В математическом смысле проекции - это преобразования точек пространства размерности n в точки пространства размерности меньшей, чем n, или, как еще говорят, на подпространство исходного пространства. В компьютерной графике рассматриваются преимущественно проекции трехмерного пространства образа на двумерную картинную плоскость. Проекция трехмерного объекта, представленного в виде совокупности точек, строится при помощи прямых проецирующих лучей, которые называются проекторами и которые выходят из центра проекции, проходят через каждую точку объекта и, пересекая картинную плоскость, образуют проекцию.
Определенный таким образом класс проекций называют плоскими геометрическими проекциями, поскольку проецирование в этом случае производится на проекционную плоскость и в качестве проекторов используются прямые. Существуют и другие проекции, в которых проецирование осуществляется на криволинейные поверхности или же проецирование осуществляется не с помощью прямых (такие проекции используются, например, в картографии).
Следует отметить, что, приводя иллюстрации к данной главе, мы вынуждены использовать те же самые проекции, методы построения которых собираемся описать. Хочется надеяться, что материал из-за этого не будет выглядеть более неясным, чем при отсутствии рисунков.
(рис 7.2) Проекция параллельным пучком лучей(рис 7.1) Центральная проекцияПлоские геометрические проекции подразделяются на два основных класса: центральные и параллельные. Различие между ними определяется соотношением между центром проекции и проекционной плоскостью. Если расстояние между ними конечно, то проекция будет центральной, если же оно бесконечно, то проекция будет параллельной. Параллельные проекции названы так потому, что центр проекции бесконечно удален и все проекторы параллельны. При описании центральной проекции мы явно задаем ее центр проекции, в то время как, определяя параллельную проекцию, мы указываем направление проецирования. На рис. 7.1 и 7.2 показаны две различные проекции одного и того же отрезка, а также проекторы, проходящие через его конечные точки. Поскольку проекция отрезка сама является отрезком, то достаточно спроецировать одни лишь конечные точки и соединить их.
Центральная проекция порождает визуальный эффект, аналогичный тому, к которому приводят фотографические системы или зрительная система человека, и поэтому используется в случаях, когда желательно достичь определенной степени реалистичности. Этот эффект называется перспективным укорачиванием: по мере увеличения расстояния от центра до объекта размер получаемой проекции уменьшается. Это, с другой стороны, означает, что хотя центральная проекция объектов является реалистичной, она оказывается непригодной для представления точной формы и размеров объектов: из проекции нельзя получить информацию об относительных расстояниях; углы сохраняются только на тех гранях объекта, которые параллельны проекционной плоскости; проекции параллельных линий в общем случае не параллельны. Так, при центральной проекции куба в большинстве случаев мы получаем картину, вообще не имеющую параллельных отрезков.
Параллельная проекция порождает менее реалистичное изображение, поскольку отсутствует перспективное укорачивание, хотя при этом могут иметь место различные постоянные укорачивания вдоль каждой из осей. Проекция фиксирует истинные размеры (с точностью до скалярного множителя), и параллельные прямые остаются параллельными. Как и в случае центральной проекции, углы сохраняются только на тех гранях объекта, которые параллельны проекционной плоскости.
Параллельные проекции разделяются на два типа в зависимости от соотношения между направлением проецирования и нормалью к проекционной плоскости. Если эти направления совпадают, т.е. направление проецирования является нормалью к проекционной плоскости, то проекция называется ортографической. Если же проекторы не ортогональны к проекционной плоскости, то проекция называется косоугольной.
(рис 7.3) Ортографические проекцииВ инженерной графике наиболее широко используемыми видами ортографических проекций являются вид спереди, вид сверху (план) и вид сбоку, в которых проекционная плоскость перпендикулярна главным координатным осям, совпадающим вследствие этого с направлением проецирования (рис. 7.3). Поскольку каждая проекция отображает лишь одну сторону объекта, часто совсем непросто представить себе пространственную структуру проецируемого объекта, даже если рассматривать сразу несколько проекций одного и того же объекта. Но тем не менее такие чертежи позволяют определять реальные размеры объекта.
В случае аксонометрических ортографических проекций используются проекционные плоскости, не перпендикулярные главным координатным осям, поэтому на них изображается сразу несколько сторон объекта, так же как и при центральном проецировании, однако в аксонометрии укорачивание постоянно, тогда как в случае центральной проекции оно связано с расстоянием от центра проекции. При аксонометрическом проецировании сохраняется параллельность прямых, а углы изменяются; расстояния же можно измерить вдоль каждой из главных координатных осей (в общем случае с различными масштабными коэффициентами).
(рис 7.4) Изометрическая проекцияАксонометрические проекции подразделяются на три группы в соответствии с расположением проекционной плоскости по отношению к осям координат. Если нормаль к проекционной плоскости образует три различных угла с осями, то проекция называется триметрической ( триметрией ). Если два из этих углов одинаковы, то получаем диметрическую проекцию ( диметрию ). И, наконец, если все три угла равны между собой, то проекция называется изометрической ( изометрией ). Изометрическая проекция обладает тем свойством, что все три главные координатные оси одинаково укорачиваются. Поэтому можно проводить измерения вдоль направления осей с одним и тем же масштабом (отсюда название: "изо", что означает "равно", и "метрия" - "измерение"). Кроме того, главные координатные оси проецируются так, что их проекции составляют равные углы друг с другом (рис. 7.4).
Косоугольные проекции также являются параллельными, причем проекционная плоскость перпендикулярна главной координатной оси. Сторона объекта, параллельная этой плоскости, проецируется так, что можно измерять углы и расстояния. Проецирование других сторон объекта также допускает проведение линейных измерений (но не угловых) вдоль главных осей. Мы коснемся только двух наиболее часто используемых косоугольных проекций: проекции кавалье ( cavalier ) и кабине ( cabinet ). В отечественной практике эти проекции называют горизонтальной косоугольной изометрией и кабинетной проекцией.
(рис 7.5) Горизонтальная косоугольная изометрия (а) и кабинетная проекция (б)В проекции горизонтальной косоугольной изометрии направление проецирования составляет с плоскостью угол 45 $$\deg$$. В результате проекция отрезка, перпендикулярного проекционной плоскости, имеет ту же длину, что и сам отрезок, т.е. укорачивание отсутствует (рис. 7.5a). Кабинетная проекция имеет направление проецирования, которое составляет с проекционной плоскостью угол $$\arctg(1/2).$$ При этом отрезки, перпендикулярные проекционной плоскости, после проецирования составляют 1/2 их действительной длины, что более соответствует нашему визуальному опыту, поэтому изображение выглядит более реалистично (рис. 7.5b).
