Основы работы

Примеры работы с целочисленными функциями:

	
>>> pi
ans = 3.1416
>>> fix(pi)
ans = 3
>>> floor (pi)
ans = 3
>>> floor(-pi )
ans = -4
>>> ceil(pi)
ans = 4
>>> ceil(-pi )
ans = -3
>>> round(pi)
ans = 3
>>> pi/2
ans = 1.5708
>>> round(pi/2)
ans = 2
>>> rem(5, 2)
ans = 1
>>> sign(0)
ans = 0
>>> sign(pi)
ans = 1
>>> sign(-pi )
ans = -1

Далее приведены примеры работы с функциям из таблицы 2.5.

	
>>> x=9;
>>> sqrt(x)
ans = 3
>>> abs(-x)
ans = 9
>>> abs(x)
ans = 9
>>> x=10;
>>> log10(x)
ans = 1
>>> log10(10*x )
ans = 2
>>> x=4;
>>> log2(x)
ans = 2
>>> pow2(x)
ans = 16
>>> x=8;y=24;
>>> gcd(x, y)
ans = 8
>>> lcm(x, y)
ans = 24
>>> rats(pi)
ans = 355/113
>>> rats(e)
ans = 2721/1001

2.5.2 Комплексные числа. Функции комплексного аргумента

Рассмотрим реализацию комплексной арифметики в Octave. Как было отмечено выше, для обозначения мнимой единицы зарезервировано два имени — $$i, j$$, поэтому ввод комплексного числа производится в формате:

действительная часть + $$i$$ * мнимая часть

или

действительная часть + $$j$$ * мнимая часть

Пример ввода и вывода комплексного числа:

	
>>> 3+i*5
ans = 3+5i
>>> -2+3*i
ans = -2 + 3i
>>> 7+2*j
ans = 7+2i
>>> 0+7i
ans = 0+7i
>>> 6+0*j
ans = 6

Кроме того, к комплексным числам применимы элементарные арифметические операции: +, -, *, \, /, ^; например:

	
>>> a= -5+2i;
>>> b=3-5*i;
>>> a+b
ans = -2-3i
>>> a-b
ans = -8+7i
>>> a*b
ans = -5 + 31i
>>> a/b
ans = -0.73529-0.55882i
>>> a^2+b^2
ans = 5-50i

Функции для работы с комплексными числами приведены в таблице 2.6.

Примеры использования функций из таблицs 2.6.:

	
>>> a=-3;b=4;Z=a+b*i
Z = -3+4i
>>> real(Z)
ans = -3
>>> imag(Z)
ans = 4
>>> angle(Z)
ans = 2.2143
>>> conj(Z)
ans = -3-4i

Обратите внимание, что большая часть математических функций, описанных в п. 2.5.1, работают с комплексным аргументом:

	
>>> a=-3;
>>> b=4;
>>> Z=a+b*i
Z = -3+4i
>>> sin(Z)
ans = -3.8537-27.0168i
>>> exp(Z)
ans = -0.032543-0.037679i
>>> sqrt(Z)
ans = 1+2i
>>> abs(Z)
ans = 5

2.5.3 Операции отношения

Операции отношения выполняют сравнение двух операндов и определяют, истинно выражение или ложно (таблица 2.7). Результат операции отношения — логическое значение. В качестве логических значений в Octave используются 1 ("истина") и 0 ("ложь").

2.5.4 Логические выражения

Логическое выражение может быть составлено из операций отношения и логических операций (операторов). Логические выражения выполняются над логическими данными. В таблице 2.8 представлены основные логические выражения: "и", "или", "не".

В Octave существует возможность представления логических выражений в виде логических операторов и логических операций (таблица 2.9).

В таблице 2.9) $$A$$ и $$B$$ — логические выражения (или целочисленные значения 1 и 0).

Логические операторы (выражения) определены и над массивами (матрицами) одинаковой размерности и выполняются поэлементно над элементами. В итоге формируется результирующий массив (матрица) логических значений, каждый элемент которого вычисляется путём выполнения логической операции над соответствующими элементами исходных массивов. При одновременном использовании в выражении логических и арифметических операций возникает проблема последовательности их выполнения. В Octave принят следующий приоритет операций.

