Любое тестирование должно заканчиваться не только выставлением оценок (баллов), но и анализом результатов тестирования, выявлением уровня обучения и качества тестов.
Оценку результатов тестирования нужно производить баллами в определенной шкале баллов.
Например, 1–2 балла – "цена вопроса" в группе $$А$$, 2–3 балла – в группе $$В$$, 3–5 баллов – в группе $$С$$. Такая оценка может быть переведена в классическую пятибалльную оценку или в другую желаемую шкалу оценок. Это одно из качеств тестирования, повышающих объективность оценки успехов.
Простейший критерий объективности: ответивших правильно на все вопросы в группе $$А$$ и большую часть в группе $$В$$ – большинство.
Для анализа полезны отборочные тесты с высокой мерой сложности и отсеивающие тесты с низкой мерой сложности.
Если тестирование все же проводится в системе оценок с двумя вариантами ответов ("да", "нет"), то и результат тестирования должен быть оценен в биполярной шкале: "аттестован – не аттестован".
Если при оценке результатов тестирования используются баллы, то их число должно быть нечетным (1–5, 0–10, 1–101 и т. д.). Обычно используют итоговую 100-балльную шкалу.
Хотя первичные баллы могут иметь любое значение, итоговые тестовые баллы должны быть расчитаны по 100-бальной системе.
Величина тестового балла равна проценту успешно выполненного объема теста с учетом всех его особенностей и уровня сложности заданий, входящих в него. Она может рассматриваться как количественная оценка степени усвоения знаний и умений в соответствии с требованиями ГОС, программы, предметной области.
Например, система (шкала) перевода первичных баллов в оценки при приеме в вузы по математике ЕГЭ-2007 имеет следующий вид:
| Первичные баллы | Баллы при приеме в вуз | Оценка |
|---|---|---|
| 0-6 | 0-35 | 2 |
| 7-12 | 36-54 | 3 |
| 13-18 | 55-73 | 4 |
| 19-30 | 74-100 | 5 |
Распределение баллов зависит от процента правильных ответов и может лежать в различных границах, например: "отлично" – более 95% правильных ответов, "хорошо" – 80–94%, "удовлетворительно" – 60–79%, "неудовлетворительно" – менее 60%. К каждой системе такого распределения баллов могут быть предъявлены замечания.
Для измерения "уровня образованности" ("уровня знаний") лучше использовать логарифмическую шкалу, так называемые "логиты". Поясним эту шкалу.
Очень трудные задания снижают учебную мотивацию многих учащихся, как и очень легкие. Поэтому используется шкала, которую ввел датский математик Г. Раш (Г. Раск, G. Rasch), шкала "логитов". По Рашу определены два логита:
Необходимо на всех этапах тестирования учитывать, что первичные баллы – необъективны (в математико-статистическом смысле).
Результаты тестирования могут свидетельствовать иногда и о том, что есть интеллектуально развитые обучаемые, показывающие плохие результаты тестирования, как и слабые обучаемые с так называемым критическим складом ума и хорошей моторной памятью, показывающие неплохие результаты.
Необходимо учитывать дидактическую ограниченность проверки на совпадение с эталоном ответа, особенно, при компьютерной проверке знаний и умений.
Тестирование обычно завершается математико-статистической обработкой данных тестирования.
Рассмотрим вначале некоторые необходимые понятия математической статистики и теории вероятностей.
Пусть задан некоторый статистический ряд из элементов $$x_1, x_2, …, x_n$$. Если эти элементы могут принимать все мыслимые допустимые значения, а объект с этими характеристиками рассматривается как единый (как система), то такую совокупность называют генеральной совокупностью; часто при этом предполагается, что она является конечной и упорядоченной по возрастанию: $$x_1<x_2<…<x_n$$.
Любое непустое подмножество генеральной совокупности называется выборкой. Если выборка осуществлена случайным образом, то она называется
Средняя величина генеральной совокупности в целом называется общей средней. Она отражает общие черты всей совокупности. Средняя величина для отдельной выборки называется средней по выборке или
Существуют различные меры
$$\bar x=\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}x_i}{n}=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}.$$
Она называется также
$$\bar x_{гарм.}=\frac{n}{\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{1}{x_i}}.$$
$$\bar x_{кв}=\sqrt{\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}x_i^2\omega_i}{\sum\limits_{i=1}^{n}\omega_i}} .$$
Если веса $$\omega_i=1$$, для всех $$i=1,2,…,n$$, то получаем просто среднее квадратичное. Эти величины характеризуют "концентрацию" данных выборки около среднего (или другой характерной тенденции).
