Эконометрика

Примеры задач по эконометрике

Разбить на страницы
Показывать лекцию целиком

В настоящем приложении приведены примеры типовых задач, которые решаются на занятиях по эконометрике на факультете "Инженерный бизнес и менеджмент" МГТУ им. Н.Э.Баумана.

Проверка однородности двух независимых выборок

1. В первой случайной репрезентативной выборке объема $$n_1$$ положительный ответ дали $$m_1$$ опрошенных (респондентов), а во второй случайной репрезентативной выборке объема $$n_2$$ положительный ответ дали $$m_2$$ опрошенных. Указать доверительные границы для долей (вероятностей положительного ответа в соответствующих генеральных совокупностях) с доверительной вероятностью 0.95 и проверить гипотезу о равенстве долей (уровень значимости $$\alpha =0.05$$ ):

Исходные данные для задачи 1.
$$n_1$$ $$M_1$$ $$n_2$$ $$m_2$$
Вариант 1 400 300 600 500
Вариант 2 857 673 1254 856

2. Для двух независимых выборок объемов $$n_1$$ и $$n_2$$ даны выборочные средние арифметические $$\bar x$$ и $$\bar y$$ выборочные средние квадратические отклонения $$s_x, s_y$$ соответственно. Указать доверительные границы для математических ожиданий (с доверительной вероятностью 0.95) и проверить гипотезу о равенстве математических ожиданий с помощью критерия Крамера-Уэлча (уровень значимости $$\alpha =0.05$$ ):

Исходные данные для задачи 2
$$n_1$$ $$s_x$$ $$n_2$$ $$s_y$$
Вариант 1 100 13,7 7,3 200 12,1 2,5
Вариант 2 213 10,3 5,3 308 12,2 1,7

3. Проверить гипотезу об однородности функций распределения с помощью критерия Вилкоксона (на уровне значимости $$\alpha =0.05$$ ):

Исходные данные для задачи 3
1 выборка 33 27 12 27 39 42 47 48 50 32
2 выборка 11 20 30 31 22 18 17 25 28 29

Проверка однородности связанных выборках

4. Для каждого из $$N = 20$$ объектов даны значения $$X_j$$ и $$Y_j , j = 1,2, \dots ,N$$, результатов измерений (наблюдений, испытаний, анализов, опытов) двух признаков. Необходимо проверить, есть ли значимое различие между значениями двух признаков или же это различие может быть объяснено случайными отклонениям значений признаков. Другими словами, требуется проверить однородность (т.е. отсутствие различия) связанных выборок.

Исходные данные для задачи 4
$$j$$ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
$$X_j$$ 74 79 65 69 71 66 71 73 72 68
$$Y_j$$ 73 65 71 69 70 69 78 70 60 62
$$j$$ 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
$$X_j$$ 70 69 76 74 72 69 74 72 77 75
$$Y_j$$ 61 67 73 67 73 64 67 65 63 70

Проверку однородности на уровне значимости 0,05 проведите с помощью трех критериев:

  • критерия знаков (основанного на проверке гипотезы $$р = 0,5$$ для биномиального распределения с использованием теоремы Муавра-Лапласа);
  • критерия для проверки равенства 0 математического ожидания (критерий основан на асимптотической нормальности выборочного среднего арифметического, деленного на выборочное среднее квадратическое отклонение);
  • критерия Орлова (типа омега-квадрат) для проверки гипотезы симметрии функции распределения (разности результатов измерений, наблюдений, испытаний, анализов, опытов для двух признаков) относительно 0.
    •

    Метод наименьших квадратов

    5. Исходные данные - набор $$n$$ пар чисел ( $$t_k , x_k), k = 1,2, \dots ,n$$, где $$t_k$$ - независимая переменная (например, время), а $$x_k$$ - зависимая (например, индекс инфляции). Предполагается, что переменные связаны зависимостью

    $$x_k = a t_k + b + e_k , k = 1,2, \dots ,n,$$

    где $$a$$ и $$b$$ - параметры, неизвестные статистику и подлежащие оцениванию, а $$e_k$$ - погрешности, искажающие зависимость.

