Представление чисел в системах счисления

73 = 24 * 3 + 1;
24 = 8 * 3 + 0; 
8 = 2 * 3 + 2.

0,7 * 3 = 2 + 0,1; 0,1 * 3 = 0 + 0,3; 0,3 * 3 = 0 + 0,9; 0,9 * 3 = 2 + 0,7;
0,7 * 3 = 2 + 0,1, и т. д.

Пример 8. Найдем представление числа 35,85 в двоичной системе счисления. Имеем: $$35 = 32 + 2 + 1 = 2^5 + 2 + 1 = 100011_2$$. Для преобразования числа 0,85 будем последовательно удваивать дробные части результатов, начиная с этого числа: 1,7; 1,4; 0,8; 1,6; 1,2; 0,4; 0,8, ... Таким образом, $$0,85 = 0,11(0110)_2$$.

Следовательно,

$$35,85 = 100011,11(0110)_2.$$

Преобразование p-ичных чисел в десятичные

Пусть для неотрицательного действительного числа x верно разложение (1). Рассмотрим некоторые способы преобразования числа x из системы счисления с основанием p в десятичную систему счисления.

Первый способ заключается в непосредственном применении формулы (1) (пример 4). Для вычислений можно использовать таблицы, в которых записывается соответствие между коэффициентами и степенями p в указанном разложении.

Пример 9. Найдем десятичное представление числа $$1010,1011_2$$ с помощью таблицы 1.2.

Соответствие коэффициентов степеням 2

1	0	1	0	1	0	1	1
8	4	2	1	1/2	1/4	1/8	1/16

Имеем: $$1010,1011_2=8+2+\frac{1}{2}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}=10+\frac{11}{16}=10,6875$$.

Второй способ называется схемой Горнера. Он обычно используется в компьютерных программах, так как позволяет существенно упростить вычисления. Заметим, что

$$x_{int}= b_0p^n + b_1p^{n - 1} + b_2p^{n - 2} + \dots + b_{n - 1}p + b_n = \\ = (((b_0p + b_1)p + b_2)p \dots + b_{n - 1})p + b_n.$$

Утверждение 1. Положим

$$z_0 = b_0, z_j = z_{j - 1}p + b_j,$$

для j = 1, 2, ..., n. Тогда $$x_{int} = z_n$$.

Доказательство. Для доказательства применим метод математической индукции. Используем индукцию по n.

Рассмотрим случай n = 1. Тогда $$z_1 = z_0p + b_1 = b_0p + b_1 = x_{int}$$. Следовательно, при n = 1 утверждение верно.

Предположим, что утверждение верно для $$n = k$$, т. е. что верно следующее соотношение:

$$x_{int}= b_0p^k + b_1p^{k - 1} + \dots + b_{k - 1}p + b_k = ((b_0p + b_1)p + \dots + b_{k - 1})p + b_k = z_k.$$

Пусть теперь n = k + 1. Тогда, по предположению индукции,

$$z_{k + 1}= z_kp + b_{k + 1} = (((b_0p + b_1)p + \dots + b_{k - 1})p + b_k)p + b_{k + 1} =\\ = (b_0p^k + b_1p^{k - 1} + \dots + b_{k - 1}p + b_k)p + b_{k + 1} = b_0p^{k + 1} + b_1p^k + \dots + b_{k - 1}p^2 + b_kp + b_{k + 1} = x_{int}$$

Следовательно, утверждение верно для $$n = 1, 2, \dots \Box$$

Пример 10. Найдем десятичное представление числа $$12021_3$$. Имеем: $$12021_3 = (((1 * 3 + 2) * 3 + 0) * 3 + 2) * 3 + 1 = 142$$ ( табл. 1.3).