К
Два испытания независимы, если любое событие, определённое на основе только одного из них, не зависит от любого события, определённого на основе другого.
Так как событие – это множество, то для них должны быть выполнимы основные операции с множествами: объединение, пересечение и дополнение.
Два события $$S_1$$ и $$S_2$$ несовместимы, если $$S_1\cap S_2=\emptyset$$.
События $$S_1$$ и $$S_2$$ образуют
События $$S_1$$ и $$S_2$$ – противоположны, если они несовместимы и образуют
Пусть $$S$$ – событие, $$n(S)$$ – число случаев (исходов), в которых произошло событие $$S$$ из проведенной серии $$n$$ испытаний (в выборочном пространстве). Тогда $$\delta=n(S)/n$$ – относительная
При больших $$n (n\to \infty)$$, $$\delta\to р$$. Эта предельная частота называется вероятностью события $$S$$ и обозначается как $$р(S)$$ или просто $$р$$. Всегда $$р(S_1)\ge 0 S_1\subset S$$, а $$р(S)=1$$.
Важно заметить, что указанный предел не может быть вычислен как
Изложим ряд наиболее часто решаемых и наиболее простых (специально упрощенных) задач, которые часто встречаются при подготовке к тестированию и математической обработке результатов тестирования, а также алгоритмы их решения. При этом мы не будем сильно вдаваться в обоснование используемых математических фактов, используя их, как принято в прикладных задачах, в качестве инструментария (это осуществляется и с целью расширить читательский состав).
Пусть теперь даны результаты тестирования группы, состоящей из $$n$$ испытуемых для заданного теста из $$m$$ различных знаний. Обычно эти данные представляются в виде некоторой матрицы $$A$$ баллов (типа "тестируемый – задание") размерности $$n$$ на $$m$$:
$$A(n\times m)= \begin{Vmatrix} a_{11}a_{12}...a_{1m}\\ a_{21}a_{22}...a_{2m}\\ .........\\ a_{n1}a_{n2}...a_{nm} \end{Vmatrix} = \begin{Vmatrix}a_{ij}\end{Vmatrix}_{i=\overline{1,n}}^{j=\overline{1,m}}$$Элемент $$a_{ij}$$ матрицы $$A$$ представляет собой результат выполнения $$j$$ -го задания для $$i$$ -го тестируемого.
Необходимо на основе имеющихся результатов $$x_1, x_2, …, x_n$$ тестирования для каждого из $$n$$ тестированных, вычислить основные статистические показатели тестирования (оценить "сырые" результаты) для выбранной случайным образом группы тестированных.
Алгоритм решения этой задачи состоит из следующих этапов.
$$\bar x=\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}{x_i}}{n}=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}.$$
$$\bar x_{гарм}=\frac{n}{\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{1}{x_i}}.$$
$$K=\frac{\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i - \bar x)^3}{(\sqrt{\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i - \bar x)^2})^3}.$$
Этот коэффициент отражает относительную изменчивость данных.
$$r_x=x_{max} – x_{min} = x_n – x_1;$$
$$x_{cp}= \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}|x_i - \bar x |;$$
$$\delta x =\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i - \bar x)^2=\frac{1}{n}(\sum\limits_{i=1}^n x_i^2 - nx^{-2});$$
$$D =\frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i - \bar x)^2=\frac{1}{n-1}(\sum\limits_{i=1}^n x_i^2 - nx^{-2});$$
$$\sigma= \sqrt{D};$$
$$\nu=\sigma / \bar x$$.
Даны результаты тестирования для каждого из n тестированных и теста длины $$m$$ в виде матрицы $$A$$, а также вектор эталонных ответов $$B=(b_1, b_2, …, b_m)$$, где $$b_j$$ – эталонный ответ на задание номер $$j$$. Необходимо определить "вес" (меру сложности) конкретного задания теста.
