Сжатие информации

Цель сжатия - уменьшение количества бит, необходимых для хранения или передачи заданной информации, что дает возможность передавать сообщения более быстро и хранить более экономно и оперативно (последнее означает, что операция извлечения данной информации с устройства ее хранения будет проходить быстрее, что возможно, если скорость распаковки данных выше скорости считывания данных с носителя информации). Сжатие позволяет, например, записать больше информации на дискету, "увеличить" размер жесткого диска, ускорить работу с модемом и т.д. При работе с компьютерами широко используются программы-архиваторы данных формата ZIP, GZ, ARJ и других. Методы сжатия информации были разработаны как математическая теория, которая долгое время (до первой половины 80-х годов), мало использовалась в компьютерах на практике.

Сжатие данных не может быть большим некоторого теоретического предела. Для формального определения этого предела рассматриваем любое информационное сообщение длины $$n$$ как последовательность независимых, одинаково распределенных д.с.в. $$X_i$$ или как выборки длины $$n$$ значений одной д.с.в. $$X$$.

Доказано20 , что среднее количество бит, приходящихся на одно кодируемое значение д.с.в., не может быть меньшим, чем энтропия этой д.с.в., т.е. $$ML(X) \ge HX$$ для любой д.с.в. $$X$$ и любого ее кода.

Кроме того, Доказано20 утверждение о том, что существует такое кодирование (Шеннона-Фэно, Fano), что $$HX \ge ML(X)-1$$.

Рассмотрим д.с.в. $$X_1$$ и $$X_2$$, независимые и одинаково распределенные. $$HX_1 = HX_2$$ и $$I(X_1,X_2) = 0$$, следовательно,$$H(X_1,X_2)= HX_1+HX_2-I(X_1,X_2)=2HX_1.$$ Вместо $$X_1$$ и $$X_2$$ можно говорить о двумерной д.с.в. $$\vec X=(X_1,X_2)$$. Аналогичным образом для $$n$$ -мерной д.с.в. $$\vec X=(X_1,X_2,\ldots,X_n)$$ можно получить, что $$H\vec X=nHX_1$$.

Пусть $$L_1(\vec X)=L(\vec X)/n$$, где $$\vec X = (X_1,X_2,\ldots,X_n)$$, т.е. $$L_1(\vec X)$$ - это количество бит кода на единицу сообщения $$\vec X$$. Тогда $$ML_1(\vec X)$$ - это среднее количество бит кода на единицу сообщения при передаче бесконечного множества сообщений $$\vec X$$. Из $$ML(\vec X)-1 \le H\vec X \le ML(\vec X)$$ для кода Шеннона-Фэно для $$\vec X$$ следует $$ML_1(\vec X)-1/n \le HX_1 \le ML_1(\vec X)$$ для этого же кода.

Таким образом, доказана основная теорема о кодировании при отсутствии помех, а именно то, что с ростом длины $$n$$ сообщения, при кодировании методом Шеннона-Фэно всего сообщения целиком среднее количество бит на единицу сообщения будет сколь угодно мало отличаться от энтропии единицы сообщения. Подобное кодирование практически не реализуемо из-за того, что с ростом длины сообщения трудоемкость построения этого кода становится недопустимо большой. Кроме того, такое кодирование делает невозможным отправку сообщения по частям, что необходимо для непрерывных процессов передачи данных. Дополнительным недостатком этого способа кодирования является необходимость отправки или хранения собственно полученного кода вместе с его исходной длиной, что снижает эффект от сжатия. На практике для повышения степени сжатия используют метод блокирования.

По выбранному значению $$\varepsilon>0$$ можно выбрать такое $$s$$, что если разбить все сообщение на блоки длиной $$s$$ (всего будет $$n/s$$ блоков), то кодированием Шеннона-Фэно таких блоков, рассматриваемых как единицы сообщения, можно сделать среднее количество бит на единицу сообщения большим энтропии менее, чем на $$\varepsilon$$. Действительно, пусть $$\vec Y=(\vec Y_1,\vec Y_2,\ldots,\vec Y_{n/s})$$, $$\vec Y_1=(X_1,X_2,\ldots,X_s)$$, $$\vec Y_2=(X_{s+1},X_{s+2},\ldots,X_{2s})$$ и т.д., т.е. $$\vec Y_i=(X_{s(i-1)+1},X_{s(i-1)+2},\ldots,X_{si})$$. Тогда $$H\vec Y_1=sHX_1$$ и $$sML_1(\vec Y_1)=ML(\vec Y_1) \le H\vec Y_1+1 = sHX_1+1$$, следовательно,$$ML_1(\vec Y_1) \le HX_1 + 1/s,$$ т.е. достаточно брать $$s=1/\varepsilon$$. Минимум $$s$$ по заданному $$\varepsilon$$ может быть гораздо меньшим $$1/\varepsilon$$.

