Элементы теории погрешностей

Понятие погрешности

При любой степени совершенства и точности измерительной аппаратуры, рационально спланированной методике измерений, тщательности выполнения измерительных операций результат измерений отличается от истинного значения физической величины.

Иначе говоря, при всяком измерении неизбежны обусловленные разнообразными причинами отклонения результата измерения (x) от истинного значения измеряемой величины (X). Эти отклонения называют погрешностями измерений.

$$\Delta=x-X$$

Это соотношение служит исходным для теоретического анализа погрешностей. На практике же из-за невозможности определить истинное значение вместо него берут действительное значение измеряемой величины, например, среднеарифметическое результатов наблюдений при измерениях с многократными наблюдениями.

Истинным называется значение ФВ (физической величины), идеальным образом характеризующее свойство данного объекта, как в количественном, так и качественном отношении. Оно не зависит от средств нашего познания и является той абсолютной истиной, к которой мы стремимся, пытаясь выразить её в виде числовых значений.

Действительным называется значение ФВ, найденное экспериментально и настолько близкое к истинному, что в поставленной измерительной задаче оно может быть использовано вместо него.

Погрешность измерений иногда удобно характеризовать ее относительным значением:

$$\delta=\Delta/x или \delta=\Delta/x\cdot100\%$$

Следует также различать погрешность результата измерения и погрешность средства измерений (СИ). Эти два понятия во многом близки друг к другу и классифицируются по одинаковым признакам.

Погрешность средства измерений – разность между показанием СИ и истинным (действительным) значением измеряемой ФВ. Она характеризует точность средства измерений (характеристику качества СИ, отражающую близость его погрешности к нулю).

Величину, обратную относительной погрешности, называют точностью:

$$T=1/\delta=x/\Delta$$

Чем выше точность, тем с меньшей погрешностью произведено измерение. Обычно понятие точности используют для сравнительной характеристики различных измерений или средств измерений.

Правильное количественное представление о качестве измерений получают путем указания погрешности или точности. Соответствующие формулировки будут:

с погрешностью до 1 мВ;

с относительной погрешностью до 0,1%;

с точностью 1000.

Точность 1000 соответствует относительной погрешности 0,1%, точность 25 – относительной погрешности 4%.

Классификация погрешностей

Чтобы правильно оценивать погрешность, следует ясно представлять ее происхождение, понимать, к какому виду относится данная составляющая погрешности измерений. Это диктует необходимость рассмотрения классификации погрешностей. Их можно классифицировать по многим признакам, но мы постараемся сделать это наиболее полным образом.

По характеру проявления погрешности делятся на случайные, систематические, прогрессирующие и промахи, или грубые погрешности.

Случайная погрешность – составляющая погрешности измерения, изменяющаяся случайным образом (по знаку и значению) в серии повторных измерений одного и того же размера физической величины, проведенных с одинаковой тщательностью в одних и тех же условиях.

В появлении таких погрешностей, изображенных на рис. 2.1(а), не наблюдается какой-либо закономерности, они обнаруживаются при повторных измерениях одной и той же величины в виде некоторого разброса получаемых результатов. Случайные погрешности неизбежны, неустранимы и всегда присутствуют в результате измерения, однако их можно существенно уменьшить, увеличив число наблюдений.

Систематическая погрешность – составляющая погрешности измерения, остающаяся постоянной или закономерно меняющаяся при повторных измерениях одной и той же физической величины. Постоянная и переменная систематические погрешности показаны на рис. 2.1(б). Их отличительный признак заключается в том, что они могут быть предсказаны, обнаружены и благодаря этому почти полностью устранены введением соответствующей поправки.

Прогрессирующая (дрейфовая) погрешность – это непредсказуемая погрешность, медленно меняющаяся во времени. Прогрессирующие погрешности могут быть скорректированы поправками только в данный момент времени, а далее вновь непредсказуемо изменяются. Их изменение во времени представляет собой нестационарный случайный процесс, поэтому в рамках хорошо разработанной теории стационарных случайных процессов они могут быть описаны лишь с известными оговорками.