Простейший алгоритм решения этой задачи состоит из следующих этапов.
Даны результаты тестирования для каждого из $$n$$ тестированных и теста длины $$m$$ в виде матрицы $$A$$, а также вектор эталонных ответов $$B=(b_1, b_2, …, b_m)$$, где $$b_j$$ – эталонный ответ на задание номер $$j$$. Необходимо оценить валидность каждого задания теста.
Простейший алгоритм решения этой задачи состоит из следующих этапов.
$$r_j=\frac{(x_j-y_j)\sigma_j}{\sigma}$$
Даны результаты нормативно-ориентированного тестирования для каждого из $$n$$ тестированных и теста длины $$m$$ в виде матрицы $$A$$, а также вектор эталонных ответов $$B=(b_1, b_2, …, b_m)$$, где $$b_j$$ – эталонный ответ на задание номер $$j$$. Необходимо оценить надежность теста (степень устойчивости результатов тестирования каждого испытуемого, если тестирование было проведено в совершенно одинаковых условиях).
Для вычисления надежности
Простейший алгоритм решения этой задачи состоит из следующих этапов.
$$r_{XY}=\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}x_iy_i-\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}x_i\sum\limits_{i=1}^{n}y_i}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}x_i^2-\frac{1}{n}(\sum\limits_{i=1}^{n}x_i)^2}\cdot\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}y_i^2-\frac{1}{n}(\sum\limits_{i=1}^{n}y_i)^2}}.$$
$$r=\frac{2r_{XY}}{1+r_{XY}}$$
Необходимо на основе имеющихся результатов тестирования (матрица $$А$$ ) получить для каждого из $$n$$ тестированных интегральный (обобщенный) показатель выполнения теста длины $$m$$, а затем по вычисленным значениям этого интегрального показателя разбить всех тестированных на заданное количество $$k$$ групп (задача классификации).
Алгоритм решения этой задачи состоит из следующих этапов.
$$a_{ij}:=\frac{a_{ij}-m_j}{M_j-m_j},$$
где $$M_j$$, $$m_j$$ – наибольшее и наименьшее значения элементов $$j$$ -го столбца и применяем преобразование вида
$$a_{ij}:= \begin{cases} a_{ij}, z_j=1\\ 1-a_{ij},z_{ij}=-1 \end{cases}$$.
$$c_i=\sqrt{\frac{\sum\limits_{i=1}^n (a_{ij}-\bar a_j)^2}{n-1}},$$
где $$\bar a_j$$ – среднее арифметическое элементов $$j$$ -го столбца.
$$y_i=\sum\limits_{j=1}^{m} a_{ij}c_i$$,
где $$y_i$$ – значение интегрального показателя для $$i$$ -го обучаемого $$i=(1,2,…,n)$$, – весовой коэффициент $$j$$ -го задания в тесте или в банке всех заданий, $$a_{ij}$$ – элемент матрицы $$А$$ или его преобразованное (нормированное, например, по отношению к максимальному элементу или к норме матрицы).
Дана интегральная норма $$y$$ тестовых результатов. Необходимо разбить группу тестированных на несколько групп по их интегральным показателям (по отношению их к норме).
Приведем простейший алгоритм решения этой задачи.
Первый алгоритм решения этой задачи состоит из следующих этапов.
$$b_i=\sum\limits_{i=1}^{m} a_{ij}$$.
Необходимо отсеять первичные ("сырые") результаты в группах, т.е. по данным $$x_1, x_2, …, x_n$$ (процент выполнения, валидность и т.д.) выяснить задания (тесты, результаты), которые не согласуются с общей картиной тестирования.
Алгоритм решения задачи состоит из следующих этапов.
$$\bar x=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}.$$
$$d_{max}=| x_{min (max)} — \bar x|.$$
$$w=d_{max} / \bar x.$$
Любое тестирование должно заканчиваться не только выставлением оценок (баллов), но и анализом результатов тестирования, выявлением уровня обучения и качества тестов.
Оценку результатов тестирования нужно производить баллами в определенной шкале баллов.
Например, 1–2 балла – "цена вопроса" в группе $$А$$, 2–3 балла – в группе $$В$$, 3–5 баллов – в группе $$С$$. Такая оценка может быть переведена в классическую пятибалльную оценку или в другую желаемую шкалу оценок. Это одно из качеств тестирования, повышающих объективность оценки успехов.