Преобразование в десятичную систему счисления целого числа, p = 3

$$b_j$$	1	2	0	2	1
$$z_j$$	1	5	15	47	142

Если дробная часть числа x содержит k знаков после запятой, то для нее выполняется аналогичное соотношение:

$$x_{fract}= b_{n + 1}p^{- 1} + b_{n + 2}p^{- 2} + \dots + b_{n + k}p^{ - k} =\\ = p^{- k}(b_{n + 1}p^{k - 1} + b_{n + 2}p^{k - 2} + \dots + b_{n + k}) =\\ = p^{- k}(((b_{n + 1}p + b_{n + 2})p + \dots + b_{n + k - 1})p + b_{n + k}).$$

Представление дробной части можно кратко записать в виде

$$x_{fract} = p^{ - k} * b_{n + 1}b_{n + 2} \dots b_{n + k p}.$$

Пример 11. Используя схему Горнера, найдем десятичное представление чисел $$0,11022_3$$ и $$101,011_2$$. Имеем:

$$0,11022_3 = 3^{-5}((((1 * 3 + 1) * 3 + 0) * 3 + 2) * 3 + 2) =\frac{116}{243};\\ 101,011_2 = (1 * 2 + 0) * 2 + 1 + 2^{- 3}((0 * 2 + 1) * 2 + 1) = 5 +\frac{3}{8} = 5,375.$$

Результаты вспомогательных вычислений для числа $$101,011_2$$ приведены в табл. 1.4.

Преобразование в десятичную систему счисления, p = 2

$$b_j$$	1	0	1	0	1	1
$$z_j$$	1	2	5	0	1	3

Пусть теперь дробная часть числа обладает периодом длины s и выглядит следующим образом:

$$0, c_1\dots c_k(c_{k+1}\dotsc_{k+s})_p$$

где s > 0 и $$0 \le с_i < p$$, для i = 1, ..., k, k + 1, ..., k + s. Обозначим через a и b целые десятичные числа, представление которых в системе счисления с основанием p имеет вид:

$$a = c_1\dotsc_{k p},\\ b = c_{k + 1}\dotsc_{k + s p}.$$

Утверждение 2. Является верным равенство:

$$0,c_1 \dots c_k(c_{k+1}\dots c_{k+s})_p=\frac{a(p^s-1)+b}{p^k(p^s-1)}$$

Доказательство. Для доказательства используем разложение (1) и формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Имеем:

$$0,c_1\dots c_k(c_{k+1}\dots c_{k+s})_p=\frac{c_1}{p}+\dots+\frac{c_k}{p^k}+\frac{c_{k+1}}{p^{k+1}}+\dots+\frac{c_{k+s}}{p^{k+s}}+\frac{c_{k+1}}{p^{k+s+1}}+\ dots+\frac{c_{k+s}}{p^{k+2s}}+\dots=\\ \frac{c_1}{p}+\dots+\frac{c_k}{p^k}+\frac{1}{p^k}*\left( \frac{c_{k+1}}{p}+\ dots+\frac{c_{k+s}}{p^s}\right) \left(1+\frac{1}{p^s}+\frac{1}{p^{2s}}+\dots \right)=\\ \frac{c_1p^{k-1}+\dots+c_k}{p^k}+\frac{1}{p^k}*\frac{c_{k+1}p^{s-1}+\dots+c_{k+s}}{p^s}*\frac{p^s}{p^s-1}=\\ \frac{(c_1p^{k-1}+\dots+c_k)(p^s-1)+c_{k+1}p^{s-1}+\dots+c_{k+s}}{p^k(p^s-1)}=\frac{a(p^s-1)+b}{p^k(p^s-1)}$$

Пример 12. Используя формулу (4), представим число в виде рациональной дроби:

$$0,(3)=\frac39=\frac13$$; $$0,(9)=\frac99=1$$ (здесь s = 1, k = 0 и a = 0);

$$0,(12)=\frac{12}{99}=\frac{4}{33}$$;

$$0,12(345)=\farc{12-999+345}{100*999}=\frac{4111}{33300}$$;

$$0,12(345)_8=\frac{(1*8+2)*(8^3-1)+3*8^2+4*8+5}{8^2*(8^3-1)}=\frac{5339}{32704}$$;

$$0,101(1100)_2=\frac{5*(2^4-1)+12}{2^3(2^4-1)+12}=\frac{29}{40}$$;

$$0,c3(e)_{16}=\frac{195*15+14}{256-15}=\frac{2939}{3840}$$

Арифметические операции в системе счисления

Операции сложения, вычитания, умножения и деления в системе счисления с основанием p производятся аналогично тому, как они выполняются в десятичной системе счисления.

