Группы Ли названы в честь норвежского математика Софуса Ли, который первый начал их изучать. Группы Ли - это группы симметрии, обладающие свойством непрерывности. Прототипом групп Ли является группа поворотов на сфере. Фиксируя ось вращения, можно непрерывно изменять угол поворота. Альтернативно, можно зафиксировать угол поворота и непрерывно изменять ось вращения. Можно, конечно, одновременно изменять положение оси и угол поворота.
Такого эффекта нет для группы симметрии на кубе, где симметрии не допускают непрерывной деформации. Если повернуть куб на малый угол, то он не будет самосовместимым, так что такие повороты не обеспечивают симметрию куба.
Наша цель - разобраться с группами О(n) ортогональных трансформаций. Начнем со случая ортогональных трансформаций в $$R^2$$.
Группа О(2) - группа трансформаций круга. Ее представление во многом аналогично представлению диедральной группы - элементы О(2) принадлежат тем же типам: поворотам и отражениям.
Вспомним выражение для матриц поворота:
$$R_{\alpha}=\begin{pmatrix}\cos \alpha -\sin \alpha\\ \sin \alpha \cos \alpha \end{pmatrix}$$Давайте также рассмотрим отражение Т относительно оси Х:
Тогда все другие отражения могут быть сконструированы как произведение Т со всеми возможными поворотами:
Заметьте, $$Т_{\аlpha}$$ - матрица отражения, которую мы записывали в лекции 6.
В итоге мы получили алгебраическое описание группы О(2).
Теорема. Группа О(2) содержит элементы $$\{R_{\аlpha}, Т_{\аlpha}\}$$, где $$\аlpha$$ -угловой параметр, так что $$R_{\аlpha+360\circ} = R_{\alpha},\; Т_{\alpha+360\circ} = Т_{\аlpha}$$. Умножение в О(2) задается следующими соотношениями:
Доказательство. Так как $$Т_{-\gamma}$$ - отражение, то его обращение совпадает с самим элементом: $$R_{-\gamma}Т= (R_{-\gamma}Т)^{-1}=Т^{-1}R_{-\gamma}^{-1}=ТR_{\gamma}$$. Используя это соотношение, можно вычислить:
$$T_{\alpha}R_{\beta}=R_{\alpha}TR_{\beta}=R_{\alpha}R_{-\beta}T=R_{\alpha-\beta}T=T_{\alpha-\beta}$$Проверка других соотношений аналогична и остается в качестве упражнений.
Оказывается, что и здесь группа О(3) состоит из элементов двух типов, один из которых - пространственные повороты (вокруг некоторых осей). Второй тип элементов в О(3) включает отражения относительно плоскости. Для более детального описания ортогональной трансформаций в трехмерном пространстве нам понадобится некоторая теорема из линейной алгебры. Доказательство этой теоремы несложно, но включает концепцию собственных значений. Так как это более продвинутая тема линейной алгебры, то мы пропустим доказательство.
Теорема. Пусть Т - ортогональная трансформация в $$R^3$$. Тогда здесь существует единичный вектор v, такой что Тv = v, либо Тv = -v.
Пусть v - вектор из теоремы и пусть u - вектор, ортогональный v. Так как Т - ортогональная трансформация, вектора Тv, Тu ортогональны друг другу. Принимая в учет, что $$Тv = \pm v$$, заключаем вектор Тu ортогонален v. В результате мы видим, что плоскость, ортогональная v, инвариантна по отношению к трансформации Т, то есть Т трансформирует вектора из этой плоскости в вектора в той же плоскости. Следовательно, ограничиваясь плоскостью, ортогональной вектору v, Т является двумерной ортогональной трансформацией, либо поворотом в этой плоскости, либо отражением по отношению к линии в этой плоскости.
В аргументации, приводимой ниже, мы используем тот факт, что отражение плоскости имеет вектор, который трансформируется в противоположный вектор, и вектор, который трансформируется сам в себя. Первый вектор перпендикулярен линии отражения, в то время как второй вектор лежит на линии отражения.
Рассмотрим три случая:
(1) Т имеет единичный вектор v, такой что Тv = v, но не имеет единичного вектора w, такого что Tw = -w.
(2) Т имеет единичный вектор w, такой что Tw = -w, но не имеет единичного вектора v, такого что Тv = v.