Пример. Пусть д.с.в. $$X_1,X_2,\ldots X_n$$ независимы, одинаково распределены и могут принимать только два значения $$P(X_i=0)=p=3/4$$ и $$P(X_i=1)=q=1/4$$ при $$i$$ от 1 до $$n$$. Тогда$$HX_i={3\over4}\log_2{4\over3}+{1\over4}\log_24=2-{3\over4}\log_23 \approx0.811 \hbox{ бит/сим}.$$ Минимальное кодирование здесь - это коды 0 и 1 с длиной 1 бит каждый. При таком кодировании количество бит в среднем на единицу сообщения равно 1. Разобьем сообщение на блоки длины 2. Закон распределения вероятностей и кодирование для 2-мерной д.с.в. $$\vec X=(X_1,X_2)$$ -

$$\smallskip \centerline{\vbox{\offinterlineskip \halign{\strut\quad\hfil#\hfil \vrule#\cr $\vec X$ 00 01 10 11\cr \noalign{\hrule} $p$ 9/16 3/16 3/16 1/16\cr $code(\vec X)$ 0 10 110 111\cr $L(\vec X)$ 1 2 3 3.\cr}}} \smallskip$$

Тогда при таком минимальном кодировании количество бит в среднем на единицу сообщения будет уже$$ML_1(\vec X)=\bigl(1{9\over16}+2{3\over16}+3{3\over16}+3{1\over16}\bigr)/2= {27\over32}=0.84375,$$ т.е. меньше, чем для неблочного кодирования. Для блоков длины 3 количество бит в среднем на единицу сообщения можно сделать $$\approx0.823$$, для блоков длины 4 - $$\approx0.818$$ и т.д.

Все изложенное ранее подразумевало, что рассматриваемые д.с.в. кодируются только двумя значениями (обычно 0 и 1). Пусть д.с.в. кодируются $$m$$ значениями. Тогда для д.с.в. $$\vec X$$ и любого ее кодирования верно, что $$ML(\vec X) \ge H\vec X/\log_2m$$ и $$ML_1(\vec X) \ge HX_1/\log_2m$$. Кроме того, существует кодирование такое, что $$ML(\vec X)-1 \le H\vec X/\log_2m$$ и $$ML_1(\vec X)-1/n \le HX_1/\log_2m$$, где $$n=\dim(\vec X)$$.

Формулы теоретических пределов уровня сжатия, рассмотренные ранее, задают предел для средней длины кода на единицу сообщений, передаваемых много раз, т.е. они ничего не говорят о нижней границе уровня сжатия, которая может достигаться на некоторых сообщениях и быть меньшей энтропии д.с.в., реализующей сообщение.

Простейшие алгоритмы сжатия информации

Метод Шеннона-Фэно состоит в следующем, значения д.с.в. располагают в порядке убывания их вероятностей, а затем последовательно делят на две части с приблизительно равными вероятностями, к коду первой части добавляют 0, а к коду второй - 1.

Для предшествующего примера получим

$$\smallskip \dzero=\hsize \divide\dzero12 \noindent\hskip\dzero\vbox{\offinterlineskip \halign{\strut\quad\hfil#\hfil \vrule#\cr $\vec X$ $p$ $code(\vec X)$\cr \noalign{\hrule} 00 9/16 0\cr 01 3/16 10\cr 10 3/16 110\cr 11 1/16 111,\cr}} \smallskip $ML_1(\vec X)=27/32=0.84375$ бит/сим. \smallskip$$

Еще один пример. Код составляется после сортировки, т.е. после перестановки значений B и C.

$$\noindent\hskip\dzero\vbox{\offinterlineskip \halign{\strut\quad\hfil#\hfil \vrule#\cr $X$ $p$ $code(X)$\cr \noalign{\hrule} A 0.4 0\cr B 0.2 11\cr C 0.4 10,\cr}} \vbox{\hbox{$ML(X)=ML_1(X)=1.6$ бит/сим,} \hbox{$HX=\log_25-0.8\approx1.523$ бит/сим.}}$$