Заметим, что $$p = 10_p$$, $$p + 1 = 11_p$$ для любого основания p. Соответственно, предшествующим для числа $$10_p$$ является число p - 1, а следующим за ним - число $$11_p$$. Для числа $$100_p$$ предшествующим является число $$p^2 - 1 = (p - 1)p + p - 1 = (p - 1)(p - 1)_p$$, а последующим - число $$101_p$$.

Пример 13. Найдем сумму, разность, произведение и частное, а также результаты целочисленного деления для чисел $$1120201_3$$ и $$22_3$$ в троичной системе счисления:

Таким образом,

$$ 1120201_3 + 22_3 = 1121000_3; 1120201_3 - 22_3 = 1120102_3;\\ 1120201_3 * 22_3 = 110122122_3; 1120201_3 22_3 = 12100,0(10)_3;\\ 1120201_3 \text{div} 22_3 = 12100_3, 1120201_3 \mod 22_3 = 1_3. $$

Пример 14. Выполним операции сложения, вычитания, умножения и целочисленного деления в 16-ричной системе счисления для чисел $$c1e_{16}$$ и $$b2_{16}$$:

Найдем поразрядно сумму c1e + b2, начиная с младшего разряда. Имеем: e + 2 = 10, 1 + 1 + b = d. Поэтому c1e16 + b216 = cd016.

Найдем разность c1e - b2. Имеем: e - 2 = c, 11 - b = 6, c - 1 = b. Следовательно, c1e16 - b216 = b6c16.

Найдем произведение c1e * b2. Имеем: e * 2 = 1c, 1 * 2 + 1 = 3, с * 2 = 18. Поэтому c1e * 2 = 183c. Аналогично, e * b = 9a, 1 * b + 9 = 14, c * b + 1 = 85. Следовательно, c1e * b = 854a. Таким образом, c1e16 * b216 = 183c16 + 854a016 = 86cdc16.

Разделим c1e на b2. Имеем: c1 = 1 * b2 + f, fe = 1 * b2 + 4c. Следовательно, c1e = 11 * b2 + 4c, так что c1e16 div b216 = 1116; c1e16 mod b216 = 4c16.

Замечание. Из утверждения 2 следует, что при $$s > 0$$

$$0,c_1\dotsc_k(c_{k+1}\dotsc_{k+s})_p=p^{-k}\left(c_1\dotsc_{kp}+\frac{c_{k+1}/dots_{k+sp}}{\frac{(p-1)\dots(p-1)}{s}p}\right)$$

Пример 15. Найдем представление числа $$212,1_3$$ в системе счисления с основанием 5.

Имеем: $$5 = 12_3$$. В троичной системе счисления

Таким образом, $$212_3 = 11_3 * 12_3 + 10_3$$. Но $$11_3 = 4_5$$, а $$10_3 = 3_5$$. Поэтому $$212_3 = 43_5$$.

Для дробной части числа в троичной системе счисления имеем:

Таким образом, $$0,1_3 * 12_3 = 1,2_3; 0,2_3 * 12_3 = 10,1_3; 0,1_3 * 12_3 = 1,2_3$$, и т. д. Следовательно, $$0,1_3 = 0,(13)_5$$, так как $$1_3 = 1_5$$, а $$10_3 = 3_5$$. В результате получается, что $$212,1_3 = 43,(13)_5$$.

Выполним обратное преобразование: найдем троичное представление числа $$43,(13)_5$$. В пятеричной системе счисления

Таким образом, $$43_5 = 12_5 * 3_5 + 2_5, 12_5 = 2_5 * 3_5 + 1_5$$.

Поэтому $$43_5 = 212_3$$.

Далее, $$0,(13)_5=\frac{13_5}{44_5}=\frac{13_5}{13_5*3_5}=\frac{1_5}{3_5}=\frac{1}{3}=0,1_3$$.