Когда пучок проекторов исходит из заданного центра проекции, то параллельные отрезки на плоскости проекции уже не будут параллельными, за исключением случая, когда они лежат в плоскости, параллельной проекционной. При проецировании нескольких параллельных прямых их проекции пересекаются в так называемой точке схода. Если совокупность прямых параллельна одной из координатных осей, то их точка схода называется главной. Таких точек может быть не больше трех. Например, если проекционная плоскость перпендикулярна оси $$OZ$$, то лишь на этой оси будет лежать главная точка схода, поскольку прямые, параллельные как оси $$OX$$, так и $$OY$$, параллельны также и проекционной плоскости и поэтому не имеют точки схода.
Центральные проекции классифицируются в зависимости от числа главных точек схода, которыми они обладают, а следовательно, и от числа координатных осей, которые пересекает проекционная плоскость. На рис. 7.6 приведены три различные одноточечные проекции куба, причем две из них имеют одну точку схода, а третья - две точки.
(рис 7.6) Одноточечные и двухточечная проекцииДвухточечная центральная проекция широко применяется в архитектурном, инженерном и промышленном проектировании и в рекламных изображениях, в которых вертикальные прямые проецируются как параллельные и, следовательно, не сходятся. Трехточечные центральные проекции почти совсем не используются, во-первых, потому, что их трудно конструировать, а во- вторых, из-за того, что они добавляют мало нового с точки зрения реалистичности по сравнению с двухточечной проекцией.
Для выполнения проективных преобразований будем использовать однородные координаты и матрицы преобразований, рассмотренные ранее в лекции 4. Проекция выполняется в системе координат наблюдателя.
Сначала рассмотрим математическое описание параллельных проекций как более простых. Случай, когда картинная плоскость перпендикулярна оси $$OZ$$ и задается уравнением $$z=0$$ (т.е. ортографическая проекция), фактически уже рассматривался в лекции 4, где был приведен вид матриц проекции на координатные плоскости.
Случай аксонометрической проекции сводится к последовательности преобразований, подобно тому как осуществлялся поворот в пространстве относительно произвольной оси. Пусть плоскость задается единичным вектором нормали $$\overrightarrow{n}=(n_x,n_y,n_z)$$ и расстоянием от начала координат $$d\ge 0$$. Каноническое уравнение плоскости, таким образом, имеет вид$$n_x\cdot x+n_y\cdot y+n_z\cdot z-d =0.$$
Вектор, направленный по нормали от начала координат до пересечения
с плоскостью, есть$$\overrightarrow{N}=d\cdot\overrightarrow{n}=(n_x d,n_y d,n_z d)=(N_x,N_y,N_z).$$
Координаты вектора единичной нормали являются ее
Проецирование в пространстве однородных координат осуществляется следующей последовательностью шагов.
Полное преобразование, таким образом, определяется матрицей$$\textrm{Pr}=S_1^{-1}\cdot R^{-1}\cdot P_{xy}\cdot R\cdot S_1.$$
Рассмотрим косоугольную проекцию на плоскость $$XOY$$, при которой
В проекции кавалье вектор $$\overrightarrow{e}_3$$ переходит в вектор $$(\cos(\pi/4),\cos(\pi/4),0)$$, а в кабинетной проекции - в вектор $$(0.5\cdot\cos(\pi/4),0.5\cos(\pi/4),0)$$, причем в обеих проекциях $$a=b$$.
Предположим, что центр проекции находится в точке $$\overrightarrow{c}=(c_x,c_y,c_z)$$, а картинная плоскость совпадает с плоскостью $$XOY$$. Возьмем произвольную точку изображаемого объекта $$\overrightarrow{M}=(x,y,z)$$ и определим ее проекцию на выбранную плоскость (рис. 7.7).
(рис 7.7) Центральная проекция на плоскость XOYПрямую, проходящую через точки $$\overrightarrow{c}$$ и $$\overrightarrow{M}$$, зададим в параметрическом виде:$$\overrightarrow{r}(t)=\overrightarrow{c}+t\cdot(\overrightarrow{M}-\overrightarrow{c})= (c_x+t\cdot(x-c_x),c_y+t\cdot(y-c_y),c_z+\\+t\cdot(z-c_z)).$$
Теперь найдем точку пересечения этой прямой с картинной плоскостью. Она определяется из условия равенства нулю третьей координаты:$$c_z+t\cdot(z-c_z)=0,$$ откуда определяем значение параметра $$t$$, при котором точка прямой принадлежит координатной плоскости:$$t^*=\frac{c_z}{c_z-z}=\frac{1}{1-\frac{z}{c_z}}.$$
Подставляя это значение в формулу (7.1), мы получим координаты проекции точки $$\overrightarrow{M}$$:$$x^*=c_x+\frac{x-c_x}{1-\frac{z}{c_z}}, \quad y^*=c_y+\frac{y-c_y}{1-\frac{z}{c_z}}.$$
Фактором, влияющим на перспективное изменение размеров, является наличие координаты $$z$$ в знаменателе. Чем ближе оказывается точка к центру проекции, тем больше знаменатель, а соответственно и координаты точки.
Мы будем рассматривать ситуацию, когда центр проекции лежит на оси $$OZ$$, а сама ось направлена от наблюдателя к проекционной плоскости, т.е. $$c_x=x_y=0,\quad c_z=-d, \; d>0$$. Тогда формулы (7.2) приобретают вид$$x^*=\frac{x}{1+\frac{z}{d}}, \quad y^*=\frac{y}{1+\frac{z}{d}}.$$
В однородных координатах такое преобразование можно записать с помощью двух операций. Сначала умножаем матрицу проективного преобразования $$P_z$$ на исходную точку и получаем точку в четырехмерном пространстве:$$P_z\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} 1 0 0 0 \\ 0 1 0 0 \\ 0 0 0 0 \\ 0 0 1/d 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ 0 \\ 1+z/d \end{pmatrix}.$$
Затем проецируем эту точку в пространство однородных координат путем деления на четвертую компоненту:$$(x^*,y^*,0,1)=(x/p,y/p,0,1), \quad p=1+z/d.$$
Посмотрим теперь, что происходит с пучком параллельных прямых под
действием
Из формулы (7.4) следует, что в результате проецирования получим множество точек$$\left( x+at,y+bt,0,1+\frac{z+ct}{d} \right) .$$
Переходя к однородным координатам и умножив числитель и знаменатель каждой дроби на $$d$$, получим точки $$\overrightarrow{r}_0$$ вида$$\overrightarrow{r}_0= \left( d\frac{x+at}{d+z+ct},d\frac{y+bt}{d+z+ct},0,1 \right) .$$
Теперь в каждой компоненте вектора числитель и знаменатель поделим на $$t$$:$$\overrightarrow{r}_0= \left( d\frac{x/t+a}{(d+z)/t+c},d\frac{y/t+b}{(d+z)/t+c},0,1 \right) .$$
Переходя к пределу при $$t\rightarrow\infty$$, получим точку$$\overrightarrow{r}_{\infty}= \left( \frac{da}{c},\frac{db}{c},0,1 \right) .$$
Таким образом, получаем, что после проецирования пучок параллельных прямых пересекается в точке схода $$\overrightarrow{r}_{\infty}$$. Понятно, что у каждого пучка своя точка схода. Если пучок прямых параллелен плоскости $$XOY$$, т.е. $$c=0$$, то точка схода оказывается на бесконечности, а значит, прямые остаются параллельными.