Метод Хаффмена (Huffman) разработан в 1952 г. Он более практичен и никогда по степени сжатия не уступает методу Шеннона-Фэно, более того, он сжимает максимально плотно. Код строится при помощи двоичного (бинарного) дерева. Вероятности значений д.с.в. приписываются его листьям; все дерево строится, опираясь на листья. Величина, приписанная к узлу дерева, называется весом узла. Два листа с наименьшими весами создают родительский узел с весом, равным сумме их весов; в дальнейшем этот узел учитывается наравне с оставшимися листьями, а образовавшие его узлы от такого рассмотрения устраняются. После постройки корня нужно приписать каждой из ветвей, исходящих из родительских узлов, значения 0 или 1. Код каждого значения д.с.в. - это число, получаемое при обходе ветвей от корня к листу, соответствующему данному значению.

Для методов Хаффмена и Шеннона-Фэно каждый раз вместе с собственно сообщением нужно передавать и таблицу кодов. Например, для случая из примера 2 нужно сообщить, что коду 10 соответствует символ C, коду 0 - A и т.д.

Построим коды Хаффмена для значений д.с.в. из двух предыдущих примеров.

$$\smallskip \setbox\bzero=\vbox{\offinterlineskip\halign{\strut\hfil\ $#$\ \hfil\cr \noalign{\hrule} \omit\vrule \vec X 00 01 10 11 \omit\vrule height11pt\cr \omit\vrule p \xfrac9{16} \xfrac3{16} \xfrac3{16} \xfrac1{16} \omit\vrule\cr \noalign{\hrule} \omit\vrule _0\!\searrow \swarrow_1 \omit\vrule\cr \omit\vrule {4\over16} \omit\vrule\cr \omit\vrule \,_0\!\searrow \swarrow_1 \omit\vrule\cr \omit\vrule {7\over16} \omit\vrule\cr \omit\vrule \,_0\!\searrow \swarrow_1 \omit\vrule\cr \omit\vrule 1 \omit\vrule\cr \noalign{\hrule} \omit\vrule code(\vec X) 0 10 110 111 \omit\vrule height 11pt\cr \noalign{\hrule}}} \setbox\bone=\hbox{ $ML_1(\vec X)=ML(\vec X)/2=27/32=0.84375$ бит/сим.} \dzero=\wd\bzero \advance\dzero\wd\bone \done=0pt \ifdim\hsize<\dzero \vbox{ \centerline{\box\bzero} \break \centerline{\box\bone} } \else \advance\dzero-\hsize \done-\dzero \noindent\hskip\done\hbox{\box\bzero \box\bone} \fi \bigskip \setbox\bzero=\vbox{\offinterlineskip\halign{\strut\hfil\ #\ \hfil\cr \noalign{\hrule} \omit\vrule $X$ A B C\omit\vrule\cr \omit\vrule $p$ 0.4 0.2 0.4\omit\vrule\cr \noalign{\hrule} \omit\vrule $_0\!\searrow$ $\swarrow_1$\omit\vrule\cr \omit\vrule 0.6\omit\vrule\cr \omit\vrule $\,_0\!\searrow$ $\,\swarrow_1$\omit\vrule\cr \omit\vrule \ 1\omit\vrule\cr \noalign{\hrule} \omit\vrule $code(X)$ 0 10 11\omit\vrule\cr \noalign{\hrule}}} \setbox\bone=\hbox{\ $ML_1(X)=ML(X)=1.6$ бит/сим.} \ifdim\done=0pt \centerline{\box\bzero}\centerline{\box\bone} \else \noindent\hskip\done\hbox{\box\bzero \box\bone} \fi \smallskip$$

Упражнение 18 Вычислить $$ML_1(\vec X)$$ для блочного кода Хаффмена для $$X$$. Длина блока - 2 бита. д.с.в. $$X$$ берется из последнего примера.

Упражнение 19 Вычислить $$HX$$ и $$ML(X)$$ для кодов Хаффмена и Шеннона-Фэно для $$X$$. д.с.в. $$X$$ задается следующим распределением вероятностей:$$\bigskip \centerline{\vbox{\offinterlineskip\halign{\strut\quad#\cr X\omit\ \vrule 1 2 3 4 5\cr \noalign{\hrule} \omit\quad\omit\ \vrule height2pt\cr p\omit\ \vrule \xfrac7{18} \xfrac16 \xfrac16 \xfrac16 \xfrac19.\cr}}} \bigskip$$