Ниже представлены примеры использования логических операций над скалярными и матричными значениями.

	
>>> A=3;B=4;C=2*pi;
>>> P=~(((A+B)*C)>A^B) | (A+B) ==((B-A)+A^2)
P = 1
>>> X=[2 1 6]; Y=[1 3 5];
>>> Z=~or ((X>2*Y), (X>Y)) | and ((X>2*Y), (X<Y))
Z = 0 	1	 0

2.5.5 Функции, определённые пользователем

В первой главе мы уже рассмотрели создание небольшой программы, которая решает конкретное квадратное уравнение. В этой программе отсутствовал заголовок (первая строка определённого вида), и в неё невозможно было передать входные параметры, то есть это был обычный список команд, воспринимаемый системой как единый оператор.

Функция, как и программа, предназначена для неоднократного использования, но она имеет входные параметры и не выполняется без их предварительного задания. Функция имеет заголовок вида

$$function\ name1[,name2,... ] = fun(var1[,var2,... ])$$

где $$name1[,name2,... ]$$ — список выходных параметров, то есть переменных, которым будет присвоен конечный результат вычислений, $$fun$$ — имя функции, $$var1[,var2,... ]$$ — входные параметры. Таким образом простейший заголовок функции выглядит так:

$$function\ name = fun(var)$$

Все имена переменных внутри функции, а также имена из списка входных и выходных параметров воспринимаются системой как локальные, то есть эти переменные считаются определёнными только внутри функции.

Программы и функции в Octave могут быть созданы при помощи текстового редактора и сохранены в виде файла с расширением .m или .M. Но при создании и сохранении функции следует помнить, что её имя должно совпадать с именем файла.

Вызов программ в Octave осуществляется из командной строки. Программу можно запустить на выполнение, указав имя файла, в котором она сохранена.

Обращение к функции осуществляется так же, как и к любой другой встроенной функции системы, то есть с указанием входных и выходных параметров. Вы можете вызвать функцию из командной строки или использовать её как один из операторов программы.

Пример 2.1. Создать функцию для решения кубического уравнения.

Кубическое уравнение

после деления на $$a$$ принимает канонический вид:

где $$r=\frac{b}{a}, s=\frac{c}{a}, t=\frac{d}{a}$$

В уравнении (2.1) сделаем замену

и получим следующее приведённое уравнение:

где $$p=\frac{(3s-r^2)}{3},q=\frac{2r^3}{27}-\frac{rs}{3}+t$$

Число действительных корней приведённого уравнения (2.2) зависит от знака дискриминанта $$D =(\frac{p}{3})^3+(\frac{q}{2})^3$$ (табл. 2.10).

Корни приведённого уравнения могут быть рассчитаны по формулам Кардано:

Здесь $$u=\sqrt[3]{\frac{-q}{2}+\sqrt{D}}, v =\sqrt[3]{\frac{-q}{2}-\sqrt{D}},$$

Далее представлен список команд (листинг 2.1), реализующий описанный выше способ решения кубического уравнения:

	
>>> function [ x1, x2, x3]=cub (a, b, c, d)
r=b/a; s=c /a; t=d/a;
p=(3*s-r ^2) /3;
q=2*r ^3/27-r*s/3+t;
D=(p/3) ^3+(q /2) ^2;
u=(-q/2+ sqrt (D)) ^(1/3);
v=(-q/2-sqrt (D)) ^(1/3);
y1=u+v;
y2=-(u+v ) /2+(u-v ) /2*i*sqrt ( 3 );
y3=-(u+v ) /2 -(u-v ) /2*i*sqrt ( 3 );
x1=y1-r / 3;
x2=y2-r / 3;
x3=y3-r / 3;
endfunction
% Вычисляем корни уравнения $$3x^3-2x^2-x-4=0$$
>>> [x1, x2, x3]=cub(3, -2, -1, -4)
x1 = 1.4905
x2 = -0.41191 + 0.85141i
x3 = -0.41191 - 0.85141i

2.6 Массивы

Как правило, массивы используют для хранения и обработки множества однотипных данных. Вместо создания переменной для хранения каждого данного создают один массив, где каждый элемент имеет порядковый номер. Таким образом, массив — множественный тип данных, состоящий из фиксированного числа элементов одного типа. Как и любой другой переменной, массиву должно быть присвоено имя.

