Оптимизация производственных моделей

Структура производственных моделей

Производственная математическая модель предназначена для формирования оптимального производственного плана или технологических операций при ограниченных временных, материальных, трудовых и производственных ресурсах [3]. Критерием оптимальности является получение максимума прибыли или минимума издержек. Само планирование состоит обычно в определении количества выпускаемой продукции или составляющих в пределах заданного ассортимента. Чтобы создать математическую модель производственной фирмы, надо определить следующие параметры:

Оптимизация модели производственного плана состоит в поиске максимума (для прибыли) или минимума (для затрат) целевой функции при ограничении на спрос и ресурсы [4]. При оптимизации раскроя листовых материалов возникают важные для технологов вопросы минимизации отходов. При составлении смесей часто требуется выполнить ограничение сверху и снизу концентрации составляющих компонент.

Задача 2.1. Составление производственного плана

Фабрика выпускает сумки: женские, мужские, дорожные. Данные о материалах, используемых для производства сумок и месячный запас сырья на складе приведены в таблице.

По информации, полученной при изучении рынка продаж, ежемесячный спрос на продукцию фабрики составляет

Отделом маркетинга были заключены договоры на поставки на следующий месяц.

Найти оптимальный план производства сумок каждого типа, обеспечивающий максимальную выручку при реализации продукции и обеспечивающий удовлетворение рыночного спроса.

При разработке программ обычно составляют подробный алгоритм их реализации. Здесь также составим наглядную ментальную карту по исходным данным задачи. Ментальная карта должна проиллюстрировать основную формулу математической модели (рисунок 2.1):

Ментальную карту выполним в виде столбцов со списками данных (рисунок 2.2):

Продукцию мы представляем в виде вектора искомых переменных производственного плана $$x_i$$ $$(i = 1,2,3,4)$$. Составляющие этого вектора — количество сумок данного типа, запланированные к производству в следующем месяце. Второй столбец представляет собой вектор обязательных поставок $$D_i$$. Вектор поставок $$D_i$$ должен быть меньше вектора переменных $$x_i$$.

В третьем столбце представлена матрица нормативных коэффициентов $$a_{ij}$$ $$(i=1,2,3,4; j=1,2,\ldots,7)$$ — удельных затрат материалов на каждый вид сумки. Индексы определяют один из четырех видов продукции и один из семи видов ресурсов.

Вектор расхода материала $$r_j$$ в четвертом столбце определяется произведением матрицы нормативных коэффициентов $$a_{ij}$$ на вектор искомых значений переменных $$x_i$$. Вектор расхода материала $$r_j$$ не должен превышать вектор ресурсов $$R_j$$, составляющие которого приведены в последнем столбце.

Целевая функция формируется скалярным произведением вектора цены $$c_i$$ на вектор искомых значений переменных $$x_i$$. Критерий оптимальности плана — получение максимального значения выручки — целевой функции $$F(c_i, x_i)$$.

Подставляя в общие выражения исходные численные значения задачи, получим выражение для целевой функции:

$$F(x)=\sum c_i*x_i=3000x_1+700x_2+2000x_3+1200x_4 \Rightarrow MAX$$

Оптимальному решению задачи отвечает максимальное значение целевой функции при следующих условиях и ограничениях:

Лишь после того, как мы разобрались в условиях задачи, можно приступить к формированию таблицы в MS Excel (рисунок 2.3). Заполним ячейки исходными данными. Искомые переменные (количество сумок каждого вида) поместим в ячейки строки 12. В ячейку F3 вставим формулу и протянем ее до ячейки F10. Напомним, что задание абсолютного адреса производится нажатием клавиши F4. Целевая функция помещается в ячейке F10. Это выручка, т.е. стоимость всех произведенных сумок.

Отформатированная таблица представлена на рисунке 2.4. В ячейки для искомых переменных В12:Е12 можно вставлять, вообще говоря, любые числа. Программа выполнит подбор их числовых значений в соответствии с условиями задачи. Однако чаще всего в качестве начальных значений вводят 0 (как на рисунке 2.4) или 1 (как на рисунке 2.5).