Простейший критерий объективности: ответивших правильно на все вопросы в группе $$А$$ и большую часть в группе $$В$$ – большинство.
Для анализа полезны отборочные тесты с высокой мерой сложности и отсеивающие тесты с низкой мерой сложности.
Если тестирование все же проводится в системе оценок с двумя вариантами ответов ("да", "нет"), то и результат тестирования должен быть оценен в биполярной шкале: "аттестован – не аттестован".
Если при оценке результатов тестирования используются баллы, то их число должно быть нечетным (1–5, 0–10, 1–101 и т. д.). Обычно используют итоговую 100-балльную шкалу.
Хотя первичные баллы могут иметь любое значение, итоговые тестовые баллы должны быть расчитаны по 100-бальной системе.
Величина тестового балла равна проценту успешно выполненного объема теста с учетом всех его особенностей и уровня сложности заданий, входящих в него. Она может рассматриваться как количественная оценка степени усвоения знаний и умений в соответствии с требованиями ГОС, программы, предметной области.
Например, система (шкала) перевода первичных баллов в оценки при приеме в вузы по математике ЕГЭ-2007 имеет следующий вид:
| Первичные баллы | Баллы при приеме в вуз | Оценка |
|---|---|---|
| 0-6 | 0-35 | 2 |
| 7-12 | 36-54 | 3 |
| 13-18 | 55-73 | 4 |
| 19-30 | 74-100 | 5 |
Распределение баллов зависит от процента правильных ответов и может лежать в различных границах, например: "отлично" – более 95% правильных ответов, "хорошо" – 80–94%, "удовлетворительно" – 60–79%, "неудовлетворительно" – менее 60%. К каждой системе такого распределения баллов могут быть предъявлены замечания.
Для измерения "уровня образованности" ("уровня знаний") лучше использовать логарифмическую шкалу, так называемые "логиты". Поясним эту шкалу.
Очень трудные задания снижают учебную мотивацию многих учащихся, как и очень легкие. Поэтому используется шкала, которую ввел датский математик Г. Раш (Г. Раск, G. Rasch), шкала "логитов". По Рашу определены два логита:
Необходимо на всех этапах тестирования учитывать, что первичные баллы – необъективны (в математико-статистическом смысле).
Результаты тестирования могут свидетельствовать иногда и о том, что есть интеллектуально развитые обучаемые, показывающие плохие результаты тестирования, как и слабые обучаемые с так называемым критическим складом ума и хорошей моторной памятью, показывающие неплохие результаты.
Необходимо учитывать дидактическую ограниченность проверки на совпадение с эталоном ответа, особенно, при компьютерной проверке знаний и умений.
Тестирование обычно завершается математико-статистической обработкой данных тестирования.
Рассмотрим вначале некоторые необходимые понятия математической статистики и теории вероятностей.
Пусть задан некоторый статистический ряд из элементов $$x_1, x_2, …, x_n$$. Если эти элементы могут принимать все мыслимые допустимые значения, а объект с этими характеристиками рассматривается как единый (как система), то такую совокупность называют генеральной совокупностью; часто при этом предполагается, что она является конечной и упорядоченной по возрастанию: $$x_1<x_2<…<x_n$$.
Любое непустое подмножество генеральной совокупности называется выборкой. Если выборка осуществлена случайным образом, то она называется
Средняя величина генеральной совокупности в целом называется общей средней. Она отражает общие черты всей совокупности. Средняя величина для отдельной выборки называется средней по выборке или
Существуют различные меры
$$\bar x=\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}x_i}{n}=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}.$$
Она называется также
$$\bar x_{гарм.}=\frac{n}{\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{1}{x_i}}.$$
$$\bar x_{кв}=\sqrt{\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}x_i^2\omega_i}{\sum\limits_{i=1}^{n}\omega_i}} .$$
Если веса $$\omega_i=1$$, для всех $$i=1,2,…,n$$, то получаем просто среднее квадратичное. Эти величины характеризуют "концентрацию" данных выборки около среднего (или другой характерной тенденции).
К
Два испытания независимы, если любое событие, определённое на основе только одного из них, не зависит от любого события, определённого на основе другого.