    Исходные данные для задачи 5
    $$t_k$$ 1 3 4 7 9 10
    $$x_k$$ 12 20 20 32 35 42
  • Методом наименьших квадратов оцените параметры $$a$$ и $$b$$ линейной зависимости. Выпишите восстановленную зависимость.
  • Вычислите восстановленные значения зависимой переменной, сравните их с исходными значениями (найдите разности) и проверьте условие точности вычислений (при отсутствии ошибок в вычислениях сумма исходных значений должна равняться сумме восстановленных).
  • Найдите остаточную сумму квадратов и оцените дисперсию погрешностей.
  • Выпишите точечный прогноз, а также верхнюю и нижнюю доверительные границы для него (для доверительной вероятности 0,95).
  • Рассчитайте прогнозное значение и доверительные границы для него для момента $$t = 12$$.
  • Как изменятся результаты, если доверительная вероятность будет увеличена? А если она будет уменьшена?
    •

    Индекс инфляции

    6. На основе данных табл.6 рассчитайте индекс инфляции с 14.03.1991 по 14.03.2001 на основе потребительской корзины из продуктов №№ 3, 5, 8, 13, 21, 25.

    Номенклатура, годовые нормы потребления и цены (руб.)
    № п/п Наименование продукта питания Годовая норма, кг Цена на 14.03.1991 Цена на 14.03.2001
    1 Хлеб пшеничный 59,8 0-50 12
    2 Хлеб ржаной 65,3 0-20 10
    3 Мука пшеничная 18,5 0-46 10
    4 Картофель 124,22 0-10 9
    5 Капуста 30,4 0-20 8
    6 Помидоры 2,8 0-85 80
    7 Столовые корнеплоды 40,6 0-20 9
    8 Прочие (лук) 27,9 0-50 8
    9 Яблоки свежие 15,1 1-50 20
    10 Сахар 19,0 0-90 21
    11 Говядина 4,4 2-00 85
    12 Субпродукты (печень) 0,5 1-40 45
    13 Птица 16,1 2-40 52
    14 Колбаса докторская 0,4 2-30 95
    15 Копчености 0,3 3-70 200
    16 Рыба свежая (минтай) 10,9 0-37 80
    17 Сельди 0,8 1-40 40
    18 Молоко, кефир 110,0 0-32 17
    19 Сметана, сливки 1,6 1-70 50
    20 Масло животное 2,5 3-60 70
    21 Творог 9,8 1-00 45
    22 Сыр и брынза 2,3 3-60 70
    23 Яйца, десяток 15,2 0-90 20
    24 Масло растительное 3,8 1-80 26
    25 Маргарин 6,3 1-20 35

    7. Гражданин Иванов в марте 1991 г. получил 150 руб., а в марте 2001 г. - 4000 руб. Во сколько раз изменился его реальный доход за 10 лет? Увеличился или уменьшился?

    8. За январь индекс инфляции составил 5 % , а за февраль - 2 % . Чему равен индекс инфляции за два месяца? Каков средний уровень инфляции? Можно ли в данном случае складывать проценты инфляции?

    9. Выразите текущий курс доллара США в ценах марта 1991 г.

    В задачах 2 и 4 рекомендуется принять, что индекс инфляции за 10 лет (март 1991 г. - март 2001 г.) равен 40.

    Упорядочения по средним рангам и по медианам

    10. В табл.7 приведены упорядочения (кластеризованные ранжировки), данные семью экспертами.