(3) Т имеет оба единичных вектора v и w, такие что Тv = v и Тw = -w.
В первом случае трансформация Т должна быть поворотом на плоскости, перпендикулярной вектору v, так как Т не преобразует ни один вектор в его противоположность. Следовательно, Т - пространственный поворот вокруг оси v.
Во втором случае Т вращает плоскость, перпендикулярную w, следовательно, Т является композицией поворота плоскости и отражения относительно той же плоскости. Отражение изменяет вектор w на противоположный, поворот изменяет вектор, лежащий на линии отражения.
В случае (3) заметим, что вектора v, w должны быть перпендикулярны друг другу, так как Т сохраняет скалярное произведение: v*w=Tv*Tw=v*(-w)=-v*w, из чего следует, что v*w=0. Возьмем единичный вектор u, который перпендикулярен векторам v и w. Тогда Тu перпендикулярна Тv = v и Тw = -w, это означает, что Тu пропорционально u. Так как Т сохраняет длины, то либо Тu = u, либо Tu = -u. Мы сконструировали ортонормальный базис $$\{v, u, w\}$$ с трансформацией Т, действующей следующим образом:
или
$$(3b)\;\; Tv=v,\; Tu=-u,\; Tw=-w$$В случае (За) Т - отражение относительно плоскости, натянутой на вектора u, v. В случае (3b) Т - поворот вокруг v на угол $$180\circ$$.
Обобщая эти результаты, формулируем:
Теорема. Ортогональная трансформация $$R^3$$ - это либо пространственный поворот вокруг некоторой оси, либо композиция такого поворота с отражением в плоскости, ортогональной оси вращения.
Квантовый алгоритм представляет ортогональную трансформацию в $$2^n$$ размерном пространстве n-кубитов. По этой причине мы заинтересованы в понимании структуры ортогональных трансформаций в пространствах произвольной размерности. Их описание дается следующей теоремой, которую мы представляем без доказательства. Доказательство не трудно, но требует привлечения более сложных средств линейной алгебры.
Прежде чем сформулировать теорему в качестве разминки попробуем ответить на следующий вопрос: возможно ли в 4-мерном пространстве иметь две 2-мерные плоскости, пересекающиеся в одной точке? Этот вопрос бросает вызов нашим представлениям о визуализации, так как наша интуиция основана на понимании 3-мерного мира, где плоскости пересекаются по прямой линии. И все же в 4-мерном пространстве плоскости могут пересекаться в одной точке. Для иллюстрации достаточно простого примера. Рассмотрим 4-мерное пространство с осями ХYZW. Тогда плоскость ХY содержит вектора, у которых две последние координаты равны 0, в то время как у векторов в плоскости ZW равны 0 первые две координаты. Очевидно, что пересечением этих двух 2-мерных плоскостей является единственная точка - начало координат.
Теорема. Для любой ортогональной трансформации Т в $$R^N$$можно найти подпространства $$L_1, L_2, \dots, L_k$$, такие что:
(1) Каждое подпространство $$L_i$$ имеет размерность 1 или 2.
(2) Все подпространства $$L_i$$ взаимно ортогональны и пересекаются только в начале координат.
(3) Каждое подпространство $$L_i$$ инвариантно относительно трансформации Т. Это значит, что Т преобразует вектора из $$L_i$$ в вектора в том же подпространстве $$L_i$$.
(4) Если $$L_i$$ 1-мерное подпространство, то Тv = v или Тv = -v для каждого вектора в $$L_i$$.
(5) Если $$L_i$$ 2-мерное подпространство, то Т действует как трансформация поворота плоскости $$L_i$$.
Давайте на примере $$R^4$$ проиллюстрируем эту теорему Для данной ортогональной трансформации Т используем подпространства $$\{L_i\}$$, чтобы сконструировать ортонормальный базис в $$R^4$$. В этом случае матрица Т должна быть одного из следующих типов:
(а) Диагональная матрица с элементами $$\pm 1$$ по диагонали. Это соответствует случаю, когда $$R^4$$ декомпозируется в четыре 1-мерные подпространства:
$$T=\begin{pmatrix}\pm 1000\\0\pm100 \\00\pm10 \\ 0 0 0 \pm1 1 \end{pmatrix}$$(b) Если $$R^4$$ декомпозируется в 2-мерное инвариантное подпространство и два 1-мерных инвариантных подпространства, то матрица имеет вид:
$$T=\begin{pmatrix}\cos \alpha -\sin \alpha 00\\ \sin \alpha \cos \alpha00 \\00 \pm 1 0 \\0 0 0 \pm 1 \end{pmatrix}$$(с) Наконец, $$R^4$$ может быть декомпозировано в два 2-мерных инвариантных подпространств. В этом случае Т представляет двойной поворот. (Попытайтесь визуализировать этот случай.)