Так как событие – это множество, то для них должны быть выполнимы основные операции с множествами: объединение, пересечение и дополнение.
Два события $$S_1$$ и $$S_2$$ несовместимы, если $$S_1\cap S_2=\emptyset$$.
События $$S_1$$ и $$S_2$$ образуют
События $$S_1$$ и $$S_2$$ – противоположны, если они несовместимы и образуют
Пусть $$S$$ – событие, $$n(S)$$ – число случаев (исходов), в которых произошло событие $$S$$ из проведенной серии $$n$$ испытаний (в выборочном пространстве). Тогда $$\delta=n(S)/n$$ – относительная
При больших $$n (n\to \infty)$$, $$\delta\to р$$. Эта предельная частота называется вероятностью события $$S$$ и обозначается как $$р(S)$$ или просто $$р$$. Всегда $$р(S_1)\ge 0 S_1\subset S$$, а $$р(S)=1$$.
Важно заметить, что указанный предел не может быть вычислен как
Изложим ряд наиболее часто решаемых и наиболее простых (специально упрощенных) задач, которые часто встречаются при подготовке к тестированию и математической обработке результатов тестирования, а также алгоритмы их решения. При этом мы не будем сильно вдаваться в обоснование используемых математических фактов, используя их, как принято в прикладных задачах, в качестве инструментария (это осуществляется и с целью расширить читательский состав).
Пусть теперь даны результаты тестирования группы, состоящей из $$n$$ испытуемых для заданного теста из $$m$$ различных знаний. Обычно эти данные представляются в виде некоторой матрицы $$A$$ баллов (типа "тестируемый – задание") размерности $$n$$ на $$m$$:
$$A(n\times m)= \begin{Vmatrix} a_{11}a_{12}...a_{1m}\\ a_{21}a_{22}...a_{2m}\\ .........\\ a_{n1}a_{n2}...a_{nm} \end{Vmatrix} = \begin{Vmatrix}a_{ij}\end{Vmatrix}_{i=\overline{1,n}}^{j=\overline{1,m}}$$Элемент $$a_{ij}$$ матрицы $$A$$ представляет собой результат выполнения $$j$$ -го задания для $$i$$ -го тестируемого.
Необходимо на основе имеющихся результатов $$x_1, x_2, …, x_n$$ тестирования для каждого из $$n$$ тестированных, вычислить основные статистические показатели тестирования (оценить "сырые" результаты) для выбранной случайным образом группы тестированных.
Алгоритм решения этой задачи состоит из следующих этапов.
$$\bar x=\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}{x_i}}{n}=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}.$$
$$\bar x_{гарм}=\frac{n}{\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{1}{x_i}}.$$
$$K=\frac{\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i - \bar x)^3}{(\sqrt{\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i - \bar x)^2})^3}.$$
Этот коэффициент отражает относительную изменчивость данных.
$$r_x=x_{max} – x_{min} = x_n – x_1;$$
$$x_{cp}= \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}|x_i - \bar x |;$$
$$\delta x =\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i - \bar x)^2=\frac{1}{n}(\sum\limits_{i=1}^n x_i^2 - nx^{-2});$$
$$D =\frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i - \bar x)^2=\frac{1}{n-1}(\sum\limits_{i=1}^n x_i^2 - nx^{-2});$$
$$\sigma= \sqrt{D};$$
$$\nu=\sigma / \bar x$$.
Даны результаты тестирования для каждого из n тестированных и теста длины $$m$$ в виде матрицы $$A$$, а также вектор эталонных ответов $$B=(b_1, b_2, …, b_m)$$, где $$b_j$$ – эталонный ответ на задание номер $$j$$. Необходимо определить "вес" (меру сложности) конкретного задания теста.
Простейший алгоритм решения этой задачи состоит из следующих этапов.
Даны результаты тестирования для каждого из $$n$$ тестированных и теста длины $$m$$ в виде матрицы $$A$$, а также вектор эталонных ответов $$B=(b_1, b_2, …, b_m)$$, где $$b_j$$ – эталонный ответ на задание номер $$j$$. Необходимо оценить валидность каждого задания теста.