    Исходные данные к задаче 10
    Эксперты Упорядочения
    1 2 < 3 < 6 < 7 < 1 < 4 < 5
    2 3 < {2, 6} < 7< {1, 5}< 4
    3 2 < 3 < 7 < 1 < 6 < {4, 5}
    4 6 < {3, 7} < 2 < 5 < 4 <1
    5 2 < 3 < {6,7} < 4 < 1 <5
    6 {2, 3} < 1 < 6 < 4 < 5 <7
    7 3 < 6 < 2 < 1 < 4 < 5 < 7

    Найти:

  • упорядочение по средним рангам;
  • упорядочение по медианам;
  • согласующую их кластеризованную ранжировку.
    •

    Медиана Кемени

    11. Дана матрица попарных расстояний для множества бинарных отношений из 9 элементов. Найти в этом множестве медиану для множества из 5 элементов: $$A_2, A_4, A_5, A_7, A_9$$

    Исходные данные для задачи 11.
    0 2 13 1 7 4 10 3 11
    2 0 5 6 1 3 2 5 1
    13 5 0 2 2 7 6 5 7
    1 6 2 0 5 4 3 8 8
    7 1 2 5 0 10 1 3 7
    4 3 7 4 10 0 2 1 5
    10 2 6 3 1 2 0 6 3
    3 5 5 8 3 1 6 0 9
    11 1 7 8 7 5 3 9 0

    Эконометрика качества (статистический приемочный контроль)

    12. Для плана $$(n, 0) $$ с $$n = 27$$ найти приемочный уровень дефектности.

    13. Для плана $$(n, 0) $$ предел среднего выходного уровня дефектности не превышает $$t = 0,02$$. Каково минимально возможное $$n$$?

    14. Даны приемочный уровень дефектности $$p_{пр} = 0,03$$ и браковочный уровень дефектности $$p_{бр} = 0,09$$. Указать какой-либо допустимый план вида $$(n,0) $$, т.е. план, значение оперативной характеристики которого в точке $$p_{пр}$$ не меньше 0,95, а в точке $$p_{бр}$$ не больше 0,10.

    Страницы:

    В настоящем приложении приведены примеры типовых задач, которые решаются на занятиях по эконометрике на факультете "Инженерный бизнес и менеджмент" МГТУ им. Н.Э.Баумана.

    Проверка однородности двух независимых выборок

    1. В первой случайной репрезентативной выборке объема $$n_1$$ положительный ответ дали $$m_1$$ опрошенных (респондентов), а во второй случайной репрезентативной выборке объема $$n_2$$ положительный ответ дали $$m_2$$ опрошенных. Указать доверительные границы для долей (вероятностей положительного ответа в соответствующих генеральных совокупностях) с доверительной вероятностью 0.95 и проверить гипотезу о равенстве долей (уровень значимости $$\alpha =0.05$$ ):

    Исходные данные для задачи 1.
    $$n_1$$ $$M_1$$ $$n_2$$ $$m_2$$
    Вариант 1 400 300 600 500
    Вариант 2 857 673 1254 856

    2. Для двух независимых выборок объемов $$n_1$$ и $$n_2$$ даны выборочные средние арифметические $$\bar x$$ и $$\bar y$$ выборочные средние квадратические отклонения $$s_x, s_y$$ соответственно. Указать доверительные границы для математических ожиданий (с доверительной вероятностью 0.95) и проверить гипотезу о равенстве математических ожиданий с помощью критерия Крамера-Уэлча (уровень значимости $$\alpha =0.05$$ ):

    Исходные данные для задачи 2
    $$n_1$$ $$s_x$$ $$n_2$$ $$s_y$$
    Вариант 1 100 13,7 7,3 200 12,1 2,5
    Вариант 2 213 10,3 5,3 308 12,2 1,7

    3. Проверить гипотезу об однородности функций распределения с помощью критерия Вилкоксона (на уровне значимости $$\alpha =0.05$$ ):

    Исходные данные для задачи 3
    1 выборка 33 27 12 27 39 42 47 48 50 32
    2 выборка 11 20 30 31 22 18 17 25 28 29

    Проверка однородности связанных выборках

    4. Для каждого из $$N = 20$$ объектов даны значения $$X_j$$ и $$Y_j , j = 1,2, \dots ,N$$, результатов измерений (наблюдений, испытаний, анализов, опытов) двух признаков. Необходимо проверить, есть ли значимое различие между значениями двух признаков или же это различие может быть объяснено случайными отклонениям значений признаков. Другими словами, требуется проверить однородность (т.е. отсутствие различия) связанных выборок.