Следовательно, $$43,(13)_5 = 212,1_3$$.

Таблицы и преобразование чисел

Рассмотрим методы преобразования представления числа между системами счисления с основаниями p и $$p^k$$ с помощью таблиц. Таблица содержит упорядоченный набор слов длины $$k$$ в алфавите из p букв. Эти буквы соответствуют цифрам в системе счисления с основанием p, а слова - цифрам в системе счисления с основанием $$p^k$$.

Понятие алфавита, слова и языка

Алфавит - конечное множество, элементы которого называются буквами. Конечная последовательность букв называется словом. Множество всех слов над алфавитом A обозначается A*. Язык - это подмножество множества слов. Число букв в слове называется длиной слова. Пустое слово обозначается $$\Lambda$$, длина пустого слова равна 0.

Рассмотрим алфавит, состоящий из двоичных цифр: A = {0, 1}. Один двоичный разряд представляет один бит. Если разрядов k, то с их помощью можно записать $$2^k$$ различных последовательностей 0 и 1 - слов над алфавитом A. Слова над алфавитом /{0, 1/} называются двоичными словами.

Порядок следования слов в словаре называется лексикографическим. Например, в таком порядке в словаре размещаются слова а, абажур, абак, аббат, аббатство, аббревиатура, аберрация, абзац.

Лексикографический порядок определяется следующим образом. Пустое слово меньше непустого. Если первая буква первого слова меньше первой буквы второго слова, то первое слово располагается раньше второго. Если первые буквы слов совпадают, то сравнение производится по вторым буквам, и т. д. Например, в алфавите /{0, 1/} буква 0 меньше, чем буква 1, поэтому слова, начинающиеся на 0, в словаре двоичных слов должны располагаться раньше, чем слова, которые начинаются на 1.

В общем случае, пусть p - целое число, такое что p > 1, и алфавит A содержит p букв со значениями от 0 до p - 1:

$$A = {a_0, a_1, \dots, a_{p - 1}}.$$

Будем считать, что $$a_0 < a_1 < \dots< a_{p - 1}$$. Всего над алфавитом A существует $$p^k$$ слов длины k, так как на каждой из k позиций в слове может стоять любая из p букв. Поэтому набор этих слов соответствует цифрам в системе счисления с основанием $$p^k$$.

Замечание. Пусть $$v_1, v_2, \dots, v_s$$, где $$s = p^n$$, - упорядоченное множество слов длины n над алфавитом A. Тогда упорядоченное множество слов длины n + 1 имеет вид:

$$a_{0v1} a_0v_2, \dots, a_0v_s, a_1v_1, a_1v_2, \dots, a_1v_s, \dots, a_{p - 1}v_1, a_{p - 1}v_2, \dots, a_{p - 1}v_s$$

Таблицы триад и тетрад

Пусть p = 2 и A = /{0, 1/}. Имеем:

- упорядоченный набор слов длины 0;

0, 1 - упорядоченный набор слов длины 1;

00, 01, 10, 11 - упорядоченный набор слов длины 2, и т. д.

Слова длины 3 и 4 называют триадами и тетрадами, соответственно.

Ниже приведены таблицы двоичных слов длины k, для k = 2, 3 и 4 ( рис. 1.1), и соответствующих им цифр в системе счисления с основанием $$2^k$$, которые представляют эти слова. В заголовке каждого столбца указывается основание системы счисления, которой принадлежат слова, содержащиеся в столбце.

(рис 1.1) Таблицы триад и тетрад

Таблицы используются для быстрого преобразования представления числа между двоичной системой счисления и системами счисления с основаниями 4, 8 и 16.

Системы счисления с основаниями p и степенями p

Рассмотрим представление чисел в системах счисления с основаниями p и $$p^k$$, для k > 1.