Переменную, представляющую собой просто список данных, называют одномерным массивом или вектором. Для доступа к данным, хранящимся в определённом элементе массива, необходимо указать имя массива и порядковый номер этого элемента, называемый индексом.

Если возникает необходимость хранения данных в виде таблиц, в формате строк и столбцов, необходимо использовать двумерные массивы (матрицы). Для доступа к данным, хранящимся в таком массиве, необходимо указать имя массива и два индекса, первый должен соответствовать номеру строки, а второй — номеру столбца, в котором хранится необходимый элемент.

Значение нижней границы индексации в Octave равно единице. Индексы могут быть только целыми положительными числами или нулём.

Самый простой способ задать одномерный массив в Octave имеет вид имя массива = $$X_n : dX : X_k$$, где $$X_n$$ — значение первого элемента массива,$$ X_k$$ — значение последнего элемента массива, $$dX$$ — шаг, с помощью которого формируется каждый следующий элемент массива, то есть значение второго элемента составит $$X_n + dX$$, третьего — $$X_n + dX+dX$$, и так далее до $$X_k$$

Если параметр $$dX$$ в конструкции отсутствует: имя массива = $$X_n : X_k$$, это означает, что по умолчанию он принимает значение равное единице, то есть каждый следующий элемент массива равен значению предыдущего плюс один.

Примеры создания массивов:

	
>>> A=1:5
A = 1 2 3 4 5
>>> B=2:2:10
B = 2 4 6 8 10
>>> xn= -3.5; xk = 3.5; dx = 0.5;
>>> X=xn : dx : xk
X =
Columns 1 through 8 :
-3.5 -3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0
Columns 9 through 1 5 :
0.5  1.0	  1.5  2.0  2.5  3.0  3.5

Переменную, заданную как массив, можно использовать в арифметических выражениях и в качестве аргумента математических функций. Результатом работы таких операторов являются массивы:

	
>>> xn= -3.5; xk = 3.5; dx = 0.5;
>>> X=xn : dx : xk;
>>> Y=cos (X/2)
Y =
Columns 1 through 7 :
-0.1782  0.0707  0.3153  0.5403  0.7316  0.8775  0.9689
Columns 8 through 1 5 :
1.0  0.9689  0.8775  0.7316  0.5403  0.3153  0.0707  -0.1782
>>> B= 2 : 2 : 10;C=sqrt (B)
C = 1.4142  2.0000  2.4495  2.8284  3.1623
>>> -2:2
ans = -2  -1  0  1  2
>>> ans*2-pi /2
ans = -5.5708  -3.5708  -1.5708  0.4292  2.4292

Векторы и матрицы в Octave можно вводить поэлементно. Так для определения вектора–строки следует ввести имя массива, а затем, после знака присваивания, в квадратных скобках через пробел или запятую, перечислить элементы массива:

	
>>> x=[2  4  6  8  10]
x = 2  4  6  8  10
>>> y=[ -1.2  3.4  -0.8  9.1  5.6  -7.3]
y = -1.20000  3.40000  -0.80000  9.10000  5.60000  -7.30000

Элементы вектора–столбца вводятся через точку с запятой:

	
>>> X= [1; 3; 5; 7; 9]
X =
	1
	3
	5
	7
	9

Обратиться к элементу вектора можно указав имя массива и порядковый номер элемента в круглых скобках:

	
>>> x=[2 4 6 8 1 0 ];
>>> y=[ -1.2  3.4  -0.8  9.1  5.6  -7.3];
>>> x ( 1 )% значение первого элемента массива x
ans = 2
>>> y ( 5 )% значение пятого элемента массива y
ans = 5.6000
>>> x ( 1 ) /2+y ( 3 ) ^2-x (4) /y(5)
ans = 0.21143

