Сжатие информации с потерями

Таким образом, при таком кодировании, если сигнал 1 имеет длительность $$\tau$$, то 0 - $$2\tau$$.

Рассчитаем емкость этого канала. Нужно рассчитать $$N(T)$$. Пусть $$n=T/\tau$$, тогда получается, что нужно рассчитать сколькими способами можно разбить отрезок длины $$n$$ отрезками длины 2 и 1. Получаем, что $$N(T)=S_n=C^n_n + C^{n-2}_{n-1} + C^{n-4}_{n-2} + \cdots$$, где первое слагаемое - это количество способов, которыми можно разбить отрезок длины $$n$$ $$n$$ отрезками длины 1, второе слагаемое - это количество способов, которыми можно разбить отрезок длины $$n$$ $$(n-2)$$ отрезками длины 1 и одним отрезком длины $$2$$, третье слагаемое - это количество способов, которыми можно разбить отрезок длины $$n$$ $$(n-4)$$ отрезками длины 1 и двумя отрезками длины 2 и т.д. Таким образом, $$S_1=1$$. Вследствие того, что $$C^k_m+C^{k+1}_m=C^{k+1}_{m+1}$$ для любых $$k<m$$, получается, что$$$$\matrix{S_{n-1}=C^{n-1}_{n-1}+C^{n-3}_{n-2}+C^{n-5}_{n-3}+ \cdots\cr\\ S_n=C^n_n+C^{n-2}_{n-1}+C^{n-4}_{n-2}+C^{n-6}_{n-3}+\cdots\cr\\ S_{n+1}=C^{n+1}_{n+1}+C^{n-1}_n+C^{n-3}_{n-1}+C^{n-5}_{n-2}+ \cdots\cr},$$$$ т.е. $$S_{n+1}=S_n+S_{n-1}$$ при $$n>1$$. Если положить, что $$S_0=1$$, то $$S_0,S_1,\ldots$$ - это последовательность $$1,1,2,3,5,8,13,21,34,\ldots$$, т.е. числа Фибоначчи. C XIX века для вычисления $$n$$ -го члена последовательности Фибоначчи известна формула$$S_n={1\over\sqrt5}\biggl(\Bigl({1+\sqrt5\over2}\Bigr)^{n+1}- \Bigl({1-\sqrt5\over2}\Bigr)^{n+1}\biggr).$$ Таким образом, $$C=\lim\limits_{T\rightarrow\infty}{\log_2N(T)\over T}= \lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\log_2S_n\over n\tau}= {\log_2\textstyle{1+\sqrt5\over2}\over\tau}\approx0.69/\tau$$ бод.

При использовании частотной модуляции на практике нули, как правило, кодируются в два раза плотнее. Это достигается тем, что учитываются не уровни сигнала, а смена уровня (полярности). Если частота $$\nu$$ соответствует 1, то с частотой $$2\nu$$ производится проверка уровня сигнала. Если он меняется, то это сигнал 1, если нет, то - 0. На практике частота $$\nu$$ - это частота синхронизации, т.е. частота импульса, который независимо от данных меняет полярность сигнала. 0 не генерирует импульса смены полярности, а 1 генерирует (См. рис. 7.3).

Для записи информации на первые магнитные диски и ленты использовался метод FM. На гибкие диски 5.25" и 3.5" информация записывается методом MFM (Modified FM) - модификацией метода FM, позволяющей в 2 раза повысить плотность записи. Это достигается тем, что частота синхронизации увеличивается вдвое. MFM можно использовать с теми же физическими каналами, что и FM, потому что импульсы синхронизации не передаются перед 1 и первым 0 в серии нулей (См. рис. 7.4).