Положим $$s = p^k$$. Для целого неотрицательного числа x имеем:

$$ x= d_0s^n + d_1s^{n - 1} + \dots + d_n = d_0p^{kn} + d_1p^{kn - k} + \dots + d_n,$$

где $$0 \le d_i < p^k$$, для i = 0, 1, ..., n. Но $$d_i < p^k$$, поэтому в системе счисления с основанием p для цифр $$d_i$$ выполняются следующие разложения:

$$d_i = b_{i0}p^{k - 1} + b_{i1}p^{k - 2} + \dots + b_{ik},$$

где $$0 \le b_{ij} < p$$, для j = 0, 1, ..., k, i = 0, 1, ..., n. Соответственно, в системе счисления с основанием p число $$d_i$$ имеет представление $$d_i = b_{i0}b_{i1} \dots b_{ik p}$$.

Подставим указанные выше разложения для чисел $$d_i$$ в разложение для числа x, в результате будем иметь:

$$ x=b_{00}p^{kn + k - 1} + b_{01}p^{kn + k - 2} + \dots + b_{0k}p^{kn}+ b_{10}p^{kn - 1}+ b_{11}p^{kn - 2}+ \dots + b_{1k}p^{kn - k} +\\ \dots + b_{n0}p^{k - 1} + b_{n1}p^{k - 2}+ \dots + b_{nk}$$

Поэтому число x в системе счисления с основанием p имеет следующее представление:

$$x = b_{00}b_{01} \dots b_{0k}b_{10}b_{11} \dots b_{1k} \dots b_{n0}b_{n1} \dots b_{nk p}.$$

Таким образом, если число в системе счисления с основанием $$p^k$$ имеет представление $$d_{0d1} \dots d_n$$, то для того, чтобы найти его представление в системе счисления с основанием p, достаточно каждую из цифр $$d_i$$, для i = 0, 1, ..., n, заменить ее представлением в системе счисления с основанием p с помощью слова длины k.

Пример 16. С помощью таблиц найдем представление чисел $$301_4$$, $$1073_8$$ и $$2ae8_{16}$$ в двоичной системе счисления. Имеем:

$$301_4 = 11 00 01 = 110001_2;\\ 1073_8 = 001 000 111 011 = 1000111011_2;\\ 2ae8_{16} = 0010 1010 1110 1000 = 10101011101000_2.$$

Пример 17. Представление чисел $$7125_9$$ и $$2020_9$$ в троичной системе счисления можно найти следующим образом:

$$7125_9 = 21 01 02 12 = 21010212_3;\\ 2020_9 = 02 00 02 00 = 2000200_3.$$

Проведенные выше преобразования с помощью знака суммирования $$\sum$$ можно записать в виде:

$$x=\sum_{i=0}^nd_is^{n-i}=\sum_{i=0}^nd_ip^{k(n-i)}= \sum_{i=0}^n \Bigl(\sum_{j=0}^{k-1}b_{ij}p^{k-1-j}\Bigr)p^{k(n-i)}=\\ =\sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^{k-1}b_{ij}p^{k(n-i)+k-1-j}=\sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^{k-1}b_{ij}p^{kn+k-1-(ki+j)}=\\ =\sum_{q=0}^{kn+k-1}b_{q \:\text{div}\: k,q \mod k}p^{kn+k-1-q}=\sum_{q=0}^{kn+k-1}c_qp^{kn+k-1-q} $$

В предпоследнем равенстве выполнен переход от двойного суммирования к суммированию по одному индексу с помощью замены q = ki + j. Индексы i и j меняются от 0 до n и от 0 до k - 1, соответственно, поэтому индекс q последовательно принимает все значения от 0 до kn + k - 1. Далее, учитывая, что $$0 \le j < k$$, получим: i = q div k, j = q mod k. В последнем равенстве приведенного выше выражения выполнен переход от двойных индексов к одинарным: $$c_q = b_{q \:\text{div}\: k, q \mod k}$$. Итак, имеем:

$$x= d_{0d1} \dots d_{n s} = c_{0c1} \dots c_{k - 1} c_kc_{k + 1} \dots c_{2k - 1} \dots c_{kn}c_{kn + 1} \dots c_{kn + k- 1 p}.$$

