Арифметические операции над числами с плавающей запятой

Формат числа с плавающей запятой

Число с плавающей запятой представляется в виде мантиссы (М) и порядка (П).

Например, число А = 123 может быть представлено в виде числа с мантиссой 12,3 и порядком +1, то есть 12,3 *10⁺¹. Другие представления этого самого же числа могут выглядеть так: 123 = 123*10⁰ = 1230 10^-1 = 0,123*10⁺³ = 0, 0123 * 10⁺⁴ = ...

Для того чтобы число с плавающей запятой представлялось единственным образом, его мантисса должна быть нормализована, то есть на нее накладывается следующее ограничение.

Нормализованная мантисса должна удовлетворять условию:

$$1 \gt \left|M_p\right| \geq p^{-1}$$

где р – основание системы счисления, то есть мантисса представляет собой правильную дробь, у модуля которой старшая цифра отлична от нуля.

Из приведенного выше примера этому условию удовлетворяет лишь запись

А = 0,123*10⁺³

Как мантисса, так и порядок могут быть как положительными, так и отрицательными числами. Поэтому в общем виде число с плавающей запятой имеет следующий формат (Рис. 10.1). В дальнейшем мы рассмотрим, как форма кодирования чисел в ЭВМ сказывается на этом формате. В этой лекции будем исходить именно из такой формы представления числа с плавающей запятой, так как она позволяет выявить все особенности обработки таких чисел.

(рис 10.1) Структура числа с плавающей запятой

Порядок представляет собой число с фиксированной точкой, мантисса – число с фиксированной запятой. Поэтому:

М_макс = 0,1 ... 1 = 1-2^-n

М_мин = 2^-1 (напомним, что мантисса должна быть нормализована).

П_макс = 0,1 ... 1 = 2^m-1

-П_макс = -(2^m-1)

Мы пока ведем речь только о естественном, а не машинном представлении числа, где, например, в так называемом дополнительном коде можно представить на одну комбинацию отрицательных чисел больше, чем положительных.

В данном случае достаточно просто определить диапазон представляемых чисел

$$X_{макс} = M_{макс}\cdot 2^{П_{макс}} = (1-2^{-n})\cdot2^{2^{m}-1}\approx2^{2^{m}}$$ $$X_{мин} = M_{мин}\cdot 2^{П_{макс}} = 2^{-1}\cdot 2^{-m-1}$$

Абсолютная погрешность представления числа с плавающей запятой ЭВМ составит:

$$\triangle X\leq(2^{-1}\cdot 2^{-m}\cdot 2^{П_x}$$

Относительная погрешность представления в ЭВМ числа с плавающей запятой будет равна:

$$\delta \left[Х\right]_{мин} = \triangle\left[Х\right]/ (М_{макс}\cdot 2^{П{_x }})= (2^{-1} \cdot2^{-m})\cdot 2^{П{_x}} / ((1 - 2^{-m})\cdot 2^{П{_x }} ) \approx 2^{-1}\cdot 2^{-m}$$ $$\delta \left[Х\right]_{макс} = \triangle\left[Х\right]/ (М_{мин}\cdot 2^{П{_x }})= (2^{-1} \cdot2^{-m})\cdot 2^{П{_x}} / (2^{-1}\cdot 2^{П{_x }} ) = 2^{-m}$$

Таким образом, мы видим, что для чисел с плавающей запятой диапазон их представления весьма широк и определяется в основном, количеством разрядов, отводимых под порядок числа, а относительная погрешность меняется гораздо меньше, чем для чисел с фиксированной точкой (всего в 2 раза) и определяется количеством разрядов, отводимых под запись мантиссы числа.

Умножение чисел с плавающей запятой

Сначала рассмотрим случай перемножения двух чисел с плавающей запятой в десятичной системе счисления.

(0,3*10³) * (0,2*10²) = (0,3 * 0,2) *10³⁺² = 0,06 * 10⁵ = 0,6* 10⁴

Последний шаг выполнен для нормализации мантиссы результата.