Для построения перспективной проекции с несколькими точками схода используется матрица перспективного преобразования без проецирования:$$P= \begin{pmatrix} 1 0 0 0 \\ 0 1 0 0 \\ 0 0 1 0 \\ 1/d_1 1/d_2 1/d_3 1 \end{pmatrix} .$$
Теперь точки пространства сначала подвергаются перспективному преобразованию, а затем осуществляется проекция.
Определим точки схода для прямых, параллельных осям координат. Для прямых $$\overrightarrow{r}=(x,y,z+ct)$$ результатом проективного преобразования будет множество точек $$(x/f,y/f,(z+ct)/f,1)$$, где $$f=x/d_1+y/d_2+(z+ct)/d_3+1$$. При $$t\rightarrow\infty$$ получим точку с координатами $$(0,0,d_3,1)$$. При проекции на плоскость $$XOY$$ получим точку $$(0,0)$$. Пучок прямых $$\overrightarrow{r}=(x+ct,y,z)$$ перейдет в $$((x+ct)/f_1,y/f_1,z/f_1,1),\;f_1=(x+ct)/d_1+y/d_2+z/d_3+1$$, а точкой схода для него будет $$(d_1,0,0,1)$$, которая при проецировании перейдет в точку, лежащую на оси $$OX \; (d_1,0)$$. Аналогично для пучка прямых, параллельных оси $$OY$$, получим точку схода на оси $$OY \; (0,d_2)$$. Эти три точки на плоскости являются главными точками схода.
С развитием торговли и путешествий приобрела большую важность довольно непростая геометрическая задача: как перенести на плоскость часть земной поверхности, чтобы расстояния между любыми двумя точками на ней остались неискаженными? Различные ученые в течение многих веков пытались разрешить эту проблему по заказам своих правительств, крупных коммерсантов или просто путешественников, для которых такая карта была бы настоящей находкой, так как существенно облегчила бы навигацию, как морскую, так и воздушную.
В целом эта задача оказалась неразрешимой. Поверхность цилиндра или конуса можно без искажений перенести на плоскость (такие поверхности называются развертывающимися ), отобразить же на плоскость поверхность сферы, сохранив расстояние между любыми двумя точками, невозможно. Дело в том, что даже малую область сферической поверхности (в отличие от цилиндра или конуса) невозможно развернуть на плоскости без трещин, складок или искажений. Любая плоская карта Земли или какой-то ее части непременно будет искажать какие-либо свойства. Поэтому в настоящее время так необходимы карты с минимальными (еще лучше нулевыми) искажениями тех свойств, для передачи которых предназначается карта. Желательно, чтобы и другие свойства деформировались как можно меньше. Всего существует четыре основных типа искажений:
Помимо классических карт, большая часть которых была разработана в средние века, фантазия ученых предоставляла навигаторам весьма необычные способы проекции земной поверхности, но прежде чем описать способы составления необычных карт, рассмотрим некоторые классические методы картографии.
Центр проекции может быть произвольным по отношению к проецируемой сфере; таким образом, существует бесконечное множество всевозможных различных проекций. Если проводить лучи из некоторой точки, взятой на прямой, проходящей через центр шара перпендикулярно некоторой плоскости, то получим на этой плоскости перспективную проекцию. Рассмотрим некоторые из этих проекций, наиболее полезные с точки зрения картографии.
Важное свойство любой карты - сохранение углов (угол между любыми двумя линиями на карте должен быть таким же, как угол между прообразами этих линий на земной поверхности). Сохранение углов особенно важно для мореплавания и аэронавтики, так как оно означает, что наблюдаемый угол между любыми двумя ориентирами равен углу, измеряемому на карте с помощью транспортира. Кроме того, на такой карте остаются неизменными и площади малых областей. Карты, сохраняющие углы, называются конформными. Проще всего построить конформную карту с помощью стереографической проекции.
На рис. 7.8 показано, как поверхность сферы в точке $$Х$$ проецируется из точки $$А$$ (принадлежащей сфере) на плоскость, касательную к сфере в диаметрально противоположной точке ( антипод точки $$А$$ ). Проекция называется экваториальной, полярной или косой в зависимости от того, где находятся антиподы: на экваторе, полюсах или в какой-нибудь другой точке земной поверхности соответственно. К сожалению, конформность вызывает искажение масштаба, возрастающее с увеличением расстояния от центра карты.
(рис 7.8) Три проекцииОбозначим за долготу и дополнение до широты точки на сфере буквами $$\lambda$$ и $$\theta$$ соответственно, $$0\le\lambda\le 360^{\circ}, \; 0\le\theta\le 180^{\circ}$$, а через $$x$$ и $$y$$ - координаты проекций этой точки в некоторой декартовой системе координат, заданной на плоскости проекции. Соответствующие формулы проецирования для Северного полушария имеют следующий вид:$$\begin{aligned} x=\tg\theta/2\cos(\lambda-135^{\circ}); \\ y=\tg\theta/2\sin(\lambda-135^{\circ}) \end{aligned}$$ Здесь и в дальнейшем радиус считается равным единице. Ось $$X$$ направлена вдоль меридиана 135 $$\deg$$.
Отображение точки $$Х$$ из центра земного шара $$В$$ на плоскость карты в точку $$В'$$ порождает гномоническую проекцию (рис. 7.8). Проекция получила такое название, так как она напоминает конструкцию солнечных часов с гномоном. Любая дуга большого круга на поверхности земного шара переходит в прямую на гномонической карте. Большим кругом называется окружность на сфере, плоскость которой проходит через ее центр. Такая карта не обладает конформностью, но навигаторы ценят ее за одно важное свойство, отсутствующее у всех других проекций сферы на плоскость: прямая между любыми двумя точками на гномонической карте является геодезической, или кратчайшей дугой между этими двумя точками, и соответствует дуге большого круга на поверхности Земли.