    Исходные данные для задачи 4
    $$j$$ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
    $$X_j$$ 74 79 65 69 71 66 71 73 72 68
    $$Y_j$$ 73 65 71 69 70 69 78 70 60 62
    $$j$$ 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
    $$X_j$$ 70 69 76 74 72 69 74 72 77 75
    $$Y_j$$ 61 67 73 67 73 64 67 65 63 70

    Проверку однородности на уровне значимости 0,05 проведите с помощью трех критериев:

  • критерия знаков (основанного на проверке гипотезы $$р = 0,5$$ для биномиального распределения с использованием теоремы Муавра-Лапласа);
  • критерия для проверки равенства 0 математического ожидания (критерий основан на асимптотической нормальности выборочного среднего арифметического, деленного на выборочное среднее квадратическое отклонение);
  • критерия Орлова (типа омега-квадрат) для проверки гипотезы симметрии функции распределения (разности результатов измерений, наблюдений, испытаний, анализов, опытов для двух признаков) относительно 0.
    •

    Метод наименьших квадратов

    5. Исходные данные - набор $$n$$ пар чисел ( $$t_k , x_k), k = 1,2, \dots ,n$$, где $$t_k$$ - независимая переменная (например, время), а $$x_k$$ - зависимая (например, индекс инфляции). Предполагается, что переменные связаны зависимостью

    $$x_k = a t_k + b + e_k , k = 1,2, \dots ,n,$$

    где $$a$$ и $$b$$ - параметры, неизвестные статистику и подлежащие оцениванию, а $$e_k$$ - погрешности, искажающие зависимость.

    Исходные данные для задачи 5
    $$t_k$$ 1 3 4 7 9 10
    $$x_k$$ 12 20 20 32 35 42
  • Методом наименьших квадратов оцените параметры $$a$$ и $$b$$ линейной зависимости. Выпишите восстановленную зависимость.
  • Вычислите восстановленные значения зависимой переменной, сравните их с исходными значениями (найдите разности) и проверьте условие точности вычислений (при отсутствии ошибок в вычислениях сумма исходных значений должна равняться сумме восстановленных).
  • Найдите остаточную сумму квадратов и оцените дисперсию погрешностей.
  • Выпишите точечный прогноз, а также верхнюю и нижнюю доверительные границы для него (для доверительной вероятности 0,95).
  • Рассчитайте прогнозное значение и доверительные границы для него для момента $$t = 12$$.
  • Как изменятся результаты, если доверительная вероятность будет увеличена? А если она будет уменьшена?
    •

    Индекс инфляции

    6. На основе данных табл.6 рассчитайте индекс инфляции с 14.03.1991 по 14.03.2001 на основе потребительской корзины из продуктов №№ 3, 5, 8, 13, 21, 25.