Таким образом, если представить операнды в двоичной системе счисления как

$$X=M_{x}\cdot 2^{П{_x }}$$ $$Y=M_{y}\cdot 2^{П{_y }}$$

а произведение мы хотим тоже получить в виде числа с плавающей запятой, то есть

$$Z=X\cdot Y=M_{z}\cdot 2^{П{_z }}$$

то умножение сводится к двум простейшим действиям, рассмотренным ранее: сложению порядков сомножителей как целых чисел и перемножению мантисс как операндов с фиксированной запятой. При необходимости к ним добавляется еще нормализация мантиссы результата:

П_z = П_x + П_y

M_z = M_x * M_y

Интерес здесь представляют особые случаи, которые могут возникнуть на различных этапах обработки числа. Так при сложении чисел с фиксированной точкой (речь идёт о порядках) может возникнуть переполнение, которое сделает невозможным дальнейшую работу с этим числом, либо при перемножении мантисс сомножителей мы получим денормализованную мантиссу результата, что потребует ее коррекции с одновременной коррекцией полученного ранее порядка произведения. Все эти и некоторые другие обстоятельства необходимо учитывать при проведении данной операции.

Ряд этих случаев будем рассмотрен нами при обсуждении ГОСТа IEEE 754 на представление чисел с плавающей запятой [ ...]. В то же время иногда подобные ситуации возникают в процессе выполнения самой операции, а окончательный результат оказывается допустимым числом. Рассмотрим все эти случаи.

Особые случаи при умножении чисел с плавающей запятой

Главное обстоятельство, на которое следует обратить внимание при умножении чисел с плавающей запятой, это диапазон мантисс, которые получаются при выполнении операции.

Так как мы исходим из того, что мантиссы обоих операндов нормализованы, то есть удовлетворяют условию

1 > |M_x,y| ≥ 2^-1,

то 1 > |M_z| = |M_x| * |M_y| ≥ 2^-2.

Таким образом, нормализация мантиссы если и потребуется, то только путем сдвига на один разряд влево. При этом порядок, естественно, следует уменьшить на 1. Отсюда вытекает следующая последовательность действий.

П_z = П_x + П_y

Если П_z = - ∞, то Z=0 .

Если П_z = + ∞, то продолжить умножение, так как последующая операция над мантиссами может привести к коррекции порядка результата в сторону его уменьшения и, тем самым, обеспечит нормальное представление числа в целом.

M_z = M_x * M_y

Т.к. |M_x| ≥ 2^-1, |M_y| ≥ 2^-1, то |M_z| ≥ 2^-2

Возможная область ненормализованной мантиссы:

2^-1 > |M_z| ≥ 2^-2

Если |M_z| < 2^-1, то выполнить нормализацию мантиссы с одновременной коррекцией порядка:

|M_z| = |M_z| * 2+1

П_z = П_z -1

Если в результате получим П_z = - ∞, то Z=0.

Если в ходе перемножения мантисс получим |M_z| ≥ 2^-1 , но ранее при обработке порядков получили П_z = + ∞ (см п.1.2), то Z = ∞

При Z=0 выполнение программы в ЭВМ продолжается.

При Z = ∞ устанавливается флаг прерывания, и ЭВМ приостанавливает обработку данных чисел.

Деление чисел с плавающей запятой

Сначала рассмотрим случай деления двух чисел с плавающей запятой в десятичной системе счисления.

(0,6*10⁵) * (0,2*10²) = 3 * 10^5-2 = 0,3 * 10⁴

Последний шаг выполнен для нормализации мантиссы результата.