Если центр проекции находится в бесконечности (все проецирующие лучи параллельны), то проекция будет ортографической (рис. 7.8). Например, глядя на Луну с Земли, наблюдатель видит Луну практически в ортографической проекции. У края ортографической карты расстояния сильно искажены. Ортографическая карта не сохраняет ни площадей, ни углов, но, выполненная достаточно искусно, создает сильную иллюзию шарообразной Земли. Карты, начерченные с точки зрения наблюдателя, находящегося над земной поверхностью, не точны в передаче многих ее свойств, но наиболее верно соответствуют нашему зрительному восприятию сферы.
Эта проекция получается при проецировании на плоскость, касательную к сфере в центре изображаемого явления $$(\lambda_0,\theta_0)$$, с помощью лучей, перпендикулярных этой плоскости. Формулы этой проекции следующие:$$\begin{aligned} x=\sin\theta\sin(\lambda-\lambda_0) \\ y=\sin\theta_0\cos\theta-\cos\theta_0\sin\theta\cos(\lambda-lambda_0) \end{aligned}$$
Поверхность сферы также можно проецировать на цилиндры и конусы, "надетые" на сферу. После построения цилиндрической или конической проекции поверхность разрезается и развертывается на плоскость.
Лучи, проецирующие земной шар на цилиндр, выбираются так, чтобы они были параллельны плоскости, высекающей окружность, по которой сфера и цилиндр соприкасаются (рис. 7.9). Если цилиндр касается Земли вдоль экватора, то все меридианы и параллели на карте переходят в прямые, пересекающиеся под прямыми углами.
(рис 7.9) Метод цилиндрической проекции с сохранением площадейЦилиндрическая карта не всегда обладает конформностью и может сильно искажать расстояния и форму областей. Отметим, что ни одна карта не может одновременно быть конформной и сохранять площади. Было предложено огромное число других проекций, сохраняющих площадь; в современных атласах чаще всего встречаются сохраняющие площади карты, построенные с помощью цилиндрической проекции, которая была предложена Карлом Б.Мольвейде в 1805 г.
В XVI веке фламандский картограф Герхард Меркатор создал знаменитую цилиндрическую проекцию, обладающую свойством конформности. Конформность в проекции Меркатора достигается за счет растягивания цилиндра за полюсы, при этом в верхней и нижней части этого цилиндра масштаб становится очень искаженным. Несмотря на это данная проекция обладает одним замечательным свойством, очень нужным для навигаторов: прямая, проведенная через любые две точки на карте, является локсодромой, или линией постоянного румба. Локсодрома на сфере или какой-либо другой поверхности вращения пересекает все меридианы под постоянным углом (рис. 7.10).
Проекция Меркатора задается следующими формулами:$$\begin{aligned} x= \left\{ \begin{aligned} \lambda/180^{\circ} \text{ при } 0^{\circ}\le\lambda\le 180^{\circ}, \\ \lambda/180^{\circ}-2 \text{ при } 180^{\circ}\le\lambda\le 360^{\circ} \end{aligned} \right. \\ y=\textrm{ln}(\tg(90^{\circ}-0.5\theta))/\pi. \end{aligned}$$
(рис 7.10) Конформная проекция Меркатора. На карту нанесены локсодромы из Нью-Йорка
Будем называть разрезанной карту мира, спроецированную на тот или иной узор из каких-либо многоугольников. После складывания этих фрагментов образуется карта с разрывами любой части земного шара. Одну такую конформную карту составил философ и математик Ч.Пирс. Земная поверхность спроецирована на этой карте на восемь равнобедренных треугольников, которые можно рассматривать как грани октаэдра, сплющиваемого до тех пор, пока длина его пространственной диагонали не обратится в нуль. Вершинам нулевой диагонали на карте Пирса соответствуют северный и южный полюсы.
(рис 7.11) "Линкаглобус" И. Фишера, складывающийся в икосаэдрПримерно в то же время аналогичная идея пришла в голову выдающемуся экономисту из Йельского университета Ирвингу Фишеру: он задумал осуществить гномоническую проекцию поверхности Земли на 20 треугольных гранях икосаэдра (рис. 7.11). Икосаэдр является наиболее близким к идеалу многогранником для разрезания "на карты".
Картографы придумывали самые разнообразные виды проекций, порой удивительно выглядящие и при этом обладающие довольно неплохими свойствами. Одну из таких карт в форме кардиоиды (сердца) придумал Иоганн Вернер. Эта карта сохраняет площади. Она пользовалась широкой известностью в XVI в., но сейчас ею уже давно не пользуются. В отчете о картографических курьезах, написанном для внутреннего пользования фирмы "Лаборатории Белла", математик Эдгар Н. Гильберт пишет: "...незаслуженно забыта. Сильно искаженные части карты лежат далеко от основных масс суши. Искривленные параллели придают карте приятную иллюзию округлости... Параллели представляют собой дуги окружностей, расположенные на одинаковом расстоянии друг от друга, с центром в северном полюсе. Меридианы, проведенные для указа¬ния расстояний вдоль параллелей, такие же как на сфере".
Скопление материков на карте Вернера отражает неравномерное распределение суши по поверхности Земли. Тихий океан столь велик, что если смотреть на Землю из точки, расположенной над проливом Ла-Манш, то взгляду откроется около 80% всей суши, а противопо¬ложное полушарие будет почти сплошь покрыто водой
(рис 7.12) Поликоническая картографическая проекцияДовольно необычна поликоническая картографическая проекция - картографическая проекция, строящаяся с помощью ряда конусов, касательных к земному эллипсоиду (шару). В поликонической картографической проекции параллели нормальной сетки - дуги эксцентрических окружностей, осевой меридиан - прямая, на которой расположены центры параллелей, а остальные меридианы - кривые (рис. 7.12).
В математическом смысле проекции - это преобразования точек пространства размерности n в точки пространства размерности меньшей, чем n, или, как еще говорят, на подпространство исходного пространства. В компьютерной графике рассматриваются преимущественно проекции трехмерного пространства образа на двумерную картинную плоскость. Проекция трехмерного объекта, представленного в виде совокупности точек, строится при помощи прямых проецирующих лучей, которые называются проекторами и которые выходят из центра проекции, проходят через каждую точку объекта и, пересекая картинную плоскость, образуют проекцию.
