Методы кластерного анализа. Итеративные методы.

При большом количестве наблюдений иерархические методы кластерного анализа не пригодны. В таких случаях используют неиерархические методы, основанные на разделении, которые представляют собой итеративные методы дробления исходной совокупности. В процессе деления новые кластеры формируются до тех пор, пока не будет выполнено правило остановки.

Такая неиерархическая кластеризация состоит в разделении набора данных на определенное количество отдельных кластеров. Существует два подхода. Первый заключается в определении границ кластеров как наиболее плотных участков в многомерном пространстве исходных данных, т.е. определение кластера там, где имеется большое "сгущение точек". Второй подход заключается в минимизации меры различия объектов

Алгоритм k-средних (k-means)

Наиболее распространен среди неиерархических методов алгоритм k-средних, также называемый быстрым кластерным анализом. Полное описание алгоритма можно найти в работе Хартигана и Вонга (Hartigan and Wong, 1978). В отличие от иерархических методов, которые не требуют предварительных предположений относительно числа кластеров, для возможности использования этого метода необходимо иметь гипотезу о наиболее вероятном количестве кластеров.

Алгоритм k-средних строит k кластеров, расположенных на возможно больших расстояниях друг от друга. Основной тип задач, которые решает алгоритм k-средних, - наличие предположений (гипотез) относительно числа кластеров, при этом они должны быть различны настолько, насколько это возможно. Выбор числа k может базироваться на результатах предшествующих исследований, теоретических соображениях или интуиции.

Общая идея алгоритма: заданное фиксированное число k кластеров наблюдения сопоставляются кластерам так, что средние в кластере (для всех переменных) максимально возможно отличаются друг от друга.

Описание алгоритма

В результате каждый объект назначен определенному кластеру.

На рис. 14.1 приведен пример работы алгоритма k-средних для k, равного двум.

Выбор числа кластеров является сложным вопросом. Если нет предположений относительно этого числа, рекомендуют создать 2 кластера, затем 3, 4, 5 и т.д., сравнивая полученные результаты.

Проверка качества кластеризации

После получений результатов кластерного анализа методом k-средних следует проверить правильность кластеризации (т.е. оценить, насколько кластеры отличаются друг от друга). Для этого рассчитываются средние значения для каждого кластера. При хорошей кластеризации должны быть получены сильно отличающиеся средние для всех измерений или хотя бы большей их части.

Достоинства алгоритма k-средних:

Недостатки алгоритма k-средних:

Алгоритм PAM ( partitioning around Medoids)

PAM является модификацией алгоритма k-средних, алгоритмом k-медианы (k-medoids).

Алгоритм менее чувствителен к шумам и выбросам данных, чем алгоритм k-means, поскольку медиана меньше подвержена влияниям выбросов.

PAM эффективен для небольших баз данных, но его не следует использовать для больших наборов данных.

Предварительное сокращение размерности

Рассмотрим пример. Есть база данных клиентов фирмы, которых следует разбить на однородные группы. Каждый клиент описывается при помощи 25 переменных. Использование такого большого числа переменных приводит к выделению кластеров нечеткой структуры. В результате аналитику достаточно сложно интерпретировать полученные кластеры.

Более понятные и прозрачные результаты кластеризации могут быть получены, если вместо множества исходных переменных использовать некие обобщенные переменные или критерии, содержащие в сжатом виде информацию о связях между переменными. Т.е. возникает задача понижения размерности данных. Она может решаться при помощи различных методов; один из наиболее распространенных - факторный анализ. Остановимся на нем более подробно.

Факторный анализ

Факторный анализ - это метод, применяемый для изучения взаимосвязей между значениями переменных.

Вообще, факторный анализ преследует две цели:

Соответственно, факторный анализ может использоваться для решения задач сокращения размерности данных или для решения задач классификации.

Критерии или главные факторы, выделенные в результате факторного анализа, содержат в сжатом виде информацию о существующих связях между переменными. Эта информация позволяет получить лучшие результаты кластеризации и лучше объяснить семантику кластеров. Самим факторам может быть сообщен определенный смысл.

При помощи факторного анализа большое число переменных сводится к меньшему числу независимых влияющих величин, которые называются факторами.

Фактор в "сжатом" виде содержит информацию о нескольких переменных. В один фактор объединяются переменные, которые сильно коррелируют между собой. В результате факторного анализа отыскиваются такие комплексные факторы, которые как можно более полно объясняют связи между рассматриваемыми переменными.