    Номенклатура, годовые нормы потребления и цены (руб.)
    № п/п Наименование продукта питания Годовая норма, кг Цена на 14.03.1991 Цена на 14.03.2001
    1 Хлеб пшеничный 59,8 0-50 12
    2 Хлеб ржаной 65,3 0-20 10
    3 Мука пшеничная 18,5 0-46 10
    4 Картофель 124,22 0-10 9
    5 Капуста 30,4 0-20 8
    6 Помидоры 2,8 0-85 80
    7 Столовые корнеплоды 40,6 0-20 9
    8 Прочие (лук) 27,9 0-50 8
    9 Яблоки свежие 15,1 1-50 20
    10 Сахар 19,0 0-90 21
    11 Говядина 4,4 2-00 85
    12 Субпродукты (печень) 0,5 1-40 45
    13 Птица 16,1 2-40 52
    14 Колбаса докторская 0,4 2-30 95
    15 Копчености 0,3 3-70 200
    16 Рыба свежая (минтай) 10,9 0-37 80
    17 Сельди 0,8 1-40 40
    18 Молоко, кефир 110,0 0-32 17
    19 Сметана, сливки 1,6 1-70 50
    20 Масло животное 2,5 3-60 70
    21 Творог 9,8 1-00 45
    22 Сыр и брынза 2,3 3-60 70
    23 Яйца, десяток 15,2 0-90 20
    24 Масло растительное 3,8 1-80 26
    25 Маргарин 6,3 1-20 35

    7. Гражданин Иванов в марте 1991 г. получил 150 руб., а в марте 2001 г. - 4000 руб. Во сколько раз изменился его реальный доход за 10 лет? Увеличился или уменьшился?

    8. За январь индекс инфляции составил 5 % , а за февраль - 2 % . Чему равен индекс инфляции за два месяца? Каков средний уровень инфляции? Можно ли в данном случае складывать проценты инфляции?

    9. Выразите текущий курс доллара США в ценах марта 1991 г.

    В задачах 2 и 4 рекомендуется принять, что индекс инфляции за 10 лет (март 1991 г. - март 2001 г.) равен 40.

    Упорядочения по средним рангам и по медианам

    10. В табл.7 приведены упорядочения (кластеризованные ранжировки), данные семью экспертами.

    Исходные данные к задаче 10
    Эксперты Упорядочения
    1 2 < 3 < 6 < 7 < 1 < 4 < 5
    2 3 < {2, 6} < 7< {1, 5}< 4
    3 2 < 3 < 7 < 1 < 6 < {4, 5}
    4 6 < {3, 7} < 2 < 5 < 4 <1
    5 2 < 3 < {6,7} < 4 < 1 <5
    6 {2, 3} < 1 < 6 < 4 < 5 <7
    7 3 < 6 < 2 < 1 < 4 < 5 < 7

    Найти:

  • упорядочение по средним рангам;
  • упорядочение по медианам;
  • согласующую их кластеризованную ранжировку.
    •

    Медиана Кемени

    11. Дана матрица попарных расстояний для множества бинарных отношений из 9 элементов. Найти в этом множестве медиану для множества из 5 элементов: $$A_2, A_4, A_5, A_7, A_9$$

    Исходные данные для задачи 11.
    0 2 13 1 7 4 10 3 11
    2 0 5 6 1 3 2 5 1
    13 5 0 2 2 7 6 5 7
    1 6 2 0 5 4 3 8 8
    7 1 2 5 0 10 1 3 7
    4 3 7 4 10 0 2 1 5
    10 2 6 3 1 2 0 6 3
    3 5 5 8 3 1 6 0 9
    11 1 7 8 7 5 3 9 0

    Эконометрика качества (статистический приемочный контроль)

    12. Для плана $$(n, 0) $$ с $$n = 27$$ найти приемочный уровень дефектности.

    13. Для плана $$(n, 0) $$ предел среднего выходного уровня дефектности не превышает $$t = 0,02$$. Каково минимально возможное $$n$$?

    14. Даны приемочный уровень дефектности $$p_{пр} = 0,03$$ и браковочный уровень дефектности $$p_{бр} = 0,09$$. Указать какой-либо допустимый план вида $$(n,0) $$, т.е. план, значение оперативной характеристики которого в точке $$p_{пр}$$ не меньше 0,95, а в точке $$p_{бр}$$ не больше 0,10.

    Предыдущее занятие Следующее занятие
    Вернуться к учебному плану
    ^