После вставки формул по команде Данные — Поиск решения вызовем диалог и заполним поля, как показано на рисунке 2.5. Адреса ячеек нужно не набирать вручную, а показывать мышью. Вызывать поля ограничений для записи нужно кнопкой "Добавить". На рисунке показано, что введены ограничения на целостность искомых переменных, на превышение выпуска продукции над обязательными поставками и на не превышение расхода материалов над запасами их на складе. Не отрицательность переменных учитывается в диалоге автоматически.

После выполнения команды "Найти решение" будет выдан результат расчета: значения искомых переменных и соответствующий расход материалов (рисунок 2.6):

Таким образом, мы нашли, что максимально возможная выручка может составить 677500 руб. Для этого сверх договорных поставок мы должны изготовить 35 мужских сумок и 9 дорожных сумок. При этом на складе останется около 10% запаса материалов, кроме кожи и кожзаменителя, которые будут израсходованы полностью. Для сохранения результата нужно нажать кнопку "Сохранить сценарий", в диалоге дать имя сценарию "Сумки_1".

Оптимизация математической модели фактически закончена. Но теперь нужно перейти обратно от модели к реальной ситуации, т.е. принять управленческое решение. А что будет, если не удастся реализовать сумки, изготовленные сверх потребности? Ясно, что выручка будет равна только сумме, перечисленной от покупателей по договорным обязательствам. Тогда, может быть, и не изготавливать излишнюю продукцию? А сколько при этом останется материалов на складе? Руководитель предприятия на основе данного анализа должен иметь возможность принять решение о создании запасов как буферных (запас материалов для компенсации задержек в поставках), так и гарантийных (запас продукции для удовлетворения ожидаемого спроса).

Вернемся в диалоговое окно "Поиск решения". Изменим запись, приравняв в окне ограничений искомое количество продукции поставкам по договорам (рисунок 2.7):

Полученное решение оптимально — оно отвечает максимуму целевой функции и удовлетворяет заданным ограничениям. Сохраним второй сценарий под именем "Сумки_2".

А теперь подготовим графические материалы для отчета по составлению производственного плана. Представим остатки материалов на складе в конце следующего месяца для двух вариантов плана: для максимальной выручки и только для обязательных поставок.

По команде на ленте "Данные" — Анализ "что если" — Диспетчер сценариев — Отчет получим отчет по сценариям. Отредактируем отчет вручную по примеру, приведенному на рисунке 2.8:

Для построения гистограмм остатков на складе проведем сортировку данных по убыванию и построим гистограммы по команде Вставка — Гистограмма (показаны на рисунке 2.9):

Таким образом, планируемая максимальная выручка в 677500 руб. обеспечена материальными ресурсами фабрики. Выпуск сумок только по обязательным договорным поставкам уменьшит выручку до 635000 руб. При этом остатки материалов на складе увеличатся.

Задача 2.2. Раскрой листовых материалов

Механическому цеху требуется из куска листового металла выкроить развертку для изготовления короба. Короб можно изготовить так: сделать по углам квадратные вырезы, отогнуть боковины и соединить боковые швы сваркой. Можно ли из имеющихся в цехе стандартных листов размером 1,0 м х 2,0 м изготовить коробы объемом 200 л? Составить математическую модель. Формализовать задачу в MS Excel для других размеров листов при условии максимальной вместимости короба. Поставщики выпускают стальной лист следующего сортамента (м): 1х2, 1х3, 2х2, 2х2,5, 2х3. Построить графики зависимости максимальной вместимости (куб. м) и остатков материала (кв. м) от площади квадратных листов (кв. м).

Решение задачи

Составим ментальной карту в виде выкройки и эскиза готовой конструкции, представленных на рисунке 2.10. (рис 2.10) Раскрой листа для изготовления короба

Составим математическую модель в виде формулы для объема короба.

Площадь листа: $$S=M*L$$

Объем короба равен произведению площади основания на высоту: $$V=(L-2h)*(M-2h)*h$$

Остатки материала: $$Q=4h^2$$

Сформируем таблицу в MS Excel (справа показана вставка формул в ячейки столбца D). В ячейку D8 помещаем искомую переменную — высоту короба $$h$$. Вписываем в ячейку произвольное число, например, 0,10 м. Целевая функция помещена в ячейку D9 — это объем короба.