Пусть теперь в системе счисления с основанием p для целого неотрицательного числа x выполняется разложение

$$x = c_0p^m + c_1p^{m - 1} + \dots + c_m,$$

где m = k(n + 1) - 1, $$k > 1, n \ge 0; 0 \le c_j < p$$, для j = 0, 1, ..., m. Число слагаемых в правой части равенства кратно k. Разобьем их последовательно на группы, содержащие по k элементов (очевидно, что таких групп будет n + 1), в результате будем иметь:

$$x=c_0p^m + c_1p^{m - 1} + \dots + c_{k - 1}p^{m - k + 1} + c_kp^{m - k} + c_{k + 1}p^{m - k + 1} + \dots + c_{2k - 1}p^{m - 1} +\dots\\ + c_{m - k + 1}p^{k - 1} + c_{m - k + 2}p^{k - 2} + \dots + c_m = (c_0p^{k - 1} + c_1p^{k - 2} + \dots + c_{k - 1})p^{m - k + 1} +\\ + (c_kp^{k - 1} + c_{k + 1}p^{k - 2} + \dots + c_{2k - 1})p^{m - k} +\dots + c_{m - k + 1}p^{k - 1} + c_{m - k + 2}p^{k - 2} + \dots + c_m.$$

Положим

$$d_0 = c_0p^{k - 1} + c_1p^{k - 2} + \dots + c_{k - 1},\\ d_1 = c_kp^{k - 1} + c_{k + 1}p^{k - 2} + \dots + c_{2k - 1},\\ \dots d_n = c_{m - k + 1}p^{k - 1} + c_{m - k + 2}p^{k - 2} + \dots + c_m.$$

Ясно, что $$0 \leqslant d_j < p^k$$, для j = 0, 1, ..., n. Кроме того, m = kn + k - 1. Поэтому представление числа x в системе счисления с основанием $$p^k$$ имеет вид: $$x = d_0p^{kn} + d_1(p^k)^{n - 1} + \dots + d_n$$

Таким образом, при преобразовании представления числа из системы счисления с основанием p в систему счисления с основанием $$p^k$$, достаточно сгруппировать буквы исходного слова в слова длины k, при необходимости добавив нули в начале слова, а затем заменить эти слова

Пример 18. Для числа 73 по таблицам имеем:

$$ 73 = 1001001_2 = 01 00 10 01 = 1021_4 = 001 001 001 = 111_8 = 0100 1001 = 49_{16}.$$

Преобразование дробной части числа, если она имеет конечное число знаков после запятой, выполняется аналогичным образом, так как

$$0,b_{n + 1}b_{n + 2} \dots b_{n + k p}= p^{ - k} * b_{n + 1}b_{n + 2} \dots b_{n + k p} =p{ - k - 1} * b_{n + 1}b_{n + 2} \dots b_{n + k}0_p = \dots$$

Очевидно, что для дробной части при преобразовании представления числа из системы счисления с основанием p в систему счисления с основанием $$p^k$$ необходимое число нулей добавляется справа.

Пример 19. С помощью таблиц найдем двоичное представление чисел $$0,032_4$$, $$0,704_8$$ и $$0,9e0a_{16}$$. Имеем:

$$0,032_4 = 0,00 11 10 = 0,00111_2;\\ 0,702_8 = 0,111 000 010 = 0,11100001_2;\\ 0,9e0a_{16} = 0,1001 1110 0000 1010 = 0,100111100000101_2.$$

Пример 20. Найдем представление чисел $$0,011_2$$ и $$10101,10011_2$$ в системах счисления с основаниями 4, 8 и 16 с помощью таблиц:

$$0,011_2 = 0,0110_2 = 0,12_4 = 0,3_8 = 0,6_{16};$$

$$10101,10011_2 = 01 01 01,10 01 10 = 111,212_4 = 010 101,100 110 = 25,46_8= 0001 0101,1001 1000 = 15,98_{16}.$$

Ниже приведена общая таблица для преобразования чисел между системами счисления с основаниями 3 и 9, а также 4 и 16 ( Таблица ).

