А у меня число не целое

Если X – целое число, то его можно записать в любой позиционной системе счисления

N = c_k c_k-1 c_k-2… c₀

Запись содержит k+1 цифр системы счисления (k >= 0)

Базисное соотношение определяет смысл этой записи:

N = c_k * p^k + c_k-1 * p^k-1 + … + c₁ * p¹ + c₀ * p⁰ (*)

Пусть X – дробное число. Например, X = 25, 52

Можно ли дробное число записать в любой позиционной системе? Если да, то существует ли алгоритм перевода дробного числа из P в Q?

Понятно, что число X с целой и дробной частью можно представить в виде суммы целой части и дробной части числа:

X = [X] + {X}, где {X} = 0,c₁c₂…c_k

Для целой части числа X будем использовать обозначение [X], для дробной –{X}.

С целыми числами задача решена, поэтому займемся дробными числами.

Вначале пример записи дробного числа в десятичной системе:

X = 0,52 = 5 * 10^-1 + 2* 10^-2

В любой позиционной системе счисления для дробных чисел справедливо базисное соотношение:

X = c₁ * p^-1 + c₂* p^-2 + … c_k * p^-k (**)

Примеры

0,11₂ = ? + ? = 0, 75₁₀;

0,11₃ = 1/3 + 1/9 = 4/9₁₀ = 0,44444444… = 0,(4) ₁₀;

Перевод дробного числа из системы P в десятичную систему (сборка числа по цифрам) понятен. Он определяется базисным соотношением (**) и аналогичен сборке целого числа. Разница лишь в том, что используются отрицательные степени основания системы. Поэтому вычисления производить труднее и конечная дробь в системе P может задавать бесконечную периодическую дробь в десятичной системе (как во втором примере).

Для понимания обратного перевода из десятичной системы в систему с основанием P запишем соотношение (**) в следующем виде:

X = p^-1 *(c₁ + c₂* p^-1 + … c_k * p^-k+1) (***)

При разборе целого числа мы последовательно использовали две замечательные операции – div и mod – деление целого числа нацело и взятие остатка от деления нацело. При работе с дробными числами аналогично применяются две не менее замечательные операции обратные по отношению к делению – [Y] и {Y} - взятие целой части и взятие дробной части от результата умножения дробного числа на основание системы счисления.

Первая цифра c1 вычисляется как [X * p]. После этого следует вычислить новое значение X, равное {X * p}. Когда следует заканчивать процесс получения цифр? При работе с целыми числами все было ясно, - процесс заканчивался при нулевом результате операции деления нацело. Для дробных чисел процесс заканчивается, когда дробная часть числа становится равной нулю. Но этот критерий не всегда применим, поскольку дробь в новой системе может быть бесконечной периодической дробью. Как правило, в таких случаях договариваются о переводе дробного числа с заданной точностью, указывая, сколько знаков следует сохранить в дробной части числа, записанного в системе P.

Пример: Перевести число 0,432₁₀ в двоичную систему, сохранив 6 цифр:

0,432 * 2 = 0,864; c₁ = [0,864] = 0; N = {0,864} = 0,864;

0,864 * 2 = 1,728; c₂ = [1,728] = 1; N = {1,728} = 0,728;

0,728 * 2 = 1,456; c₃ = [1,456] = 1; N = {1,456} = 0,456;

0,456 * 2 = 0,912; c₄= [0,912] = 0; N ={0,912} = 0,912;

0,912 * 2 = 1,824; c₅ = [1,824] = 1; N ={1,824} = 0,824;

0, 824* 2 = 1,648; c₆ = [1,648] = 1; N ={1,648} = 0,648;

0,432₁₀ = 0,011011₂

Для перевода дробного числа из системы P в систему Q, то, как обычно, можно воспользоваться десятичной системой: P => 10 => Q

Для систем счисления, связанных соотношением P = Q^m, действует правило независимого перевода цифр. Для системы Q группа из m цифр записывается одной цифрой системы P. При обратном переводе цифра системы P группой из m цифр системы Q. Разбиение на группы начинается с левого конца - со старшей цифры дроби.

Пример: Перевести число 0,1AF₁₆ в двоичную систему:

0,1AF₁₆ = 0,000110101111₂

Пример: Перевести число 0,000110101111₂ в восьмеричную систему:

0,000110101111₂ = 0, 0657₈

Заметьте, в этом случае перевод осуществляется без потери точности.

Задачи для самостоятельной работы