В параметрах поиска решения устанавливаем требуемое значение целевой функции $$V=0{,}2\mbox{куб.м} (200\mbox{л})$$. В ограничениях указываем, что длина и ширина основания короба должны быть положительными числами. Данная задача нелинейная: Объем короба и площадь остатков нелинейно зависят от высоты короба. В результате поиска программа выдает отрицательный результат:

Программа нашла, что при высоте короба 21 см его вместимость будет составлять только 192,45 л, — из имеющегося материала изготовить короб объемом 200 л невозможно.

Проверим теперь, что этот объем есть максимально возможный. В параметрах поиска решения предложим оптимизировать целевую функцию до максимума. Программа подтвердит, что объем 192,45 л есть максимально возможный.

Для иллюстрации построим зависимость объема короба от его высоты по формуле

$$V=4h^3–2h^2(M+L)+M*L*h$$ (рисунок 2.11)

(рис 2.11) Нелинейная зависимость объема короба от его высоты

Проведем требуемый анализ максимальной вместимости короба для других размеров листов со сторонами м) 1х3, 2х2, 2х2,5, 2х3. Для этого продолжим таблицу, указывая другие размеры листов. Устанавливаем целевые ячейки в строке 9. Далее вызываем программу "Поиск решения" для каждого варианта и ищем максимальное значение целевой функции. Построим графики максимальной вместимости короба и остатков материала при раскрое в зависимости от площади листа:

Выводы:

Максимальная вместимость короба почти линейно возрастает с увеличением площади листа заготовки. При этом около 10% листа уходит в отходы.

Задача 2.3. Учет стоимости материалов

Трикотажная фабрика использует для производства свитеров и кофточек чистую шерсть, силон и нитрон, запасы которых составляют, соответственно, 800, 400 и 300 кг. Количество сырья, необходимого для изготовления продукции, его цена, а также выручка, получаемая от их реализации, приведены в таблице. Составить план производства изделий, обеспечивающий получение максимального дохода (разницы между выручкой и затратами на сырье).

Составим ментальную карту со схемой формирования выручки:

Таблица данных в MS Excel выглядит так:

В целевую ячейку "Доход" вставлена формула F7=D7–E7. В параметрах "Поиска решения" мы указываем только, что расход материалов не может превышать их запаса:

Оптимальное решение задачи: при выпуске 1000 свитеров и 2000 кофточек доход составит 1 235 000 руб. Затраты на сырье составят 365 000 руб.:

Аналогичным образом можно учесть и другие затраты, количественно связанные с целевой функцией.

Финансовую деятельность можно также отнести к производственной деятельности. Руководство цеха управляет потоками сырья и материалов, чтобы производить только то, что выгодно. Финансовый отдел предприятия управляет потоками капитала, чтобы обеспечить безубыточность производства, получение максимальной прибыли. Деятельность финансового отдела направлена на выбор новых инвестиционных проектов, организацию внешних заимствований, формирование портфеля ценных бумаг.

Особенностью финансовой деятельности является наличие рисков потери вложенных средств. Чаще всего, риски тем выше, чем больше доходность вложений. Поэтому оптимальное решение сводится к выбору вариантов приемлемого дохода при наименьших рисках. Рассмотрим, например, задачу об оптимизации пакета акций.

Задача 2.4. Формирование портфеля инвестиций

Инвестор принимает решение о вложении капитала в 1 млн. руб. Выбраны акции трех предприятий А, В и С. При принятии решения требуется учесть следующие условия:

Какую максимальную прибыль можно получить в первый год инвестиций?

Решение задачи начнем с формирования таблицы в MS Excel:

Целевая функция в ячейке В6 представляет собой сумму дивидендов по всем вложенным акциям. Суммарный объем капитала указан в ячейке D6. В диалоговом окне вводим все указанные в условии задачи ограничения:

Максимальная прибыль в конце первого года составит 86631,67 руб.

Ключевые термины

Вектор искомых переменных $$x_i$$ — количество запланированной к выпуску продукции по ассортименту.

Вектор обязательных поставок — количество продукции по ассортименту, запланированной к сбыту по договорам.

Матрица нормативных коэффициентов — удельные затраты материалов на единицу продукции по ассортименту. Первый индекс фиксирует вид продукции в ассортименте. Второй индекс фиксирует вид исходного материала.