Как мы уже указывали, квантовый алгоритм задается ортогональной трансформацией в 2n-пространстве n-кубитов. При реализации алгоритма он рассматривается как последовательность элементарных трансформаций, каждая из которых затрагивает один или два кубита. Здесь есть полная аналогия с классическими алгоритмами, которые также представляют последовательность шагов, на каждом из которых выполняется элементарная операция. Алгебраически, декомпозиция квантового алгоритма представление большой ортогональной матрицы в виде произведения некоторых элементарных матриц.
Возможность подобной факторизации впервые была показана Эйлером в 1774 году, кто изучал факторизацию ортогональных матриц в 3-мерном пространстве. Эйлером доказана следующая
Теорема. Любой поворот в 3 мерном пространстве с координатными осями ХYZ может быть факторизован в виде композиции поворотов-поворота вокруг оси Х на угол $$\alpha$$, поворота вокруг оси Y на угол $$\beta$$, еще одного поворота вокруг оси Х на угол $$\gamma$$.
Параметры $$\alpha, \beta, \gamma$$ называются углами Эйлера для заданного поворота. Теорема Эйлера говорит, что достаточно иметь возможность осуществлять повороты вокруг осей Х и Y, чтобы генерировать любой поворот в пространстве
Алгебраически, эта теорема говорит, что матрица любого 3-мерного поворота может быть факторизована следующим образом:
$$\begin{pmatrix}100\\0 \cos \gamma -\sin \gamma \\0 \sin \gamma \cos \gamma \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos \beta 0 -\sin \beta \\010 \\ \sin \beta 0 \cos \beta \end{pmatrix}\begin{pmatrix}100 \\0 \cos \alpha -\sin \alpha \\ 0 \sin \alpha \cos \alpha \end{pmatrix}$$Для доказательства этой теоремы проще дать геометрическую интерпретацию, не прибегая к алгебраическим инструментам. Зафиксируем поворот Т. Предположим, что Т преобразует ортогональные оси $$Х_0Y_0Z_0$$ в координатные оси ХYZ. Заметим, что достаточно проследить за поведением двух осей. Если есть поворот, преобразующий $$Х_0$$ в Х, а $$Y_0$$ в Y, то автоматически $$Z_0$$ будет преобразовано в Z, так как повороты сохраняют углы между осями.
Цель первого шага-повернуть $$Х_0Y_0Z_0$$ вокруг оси Х, переходя к осям $$Х_1Y_1Z_1$$ так, чтобы ось $$Х_1$$ стала перпендикулярной оси Y. Это возможно, поскольку мы можем повернуть любой ненулевой вектор вокруг оси Х так, чтобы в результате вектор стал принадлежать плоскости ХZ.
На втором шаге выполняем поворот вокруг оси Y, трансформируя $$Х_1T_1Z_1$$ в $$Х_2Y_2Z_2$$ так, чтобы ось $$Х_2$$ совпала с осью Х. Это возможно, поскольку ось $$Х_1$$ лежит в плоскости XZ после выполнения первого шага.
В завершение выполняем поворот вокруг оси Х так, чтобы новая ось $$Y_$$3 совпала с осью Y. Теперь $$Х_3$$ совпадает с Х, $$Y_3$$ совпадает с Y, а, следовательно, $$Z_3$$ совпадает с Z.
Группы Ли названы в честь норвежского математика Софуса Ли, который первый начал их изучать. Группы Ли - это группы симметрии, обладающие свойством непрерывности. Прототипом групп Ли является группа поворотов на сфере. Фиксируя ось вращения, можно непрерывно изменять угол поворота. Альтернативно, можно зафиксировать угол поворота и непрерывно изменять ось вращения. Можно, конечно, одновременно изменять положение оси и угол поворота.