(рис 1.2) Соответствие между системами счисления с основаниями 3 и 9, 4 и 16

Пример 21. 1) Найдем для чисел $$2805_09$$ и $$1f58_{16}$$ их троичное и четверичное представления, соответственно. По таблице h имеем:

$$2805_9 = 02 22 00 12 = 2220012_3;\\ 1f58_{16} = 01 33 11 20 = 1331120_4.$$

2) Представление чисел $$2120121_3$$ и $$10032_4$$ в системах счисления с основаниями 9 и 16, соответственно, по рис 1.2 находится следующим образом:

$$2120121_3 = 02 12 01 21 = 2517_9;\\ 10032_4 = 01 00 32 = 10e_{16}.$$

В системах счисления с основаниями от 11 до 36 включительно цифрами являются десятичные цифры и буквы латинского алфавита. Эти цифры приведены в табл.. Ячейка с индексами i и j содержит цифру, значение которой в десятичной системе равно 10i + j.

(рис 1.3) Обозначения цифр в системах счисления...

Пример 22. 1) Найдем шестеричное представление числа $$9o4zaaaaaaa_{36}$$. Имеем: $$9_{36} = 9_{10} = 13_6, o_{36} = 24_{10} = 40_6, z_{36} = 35_{10} = 55_6$$. Поэтому

$$9o4z_{36} = 13 40 04 55 = 13400455_6.$$

2) Найдем представление числа $$142124403_5$$ в системе счисления с основанием 25. Имеем: $$42_5 = 22_{10}; 12_5 = 7_{10}; 44_5 = 24_{10}.$$

Следовательно,

$$142124403_5 = 01 42 12 44 03 = 1m7o3_{25}.$$

В системах счисления с основанием 37 и более в качестве цифр часто используются десятичные числа. В этом случае цифры состоят из нескольких знаков. Мы в записи чисел будем просто разделять такие цифры пробелами (как в системе Wolfram|Alpha - см. гл. 7).

Пример 23. Вычислим 60-ричное представление числа 43000. Имеем:

43000 = 716 * 60 + 40;
716 = 11 * 60 + 56.

Таким образом, $$43000 = 11 56 40_{60}$$. Отсюда, в частности, следует, что 43000 секунд составляет 11 часов, 56 минут и 40 секунд.

В вавилонской системе счисления c основанием 60 для записи цифр, от 1 до 59, использовались два знака: стоячий клин для обозначения 1 и лежачий для обозначения 10 ( рис. 1.1 (a)). Разряды отделялись пробелами, иногда для разделения цифр использовались специальные символы, по причине отсутствия нуля. В ней число 43000 могло быть записано так, как показано на рис. 1.4 (b).

(рис 1.4) Рис. 1.4. (a) Клинописное обозначение чисел 1 (слева) и 10 (справа); (b) представление числа 43000

Пример 24. Найдем семеричное представление числа $$3 42,0 24_{49}$$. Имеем: $$3_{49} = 03_7, 42_{49} = 60_{7}, 24_{49} = 33_7$$. Поэтому

$$3 42,0 24_{49} = 03 60,00 33 = 360,0033_7.$$

Пример 25. Найдем представление числа $$2310,1022_4$$ в системе счисления с основанием 64:

$$2310,1022_4 = 002 310,102 200 = 2 52,18 32_{64},$$

так как $$310_4 = 3 * 16 + 1 * 4 + 0 = 52, 102_4 = 16 + 2 = 18, 200_4 = 2 * 16 = 32$$.

Упражнения

Запишите число 100 в системе счисления с основанием

a) 2;

b) 3;

c) 12;

d) 20;

e) 60.

Найдите двоичное представление числа

a) 1,1;

b) 7,7;

c) 14,14;

d) 33,3.

Представьте число 22,2 в системе счисления с основанием

a) 4;

b) 8;

c) 12;

d) 16.

Найдите двоичное представление числа $$\pi$$, ограничившись в его двоичном виде тремя знаками после запятой.

Определите, в какой системе счисления верно равенство $$33_p + 44_p = 110_p$$.

Покажите, что в системе счисления с основанием p, где $$p>3$$, число $$1331_p$$ является кубом числа $$11_p$$.