На первом шаге факторного анализа осуществляется стандартизация значений переменных, необходимость которой была рассмотрена в предыдущей лекции.

Факторный анализ опирается на гипотезу о том, что анализируемые переменные являются косвенными проявлениями сравнительно небольшого числа неких скрытых факторов.

Факторный анализ - это совокупность методов, ориентированных на выявление и анализ скрытых зависимостей между наблюдаемыми переменными. Скрытые зависимости также называют латентными.

Один из методов факторного анализа - метод главных компонент - основан на предположении о независимости факторов друг от друга.

Итеративная кластеризация в SPSS

Обычно в статистических пакетах реализован широкий арсенал методов, что позволяет сначала провести сокращение размерности набора данных (например, при помощи факторного анализа ), а затем уже собственно кластеризацию (например, методом быстрого кластерного анализа). Рассмотрим этот вариант проведения кластеризации в пакете SPSS.

Для сокращения размерности исходных данных воспользуемся факторным анализом. Для этого выберем в меню: Analyze (Анализ)/Data Reduction (Преобразование данных)/Factor ( Факторный анализ ):

При помощи кнопки Extraction:(Отбор) следует выбрать метод отбора. Мы оставим выбранный по умолчанию анализ главных компонентов, который упоминался выше. Также следует выбрать метод вращения - выберем один из наиболее популярных - метод варимакса. Для сохранения значений факторов в виде переменных в закладке "Значения" необходимо поставить отметку "Save as variables" (Сохранить как переменные).

В результате этой процедуры пользователь получает отчет "Объясненная суммарная дисперсия", по которой видно число отобранных факторов - это те компоненты, собственные значения которых превосходят единицу.

Полученные значения факторов, которым обычно присваиваются названия fact1_1, fact1_2 и т.д., используем для проведения кластерного анализа методом k-средних. Для проведения быстрого кластерного анализа выберем в меню:

Analyze (Анализ)/Classify(Классифицировать)/K-Means Cluster: (Кластерный анализ методом k-средних).

В диалоговом окне K Means Cluster Analysis (Кластерный анализ методом k-средних) необходимо поместить факторные переменные fact1_1, fact1_2 и т.д. в поле тестируемых переменных. Здесь же необходимо указать количество кластеров и количество итераций.

В результате этой процедуры получаем отчет с выводом значений центров сформированных кластеров, количестве наблюдений в каждом кластере, а также с дополнительной информацией, заданной пользователем.

Таким образом, алгоритм k-средних делит совокупность исходных данных на заданное количество кластеров. Для возможности визуализации полученных результатов следует воспользоваться одним из графиков, например, диаграммой рассеивания. Однако традиционная визуализация возможна для ограниченного количества измерений, ибо, как известно, человек может воспринимать только трехмерное пространство. Поэтому, если мы анализируем более трех переменных, следует использовать специальные многомерные методы представления информации, о них будет рассказано в одной из последующих лекций курса.

Итеративные методы кластеризации различаются выбором следующих параметров:

Выбор метода кластеризации зависит от количества данных и от того, есть ли необходимость работать одновременно с несколькими типами данных.

В пакете SPSS, например, при необходимости работы как с количественными (например, доход), так и с категориальными (например, семейное положение) переменными, а также если объем данных достаточно велик, используется метод Двухэтапного кластерного анализа, который представляет собой масштабируемую процедуру кластерного анализа, позволяющую работать с данными различных типов.

Для этого на первом этапе работы записи предварительно кластеризуются в большое количество суб-кластеров. На втором этапе полученные суб-кластеры группируются в необходимое количество. Если это количество неизвестно, процедура сама автоматически определяет его. При помощи этой процедуры банковский работник может, например,выделять группы людей, одновременно используя такие показатели как возраст, пол и уровень дохода. Полученные результаты позволяют определить клиентов, входящих в группы риска невозврата кредита.

Процесс кластерного анализа. Рекомендуемые этапы

В общем случае все этапы кластерного анализа взаимосвязаны, и решения, принятые на одном из них, определяют действия на последующих этапах.

Аналитику следует решить, использовать ли все наблюдения либо же исключить некоторые данные или выборки из набора данных.

Выбор метрики и метода стандартизации исходных данных.

Определение количества кластеров (для итеративного кластерного анализа).

Определение метода кластеризации (правила объединения или связи).