Вектор расхода материала $$r_j=a_{ij}*x_i$$ — общий расход материалов по видам.

Вектор ресурсов $$R_j$$ — производственный запас материалов на период.

Вектор цены $$c_i$$ — цена продукции по ассортименту.

Целевая функция $$F=c_i*x_i$$ — стоимость выпущенной продукции.

Краткие итоги

Планирование выпуска продукции должно преследовать основную цель производства — получение максимальной прибыли. Эта задача актуальна для любого предприятия. Примеры ее решения, показанные в лекции и далее в упражнениях, позволяют автоматизировать поиск решения и снизить неизбежные риски.

Вопросы

Упражнения

Задача 2.5

В лекции 1 мы графически решили задачу о питании цыплят:

Для птицефабрики требуется составить самый дешевый рацион питания цыплят в виде смеси из корма А и корма Б. Цыплята должны получить необходимую дозу витамина В1 — тиамина и витамина С — аскорбина при достаточной калорийности питания. Сколько надо взять граммов корма А и корма Б для каждой порции оптимальной смеси, чтобы удовлетворить потребность цыплят в витаминах и питательности корма?

Исходные данные для поиска решения приведены в таблице:

Математическая модель строится с искомыми переменными величинами — количеством $$Х1$$ корма А и количеством $$Х2$$ корма Б для каждой порции оптимальной смеси. С учетом целевых коэффициентов — цены кормов — они определяют целевую функцию — издержки производства на одну порцию корма для цыплят:

$$F(X1, X2)=3{,}80*Х1+4{,}20*Х2 \Rightarrow MIN$$

Оптимальному решению отвечает минимум целевой функции при следующих ограничениях:

$$0{,}10 Х1+0{,}25 Х2 >=1$$ потребление тиамина не менее нормы;

$$1{,}00 X1+0{,}25 Х2 >=5$$ потребление аскорбина не менее нормы;

$$110 Х1+120 Х2 >=400$$ калорийность питания не должна быть ниже нормы.

$$Х1 >=0; X2 >=0$$ переменные $$Х1$$ и $$Х2$$ не могут быть отрицательными.

А теперь перенесем эту математическую модель в среду MS Excel.

Результаты решения, приведенные в таблице, совпадают с результатами графического решения. Для данных видов кормов калорийность питания почти в два раза превосходит норму. При принятии управленческих решений по этой задаче следует, видимо, перейти на другие, менее калорийные корма.

Задача 2.6

Для поддержания нормальной жизнедеятельности человеку необходимо потреблять не менее 118 г белков, 56 г жиров, 500 г углеводов, 8 г минеральных солей. Количество питательных веществ, содержащихся в 1 кг каждого вида потребляемых продуктов, а также цена 1 кг приведены в таблице.

Составить дневной рацион, содержащий не менее суточной нормы человека в необходимых питательных веществах при минимальной общей стоимости потребляемых продуктов. Записать математическую модель в программе MS Excel.

Построить диаграммы дневного рациона при минимальной общей стоимости потребляемых продуктов, а также при затратах на питание 100 руб., 200 руб. и 300 руб. в сутки.

Составить ментальную карту по условиям задачи.

Решить задачу в MS Excel с помощью надстройки "Поиск решения".

Приведем таблицу MS Excel для основного варианта данной задачи:

Оказывается, что оптимально можно питаться только молочной кашей.

Задача 2.7

Предприятие выпускает четыре вида продукции (А, Б, В, Г) и использует три типа основного оборудования: токарное, фрезерное и шлифовальное. Затраты времени на изготовление единицы продукции для каждого из типов оборудования приведены в таблице. В ней же указаны общий фонд рабочего времени каждого из типов оборудования, а также прибыль от реализации одного изделия данного вида. Спрос на продукцию обеспечен.

Определите такой объем выпуска каждого из изделий, при котором общая прибыль от их реализации является максимальной. Запишите математическую модель в программе MS Excel.

Для увеличения прибыли руководство предприятия решило нанять одного токаря и одного фрезеровщика, каждого на 1/2 ставки (на 80 рабочих часов). Рассчитайте и с помощью сценариев покажите на графике на сколько увеличится прибыль при работе токаря и фрезеровщика на 1/2 ставки и на полной ставке (160 раб. часов).