Раскрашивание графов

Хроматическое число

Рассмотрим задачу: при каких условиях вершины графа можно раскрасить так, чтобы каждое ребро было инцидентно вершинам разного цвета? Нас больше всего интересует вопрос, какие графы можно раскрасить с соблюдением определенных условий, чем вопрос, сколькими способами можно выполнить это раскрашивание.

Пусть граф $$G$$ не имеет петель; тогда $$G$$ называется $$k$$ - раскрашиваемым, если каждой его вершине можно приписать один из $$k$$ цветов таким образом, чтобы никакие две смежные вершины не оказались одного цвета. Если граф $$G$$ является $$k$$ -раскрашиваемым, но не является $$(k-1)$$ -раскрашиваемым, назовем его $$k$$ - хроматическим, а число $$k$$ назовем хроматическим числом графа $$G$$ и обозначим через $$\chi (G)$$. На рисунке изображен 4-хроматический (и, следовательно, $$k$$ -раскрашиваемый граф при $$k \ge 4$$ ) граф; цвета обозначены греческими буквами.

Для удобства будем предполагать, что все графы не содержат петель. Однако будем допускать существование кратных ребер, так как они не влияют на наши рассуждения.

Ясно, что $$\chi(K_{n})=n$$, и, следовательно, легко построить графы со сколь угодно большим хроматическим числом. С другой стороны, нетрудно видеть, что

$$\chi (G)=1$$

тогда и только тогда, если $$G$$ — вполне несвязный граф, и что

$$\chi (G) =2$$

тогда и только тогда, если $$G$$ — двудольный граф, отличный от вполне несвязного графа.

Теорема 8.1. Если наибольшая из степеней вершин графа $$G$$ равна $$\rho$$, то этот граф $$(\rho + 1)$$ -раскрашиваем.

Доказательство Проведем индукцию по числу вершин в $$G$$. Пусть $$G$$ — граф с $$n$$ вершинами; если из него удалить произвольную вершину $$v$$ вместе с инцидентными ей ребрами, то в оставшемся графе будет $$n-1$$ вершин, причем степени вершин по-прежнему не превосходят $$\rho$$. По предположению индукции этот граф $$(\rho+1)$$ -раскрашиваем, отсюда получится $$(\rho +1)$$ -раскладка для $$G$$, если окрасить вершину $$v$$ цветом, отличным от тех, которыми окрашены смежные с ней вершины, а их не более чем $$\rho$$.

Теорема (Брукса). Пусть $$G$$ — простой связный граф, не являющийся полным; если наибольшая из степеней его вершин равна $$\rho (\rho \ge 3)$$, то он $$\rho$$ -раскрашиваем.

Доказательство Проведем индукцию по числу вершин графа $$G$$. Предположим, что $$G$$ имеет $$n$$ вершин. Если при этом степень какой-нибудь его вершины меньше $$\rho$$, дальше можно рассуждать, как в доказательстве теоремы 1, и все будет закончено. Поэтому без потери общности можно считать граф $$G$$ регулярным степени $$\rho$$.

Выберем произвольную вершину $$v$$ и удалим ее, вместе с инцидентными ей ребрами. Останется граф с $$n-1$$ вершинами, в котором наибольшая из степеней вершин не превосходит $$\rho$$. По предположению индукции этот граф $$\rho$$ -раскрашиваем. Теперь окрасим вершину $$v$$ в один из имеющихся $$\rho$$ цветов. Как и раньше, считаем, что смежные с $$v$$ вершины $$v_{1} \dts v_{\rho}$$ расположены вокруг $$v$$ по часовой стрелке и окрашены в различные цвета $$A_{1},c_{2} \dts c_{\rho}$$.

Определяя подграфы $$H_{ij} (i\ne j,1\le i,j\le \rho )$$, когда $$v_{i},v_{j}$$ лежат в разных компонентах графа $$H_{ij}.$$ Таким образом, можно считать, что при любых данных $$i,j$$ вершины $$v_{i},v_{j}$$ связаны простой цепью, целиком лежащей в $$H_{ij}$$. Обозначим компоненту графа $$H_{ij}$$, содержащую вершины $$v_{i},v_{j}$$, через $$C_{ij}$$.

Ясно, что если вершина $$v_{i}$$ — смежная более чем с одной вершиной цвета $$c_{j}$$, то существует цвет, отличный от $$c_{i}$$, не приписанный никакой из вершин, смежных с $$v_{i}$$. Тогда вершину $$v_{i}$$ можно окрасить в этот цвет, что, в свою очередь, позволит окрасить вершину $$v$$ в цвет $$c_{i}$$ и закончить на этом доказательство теоремы. Если этот случай не имеет места, то используем аналогичное рассуждение, чтобы показать, что каждая вершина из $$C_{ij}$$ (отличная от $$v_{i}$$ и от $$v_{j}$$ ) должна иметь степень 2. Предположим, что $$w$$ — первая вершина простой цепи из $$v_{i}$$ в $$v_{j}$$, которая имеет степень больше 2; тогда $$w$$ можно перекрасить в цвет, отличный от $$c_{i}$$ или $$c_{j}$$, нарушая тем самым свойство, что $$v_{i}$$ и $$v_{j}$$ связаны простой цепью, целиком лежащей в $$C_{ij}$$. Поэтому мы можем считать, что для любых $$i$$ и $$j$$ компонента $$C_{ij}$$ состоит только из простой цепи, соединяющей вершину $$v_{i}$$ с $$v_{j}$$.