(рис 2.1) Изменение: а – случайной, б – постоянной и переменной систематических погрешностей от измерения к измерению

Прогрессирующая погрешность – это понятие, специфичное для нестационарного случайного процесса изменения погрешности во времени, оно не может быть сведено к понятиям случайной и систематической погрешностей.

По способу выражения разделяют абсолютные, относительные и приведенные погрешности.

Алгебраическую разность измеряемого значения величины x и действительного ее значения a называют абсолютной погрешностью измерения $$$\Delta$$$:

$$\Delta=x-a.$$

Отношение абсолютной погрешности к действительному значению измеряемой величины $$$a_{m}$$$ (безразмерная величина), выраженное в относительных единицах или процентах, называют относительной погрешностью:

$$\delta=\Delta/a или \delta=\Delta/a\cdot100\%$$

Отношение абсолютной погрешности к максимальному возможному значению измеряемой величины (например, к верхнему пределу измерений прибора или к диапазону измерений) называется приведенной погрешностью $$$\delta_{пр}$$$:

$$\delta_{пр}=(x-a)/a_{m}\cdot100=\Delta/a_{m}\cdot100\%$$

В зависимости от причин возникновения различают инструментальные погрешности измерения, погрешности метода измерений, погрешности из-за изменения условий измерения и субъективные погрешности измерения.

Инструментальная погрешность измерения обусловлена погрешностью применяемого СИ. Иногда эту погрешность называют аппаратурной.

Погрешность метода измерений – составляющая систематической погрешности измерений из-за несовершенства принятого метода измерений, эта погрешность обусловлена:

отличием принятой модели объекта измерения от модели, адекватно описывающей его свойство, которое определяется путем измерения;

влиянием способов применения СИ. Это имеет место, например, при измерении напряжения вольтметром с конечным значением внутреннего сопротивления. В таком случае вольтметр шунтирует участок цепи, на котором измеряется напряжение, и оно оказывается меньше, чем было до присоединения вольтметра;

влиянием алгоритмов (формул), по которым производятся вычисления результатов измерений. Вследствие упрощений, принятых в уравнениях для измерений, нередко возникают существенные погрешности, для компенсации действия которых следует вводить поправки. Иногда погрешность метода называют теоретической погрешностью;

влиянием других факторов, не связанных со свойствами используемых СИ.

Отличительной особенностью погрешностей метода является то, что они не могут быть указаны в документации на используемое СИ, поскольку от него не зависят; их должен определять оператор в каждом конкретном случае. В связи с этим оператор должен четко различать фактически измеряемую им величину и величину, подлежащую измерению. Иногда погрешность метода может проявляться как случайная.

Погрешность (измерения) из-за изменения условий измерения – это составляющая систематической погрешности измерения, являющаяся следствием неучтенного влияния отклонения в одну сторону какого-либо из параметров, характеризующих условия измерений, от установленного значения.

Этот термин применяют в случае неучтенного или недостаточно учтенного действия той или иной влияющей величины (температуры, атмосферного давления, влажности воздуха, напряженности магнитного поля, вибрации и др.); неправильной установки средств измерений, нарушения правил их взаимного расположения и др.

Субъективная (личная) погрешность измерения обусловлена погрешностью отсчета оператором показаний по шкалам СИ, диаграммам регистрирующих приборов. Она вызвана состоянием оператора, его положением во время работы, несовершенством органов чувств, эргономическим свойствами СИ.

По зависимости абсолютной погрешности от значений измеряемой величины различают погрешности: аддитивные $$$\Delta_{А}$$$, не зависящие от измеряемой величины; мультипликативные $$$\Delta_{М}$$$, которые прямо пропорциональны измеряемой величине, и нелинейные $$$\Delta_{Н}$$$, имеющие нелинейную зависимость от измеряемой величины.