Такого эффекта нет для группы симметрии на кубе, где симметрии не допускают непрерывной деформации. Если повернуть куб на малый угол, то он не будет самосовместимым, так что такие повороты не обеспечивают симметрию куба.
Наша цель - разобраться с группами О(n) ортогональных трансформаций. Начнем со случая ортогональных трансформаций в $$R^2$$.
Группа О(2) - группа трансформаций круга. Ее представление во многом аналогично представлению диедральной группы - элементы О(2) принадлежат тем же типам: поворотам и отражениям.
Вспомним выражение для матриц поворота:
$$R_{\alpha}=\begin{pmatrix}\cos \alpha -\sin \alpha\\ \sin \alpha \cos \alpha \end{pmatrix}$$Давайте также рассмотрим отражение Т относительно оси Х:
Тогда все другие отражения могут быть сконструированы как произведение Т со всеми возможными поворотами:
Заметьте, $$Т_{\аlpha}$$ - матрица отражения, которую мы записывали в лекции 6.
В итоге мы получили алгебраическое описание группы О(2).
Теорема. Группа О(2) содержит элементы $$\{R_{\аlpha}, Т_{\аlpha}\}$$, где $$\аlpha$$ -угловой параметр, так что $$R_{\аlpha+360\circ} = R_{\alpha},\; Т_{\alpha+360\circ} = Т_{\аlpha}$$. Умножение в О(2) задается следующими соотношениями:
Доказательство. Так как $$Т_{-\gamma}$$ - отражение, то его обращение совпадает с самим элементом: $$R_{-\gamma}Т= (R_{-\gamma}Т)^{-1}=Т^{-1}R_{-\gamma}^{-1}=ТR_{\gamma}$$. Используя это соотношение, можно вычислить:
$$T_{\alpha}R_{\beta}=R_{\alpha}TR_{\beta}=R_{\alpha}R_{-\beta}T=R_{\alpha-\beta}T=T_{\alpha-\beta}$$Проверка других соотношений аналогична и остается в качестве упражнений.
Оказывается, что и здесь группа О(3) состоит из элементов двух типов, один из которых - пространственные повороты (вокруг некоторых осей). Второй тип элементов в О(3) включает отражения относительно плоскости. Для более детального описания ортогональной трансформаций в трехмерном пространстве нам понадобится некоторая теорема из линейной алгебры. Доказательство этой теоремы несложно, но включает концепцию собственных значений. Так как это более продвинутая тема линейной алгебры, то мы пропустим доказательство.
Теорема. Пусть Т - ортогональная трансформация в $$R^3$$. Тогда здесь существует единичный вектор v, такой что Тv = v, либо Тv = -v.
Пусть v - вектор из теоремы и пусть u - вектор, ортогональный v. Так как Т - ортогональная трансформация, вектора Тv, Тu ортогональны друг другу. Принимая в учет, что $$Тv = \pm v$$, заключаем вектор Тu ортогонален v. В результате мы видим, что плоскость, ортогональная v, инвариантна по отношению к трансформации Т, то есть Т трансформирует вектора из этой плоскости в вектора в той же плоскости. Следовательно, ограничиваясь плоскостью, ортогональной вектору v, Т является двумерной ортогональной трансформацией, либо поворотом в этой плоскости, либо отражением по отношению к линии в этой плоскости.
В аргументации, приводимой ниже, мы используем тот факт, что отражение плоскости имеет вектор, который трансформируется в противоположный вектор, и вектор, который трансформируется сам в себя. Первый вектор перпендикулярен линии отражения, в то время как второй вектор лежит на линии отражения.
Рассмотрим три случая:
(1) Т имеет единичный вектор v, такой что Тv = v, но не имеет единичного вектора w, такого что Tw = -w.
(2) Т имеет единичный вектор w, такой что Tw = -w, но не имеет единичного вектора v, такого что Тv = v.
(3) Т имеет оба единичных вектора v и w, такие что Тv = v и Тw = -w.
В первом случае трансформация Т должна быть поворотом на плоскости, перпендикулярной вектору v, так как Т не преобразует ни один вектор в его противоположность. Следовательно, Т - пространственный поворот вокруг оси v.