Метод записи с групповым кодированием, RLL - Run Limited Length, не использует импульсы синхронизации, применяется, в частности, в жестких дисках "винчестер'' и существует в нескольких разновидностях. Одна из них основана на замене тетрад байта на 5-битные группы. Эти группы подбираются таким образом, чтобы при передаче данных нули не встречались подряд более двух раз, что делает код самосинхронизирующимся. Например, тетрада 0000 заменяется группой бит 11001, тетрада 1000 - 11010, тетрада 0001 - 11011, тетрада 1111 - 01111 (См. рис. 7.5). Существуют разновидности RLL, в которых заменяются последовательности бит различной длины. Кодирование MFM или FM можно представить как частный случай RLL.

При необходимости передачи записанных с помощью некоторого кода сообщений по данному каналу приходиться преобразовывать эти сообщения в допустимые сигналы канала, т.е. производить надлежащее кодирование, а при приеме данных - декодирование. Кодирование целесообразно производить так, чтобы среднее время, затрачиваемое на передачу, было как можно меньше. Получается, что исходному входному алфавиту нужно однозначно сопоставить новый алфавит, обеспечивающий большую скорость передачи. В этом случае возникает явление задержки или запаздывания.

Поясним последнее на примере. Пусть источник сообщений посылает через промежутки времени длиной $$1/u$$ (т.е. со скоростью $$u$$ ) независимые символы $$x_1,x_2,x_3,x_4$$ с вероятностями 1/2, 1/4, 1/8, 1/8, т.е., можно сказать, что источник характеризуется некоторой д.с.в. $$X$$. Пусть канал - без шумов. Символ либо передается по каналу, если тот свободен, либо ожидает (помещается в память) до тех пор, пока канал не освободится. Выберем в качестве кода для передачи символов источника по каналу следующий: $$x_1$$ -00, $$x_2$$ -01, $$x_3$$ -10, $$x_4$$ -11. Пусть время, необходимое для передачи как 0, так и 1, равно $$\tau$$. Тогда если $$2\tau\le1/u$$, то за время между появлениями двух последовательных значений $$X$$ кодовое значение успеет передаться и канал освобождается. Если же $$2\tau>1/u$$, то $$n$$ -й символ появится в момент $$n/u$$, а его кодовое обозначение будет передано по каналу в момент $$2n\tau$$. Следовательно, промежуток времени между появлением $$n$$ -го символа и моментом его получения равен $$n(2\tau-1/u)$$, т.е. этот промежуток стремится к бесконечности при $$n\rightarrow\infty$$ и передача будет вестись с неограниченным запаздыванием. Выбором более удачного кода (например, Хаффмена) можно увеличить скорость передачи.

Следующий, основной факт теории передачи информации или основная теорема о кодировании при наличии помех позволяет при знании емкости канала и энтропии передатчика вычислить максимальную скорость передачи данных в канале.

Теорема Шеннона. Пусть источник характеризуется д.с.в. $$X$$. Рассматривается канал с шумом, т.е. для каждого передаваемого сообщения задана вероятность $$\varepsilon$$ его искажения в процессе передачи (вероятность ошибки). Тогда существует такая скорость передачи $$u$$, зависящая только от $$X$$, что $$\forall\varepsilon>0\; \exists u'<u$$ сколь угодно близкая к $$u$$ такая, что существует способ передавать значения $$X$$ со скоростью $$u'$$ и с вероятностью ошибки меньшей $$\varepsilon$$, причем$$u={C\over HX}.$$ Упомянутый способ образует помехоустойчивый код.

Кроме того, Фэно доказана20 следующая обратная теорема о кодировании при наличии помех. Для $$u'>u$$ можно найти такое положительное число $$\varepsilon$$, что в случае передачи информации по линии связи со скоростью $$u'$$ вероятность ошибки $$\varepsilon$$ передачи каждого символа сообщения при любом методе кодирования и декодирования будет не меньше $$\varepsilon$$ ( $$\varepsilon$$ очевидно растет вслед за ростом $$u'$$ ).