Эти погрешности применяют в основном для описания метрологических характеристик средств измерений. Такое их разделение весьма существенно при решении вопроса о нормировании и математическом описании погрешностей СИ.

(рис 2.2) Аддитивная (а), мультипликативная (б) и нелинейная (в) погрешности

По влиянию внешних условий различают основную и дополнительную погрешности средств измерений. Основная погрешность средства измерений – погрешность СИ, применяемого в нормальных условиях. Для каждого средства оговариваются условия эксплуатации, при которых нормируется его погрешность. Дополнительная погрешность средства измерений – составляющая погрешности СИ, возникающая дополнительно к основной погрешности, вследствие отклонения какой-либо из влияющих величин от нормального ее значения или вследствие ее выхода за пределы нормальной области значений.

В зависимости от влияния характера изменения измеряемых величин погрешности СИ делят на статические и динамические. Статической называется погрешность средства измерений, применяемого для измерения ФВ, принимаемой за неизменную. Динамической называется погрешность СИ, возникающая дополнительно при измерении изменяющейся (в процессе измерений) ФВ. Динамическая погрешность СИ обусловлена несоответствием его реакции на скорость (частоту) изменения измеряемого сигнала.

(рис )

Систематические случайные погрешности и их математическое описание

Погрешность измерений описывают нестационарным случайным процессом, статистические характеристики которого меняются во времени. Типичная реализация такого процесса – зависимость погрешности конкретного средства измерений от времени (рис. 2.3 рис 2.3). Эту зависимость $$$\Delta(t)$$$ в большинстве случаев можно представить в виде суммы быстро изменяющейся флуктуационной составляющей $$$\varepsilon(t)$$$ и медленно меняющегося среднего значения $$$\theta(t)$$$.

(рис 2.3) Зависимость погрешности средства измерений от времени

Если измерения с многогранными наблюдениями провести через некоторое время, в течение которого среднее значение успеет существенно измениться, то погрешность примет новое значение, например $$$\theta_{2}$$$. Таким образом, при проведении измерений, разделенных большими интервалами времени, проявляется изменчивость погрешности $$$\theta(t)$$$.

Как уже указывалось, систематическая погрешность складывается из нескольких составляющих. Анализ причин, вызывающих возникновение отдельных составляющих, позволит установить приближенные математические модели, пригодные для оценки систематической погрешности.

Методические погрешности в некоторых случаях постоянны и могут быть рассчитаны и исключены. Постоянными являются и инструментальные погрешности, вызванные неточностью регулировки средств измерений при их выпуске или поверке.

Систематические погрешности, зависящие от влияющих величин, как правило, меняются во времени, поскольку сами влияющие величины не остаются постоянными. На параметры электронных измерительных приборов влияют влажность воздуха и температура окружающей среды, атмосферное давление, напряжение питающей сети, возможная вибрация, возникающая при эксплуатации средств измерений на подвижных объектах.

В лабораторных условиях наибольшее влияние на погрешность средств измерений оказывает температура элементов их схем. Характеристики большинства полупроводниковых приборов имеют сильно выраженную температурную зависимость, а параметры катушек индуктивности, конденсаторов и резисторов хотя и в меньшей мере, но также зависят от температуры. Изменения температуры элементов средств измерений вызваны двумя главными причинами: изменением рассеиваемой на этих элементах мощности и колебаниями температуры внешней среды - помещения, в котором размещены средства измерений.

