй производной, представляющее дифференциальное уравнение.
В квантовой механике эволюция квантовой системы также описывается некоторым дифференциальным уравнением, называемым уравнением Шредингера. Уравнение Шредингера само по себе для нашего изложения не так важно, поэтому мы не будем выписывать его непосредственно. Для нас более важен тот факт, что эволюция замкнутой квантовой системы задается ортогональными линейными трансформациями. В следующей лекции мы детально объясним, что представляют собой эти трансформации.
Вероятностная природа квантовой механики проявляется в процессе измерений. Измерение является единственным способом извлечения данных, определяющих квантовое состояние.
Рассмотрим n-кубит
с нормализацией (длина вектора равна 1)
$$\sum^{2^n-1}_{k=0}a^2_k=1$$Когда мы будем вьполнять измерение состояния этого кубита, то получим одно из классических значений совокупности n битов от 000...0 до 111...1, где значение k (в двоичном представления) появится с вероятностью $$а^2_k$$. Условие нормализации говорит, что сумма вероятностей всех возможных событий равна 1, как и должно быть.
Для проведения измерений мы должны активно воздействовать на квантовую систему В результате сразу же после измерения квантовая система разрушается. После измерения квантовая система переходит в чистое состояние, соответствующее наблюденному значению.
Например, если мы выполним измерение для 2-кубита
$$0.3|00\rangle +0.1|01\rangle +0.9|10\rangle +0.3|11\rangle$$то возможны 4 исхода:
Зачастую нам требуется измерить состояние лишь некоторых кубитов в большом n-кубите. Давайте обсудим, что происходит в подобной ситуации. Предположим у нас есть 3-кубит:
Мы хотим измерить состояние первых двух битов кубита, но не трогать третий бит. Для первых двух битов возможны 4 наблюдаемых состояния: 00, 01, 10 и 11. Каковы вероятности возможных исходов? После измерения первые два бита получат определенные значения, значение третьего бита не будет фиксировано. Вероятность наблюдения для первых двух битов значения "00" определяется коэффициентами первых двух термов в записи 3-кубита: $$0.09 + 0.36 = 0.45$$. Для нормализации состояния третьего не наблюдаемого бита необходимо коэффициенты этих двух термов разделить на корень квадратный из вероятности появления данного исхода. В нашем примере получим следующие результаты:
Заметьте, учитывая особенности нашего 3-кубита, в последних двух случаях вероятность того, что третий бит соответственно принимает значения 1 и 0, равна 1.
Опишем теперь, как можно реализовать процедуру измерения, используя поляризационные фильтры. Мы можем использовать зеркально подобный поляризационный фильтр, который отражает свет с горизонтальной поляризацией $$|10\rangle$$ и позволяет пропускать свет с вертикальной поляризацией $$|10\rangle$$. Что произойдет, когда фотон с линейной поляризацией под углом а проходит через этот фильтр? Нельзя в точности предсказать, что произойдет с фотоном, поскольку исход эксперимента носит вероятностный характер. Начальное состояние фотона:
$$\соs(\alpha) |10\rangle + \sin(\alpha) |1\rangle$$С вероятностью $$\cos^2 (\alpha)$$ фотон отразится и изменит свою поляризацию на горизонтальную $$|0\rangle$$, с вероятностью $$\sin^2(\alpha)$$ фотон пройдет через фильтр и изменит свою поляризацию на вертикальную $$|1\rangle$$ .
Если вынуть фильтры, применяемые в 3D очках, и поместить друг против друга эти два поляризованных фильтра, то можно заметить, что в одном положении они будут совершенно прозрачными, но стоит один фильтр повернуть на 90 градусов относительно другого, то свет будет блокирован. При вращении прозрачность постепенно меняется и в соответствии с приведенным выше объяснением интенсивность проходящего света пропорциональна $$\соs^2 (\аlpha)$$, где $$\alphа$$ - угол между осями фильтра.