По мнению многих специалистов, выбор метода кластеризации является решающим при определении формы и специфики кластеров.

Анализ результатов кластеризации. Этот этап подразумевает решение таких вопросов: не является ли полученное разбиение на кластеры случайным; является ли разбиение надежным и стабильным на подвыборках данных; существует ли взаимосвязь между результатами кластеризации и переменными, которые не участвовали в процессе кластеризации; можно ли интерпретировать полученные результаты кластеризации.

Проверка результатов кластеризации. Результаты кластеризации также должны быть проверены формальными и неформальными методами. Формальные методы зависят от того метода, который использовался для кластеризации. Неформальные включают следующие процедуры проверки качества кластеризации:

Один из вариантов проверки качества кластеризации - использование нескольких методов и сравнение полученных результатов. Отсутствие подобия не будет означать некорректность результатов, но присутствие похожих групп считается признаком качественной кластеризации.

Сложности и проблемы, которые могут возникнуть при применении кластерного анализа

Как и любые другие методы, методы кластерного анализа имеют определенные слабые стороны, т.е. некоторые сложности, проблемы и ограничения.

При проведении кластерного анализа следует учитывать, что результаты кластеризации зависят от критериев разбиения совокупности исходных данных. При понижении размерности данных могут возникнуть определенные искажения, за счет обобщений могут потеряться некоторые индивидуальные характеристики объектов.

Существует ряд сложностей, которые следует продумать перед проведением кластеризации.

Сравнительный анализ иерархических и неиерархических методов кластеризации

Перед проведением кластеризации у аналитика может возникнуть вопрос, какой группе методов кластерного анализа отдать предпочтение. Выбирая между иерархическими и неиерархическими методами, необходимо учитывать следующие их особенности.

Неиерархические методы выявляют более высокую устойчивость по отношению к шумам и выбросам, некорректному выбору метрики, включению незначимых переменных в набор, участвующий в кластеризации. Ценой, которую приходится платить за эти достоинства метода, является слово "априори". Аналитик должен заранее определить количество кластеров, количество итераций или правило остановки, а также некоторые другие параметры кластеризации. Это особенно сложно начинающим специалистам.

Если нет предположений относительно числа кластеров, рекомендуют использовать иерархические алгоритмы. Однако если объем выборки не позволяет это сделать, возможный путь - проведение ряда экспериментов с различным количеством кластеров, например, начать разбиение совокупности данных с двух групп и, постепенно увеличивая их количество, сравнивать результаты. За счет такого "варьирования" результатов достигается достаточно большая гибкость кластеризации.

Иерархические методы, в отличие от неиерархических, отказываются от определения числа кластеров, а строят полное дерево вложенных кластеров.

Сложности иерархических методов кластеризации: ограничение объема набора данных; выбор меры близости; негибкость полученных классификаций.

Преимущество этой группы методов в сравнении с неиерархическими методами - их наглядность и возможность получить детальное представление о структуре данных.

При использовании иерархических методов существует возможность достаточно легко идентифицировать выбросы в наборе данных и, в результате, повысить качество данных. Эта процедура лежит в основе двухшагового алгоритма кластеризации. Такой набор данных в дальнейшем может быть использован для проведения неиерархической кластеризации.

Существует еще один аспект, о котором уже упоминалось в этой лекции. Это вопрос кластеризации всей совокупности данных или же ее выборки. Названный аспект существенен для обеих рассматриваемых групп методов, однако он более критичен для иерархических методов. Иерархические методы не могут работать с большими наборами данных, а использование некоторой выборки, т.е. части данных, могло бы позволить применять эти методы.

Результаты кластеризации могут не иметь достаточного статистического обоснования. С другой стороны, при решении задач кластеризации допустима нестатистическая интерпретация полученных результатов, а также достаточно большое разнообразие вариантов понятия кластера. Такая нестатистическая интерпретация дает возможность аналитику получить удовлетворяющие его результаты кластеризации, что при использовании других методов часто бывает затруднительным.

Новые алгоритмы и некоторые модификации алгоритмов кластерного анализа

Методы, которые мы рассмотрели в этой и предыдущей лекциях, являются "классикой" кластерного анализа. До последнего времени основным критерием, по которому оценивался алгоритм кластеризации, было качество кластеризации: полагалось, чтобы весь набор данных умещался в оперативной памяти.

Однако сейчас, в связи с появлением сверхбольших баз данных, появились новые требования, которым должен удовлетворять алгоритм кластеризации. Основное из них, как уже упоминалось в предыдущих лекциях, - это масштабируемость алгоритма.