Заметим теперь, что две простые цепи вида $$C_{ij}$$ и $$C_{jl}$$, где $$i\ne l$$, можно считать пересекающимися только в вершине $$v_{j}$$, так как если $$w$$ — другая точка пересечения, то ее можно перекрасить в цвет, отличный от $$c_{i}$$ или $$c_{j}$$, или $$c_{l}$$, а это противоречит факту, что $$v_{i}, v_{j}$$ связаны простой цепью.

Для завершения доказательства выберем (если это возможно) две несмежные вершины $$v_{i},v_{j}$$ и допустим, что $$w$$ — вершина цвета $$c_{j}$$, смежная с $$v_{i}$$. Поскольку $$C_{il}$$ — простая цепь (для любого $$l\ne j$$ ), можно поменять между собой цвета вершин в этой цепи, не затрагивая раскраску остальной части графа. Но это приводит к противоречию, потому что тогда $$w$$ будет общей вершиной простых цепей $$C_{ij}$$ и $$C_{jl}$$. Отсюда следует, что нельзя выбрать две вершины $$v_{i}$$ и $$v_{j}$$ несмежными, и поэтому $$G$$ должен быть полным графом $$K_{\rho +1}$$. А так как это не допускается условием теоремы, то все возможные случаи рассмотрены.

Гипотеза о четырех красках

Уже сто с лишним лет математики пытаются доказать гипотезу четырех красок. В этом направлении был достигнут значительный прогресс. В печати появилось сообщение (K.Appel, W.Haken, Every planar map is four colorable, Bull. of Amer. Math. Soc., 82, \No\,5 (sept. 1976)), что гипотезу четырех красок удалось обосновать с использованием ЭВМ.

Сформулируем без доказательства несколько относящихся к этой проблеме результатов.

Раскрашивание карт

Возникновение гипотезы четырех красок исторически связано с раскрашиванием географических карт. Если имеется карта с изображением нескольких стран, то интересно узнать, сколько понадобится цветов для такой раскраски этих стран, чтобы никакие две соседние страны не были окрашены в один и тот же цвет. Возможно, самая привычная форма гипотезы четырех красок такова: любую карту можно раскрасить с помощью четырех красок.

Чтобы сделать это утверждение точным, надо определить, что означает слово "карта". Поскольку в рассматриваемых нами задачах о раскраске требуется, чтобы страны, расположенные по обе стороны ребра, были разного цвета, придется исключить карты, обладающие мостом. Таким образом, удобно определить карту как связный плоский граф, не содержащий мостов. Заметим, что при таком определении карты не исключаем петель или кратных ребер.

Назовем карту $$k$$ - раскрашиваемой, если ее грани можно раскрасить $$k$$ красками так, чтобы никакие две смежные грани, то есть грани, границы которых имеют общее ребро, не были одного цвета. Там, где можно запутаться, будем использовать термин вершинно $$k$$ - раскрашиваемой, имея в виду $$k$$ -раскрашиваемость в описанном выше смысле. Например, изображенный ниже граф является 3-раскрашиваемым и вершинно 4-раскрашиваемым.

Теперь сформулируем гипотезу четырех красок для карт: всякая карта 4-раскрашиваема.

Теорема 8.3. Карта $$G$$ является 2-раскрашиваемой тогда и только тогда, если $$G$$ представляет собой эйлеров граф.

Доказательство Любую вершину $$v$$ из $$G$$ должно окружать четное число граней, так как их можно раскрасить в два цвета. Отсюда следует, что степень каждой вершины четна, и поэтому $$G$$ — эйлеров граф.

Жордановой кривой, или жордановой дугой, на плоскости называется непрерывная кривая, не имеющая самопересечений; замкнутой жордановой кривой называется жорданова кривая, начало и конец которой совпадают.

Опишем метод, дающий нужную раскраску граней графа $$G$$. Выберем произвольную грань $$F$$ и окрасим ее в красный цвет. Проведем жорданову кривую из точки $$x$$ грани $$F$$ в некоторую точку любой грани, причем так, чтобы эта кривая не проходила ни через какую вершину графа $$G$$. Если на пути от точки $$x$$ до точки $$y$$ грани $$F{'}$$ наша кривая пересечет четное число ребер, окрасим грань $$F{'}$$ в красный цвет; в противном случае — в синий.

Нетрудно показать, что раскрашивание определено корректно: берем "цикл", состоящий из двух таких жордановых кривых (то есть замкнутую жорданову кривую), и показываем, что он пересекает четное число ребер графа $$G$$ (надо использовать индукцию по числу вершин, находящихся внутри цикла, и тот факт, что каждой вершине графа $$G$$ инцидентно четное число ребер).