В общем случае схема квантовых вычислений состоит из трех этапов:
n-кубита квантового компьютера, кодируем входные данные алгоритма. Можно все начальные значения положить равными $$|00 \dots 0\rangle$$, если вход встроен в сам алгоритм.Понятно, что главная сложность связана с разработкой квантового алгоритма. Заключительный шаг вычислений носит вероятностный характер и может давать различные результаты. Квантовому алгоритму нужно создать такое состояние, которое в результате измерения будет давать корректный ответ с достаточно высокой степенью вероятности. Так как состояние квантовой системы изменяется в результате измерения, то у нас есть лишь одна попытка извлечения информации из заключительного состояния. Понятно, что из-за вероятностного характера извлечения информации полученный ответ может быть некорректным. К счастью для многих важных задач существует достаточно простой способ проверки корректности ответа на классических компьютерах. Если такого способа нет, то единственное, что остается, запустить алгоритм несколько раз.
Далее мы переходим к обсуждению " запутывания" (entarnglement) -важного феномена в квантовой механике.
Допустим у нас есть два кубита: $$а_0 |0\rangle + а_1 |1\rangle and b_0 |0\rangle + b_1 |1\rangle$$. Нам хотелось бы объединить их и сформировать из них 2-кубит. Это можно сделать, используя операцию тензорного произведения:
$$(а_0|0\rangle+a_1|1\rangle)(b_0|0\rangle+b_1|1\rangle)=a_0b_0|00\rangle+a_0b_1|01\rangle+a_1b_0|10\rangle+a_1b_1|11\rangle$$Можно считать, что выполнялось обычное умножение, а при умножении базисных векторов выполнялась конкатенация: $$|0\rangle |1\rangle = |01\rangle$$.
Физически эта операция соответствует тому, что берутся два невзаимодействующих фотона и они рассматриваются как части единой квантовой системы.
Можно ли сделать противоположное и факторизовать 2-кубит, рассматривая его как произведение двух 1 -кубитов?
Давайте попытаемся проделать это для 2-кубита $$\frac{1}{\sqrt 2}|00\rangle +\frac{1}{\sqrt 2}|11\rangle $$ :
$$\frac{1}{\sqrt 2}|00\rangle +\frac{1}{\sqrt 2}|11\rangle=(a_0|0\rangle+a_1|1\rangle)(b_0|0\rangle+b_1|1\rangle)$$Приравнивая коэффициенты при базисных векторах, получим 4 уравнения:
$$a_0b_0=\frac{1}{\sqrt 2}\\ a_1b_1=\frac{1}{\sqrt 2}\\ a_1b_0=0,\\a_0b_1=0$$Из первых двух уравнений следует, что $$a_0a_1b_0b_1=\frac12$$. Следующие два уравнения для этого произведения дают значение 0. Приходим к противоречию, из которого следует, что наш 2-кубит не может быть представлен как тензорное произведение двух 1-кубитов. Такие квантовые состояния и называются запутанными. Части запутанной квантовой системы не могут рассматриваться независимо.
С физической точки зрения это означает, что фотоны в паре $$\frac{1}{\sqrt 2}|00\rangle +\frac{1}{\sqrt 2|11\rangle $$ взаимодействуют.
Сегодня мы можем генерировать пары запутанных фотонов. Меньше успехов, однако, к запутыванию "на лету" уже существующих фотонов. То, что квантовые компьютеры имеют астрономическую емкость памяти связано с запутанностью. Верно и то, что эффективные квантовые алгоритмы должны использовать запутанные состояния.
Давайте выясним различие между запутанным и незапутанным состоянием с точки зрения измерений. Рассмотрим следующий эксперимент: генерируются пары фотонов и один фотон в каждой паре посылается в точку А (Алисе), другой в точку В (Бобу). Алиса и Боб выполняют измерения на фотонах, которые они получают.
Давайте начнем рассмотрение со случая, когда все пары имеют одно и то же незапутанное состояние:
$$a_0b_0|00\rangle +a_0b_1|01\rangle +a_1b_0|10\rangle +a_1b_1|11\rangle $$Посчитаем вероятность того, что в результате измерений Алиса получит значение " 0". Это значение соответствует двум чистым состояниям: $$|00\rangle$$ и $$|01\rangle$$ и, следовательно, вероятность события равна $$A^2_0B^2_0+A^2_0B^2_1=A^2_0$$. Аналогично, вероятность того, что в результате измерений Боб получит значение " 0", равна $$B^2_0$$.