Отметим также другие свойства, которым должен удовлетворять алгоритм кластеризации: независимость результатов от порядка входных данных; независимость параметров алгоритма от входных данных.

В последнее время ведутся активные разработки новых алгоритмов кластеризации, способных обрабатывать сверхбольшие базы данных. В них основное внимание уделяется масштабируемости. К таким алгоритмам относятся обобщенное представление кластеров (summarized cluster representation), а также выборка и использование структур данных, поддерживаемых нижележащими СУБД [33].

Разработаны алгоритмы, в которых методы иерархической кластеризации интегрированы с другими методами. К таким алгоритмам относятся: BIRCH, CURE, CHAMELEON, ROCK.

Алгоритм BIRCH (Balanced Iterative Reducing and Clustering using Hierarchies)

Алгоритм предложен Тьян Зангом и его коллегами [55].

Благодаря обобщенным представлениям кластеров, скорость кластеризации увеличивается, алгоритм при этом обладает большим масштабированием.

В этом алгоритме реализован двухэтапный процесс кластеризации.

В ходе первого этапа формируется предварительный набор кластеров. На втором этапе к выявленным кластерам применяются другие алгоритмы кластеризации - пригодные для работы в оперативной памяти.

В [33] приведена следующая аналогия, описывающая этот алгоритм. Если каждый элемент данных представить себе как бусину, лежащую на поверхности стола, то кластеры бусин можно "заменить" теннисными шариками и перейти к более детальному изучению кластеров теннисных шариков. Число бусин может оказаться достаточно велико, однако диаметр теннисных шариков можно подобрать таким образом, чтобы на втором этапе можно было, применив традиционные алгоритмы кластеризации, определить действительную сложную форму кластеров.

Алгоритм WaveCluster

WaveCluster представляет собой алгоритм кластеризации на основе волновых преобразований [56]. В начале работы алгоритма данные обобщаются путем наложения на пространство данных многомерной решетки. На дальнейших шагах алгоритма анализируются не отдельные точки, а обобщенные характеристики точек, попавших в одну ячейку решетки. В результате такого обобщения необходимая информация умещается в оперативной памяти. На последующих шагах для определения кластеров алгоритм применяет волновое преобразование к обобщенным данным.

Главные особенности WaveCluster:

Алгоритм CLARA (Clustering LARge Applications)

Алгоритм CLARA был разработан Kaufmann и Rousseeuw в 1990 году для кластеризации данных в больших базах данных. Данный алгоритм строится в статистических аналитических пакетах, например, таких как S+.

Изложим кратко суть алгоритма. Алгоритм CLARA извлекает множество образцов из базы данных. Кластеризация применяется к каждому из образцов, на выходе алгоритма предлагается лучшая кластеризация.

Для больших баз данных этот алгоритм эффективнее, чем алгоритм PAM. Эффективность алгоритма зависит от выбранного в качестве образца набора данных. Хорошая кластеризация на выбранном наборе может не дать хорошую кластеризацию на всем множестве данных.

Алгоритмы Clarans, CURE, DBScan

Алгоритм Clarans (Clustering Large Applications based upon RANdomized Search) [14] формулирует задачу кластеризации как случайный поиск в графе. В результате работы этого алгоритма совокупность узлов графа представляет собой разбиение множества данных на число кластеров, определенное пользователем. "Качество" полученных кластеров определяется при помощи критериальной функции. Алгоритм Clarans сортирует все возможные разбиения множества данных в поисках приемлемого решения. Поиск решения останавливается в том узле, где достигается минимум среди предопределенного числа локальных минимумов.

Среди новых масштабируемых алгоритмов также можно отметить алгоритм CURE [57] - алгоритм иерархической кластеризации, и алгоритм DBScan [58], где понятие кластера формулируется с использованием концепции плотности (density).

Основным недостатком алгоритмов BIRCH, Clarans, CURE, DBScan является то обстоятельство, что они требуют задания некоторых порогов плотности точек, а это не всегда приемлемо. Эти ограничения обусловлены тем, что описанные алгоритмы ориентированы на сверхбольшие базы данных и не могут пользоваться большими вычислительными ресурсами [59].

Над масштабируемыми методами сейчас активно работают многие исследователи, основная задача которых - преодолеть недостатки алгоритмов, существующих на сегодняшний день.