После включения средства измерений в сеть на его элементах начинает рассеиваться практически вся потребляемая мощность, что вызывает значительные изменения температуры всего устройства. Характер и скорость нарастания температуры зависят от термодинамических характеристик элементов схемы: теплоемкости, характера теплообмена с внешней средой, причем элементы схемы нагреваются неравномерно. Однако общий характер нарастания некоторой средней температуры устройства приближенно может быть описан экспоненциальной зависимостью. Подобным же образом меняется и систематическая составляющая погрешности $$$\theta_{n}(t)$$$, обусловленная прогревом средства измерений после его включения в сеть. На рис. 2.4 рис 2.4 показана возможная зависимость погрешности установки частоты f(x) измерительного генератора от времени, аппроксимированная функцией

$$\theta_{n}(t)=f(t)-f_{н}=f_{1}-f_{н}+(f_{0}-f_{1})exp[-(t-t_{в})/\tau_{т}]$$

где fH – номинальное значение частоты, устанавливаемое по шкале прибора, f₀ – значение частоты в момент включения, f₁ – установившееся значение частоты, $$$\tau_{т}$$$ – эквивалентная тепловая постоянная времени, – момент включения прибора в сеть.

(рис 2.4) Зависимость погрешности установки частоты f(x) измерительного генератора от времени t

Экспериментальная зависимость $$$\theta_{n}(t)$$$ может описываться и более сложным образом, например суммой нескольких экспонент и линейной функции.

Изменение средней температуры средства измерений при его прогреве может достигать нескольких десятков градусов, что приводит к значительным изменениям систематической погрешности. Если измерения необходимо производить до окончания прогрева средства измерений, то систематическую погрешность можно учесть с помощью ранее полученной зависимости $$$\theta_{n}(t)$$$ для данного средства изменений. Как правило, эти зависимости для разных экземпляров средств измерений имеют значительный разброс, поэтому использовать некоторую среднюю зависимость для любого экземпляра средств измерений данного типа обычно нецелесообразно.

В большинстве случаев измерения рекомендуют производить по окончании полного прогрева средств измерений. Необходимое время прогрева указывают в паспортных данных.

Изменения внешней температуры также вызывают появление систематической погрешности. Из-за большой тепловой постоянной времени прибора, которая может достигать десятков минут, он оказывает сглаживающее действие по отношению к колебаниям внешней температуры. Быстрые изменения фильтруются и не влияют на среднюю температуру прибора, а медленные колебания температуры среды изменяют его среднюю температуру и, следовательно, вызывают изменение систематической погрешности.

Влияние медленных колебаний температуры на систематическую погрешность можно учесть с помощью приближенного соотношения:

$$\theta_{т}\approx K_{т}(T^{0}-T_{н}^{0})$$

где $$$K_{т}$$$ – постоянный коэффициент; $$$T^{0}$$$ - значение температуры в данный момент: $$$T_{н}^{0}$$$ – номинальное значение температуры, при которой температурная погрешность $$$\theta_{т}$$$ отсутствует.

Прогрессирующая во времени систематическая погрешность $$$\theta_{пр}(t)$$$ обусловлена постепенным изменением параметров элементов схемы вследствие старения. Это медленный процесс, приближенно описываемый линейной зависимостью

$$\theta_{пр}(t)=K_{c}(t-t_{n})$$

где $$$K_{c}$$$ – постоянный коэффициент; t – время; $$$t_{n}$$$ – время проведения последней проверки средства измерений, при которой систематическая погрешность была исключена. Исходя из допустимого значения погрешности $$$\theta_{пр}$$$ и скорости ее изменения, выбирают периодичность поверки.

Математическое описание случайной погрешности

Быстрые флуктуации $$$\varepsilon(t)$$$ определяют случайную погрешность, которую приближенно описывают эргодическим случайным процессом с нулевым математическим ожиданием. При проведении измерений с многократными наблюдениями эта составляющая проявляется в виде случайной величины, принимающей значения $$$\varepsilon_{i}=\varepsilon(t_{i})$$$ взятые в моменты $$$t_{i}(i=1,2,...,n)$$$ проведения наблюдений. Значения $$$\varepsilon_{i}$$$ обычно можно считать статистически независимыми.

Отсчитываемые по прибору значения измеряемой величины, а следовательно, и значения $$$\varepsilon_{i}$$$, погрешности всегда содержат определенное число значащих цифр. Поэтому погрешность может принимать конечное число значений и, строго говоря, является дискретной случайной величиной. Однако математическое описание таких величин неудобно, и погрешность принято считать непрерывной случайной величиной.