Определим вероятность наблюдения Алисой " 0" при условии, что Боб наблюдает значение " 0". Такая вероятность называется условной.
Пусть Р(а, b) - это вероятность того, что произошли события а и b. Справедливо следующее соотношение: Р(а, b) = Р(b)Р(а/b), то есть полная вероятность возникновения двух событий а и b равна произведению вероятности появления события b - Р(b) на условную вероятность появления события а при условии, что произошло событие b - Р(а/b). Поскольку события а и b равноправны, то справедливо и соотношение: Р(а, b) = Р(а)Р(b/а). Условная вероятность Р(а/b) - вероятность возникновения события а при условии, что событие b произошло, определяется как отношение Р(а, b)/Р(b).
В нашем случае событие а - Алиса наблюдает значение " 0", событие b -Боб наблюдает значение " 0". Полная вероятность события Р(а, b), когда Алиса и Боб оба наблюдают значение " 0", определяется первым термом кубита и равна $$a^2_0b^2_0$$. Вероятность Р(b) - вероятность того, что Боб наблюдает значение " 0", как мы выяснили, равна $$b^2_0$$. Отсюда следует, что условная вероятность того, что Алиса будет наблюдать " 0", при условии, что Боб наблюдает " 0", равна $$a^2_0$$, что совпадает с безусловной вероятностью наблюдения " 0" Алисой.
В теории вероятностей два события а и b называются независимыми, если вероятность появления события а равна условной вероятности появления события а при условии появления события b. Другими словами, события а и b независимы, если появление одного события никак не влияет на вероятность появления другого события. В этом случае Р(а, b) = Р(а)Р(b).
Продолжим рассмотрение того же эксперимента, но при условии, что пары фотонов находятся в запутанном состоянии: $$]frac{1}{\sqrt 2}|00\rangle +\frac{1}{\sqrt 2}|11\rangle $$.
Здесь с вероятностью 0.5 и Алиса и Боб будут наблюдать значение " 0", и с той же вероятностью 0.5 - значение " 1". Если Боб наблюдает " 0", то это означает, что система находится в состоянии $$|00\rangle$$ и Алиса также будет наблюдать значение " 0", - другого выбора нет. Так что безусловная вероятность для Алисы наблюдать " 0" равна 0.5, а условная вероятность наблюдения Алисой " 0" при условии, что Боб наблюдает " 0", равна 1. Из этого следует, что для запутанных состояний результаты наблюдений для Алисы и Боба не являются независимыми, говорят, что результаты наблюдений в этой ситуации коррелированы.
В 1935 году Эйнштейн, Подольски и Розен написали статью по основаниям квантовой механики, где они выражали мнение, что для запутанной пары частиц, которые пространственно разделены, измерение, выполненное для первой частицы, не отражается на состоянии второй частицы. Это означает, что результаты измерений пространственно разнесенных частиц должны быть независимыми. Последующие эксперименты показали, что они ошибались.
Для получения официальных документов о завершении программы дополнительного профессионального образования (удостоверения о повышении квалификации, дипломов о профессиональной переподготовке и MBA) необходимо предоставить:
Внимание! Вы можете не заказывать доставку бумажной версии официального документы, а скачать его в электронном виде и распечатать самостоятельно. Информация о выданном документе в течение 1 месяца загружается в Федеральную информационную систему «Федеральный реестр сведений о документах об образовании и (или) о квалификации, документах об обучении» - ФИС ФРДО.
Доступ на новый сайт осуществляется с использованием адреса электронной почты, который был указан вами при регистрации на "старом". Мы постарались перенести все ваши данные с прежнего ресурса, однако не исключена вероятность потери части информации.
При возникновении проблемы со входом, воспользуйтесь функцией сброса пароля
Если вы обнаружите несоответствия, пожалуйста, сообщите нам.