Ввод элементов матрицы так же осуществляется в квадратных скобках, при этом элементы строки отделяются друг от друга пробелом или запятой, а строки разделяются между собой точкой с запятой. Обратиться к элементу матрицы можно указав после имени матрицы в круглых скобках через запятую номер строки и номер столбца, на пересечении которых элемент расположен. Примеры задания матриц и обращение к их элементам показаны в листинге:

	
>>> M=[2  4  6; 1  3  5; 7  8  9]
M =
	2  4  6
	1  3  5
	7  8  9
>>> M(1, 2)
ans = 4
>>> M(3, 1)
ans = 7
>>> M(2, 2) /2+M(3,3) ^0.5 -M(1, 1)*5
ans = -5.5000

Подробно работа с векторами и матрицами описана в пятой главе.

2.7 Символьные вычисления

Символьные вычисления в Octave поддерживает специальный пакет расширений octave-symbolic. Процедура установки пакетов расширений описана в первой главе. Если пакет уже установлен, то перед началом работы его нужно загрузить командой pkg load symbolic. Теперь можно использовать любые функции из пакета symbolic.

Оператор symbols инициализирует символические операции, с этого оператора должны начинаться любые действия в символьных переменных. Работа с символьными переменными в Octave требует их специального объявления: sym(’имя переменной’). Например, команда x = sym ("x") объявляет символьную переменную $$x$$.

Пример 2.2. Выполнить арифметические операции с символьными переменными $$z = x*y,t=\frac{x^3}{z}$$, где $$x=a+b, y=a^2-b^2$$(листинг 2.2).

	
>>> x = sym ( "x" );% Объявление
>>> y = sym ( "y" );% символьных
>>> z = sym ( "z" );% переменных
>>> t = sym ( "t" );
>>> a = sym ( "a" );
>>> b = sym ( "b" );
% Вычисление символьных выражений
>>> x=a+b
x = a+b
>>> y=a^2-b^2
y = -b ^ (2.0)+a ^ ( 2.0 )
>>> z=x*y
z = -(b ^ ( 2.0 )-a ^ ( 2.0 ) ) *( a+b )
>>> t=x^3/ z
t = -(b ^ ( 2.0 )-a ^ ( 2.0 ) ) ^( -1) *( a+b ) ^ ( 2.0 )

Символьные вычисления в Octave предусматривают работу с элементарными математическими функциями (таблица 2.11).

Вычислить значение символьного выражения при заданном значении переменной можно с помощью функции

subs(выражение,имя переменной,значение переменной)

Пример 2.3. Вычислить значение выражения: $$y = sin(a)^2-cos(a)^2$$, при $$a_1 =\frac{\pi}{3},a_2 =\frac{\pi}{6}$$ (листинг 2.3).

	
>>> x = sym ( "x" );
>>> y = sym ( "y" );
>>> y=Sin ( x )^2-Cos ( x ) ^2
y = -cos ( x ) ^ ( 2.0 )+sin ( x ) ^ ( 2.0 )
% Значение выражения при заданном значении переменной
>>> subs ( y, x, Pi /3)
ans = 0.5000000000000000001
>>> subs ( y, x, Pi /6)
ans = -0.4999999999999999999

Преобразовать символьное выражение, представить его в виде элементарных функций возможно командой

expand(выражение)

Пример 2.4. Раскрыть скобки в выражении $$y =(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x}-1) + (x-1)^3$$ (листинг 2.1).

	
>>> y=( Sqrt ( x ) +1) *( Sqrt ( x ) -1)+(x-1) *( x -1) *( x -1)
y = ( -1.0+x ) ^3+(-1.0+ sqrt ( x ) ) *(1.0+ sqrt ( x ) )
>>> expand ( y )
ans = -2.0+(4.0) *x+x ^3 -(3.0) *x^2

Далее, по ходу изложения материала, будут рассмотрены операции с матрицами символов, решение систем линейных уравнений в символьных переменных (п. 5.9), решение нелинейных уравнений и систем (п. 7.4), дифференцирование (п. 8.1).