Определенный таким образом класс проекций называют плоскими геометрическими проекциями, поскольку проецирование в этом случае производится на проекционную плоскость и в качестве проекторов используются прямые. Существуют и другие проекции, в которых проецирование осуществляется на криволинейные поверхности или же проецирование осуществляется не с помощью прямых (такие проекции используются, например, в картографии).
Следует отметить, что, приводя иллюстрации к данной главе, мы вынуждены использовать те же самые проекции, методы построения которых собираемся описать. Хочется надеяться, что материал из-за этого не будет выглядеть более неясным, чем при отсутствии рисунков.
(рис 7.2) Проекция параллельным пучком лучей(рис 7.1) Центральная проекцияПлоские геометрические проекции подразделяются на два основных класса: центральные и параллельные. Различие между ними определяется соотношением между центром проекции и проекционной плоскостью. Если расстояние между ними конечно, то проекция будет центральной, если же оно бесконечно, то проекция будет параллельной. Параллельные проекции названы так потому, что центр проекции бесконечно удален и все проекторы параллельны. При описании центральной проекции мы явно задаем ее центр проекции, в то время как, определяя параллельную проекцию, мы указываем направление проецирования. На рис. 7.1 и 7.2 показаны две различные проекции одного и того же отрезка, а также проекторы, проходящие через его конечные точки. Поскольку проекция отрезка сама является отрезком, то достаточно спроецировать одни лишь конечные точки и соединить их.
Центральная проекция порождает визуальный эффект, аналогичный тому, к которому приводят фотографические системы или зрительная система человека, и поэтому используется в случаях, когда желательно достичь определенной степени реалистичности. Этот эффект называется перспективным укорачиванием: по мере увеличения расстояния от центра до объекта размер получаемой проекции уменьшается. Это, с другой стороны, означает, что хотя центральная проекция объектов является реалистичной, она оказывается непригодной для представления точной формы и размеров объектов: из проекции нельзя получить информацию об относительных расстояниях; углы сохраняются только на тех гранях объекта, которые параллельны проекционной плоскости; проекции параллельных линий в общем случае не параллельны. Так, при центральной проекции куба в большинстве случаев мы получаем картину, вообще не имеющую параллельных отрезков.
Параллельная проекция порождает менее реалистичное изображение, поскольку отсутствует перспективное укорачивание, хотя при этом могут иметь место различные постоянные укорачивания вдоль каждой из осей. Проекция фиксирует истинные размеры (с точностью до скалярного множителя), и параллельные прямые остаются параллельными. Как и в случае центральной проекции, углы сохраняются только на тех гранях объекта, которые параллельны проекционной плоскости.
Параллельные проекции разделяются на два типа в зависимости от соотношения между направлением проецирования и нормалью к проекционной плоскости. Если эти направления совпадают, т.е. направление проецирования является нормалью к проекционной плоскости, то проекция называется ортографической. Если же проекторы не ортогональны к проекционной плоскости, то проекция называется косоугольной.
(рис 7.3) Ортографические проекцииВ инженерной графике наиболее широко используемыми видами ортографических проекций являются вид спереди, вид сверху (план) и вид сбоку, в которых проекционная плоскость перпендикулярна главным координатным осям, совпадающим вследствие этого с направлением проецирования (рис. 7.3). Поскольку каждая проекция отображает лишь одну сторону объекта, часто совсем непросто представить себе пространственную структуру проецируемого объекта, даже если рассматривать сразу несколько проекций одного и того же объекта. Но тем не менее такие чертежи позволяют определять реальные размеры объекта.
В случае аксонометрических ортографических проекций используются проекционные плоскости, не перпендикулярные главным координатным осям, поэтому на них изображается сразу несколько сторон объекта, так же как и при центральном проецировании, однако в аксонометрии укорачивание постоянно, тогда как в случае центральной проекции оно связано с расстоянием от центра проекции. При аксонометрическом проецировании сохраняется параллельность прямых, а углы изменяются; расстояния же можно измерить вдоль каждой из главных координатных осей (в общем случае с различными масштабными коэффициентами).
(рис 7.4) Изометрическая проекцияАксонометрические проекции подразделяются на три группы в соответствии с расположением проекционной плоскости по отношению к осям координат. Если нормаль к проекционной плоскости образует три различных угла с осями, то проекция называется триметрической ( триметрией ). Если два из этих углов одинаковы, то получаем диметрическую проекцию ( диметрию ). И, наконец, если все три угла равны между собой, то проекция называется изометрической ( изометрией ). Изометрическая проекция обладает тем свойством, что все три главные координатные оси одинаково укорачиваются. Поэтому можно проводить измерения вдоль направления осей с одним и тем же масштабом (отсюда название: "изо", что означает "равно", и "метрия" - "измерение"). Кроме того, главные координатные оси проецируются так, что их проекции составляют равные углы друг с другом (рис. 7.4).
Косоугольные проекции также являются параллельными, причем проекционная плоскость перпендикулярна главной координатной оси. Сторона объекта, параллельная этой плоскости, проецируется так, что можно измерять углы и расстояния. Проецирование других сторон объекта также допускает проведение линейных измерений (но не угловых) вдоль главных осей. Мы коснемся только двух наиболее часто используемых косоугольных проекций: проекции кавалье ( cavalier ) и кабине ( cabinet ). В отечественной практике эти проекции называют горизонтальной косоугольной изометрией и кабинетной проекцией.
(рис 7.5) Горизонтальная косоугольная изометрия (а) и кабинетная проекция (б)В проекции горизонтальной косоугольной изометрии направление проецирования составляет с плоскостью угол 45 $$\deg$$. В результате проекция отрезка, перпендикулярного проекционной плоскости, имеет ту же длину, что и сам отрезок, т.е. укорачивание отсутствует (рис. 7.5a). Кабинетная проекция имеет направление проецирования, которое составляет с проекционной плоскостью угол $$\arctg(1/2).$$ При этом отрезки, перпендикулярные проекционной плоскости, после проецирования составляют 1/2 их действительной длины, что более соответствует нашему визуальному опыту, поэтому изображение выглядит более реалистично (рис. 7.5b).