Во втором случае Т вращает плоскость, перпендикулярную w, следовательно, Т является композицией поворота плоскости и отражения относительно той же плоскости. Отражение изменяет вектор w на противоположный, поворот изменяет вектор, лежащий на линии отражения.
В случае (3) заметим, что вектора v, w должны быть перпендикулярны друг другу, так как Т сохраняет скалярное произведение: v*w=Tv*Tw=v*(-w)=-v*w, из чего следует, что v*w=0. Возьмем единичный вектор u, который перпендикулярен векторам v и w. Тогда Тu перпендикулярна Тv = v и Тw = -w, это означает, что Тu пропорционально u. Так как Т сохраняет длины, то либо Тu = u, либо Tu = -u. Мы сконструировали ортонормальный базис $$\{v, u, w\}$$ с трансформацией Т, действующей следующим образом:
или
$$(3b)\;\; Tv=v,\; Tu=-u,\; Tw=-w$$В случае (За) Т - отражение относительно плоскости, натянутой на вектора u, v. В случае (3b) Т - поворот вокруг v на угол $$180\circ$$.
Обобщая эти результаты, формулируем:
Теорема. Ортогональная трансформация $$R^3$$ - это либо пространственный поворот вокруг некоторой оси, либо композиция такого поворота с отражением в плоскости, ортогональной оси вращения.
Квантовый алгоритм представляет ортогональную трансформацию в $$2^n$$ размерном пространстве n-кубитов. По этой причине мы заинтересованы в понимании структуры ортогональных трансформаций в пространствах произвольной размерности. Их описание дается следующей теоремой, которую мы представляем без доказательства. Доказательство не трудно, но требует привлечения более сложных средств линейной алгебры.
Прежде чем сформулировать теорему в качестве разминки попробуем ответить на следующий вопрос: возможно ли в 4-мерном пространстве иметь две 2-мерные плоскости, пересекающиеся в одной точке? Этот вопрос бросает вызов нашим представлениям о визуализации, так как наша интуиция основана на понимании 3-мерного мира, где плоскости пересекаются по прямой линии. И все же в 4-мерном пространстве плоскости могут пересекаться в одной точке. Для иллюстрации достаточно простого примера. Рассмотрим 4-мерное пространство с осями ХYZW. Тогда плоскость ХY содержит вектора, у которых две последние координаты равны 0, в то время как у векторов в плоскости ZW равны 0 первые две координаты. Очевидно, что пересечением этих двух 2-мерных плоскостей является единственная точка - начало координат.
Теорема. Для любой ортогональной трансформации Т в $$R^N$$можно найти подпространства $$L_1, L_2, \dots, L_k$$, такие что:
(1) Каждое подпространство $$L_i$$ имеет размерность 1 или 2.
(2) Все подпространства $$L_i$$ взаимно ортогональны и пересекаются только в начале координат.
(3) Каждое подпространство $$L_i$$ инвариантно относительно трансформации Т. Это значит, что Т преобразует вектора из $$L_i$$ в вектора в том же подпространстве $$L_i$$.
(4) Если $$L_i$$ 1-мерное подпространство, то Тv = v или Тv = -v для каждого вектора в $$L_i$$.
(5) Если $$L_i$$ 2-мерное подпространство, то Т действует как трансформация поворота плоскости $$L_i$$.
Давайте на примере $$R^4$$ проиллюстрируем эту теорему Для данной ортогональной трансформации Т используем подпространства $$\{L_i\}$$, чтобы сконструировать ортонормальный базис в $$R^4$$. В этом случае матрица Т должна быть одного из следующих типов:
(а) Диагональная матрица с элементами $$\pm 1$$ по диагонали. Это соответствует случаю, когда $$R^4$$ декомпозируется в четыре 1-мерные подпространства:
$$T=\begin{pmatrix}\pm 1000\\0\pm100 \\00\pm10 \\ 0 0 0 \pm1 1 \end{pmatrix}$$(b) Если $$R^4$$ декомпозируется в 2-мерное инвариантное подпространство и два 1-мерных инвариантных подпространства, то матрица имеет вид:
$$T=\begin{pmatrix}\cos \alpha -\sin \alpha 00\\ \sin \alpha \cos \alpha00 \\00 \pm 1 0 \\0 0 0 \pm 1 \end{pmatrix}$$(с) Наконец, $$R^4$$ может быть декомпозировано в два 2-мерных инвариантных подпространств. В этом случае Т представляет двойной поворот. (Попытайтесь визуализировать этот случай.)