Таким образом, если представить операнды в двоичной системе счисления как

$$X = M_x \cdot 2^{П{_х}}$$ $$Y = M_y \cdot 2^{П_{y}},$$

а частное мы хотим тоже получить в виде числа с плавающей запятой, то есть

$$Z = X \cdot Y = M_z \cdot 2^{П_{z}}$$

то деление сводится к двум простейшим действиям, рассмотренным ранее: вычитанию порядка делителя из порядка делимого как целых чисел и делению мантисс как операндов с фиксированной запятой. При необходимости к ним добавляется еще нормализация мантиссы результата:

П_z = П_x - П_y

M_z = M_x / M_y

На первом этапе (вычитание порядков) мы имеем дело с числами с фиксированной точкой. В результате их вычитания возможны как положительное, так и отрицательное переполнения.

Предполагая, что мантиссы обоих операндов нормализованы, то есть удовлетворяют условию

1 > |M_x,y| ≥ 2^-1,

мы получим

2 > |M_z| = |M_x| / |M_y| ≥ 2 ^-1

Таким образом, если в результате деления мантисс и потребуется нормализация (в случая, если 2 > |M_z| ≥ 2^-1), то она может быть выполнена сдвигом вправо не более чем на один разряд. При этом к порядку должна быть добавлена единица. Обычно такая ситуация проверяется на первом шаге деления мантисс. Для чисел с фиксированной запятой ситуация, когда |M_x| ≥ |M_y| приводит к приостановке деления и выработке сигнала особого случая, который обрабатывается системным программным обеспечением ЭВМ. В случае чисел с плавающей запятой такая ситуация ведёт к коррекции мантиссы делимого (M_x' = M_x / 2) и соответствующему изменению порядка (П_x' = П_x + 1) с последующим делением мантиссы M_x' на Y.

Рассмотрим особые случаи при делении чисел с плавающей запятой

П_z = П_x - П_y

Если П_z = +∞, то Z = ∞

Если П_z = -∞, то продолжить деление, так как в последующем возможно увеличение порядка за счет того, что мантисса X окажется больше или равной мантиссе Y.

M_z = M_x / M_y

Т.к. |M_x| ≥ 2^-1, |M_y| ≥ 2^-1, то 2 > |M_z| ≥ 2^-1

Возможная область ненормализованной мантиссы:

2 > |M_z| ≥ 1

Если |M_z| ≥ 1, то выполнить нормализацию мантиссы с одновременной коррекцией порядка:

|M_z| = |M_z| * 2^-1; П_z = П_z + 1.

Если в результате получим П_z = +∞, то Z = ∞.

Если в ходе деления мантисс получили П_z = -∞, и П_z = П_z +1 = -∞, то Z = 0.

Если в ходе деления мантисс получили |M_z| < 1, и при обработке порядков получили П_z = -∞, то Z = 0.

Сложение/вычитание чисел с плавающей запятой

$$X=M_{x}\cdot 2^{П{_x }}$$ $$Y=M_{y}\cdot 2^{П{_y }}$$ $$Z=X\pm Y=M_{z}\cdot 2^{П{_z }}$$

Рассмотрим несколько примеров сложения/вычитания чисел с плавающей запятой в десятичной системе счисления.

Пример 1.

(0,3*10³) + (0,98*10⁴) = (0,03 *10⁴)+(0,98*10⁴) = 1,01 * 10⁴ = 0,101* 10⁵

Пример 2.

(0,3333*10³) - (0,331*10³) = 0,002*10³ = 0,2* 10¹

Порядок выполнения и особые случаи при сложении/вычитании чисел с плавающей запятой

Определение разности порядков:

ΔП = П_x – П_y

Если ΔП = +∞, то П_x >> П_y, и Z = X.

Если ΔП = -∞, то П_y >> П_x, и Z = Y.

Денормализация мантиссы числа с меньшим порядком:

Если ΔП > 0, то П_x > П_y, П_z = П_x, M'_y = M_y*2 - ΔП, M'_x = M_x.

Если ΔП < 0, то П_y > П_x, П_z = П_y, M'_x = M_x*2 - |ΔП|, M'_y = M_y .

Если ΔП = 0, то П_z = П_x = П_y. Денормализации мантисс не происходит: M'_x = M_x, M'_y = M_y.