Когда пучок проекторов исходит из заданного центра проекции, то параллельные отрезки на плоскости проекции уже не будут параллельными, за исключением случая, когда они лежат в плоскости, параллельной проекционной. При проецировании нескольких параллельных прямых их проекции пересекаются в так называемой точке схода. Если совокупность прямых параллельна одной из координатных осей, то их точка схода называется главной. Таких точек может быть не больше трех. Например, если проекционная плоскость перпендикулярна оси $$OZ$$, то лишь на этой оси будет лежать главная точка схода, поскольку прямые, параллельные как оси $$OX$$, так и $$OY$$, параллельны также и проекционной плоскости и поэтому не имеют точки схода.
Центральные проекции классифицируются в зависимости от числа главных точек схода, которыми они обладают, а следовательно, и от числа координатных осей, которые пересекает проекционная плоскость. На рис. 7.6 приведены три различные одноточечные проекции куба, причем две из них имеют одну точку схода, а третья - две точки.
(рис 7.6) Одноточечные и двухточечная проекцииДвухточечная центральная проекция широко применяется в архитектурном, инженерном и промышленном проектировании и в рекламных изображениях, в которых вертикальные прямые проецируются как параллельные и, следовательно, не сходятся. Трехточечные центральные проекции почти совсем не используются, во-первых, потому, что их трудно конструировать, а во- вторых, из-за того, что они добавляют мало нового с точки зрения реалистичности по сравнению с двухточечной проекцией.
Для выполнения проективных преобразований будем использовать однородные координаты и матрицы преобразований, рассмотренные ранее в лекции 4. Проекция выполняется в системе координат наблюдателя.
Сначала рассмотрим математическое описание параллельных проекций как более простых. Случай, когда картинная плоскость перпендикулярна оси $$OZ$$ и задается уравнением $$z=0$$ (т.е. ортографическая проекция), фактически уже рассматривался в лекции 4, где был приведен вид матриц проекции на координатные плоскости.
Случай аксонометрической проекции сводится к последовательности преобразований, подобно тому как осуществлялся поворот в пространстве относительно произвольной оси. Пусть плоскость задается единичным вектором нормали $$\overrightarrow{n}=(n_x,n_y,n_z)$$ и расстоянием от начала координат $$d\ge 0$$. Каноническое уравнение плоскости, таким образом, имеет вид$$n_x\cdot x+n_y\cdot y+n_z\cdot z-d =0.$$
Вектор, направленный по нормали от начала координат до пересечения
с плоскостью, есть$$\overrightarrow{N}=d\cdot\overrightarrow{n}=(n_x d,n_y d,n_z d)=(N_x,N_y,N_z).$$
Координаты вектора единичной нормали являются ее
Проецирование в пространстве однородных координат осуществляется следующей последовательностью шагов.
Полное преобразование, таким образом, определяется матрицей$$\textrm{Pr}=S_1^{-1}\cdot R^{-1}\cdot P_{xy}\cdot R\cdot S_1.$$
Рассмотрим косоугольную проекцию на плоскость $$XOY$$, при которой
В проекции кавалье вектор $$\overrightarrow{e}_3$$ переходит в вектор $$(\cos(\pi/4),\cos(\pi/4),0)$$, а в кабинетной проекции - в вектор $$(0.5\cdot\cos(\pi/4),0.5\cos(\pi/4),0)$$, причем в обеих проекциях $$a=b$$.
Предположим, что центр проекции находится в точке $$\overrightarrow{c}=(c_x,c_y,c_z)$$, а картинная плоскость совпадает с плоскостью $$XOY$$. Возьмем произвольную точку изображаемого объекта $$\overrightarrow{M}=(x,y,z)$$ и определим ее проекцию на выбранную плоскость (рис. 7.7).
(рис 7.7) Центральная проекция на плоскость XOYПрямую, проходящую через точки $$\overrightarrow{c}$$ и $$\overrightarrow{M}$$, зададим в параметрическом виде:$$\overrightarrow{r}(t)=\overrightarrow{c}+t\cdot(\overrightarrow{M}-\overrightarrow{c})= (c_x+t\cdot(x-c_x),c_y+t\cdot(y-c_y),c_z+\\+t\cdot(z-c_z)).$$
Теперь найдем точку пересечения этой прямой с картинной плоскостью. Она определяется из условия равенства нулю третьей координаты:$$c_z+t\cdot(z-c_z)=0,$$ откуда определяем значение параметра $$t$$, при котором точка прямой принадлежит координатной плоскости:$$t^*=\frac{c_z}{c_z-z}=\frac{1}{1-\frac{z}{c_z}}.$$
Подставляя это значение в формулу (7.1), мы получим координаты проекции точки $$\overrightarrow{M}$$:$$x^*=c_x+\frac{x-c_x}{1-\frac{z}{c_z}}, \quad y^*=c_y+\frac{y-c_y}{1-\frac{z}{c_z}}.$$
Фактором, влияющим на перспективное изменение размеров, является наличие координаты $$z$$ в знаменателе. Чем ближе оказывается точка к центру проекции, тем больше знаменатель, а соответственно и координаты точки.
Мы будем рассматривать ситуацию, когда центр проекции лежит на оси $$OZ$$, а сама ось направлена от наблюдателя к проекционной плоскости, т.е. $$c_x=x_y=0,\quad c_z=-d, \; d>0$$. Тогда формулы (7.2) приобретают вид$$x^*=\frac{x}{1+\frac{z}{d}}, \quad y^*=\frac{y}{1+\frac{z}{d}}.$$
В однородных координатах такое преобразование можно записать с помощью двух операций. Сначала умножаем матрицу проективного преобразования $$P_z$$ на исходную точку и получаем точку в четырехмерном пространстве:$$P_z\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} 1 0 0 0 \\ 0 1 0 0 \\ 0 0 0 0 \\ 0 0 1/d 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ 0 \\ 1+z/d \end{pmatrix}.$$
Затем проецируем эту точку в пространство однородных координат путем деления на четвертую компоненту:$$(x^*,y^*,0,1)=(x/p,y/p,0,1), \quad p=1+z/d.$$
Посмотрим теперь, что происходит с пучком параллельных прямых под
действием
Из формулы (7.4) следует, что в результате проецирования получим множество точек$$\left( x+at,y+bt,0,1+\frac{z+ct}{d} \right) .$$
Переходя к однородным координатам и умножив числитель и знаменатель каждой дроби на $$d$$, получим точки $$\overrightarrow{r}_0$$ вида$$\overrightarrow{r}_0= \left( d\frac{x+at}{d+z+ct},d\frac{y+bt}{d+z+ct},0,1 \right) .$$
Теперь в каждой компоненте вектора числитель и знаменатель поделим на $$t$$:$$\overrightarrow{r}_0= \left( d\frac{x/t+a}{(d+z)/t+c},d\frac{y/t+b}{(d+z)/t+c},0,1 \right) .$$
Переходя к пределу при $$t\rightarrow\infty$$, получим точку$$\overrightarrow{r}_{\infty}= \left( \frac{da}{c},\frac{db}{c},0,1 \right) .$$
Таким образом, получаем, что после проецирования пучок параллельных прямых пересекается в точке схода $$\overrightarrow{r}_{\infty}$$. Понятно, что у каждого пучка своя точка схода. Если пучок прямых параллелен плоскости $$XOY$$, т.е. $$c=0$$, то точка схода оказывается на бесконечности, а значит, прямые остаются параллельными.