Найдите десятичное представление числа

a) $$a1,1a_{16}$$;

b) $$107,07_8$$;

c) $$124,104_5$$;

d) $$313,03_4$$.

Не используя (4), представьте в виде рациональной дроби число

a) 0,22(321);

b) $$0,22(321)_4$$

Покажите, что если $$p > 3$$, то $$0,22(321)_p=\frac{p^2(2p(p+1)+3)-1}{p^2(p^3-1)}$$.

Представьте в виде рациональной дроби число

a) 0,(023);

b) 0,0(7);

c) $$0,(14)_5$$;

d) $$0,0110(110101)_2$$.

Определите число, предшествующее числу $$2020_{16}$$.

Найдите число, следующее за числом $$fa9f_{16}$$.

Постройте 1) таблицу сложения; 2) таблицу умножения в системе счисления с основанием

a) 2;

b) 3;

c) 4;

d) 8;

e) 16.

Выполните операции сложения, вычитания, умножения и деления в системе счисления с основанием p для чисел

a) $$10001_2$$ и $$110_2$$, p = 2;

b) $$1a0f_{16}$$ и $$2c_{16}$$, p = 16.

Выполните действия в троичной системе счисления:

a) $$201_3 + 12002_3$$;

b) $$2020_3 - 122_3$$;

c)$$112\frac23$$;

d) $$2012_3 21_3$$.

Выполните действия в системе счисления с указанным основанием:

a) $$6_{12} + 29_{12}$$;

b) $$99_{20} - 33_{20}$$;

c) $$5_{12} * 12_{12}$$;

d) $$20_{20} * 15_{20}$$.

Найдите представление числа x в системе счисления с основанием p, если

a) $$x = 4,5_7$$, p = 3;

b) $$x = 432,12_5$$, p = 7.

Используя таблицу тетрад, постройте таблицу для преобразования чисел между системами счисления 2 и 32.

Найдите представление числа $$10010010110,0100010_2$$ в системе счисления с основанием

a) 4;

b) 8;

c) 16;

d) 32.

Найдите представление в двоичной системе счисления числа

a) $$201,2301_4$$;

b) $$603,72_8$$;

c) $$f0cd,a09_{16}$$.

Найдите представление в двоичной системе счисления числа

a) $$3o7,b_{32}$$;

b) $$2 11,5_{100}$$.

Постройте общую таблицу

a) для преобразования чисел между системами счисления с основаниями 5 и 25, а также 6 и 36;

a) для преобразования чисел между системами счисления с основаниями от 2 до 6 включительно и системами счисления с основаниями, равными квадратам этих чисел, т. е. с основаниями 4, 9, 16, 25 и 36, соответственно;

Найдите представление числа x в системе счисления с основанием p, если

a) $$x = 22011,01102_3$$, p = 9;

b) $$x = 678,345_9$$, p = 3;

c) $$x = 221,01331_4$$, p = 16;

d) $$x = 7ea8,3d_{16}$$, p = 4;

e) $$x = 40332,204_5$$, p = 25;

f) $$x = 2efd,o8m_{25}$$, p = 5;

g) $$x = 5544332,211_6$$, p = 36;

h) $$x = zzx7,5ni7_{36}$$, p = 6.

Постройте таблицу для преобразования чисел между системами счисления

a) 4 и 64;

b) 8 и 64;

c) 7 и 49.

Найдите представление числа x в системе счисления с основанием p, если

a) $$x = 794,802$$, p = 100;

b) $$x = 86 5,0 29_{100}$$, p = 10;

c) $$x = 333,201_4$$, p = 64;

d) $$x = 22 35,12 5_{64}$$, p = 4;

e) $$x = 543,345_8$$, p = 64;

f) $$x = 2 38,11 25_{64}$$, p = 8;

g) $$x = 2387,145_7$$, p = 49;

h) $$x = 2 48,8 23_{49}$$, p = 7;

i) $$x = 11001111,011_2$$, p = 64;

j) $$x =14 3,34 5_{64}$$, p = 2;

k) $$x = 64000,5$$, p = 60;

l) $$x = 22 35,12 5_{60}$$, p = 10.