Наиболее полной характеристикой случайной погрешности являются функции распределения. В дальнейшем будем использовать дифференциальную функцию распределения, называемую также плотностью распределения вероятностей $$$p(\varepsilon)$$$ или сокращенно плотностью вероятности. По известной плотности вероятности можно определить вероятность пребывания случайной погрешности в заданных границах от $$$\Delta(н)$$$ до $$$\Delta(в)$$$:

$$P_{\Delta}=P\{\Delta_{н}\leq\varepsilon\leq\Delta_{в}\}=\int\limits_{\Delta_{н}}\limits^{\Delta_{в}}p(\varepsilon)d\varepsilon.$$

Для плотностей вероятности, описываемых симметричными относительно начала координат функциями, нижнюю $$$\Delta(H)$$$ и верхнюю $$$\Delta(В)$$$ границы погрешности также выбирают симметричными (рис. 2.5, а).

Симметричные границы обозначим одним символом $$$\Delta(вн)$$$ – положительной величиной. Верхняя и нижняя границы погрешности. $$$\Delta_{в}=\Delta_{вн}$$$, $$$\Delta_{н}=-\Delta_{вн}$$$; или $$$\pm\Delta_{вн}$$$. Для заданного закона распределения вероятность $$$P_{\Delta}$$$ однозначно зависит от границ погрешности и возрастает с их увеличением.

(рис 2.5)

Если $$$P_{\Delta}=1$$$, то реальные погрешности не могут превышать границ $$$\Delta_{в}=\Delta_{п}$$$ $$$\Delta_{н}=-\Delta_{п}$$$ или $$$\pm\Delta_{п}$$$ погрешность $$$\Delta_{п}$$$ будем называть предельной.

По результату измерений и границам погрешности оценивают интервал, в котором с заданной вероятностью $$$P_{\Delta}$$$ лежит истинное значение X измеряемой величины. Подставив в (2.1) $$$\varepsilon=x-X$$$, получим

$$P_{\Delta}=P\{x-\Delta_{вн}\leq X\leq x+\Delta_{вн}\}$$

Следовательно, вероятность $$$P_{\Delta}$$$ соответствует вероятности пребывания истинного значения на интервале от $$$x-\Delta_{вн}$$$ до $$$x+\Delta_{вн}$$$. Поскольку общая погрешность $$$\Delta=\theta+\varepsilon$$$, то ее плотность вероятности можно определить, сместив график $$$P(\varepsilon)$$$ на $$$\theta$$$ (рис. 2.5,б). В данном случае нижнюю $$$\Delta_{н}$$$, и верхнюю $$$\Delta_{в}$$$ границы интервала, в котором с вероятностью $$$P_{\Delta}$$$ лежит погрешность, выбирают симметрично относительно математического ожидания, поэтому $$$|\Delta_{н}|\neq\Delta_{в}$$$.

К описанию погрешностей плотностью вероятности прибегают сравнительно редко, поскольку для получения $$$P_{\Delta}$$$ приходится прибегать к интегрированию или использовать табличные интегралы, а само экспериментальное определение плотностей вероятности сопряжено со значительными затратами времени.

Числовые характеристики погрешности. Во многих случаях погрешности вычисляют по их числовым характеристикам: математическому ожиданию и центральным моментам.

Контрольные вопросы

Можно ли определить истинное значение измеряемой величины?

Проведите классификацию погрешностей измерений в зависимости от характера проявления.

Отличаются ли признаки классификации погрешностей результатов измерений и погрешностей средств измерений?

Наблюдается ли какая-нибудь закономерность в появлении случайных погрешностей измерений?

Каким образом можно существенно уменьшить случайные погрешности измерений? Можно ли совсем устранить случайные погрешности?

Можно ли устранить систематические погрешности?

Может ли систематическая погрешность измерения изменяться при повторных измерениях одной и той же физической величины?