Для построения перспективной проекции с несколькими точками схода используется матрица перспективного преобразования без проецирования:$$P= \begin{pmatrix} 1 0 0 0 \\ 0 1 0 0 \\ 0 0 1 0 \\ 1/d_1 1/d_2 1/d_3 1 \end{pmatrix} .$$
Теперь точки пространства сначала подвергаются перспективному преобразованию, а затем осуществляется проекция.
Определим точки схода для прямых, параллельных осям координат. Для прямых $$\overrightarrow{r}=(x,y,z+ct)$$ результатом проективного преобразования будет множество точек $$(x/f,y/f,(z+ct)/f,1)$$, где $$f=x/d_1+y/d_2+(z+ct)/d_3+1$$. При $$t\rightarrow\infty$$ получим точку с координатами $$(0,0,d_3,1)$$. При проекции на плоскость $$XOY$$ получим точку $$(0,0)$$. Пучок прямых $$\overrightarrow{r}=(x+ct,y,z)$$ перейдет в $$((x+ct)/f_1,y/f_1,z/f_1,1),\;f_1=(x+ct)/d_1+y/d_2+z/d_3+1$$, а точкой схода для него будет $$(d_1,0,0,1)$$, которая при проецировании перейдет в точку, лежащую на оси $$OX \; (d_1,0)$$. Аналогично для пучка прямых, параллельных оси $$OY$$, получим точку схода на оси $$OY \; (0,d_2)$$. Эти три точки на плоскости являются главными точками схода.
С развитием торговли и путешествий приобрела большую важность довольно непростая геометрическая задача: как перенести на плоскость часть земной поверхности, чтобы расстояния между любыми двумя точками на ней остались неискаженными? Различные ученые в течение многих веков пытались разрешить эту проблему по заказам своих правительств, крупных коммерсантов или просто путешественников, для которых такая карта была бы настоящей находкой, так как существенно облегчила бы навигацию, как морскую, так и воздушную.
В целом эта задача оказалась неразрешимой. Поверхность цилиндра или конуса можно без искажений перенести на плоскость (такие поверхности называются развертывающимися ), отобразить же на плоскость поверхность сферы, сохранив расстояние между любыми двумя точками, невозможно. Дело в том, что даже малую область сферической поверхности (в отличие от цилиндра или конуса) невозможно развернуть на плоскости без трещин, складок или искажений. Любая плоская карта Земли или какой-то ее части непременно будет искажать какие-либо свойства. Поэтому в настоящее время так необходимы карты с минимальными (еще лучше нулевыми) искажениями тех свойств, для передачи которых предназначается карта. Желательно, чтобы и другие свойства деформировались как можно меньше. Всего существует четыре основных типа искажений:
Помимо классических карт, большая часть которых была разработана в средние века, фантазия ученых предоставляла навигаторам весьма необычные способы проекции земной поверхности, но прежде чем описать способы составления необычных карт, рассмотрим некоторые классические методы картографии.
Центр проекции может быть произвольным по отношению к проецируемой сфере; таким образом, существует бесконечное множество всевозможных различных проекций. Если проводить лучи из некоторой точки, взятой на прямой, проходящей через центр шара перпендикулярно некоторой плоскости, то получим на этой плоскости перспективную проекцию. Рассмотрим некоторые из этих проекций, наиболее полезные с точки зрения картографии.
Важное свойство любой карты - сохранение углов (угол между любыми двумя линиями на карте должен быть таким же, как угол между прообразами этих линий на земной поверхности). Сохранение углов особенно важно для мореплавания и аэронавтики, так как оно означает, что наблюдаемый угол между любыми двумя ориентирами равен углу, измеряемому на карте с помощью транспортира. Кроме того, на такой карте остаются неизменными и площади малых областей. Карты, сохраняющие углы, называются конформными. Проще всего построить конформную карту с помощью стереографической проекции.
На рис. 7.8 показано, как поверхность сферы в точке $$Х$$ проецируется из точки $$А$$ (принадлежащей сфере) на плоскость, касательную к сфере в диаметрально противоположной точке ( антипод точки $$А$$ ). Проекция называется экваториальной, полярной или косой в зависимости от того, где находятся антиподы: на экваторе, полюсах или в какой-нибудь другой точке земной поверхности соответственно. К сожалению, конформность вызывает искажение масштаба, возрастающее с увеличением расстояния от центра карты.
(рис 7.8) Три проекцииОбозначим за долготу и дополнение до широты точки на сфере буквами $$\lambda$$ и $$\theta$$ соответственно, $$0\le\lambda\le 360^{\circ}, \; 0\le\theta\le 180^{\circ}$$, а через $$x$$ и $$y$$ - координаты проекций этой точки в некоторой декартовой системе координат, заданной на плоскости проекции. Соответствующие формулы проецирования для Северного полушария имеют следующий вид:$$\begin{aligned} x=\tg\theta/2\cos(\lambda-135^{\circ}); \\ y=\tg\theta/2\sin(\lambda-135^{\circ}) \end{aligned}$$ Здесь и в дальнейшем радиус считается равным единице. Ось $$X$$ направлена вдоль меридиана 135 $$\deg$$.
Отображение точки $$Х$$ из центра земного шара $$В$$ на плоскость карты в точку $$В'$$ порождает гномоническую проекцию (рис. 7.8). Проекция получила такое название, так как она напоминает конструкцию солнечных часов с гномоном. Любая дуга большого круга на поверхности земного шара переходит в прямую на гномонической карте. Большим кругом называется окружность на сфере, плоскость которой проходит через ее центр. Такая карта не обладает конформностью, но навигаторы ценят ее за одно важное свойство, отсутствующее у всех других проекций сферы на плоскость: прямая между любыми двумя точками на гномонической карте является геодезической, или кратчайшей дугой между этими двумя точками, и соответствует дуге большого круга на поверхности Земли.