Алгебраическое суммирование чисел с равными порядками:

M_z = M'_x ± M'_y

Если |М_z| ≥ 1, то |M'_z| =|М_z| * 2^-1, П'_z = П_z+1.

Если П'_z = +∞, то Z = ∞.

Если П'_z = -∞, то Z = 0.

Приведем в качестве примера некоторые мантиссы (Табл. 10.1), представленные в различных кодах, и укажем, нормализованы ли они (+ означает нормализованную мантиссу, - ненормализованную).

Двоичный код мантиссы числа	ПК	ОК	ДК
0.101	+	+	+
1.101	+	-	-
0.010	-	-	-
1.010	-	+	+
0.100	+	+	+
1.100	+	-	+

Из анализа таблицы можно сделать вывод, что

нормализованная мантисса, представленная в прямом коде, имеет первый знак после запятой, равный единице;

нормализованная мантисса, представленная в обратном или дополнительном кодах, должна иметь первый знак после запятой, не совпадающий со знаковым разрядом. Исключение составляет число 1.10...0 для мантиссы в дополнительном коде.

Особенности представления чисел с плавающей запятой согласно стандарту IEEE 754

В настоящее время для представления чисел с плавающей запятой используется версия стандарта IEEE 754-2008.

Этот стандарт определяет

формат представления двоичных и десятичных чисел с плавающей запятой;

программные преобразования чисел с плавающей запятой при использовании различных языков программирования;

аппаратную реализацию арифметических действий над числами с плавающей запятой.

Стандарт описывает

как представлять нулевые числа (без наличия такой возможности представить число Z=0 в виде числа с плавающей запятой невозможно, так как нормализованная мантисса числа с плавающей запятой должна быть отлична от нуля);

как представлять специальную величину бесконечность (Infiniti);

как представлять специальную величину "Не число" (NaN или NaNs); к этому понятию относятся символы и результаты недопустимых операций;

режимы округления при выполнении операций

и некоторые другие особенности работы с такими числами.

В данном разделе мы рассмотрим лишь некоторые из них, которые либо уже использовались нами при выполнении тех или иных операций, либо каким-либо образом влияют на кодирование числа в ЭВМ.

Стандарт IEEE 754 определяет четыре формата представления чисел с плавающей запятой:

с одинарной точностью (single-precision);

с двойной точностью (double-precision);

с одинарной расширенной точностью (single-extended precision) >=43 бит (редко используемый);

с двойной расширенной точностью (double-extended precision) >= 79 бит (обычно используют 80 бит).

Рассмотрим форматы, наиболее часто используемые чисел: с одинарной, двойной и двойной расширенной точностью (Рис. 10.2)

(рис 10.2) Формат числа с плавающей запятой согласно ГОСТ 754

Размеры полей для чисел разных форматов представлены в Табл. 10.2.

Точность	Одинарная single-precision	Двойная double-precision	Двойная расширенная double-extended precision
Размер (байты)	4	8	10
Поле порядка (бит)	8	11	15
Поле мантиссы (бит)	23	52	63
Наибольшее значение	3,4×10+38	1,7×10+308	1,1×10+4932
Максимальная относительная погрешность	10-7	10-16	10-19

Отметим несколько моментов в машинном представлении числа с плавающей запятой. Как мы указывали ранее, число с плавающей запятой может иметь как порядок, так и мантиссу в виде числа со знаком. На Рис. 10.2 представлено поле для кодирования только одного знака. И это является знаком мантиссы, то есть знаком самого числа. Знак порядка неявно закодирован в поле самого порядка в виде так называемого смещенного, или машинного порядка:

П_см = П_x + Δ,

где П_см – смещенный порядок, закодированный в соответствующем поле числа в ячейке памяти или регистре компьютера, П_x – истинный порядок числа, значение Δ выбирается таким образом, чтобы любой смещенный порядок стал неотрицательным, то есть Δ = |-П_x|_макс.