Простейший алгоритм решения этой задачи состоит из следующих этапов.
$$r_j=\frac{(x_j-y_j)\sigma_j}{\sigma}$$
Даны результаты нормативно-ориентированного тестирования для каждого из $$n$$ тестированных и теста длины $$m$$ в виде матрицы $$A$$, а также вектор эталонных ответов $$B=(b_1, b_2, …, b_m)$$, где $$b_j$$ – эталонный ответ на задание номер $$j$$. Необходимо оценить надежность теста (степень устойчивости результатов тестирования каждого испытуемого, если тестирование было проведено в совершенно одинаковых условиях).
Для вычисления надежности
Простейший алгоритм решения этой задачи состоит из следующих этапов.
$$r_{XY}=\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}x_iy_i-\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}x_i\sum\limits_{i=1}^{n}y_i}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}x_i^2-\frac{1}{n}(\sum\limits_{i=1}^{n}x_i)^2}\cdot\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}y_i^2-\frac{1}{n}(\sum\limits_{i=1}^{n}y_i)^2}}.$$
$$r=\frac{2r_{XY}}{1+r_{XY}}$$
Необходимо на основе имеющихся результатов тестирования (матрица $$А$$ ) получить для каждого из $$n$$ тестированных интегральный (обобщенный) показатель выполнения теста длины $$m$$, а затем по вычисленным значениям этого интегрального показателя разбить всех тестированных на заданное количество $$k$$ групп (задача классификации).
Алгоритм решения этой задачи состоит из следующих этапов.
$$a_{ij}:=\frac{a_{ij}-m_j}{M_j-m_j},$$
где $$M_j$$, $$m_j$$ – наибольшее и наименьшее значения элементов $$j$$ -го столбца и применяем преобразование вида
$$a_{ij}:= \begin{cases} a_{ij}, z_j=1\\ 1-a_{ij},z_{ij}=-1 \end{cases}$$.
$$c_i=\sqrt{\frac{\sum\limits_{i=1}^n (a_{ij}-\bar a_j)^2}{n-1}},$$
где $$\bar a_j$$ – среднее арифметическое элементов $$j$$ -го столбца.
$$y_i=\sum\limits_{j=1}^{m} a_{ij}c_i$$,
где $$y_i$$ – значение интегрального показателя для $$i$$ -го обучаемого $$i=(1,2,…,n)$$, – весовой коэффициент $$j$$ -го задания в тесте или в банке всех заданий, $$a_{ij}$$ – элемент матрицы $$А$$ или его преобразованное (нормированное, например, по отношению к максимальному элементу или к норме матрицы).
Дана интегральная норма $$y$$ тестовых результатов. Необходимо разбить группу тестированных на несколько групп по их интегральным показателям (по отношению их к норме).
Приведем простейший алгоритм решения этой задачи.
Первый алгоритм решения этой задачи состоит из следующих этапов.
$$b_i=\sum\limits_{i=1}^{m} a_{ij}$$.
Необходимо отсеять первичные ("сырые") результаты в группах, т.е. по данным $$x_1, x_2, …, x_n$$ (процент выполнения, валидность и т.д.) выяснить задания (тесты, результаты), которые не согласуются с общей картиной тестирования.
Алгоритм решения задачи состоит из следующих этапов.
$$\bar x=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}.$$
$$d_{max}=| x_{min (max)} — \bar x|.$$
$$w=d_{max} / \bar x.$$
Для получения официальных документов о завершении программы дополнительного профессионального образования (удостоверения о повышении квалификации, дипломов о профессиональной переподготовке и MBA) необходимо предоставить:
Внимание! Вы можете не заказывать доставку бумажной версии официального документы, а скачать его в электронном виде и распечатать самостоятельно. Информация о выданном документе в течение 1 месяца загружается в Федеральную информационную систему «Федеральный реестр сведений о документах об образовании и (или) о квалификации, документах об обучении» - ФИС ФРДО.
Доступ на новый сайт осуществляется с использованием адреса электронной почты, который был указан вами при регистрации на "старом". Мы постарались перенести все ваши данные с прежнего ресурса, однако не исключена вероятность потери части информации.
При возникновении проблемы со входом, воспользуйтесь функцией сброса пароля
Если вы обнаружите несоответствия, пожалуйста, сообщите нам.