Если центр проекции находится в бесконечности (все проецирующие лучи параллельны), то проекция будет ортографической (рис. 7.8). Например, глядя на Луну с Земли, наблюдатель видит Луну практически в ортографической проекции. У края ортографической карты расстояния сильно искажены. Ортографическая карта не сохраняет ни площадей, ни углов, но, выполненная достаточно искусно, создает сильную иллюзию шарообразной Земли. Карты, начерченные с точки зрения наблюдателя, находящегося над земной поверхностью, не точны в передаче многих ее свойств, но наиболее верно соответствуют нашему зрительному восприятию сферы.
Эта проекция получается при проецировании на плоскость, касательную к сфере в центре изображаемого явления $$(\lambda_0,\theta_0)$$, с помощью лучей, перпендикулярных этой плоскости. Формулы этой проекции следующие:$$\begin{aligned} x=\sin\theta\sin(\lambda-\lambda_0) \\ y=\sin\theta_0\cos\theta-\cos\theta_0\sin\theta\cos(\lambda-lambda_0) \end{aligned}$$
Поверхность сферы также можно проецировать на цилиндры и конусы, "надетые" на сферу. После построения цилиндрической или конической проекции поверхность разрезается и развертывается на плоскость.
Лучи, проецирующие земной шар на цилиндр, выбираются так, чтобы они были параллельны плоскости, высекающей окружность, по которой сфера и цилиндр соприкасаются (рис. 7.9). Если цилиндр касается Земли вдоль экватора, то все меридианы и параллели на карте переходят в прямые, пересекающиеся под прямыми углами.
(рис 7.9) Метод цилиндрической проекции с сохранением площадейЦилиндрическая карта не всегда обладает конформностью и может сильно искажать расстояния и форму областей. Отметим, что ни одна карта не может одновременно быть конформной и сохранять площади. Было предложено огромное число других проекций, сохраняющих площадь; в современных атласах чаще всего встречаются сохраняющие площади карты, построенные с помощью цилиндрической проекции, которая была предложена Карлом Б.Мольвейде в 1805 г.
В XVI веке фламандский картограф Герхард Меркатор создал знаменитую цилиндрическую проекцию, обладающую свойством конформности. Конформность в проекции Меркатора достигается за счет растягивания цилиндра за полюсы, при этом в верхней и нижней части этого цилиндра масштаб становится очень искаженным. Несмотря на это данная проекция обладает одним замечательным свойством, очень нужным для навигаторов: прямая, проведенная через любые две точки на карте, является локсодромой, или линией постоянного румба. Локсодрома на сфере или какой-либо другой поверхности вращения пересекает все меридианы под постоянным углом (рис. 7.10).
Проекция Меркатора задается следующими формулами:$$\begin{aligned} x= \left\{ \begin{aligned} \lambda/180^{\circ} \text{ при } 0^{\circ}\le\lambda\le 180^{\circ}, \\ \lambda/180^{\circ}-2 \text{ при } 180^{\circ}\le\lambda\le 360^{\circ} \end{aligned} \right. \\ y=\textrm{ln}(\tg(90^{\circ}-0.5\theta))/\pi. \end{aligned}$$
(рис 7.10) Конформная проекция Меркатора. На карту нанесены локсодромы из Нью-Йорка
Будем называть разрезанной карту мира, спроецированную на тот или иной узор из каких-либо многоугольников. После складывания этих фрагментов образуется карта с разрывами любой части земного шара. Одну такую конформную карту составил философ и математик Ч.Пирс. Земная поверхность спроецирована на этой карте на восемь равнобедренных треугольников, которые можно рассматривать как грани октаэдра, сплющиваемого до тех пор, пока длина его пространственной диагонали не обратится в нуль. Вершинам нулевой диагонали на карте Пирса соответствуют северный и южный полюсы.
(рис 7.11) "Линкаглобус" И. Фишера, складывающийся в икосаэдрПримерно в то же время аналогичная идея пришла в голову выдающемуся экономисту из Йельского университета Ирвингу Фишеру: он задумал осуществить гномоническую проекцию поверхности Земли на 20 треугольных гранях икосаэдра (рис. 7.11). Икосаэдр является наиболее близким к идеалу многогранником для разрезания "на карты".
Картографы придумывали самые разнообразные виды проекций, порой удивительно выглядящие и при этом обладающие довольно неплохими свойствами. Одну из таких карт в форме кардиоиды (сердца) придумал Иоганн Вернер. Эта карта сохраняет площади. Она пользовалась широкой известностью в XVI в., но сейчас ею уже давно не пользуются. В отчете о картографических курьезах, написанном для внутреннего пользования фирмы "Лаборатории Белла", математик Эдгар Н. Гильберт пишет: "...незаслуженно забыта. Сильно искаженные части карты лежат далеко от основных масс суши. Искривленные параллели придают карте приятную иллюзию округлости... Параллели представляют собой дуги окружностей, расположенные на одинаковом расстоянии друг от друга, с центром в северном полюсе. Меридианы, проведенные для указа¬ния расстояний вдоль параллелей, такие же как на сфере".
Скопление материков на карте Вернера отражает неравномерное распределение суши по поверхности Земли. Тихий океан столь велик, что если смотреть на Землю из точки, расположенной над проливом Ла-Манш, то взгляду откроется около 80% всей суши, а противопо¬ложное полушарие будет почти сплошь покрыто водой
(рис 7.12) Поликоническая картографическая проекцияДовольно необычна поликоническая картографическая проекция - картографическая проекция, строящаяся с помощью ряда конусов, касательных к земному эллипсоиду (шару). В поликонической картографической проекции параллели нормальной сетки - дуги эксцентрических окружностей, осевой меридиан - прямая, на которой расположены центры параллелей, а остальные меридианы - кривые (рис. 7.12).
Для получения официальных документов о завершении программы дополнительного профессионального образования (удостоверения о повышении квалификации, дипломов о профессиональной переподготовке и MBA) необходимо предоставить:
Внимание! Вы можете не заказывать доставку бумажной версии официального документы, а скачать его в электронном виде и распечатать самостоятельно. Информация о выданном документе в течение 1 месяца загружается в Федеральную информационную систему «Федеральный реестр сведений о документах об образовании и (или) о квалификации, документах об обучении» - ФИС ФРДО.
Доступ на новый сайт осуществляется с использованием адреса электронной почты, который был указан вами при регистрации на "старом". Мы постарались перенести все ваши данные с прежнего ресурса, однако не исключена вероятность потери части информации.
При возникновении проблемы со входом, воспользуйтесь функцией сброса пароля
Если вы обнаружите несоответствия, пожалуйста, сообщите нам.