Это приводит к несколько другой схеме обработки смещенных порядков, но позволяет немного выиграть в производительности компьютера. К тому же следует иметь в виду, что для обработки порядков в компьютере используется отдельное устройство.

Еще один момент, который хотелось бы здесь отметить, связан с понятием нормализованной мантиссы, которое используется в этом ГОСТе.

Так, при обсуждении выше в этой лекции порядка и особенностей выполнения основных арифметических операций над числами с плавающей запятой и возникающих при этом особых случаях мы опирались на понятие нормализованной мантиссы в соответствии с (12.1). Согласно ГОСТ 754 мантисса двоичного числа считается нормализованной, если она удовлетворяет следующему условию:

$$2 \gt\left |M_2\right| \geq 1$$

Т. е. модуль нормализованной мантиссы всегда имеет целую часть, равную единице.

В связи с этим нет необходимости хранить ее непосредственно в памяти, а целесообразно добавлять ее непосредственно при выполнении операции. Тогда при записи числа в поле мантиссы освобождается еще один дополнительный разряд, который используется для увеличения точности длины мантиссы и, следовательно, точности представления числа.

Операции над такими числами необходимо проводить с учетом данного обстоятельства.

В Табл. 10.3 показана связь между представлением чисел различных форматов и местом их обработки в ЭВМ.

Тип данных	Размер, байт	Диапазон	Блок обработки
Целые без знака	1 2 4	0...255 0...65535 0...4,3*109	АЛУ ФТ
Целые со знаком	1 2 4	-128...+127 -32768...+32767 2,1*109...+2,1*109	АЛУ ФТ
	8	9,1*1018...+9*1018	FPU
С плавающей точкой	4 (1+8+23) знак-порядок-мантисса	±3,37*1035	FPU
	8 (1+11+52)	±1,67*10308
	10 (1+15+64)	±1,1*104932
Двоично-десятичные числа	1 распакованный 1 упакованных 10 упакованных	0...9 0...99 0...9...9 (18 цифр)	АЛУ ФТ АЛУ ФТ FPU

Числа с двойной расширенной точностью используются для обработки упакованных двоично-десятичных данных в FPU (Floating Point Unit – блоке для обработки данных с плавающей точкой (запятой) микропроцессора). При этом сами данные размещаются в поле мантиссы (разряды с нулевого по 63-й), а знак числа повторяется во всех разрядах с 64-го по 79-й.

Краткие итоги

В лекции рассмотрены арифметические операции обработки чисел с плавающей запятой: алгебраическое сложение, умножение, деление. Особое внимание уделено особым ситуациям, возникающим в процессе выполнения этих операций, методам их обработки. Дано представление чисел с плавающей запятой согласно ГОСТ 754 и вытекающие из этого представления особенности хранения и обработки таких чисел.

Вопросы и задания

Укажите формат числа с плавающей запятой. Какую характеристику числа определяет количество разрядов, отводимых под его порядок, а какую – под его мантиссу?

Для чего требуется нормализация мантиссы числа с плавающей запятой?

Определите минимальное количество разрядов, которое необходимо для представления числа 534,21₁₀ с точностью 1%.

Укажите особые случаи при умножении чисел с плавающей запятой. Каковы пути их решения? Какое устройство занимается этим?

Укажите особые случаи при делении чисел с плавающей запятой. Каковы пути их решения?

Каким образом при алгебраическом сложении производится денормализации мантиссы числа с меньшим порядком? При ответе учитывать, что на уровне схемотехники в распоряжении разработчика имеются регистры сдвига лишь на один разряд.

Определите величину константы, которая используется для чисел одинарной, двойной и расширенной точности, чтобы превратить истинный порядок числа с плавающей запятой в машинный.

Представьте число (-0,015₁₀) в следующей разрядной двоичной сетке (1 - 3 - 5 – знак - порядок машинный - мантисса) согласно ГОСТ 754.