Как мы уже указывали, квантовый алгоритм задается ортогональной трансформацией в 2n-пространстве n-кубитов. При реализации алгоритма он рассматривается как последовательность элементарных трансформаций, каждая из которых затрагивает один или два кубита. Здесь есть полная аналогия с классическими алгоритмами, которые также представляют последовательность шагов, на каждом из которых выполняется элементарная операция. Алгебраически, декомпозиция квантового алгоритма представление большой ортогональной матрицы в виде произведения некоторых элементарных матриц.
Возможность подобной факторизации впервые была показана Эйлером в 1774 году, кто изучал факторизацию ортогональных матриц в 3-мерном пространстве. Эйлером доказана следующая
Теорема. Любой поворот в 3 мерном пространстве с координатными осями ХYZ может быть факторизован в виде композиции поворотов-поворота вокруг оси Х на угол $$\alpha$$, поворота вокруг оси Y на угол $$\beta$$, еще одного поворота вокруг оси Х на угол $$\gamma$$.
Параметры $$\alpha, \beta, \gamma$$ называются углами Эйлера для заданного поворота. Теорема Эйлера говорит, что достаточно иметь возможность осуществлять повороты вокруг осей Х и Y, чтобы генерировать любой поворот в пространстве
Алгебраически, эта теорема говорит, что матрица любого 3-мерного поворота может быть факторизована следующим образом:
$$\begin{pmatrix}100\\0 \cos \gamma -\sin \gamma \\0 \sin \gamma \cos \gamma \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos \beta 0 -\sin \beta \\010 \\ \sin \beta 0 \cos \beta \end{pmatrix}\begin{pmatrix}100 \\0 \cos \alpha -\sin \alpha \\ 0 \sin \alpha \cos \alpha \end{pmatrix}$$Для доказательства этой теоремы проще дать геометрическую интерпретацию, не прибегая к алгебраическим инструментам. Зафиксируем поворот Т. Предположим, что Т преобразует ортогональные оси $$Х_0Y_0Z_0$$ в координатные оси ХYZ. Заметим, что достаточно проследить за поведением двух осей. Если есть поворот, преобразующий $$Х_0$$ в Х, а $$Y_0$$ в Y, то автоматически $$Z_0$$ будет преобразовано в Z, так как повороты сохраняют углы между осями.
Цель первого шага-повернуть $$Х_0Y_0Z_0$$ вокруг оси Х, переходя к осям $$Х_1Y_1Z_1$$ так, чтобы ось $$Х_1$$ стала перпендикулярной оси Y. Это возможно, поскольку мы можем повернуть любой ненулевой вектор вокруг оси Х так, чтобы в результате вектор стал принадлежать плоскости ХZ.
На втором шаге выполняем поворот вокруг оси Y, трансформируя $$Х_1T_1Z_1$$ в $$Х_2Y_2Z_2$$ так, чтобы ось $$Х_2$$ совпала с осью Х. Это возможно, поскольку ось $$Х_1$$ лежит в плоскости XZ после выполнения первого шага.
В завершение выполняем поворот вокруг оси Х так, чтобы новая ось $$Y_$$3 совпала с осью Y. Теперь $$Х_3$$ совпадает с Х, $$Y_3$$ совпадает с Y, а, следовательно, $$Z_3$$ совпадает с Z.
Для получения официальных документов о завершении программы дополнительного профессионального образования (удостоверения о повышении квалификации, дипломов о профессиональной переподготовке и MBA) необходимо предоставить:
Внимание! Вы можете не заказывать доставку бумажной версии официального документы, а скачать его в электронном виде и распечатать самостоятельно. Информация о выданном документе в течение 1 месяца загружается в Федеральную информационную систему «Федеральный реестр сведений о документах об образовании и (или) о квалификации, документах об обучении» - ФИС ФРДО.
Доступ на новый сайт осуществляется с использованием адреса электронной почты, который был указан вами при регистрации на "старом". Мы постарались перенести все ваши данные с прежнего ресурса, однако не исключена вероятность потери части информации.
При возникновении проблемы со входом, воспользуйтесь функцией сброса пароля
Если вы обнаружите несоответствия, пожалуйста, сообщите нам.