Упражнение 33 По каналу связи без шума могут передаваться четыре сигнала длительностью 1 мс каждый. Вычислить емкость такого канала.

Упражнение 34 Три передатчика задаются случайными величинами со следующими законами распределениями вероятностей:

Емкость канала связи с шумом равна 4000 бод. Вычислить максимальную скорость передачи данных по этому каналу каждым из передатчиков, обеспечивающую сколь угодно высокую надежность передачи.

Помехозащитное кодирование

Простейший код для борьбы с шумом - это контроль четности, он, в частности, широко используется в модемах. Кодирование заключается в добавлении к каждому байту девятого бита таким образом, чтобы дополнить количество единиц в байте до заранее выбранного для кода четного (even) или нечетного (odd) значения. Используя этот код, можно лишь обнаруживать большинство ошибок.

Простейший код, исправляющий ошибки, - это тройное повторение каждого бита. Если с ошибкой произойдет передача одного бита из трех, то ошибка будет исправлена, но если случится двойная или тройная ошибка, то будут получены неправильные данные. Часто коды для исправления ошибок используют совместно с кодами для обнаружения ошибок. При тройном повторении для повышения надежности три бита располагают не подряд, а на фиксированном расстоянии друг от друга. Использование тройного повторения естественно значительно снижает скорость передачи данных.

Двоичный симметричный канал изображен на рис. 7.6, где $$p$$ - это вероятность безошибочной передачи бита, а $$q$$ - вероятность передачи бита с ошибкой. Предполагается, что в таком канале ошибки происходят независимо. Далее рассматриваются только такие каналы.

Двоичный симметричный канал реализует схему Бернулли, поэтому вероятность передачи $$n$$ бит по двоичному симметричному каналу с $$k$$ ошибками равна$$P_n(k)=C^k_np^{n-k}q^k.$$

Пример. Вероятность передачи одного бита информации с ошибкой равна $$q=0.01$$ и нас интересует вероятность безошибочной передачи 1000 бит (125 байт). Искомую вероятность можно подсчитать по формуле $$P_{1000}(0)=C^0_{1000}p^{1000}q^0=0.99^{1000}\approx4.32*10^{-5}$$, т.е. она ничтожно мала.

Добиться минимальности вероятности ошибки при передаче данных можно используя специальные коды. Обычно используют помехозащитные коды. Идея систематических кодов состоит в добавлении к символам исходных кодов, предназначенных для передачи в канале, нескольких контрольных символов по определенной схеме кодирования. Принятая такая удлиненная последовательность кодов декодируется по схеме декодирования в первоначально переданную. Приемник способен распознавать и/или исправлять ошибки, вызванные шумом, анализируя дополнительную информацию, содержащуюся в удлиненных кодах.

Двоичным (m,n)-кодом называется пара, состоящая из схемы кодирования $$E\colon\bZ_2^m\rightarrow\bZ_2^n$$ и схемы декодирования $$D\colon\bZ_2^n\rightarrow\bZ_2^m$$, где $$\bZ_2^n$$ - множество всех двоичных последовательностей длины $$n$$, $$m<n$$ (случай $$m=n$$ рассматривается в криптографии).

Функции $$D$$ и $$E$$ выбираются так, чтобы функция $$H=D\circ T\circ E$$, где $$T$$ - функция ошибок, с вероятностью, близкой к единице, была тождественной. Функции $$D$$ и $$E$$ считаются безошибочными, т.е. функция $$D\circ E$$ - тождественная (См. рис. 7.7).

Упражнение 35 Пусть двоичный симметричный канал используется для передачи строк из двух бит. Построить таблицу вероятностей приема.

Упражнение 36 По двоичному симметричному каналу передаются строки длины 14. Какова вероятность того, что ровно пять символов будут приняты неправильно? Какова вероятность того, что менее пяти символов будут приняты неправильно? Сколько имеется строк, отличающихся от данной не больше, чем в четырех позициях?