Во многих случаях модель может быть представлена в виде конструкций из математических символов. В первой теме такие модели мы назвали аналитическими, чтобы отделить от других математических моделей - имитационных. С развитием последних область применения аналитических моделей сократилась. Однако актуальность такого моделирования сохраняется для систем, особенно тех, в которых протекают так называемые процессы без последействия. Процессы без последействия находят место при функционировании многих технических систем. Впервые один из типов такого процесса ввел в научный обиход и исследовал отечественный математик А. А. Марков, поэтому процессы без последействия и системы, в которых они протекают, названы марковскими, а один из типов такого процесса назван цепью Маркова. В настоящее время теория марковских процессов разработана широко и детально, в основном, благодаря отечественным ученым А. Я. Хинчину, Б. В. Гнеденко, А. Н. Колмогорову и другим. Популярность этой теории состоит еще и в том, что она может быть применена и к системам с последействием, которые с помощью некоторых ухищрений можно трактовать как марковские.
В этой теме рассматриваются элементы теории марковских процессов и ряд аналитических моделей, в основе которых лежит допущение о марковости протекающих в моделируемых объектах процессов. К таковым, в первую очередь, относится широкий класс самых разнообразных объектов, имеющих общее название систем массового обслуживания (СМО). Для ряда стандартных структур СМО аналитические модели, связывающие показатели эффективности СМО с характеристиками элементов СМО, приведены в соответствующих справочниках. Здесь же приводятся классификация СМО и приемы построения графов состояний СМО, позволяющих строить или применять готовые аналитические модели.
Заметим, что для ряда современных сложных СМО аналитическое моделирование неприемлемо в силу недостаточности адекватных математических средств. В этих случаях следует применять имитационное моделирование, которое детально рассматривается в следующих темах.
В многоэлементных системах с большим числом состояний аналитическое моделирование на основе теории марковских процессов становится весьма громоздким. В этом случае используется так называемый метод динамики средних, который в основе имеет также марковость процесса. Этот метод существенно упрощает аналитическое моделирование для случаев определения средних характеристик состояний моделируемой системы. В этой теме дано обоснование метода и приводятся примеры его применения.
Наиболее полное исследование процесса функционирования систем получается, если известны явные математические зависимости, связывающие искомые показатели с начальными условиями, параметрами и переменными исследуемой системы. Для многих современных систем, являющихся объектами моделирования, такие математические зависимости отсутствуют или малопригодны, и следует применять другое моделирование, как правило, имитационное.
Однако есть ряд конкретных математических схем, проверенных практикой и доказавших эффективность моделированием. Целью изучения настоящей темы является освоение таких математических моделей.
В инженерной практике часто возникает задача моделирования процессов случайной смены состояний в исследуемом объекте. В рамках нашей профессии нас интересуют дискретные состояния. Например, техническое состояние объекта может характеризоваться дискретными состояниями: исправен - неисправен, загружен - находится в простое и т. п. Численности боевых средств противоборствующих сторон изменяются дискретно, очереди объектов, ожидающих обслуживания, и многое другое.
Вид очередного состояния может определяться случайным образом, смена состояний может происходить в случайные или не случайные моменты времени.
Большой класс случайных процессов составляют процессы без последействия, которые в математике называют марковскими процессами в честь Андрея Андреевича Маркова - старшего (1856-1922), выдающегося русского математика, разработавшего основы теории таких процессов.
Сущность процесса без последействия понятна из определения.
Случайный процесс называется марковским, если вероятность перехода системы в новое состояние зависит только от состояния системы в настоящий момент и не зависит от того, когда и каким образом система перешла в это состояние.
Практически любой случайный процесс является марковским или может быть сведен к марковскому. В последнем случае достаточно в понятие состояния включить всю предысторию смен состояний системы.
А. А. Марков имеет дополнение к фамилии "старший" потому, что его сын - тоже Андрей Андреевич Марков - выдающийся математик, специалист в области теории алгоритмов и др.
А. А. Марков - старший известен также как давший вероятностное обоснование метода наименьших квадратов, приведший одно из доказательств предельной теоремы теории вероятностей и многое другое.
Дальнейшее развитие теория марковских процессов получила в работах выдающегося отечественного математика Андрея Николаевича Колмогорова.
Марковские процессы делятся на два класса:
Дискретной марковской цепью называется случайный процесс, при котором смена дискретных состояний происходит в определенные моменты времени.
Непрерывным марковским процессом называется случайный процесс, при котором смена дискретных состояний происходит в случайные моменты времени.
Итак, моделирование на основе дискретных марковских процессов.
Рассмотрим ситуацию, когда моделируемый процесс обладает следующими особенностями.
Система $$S$$ имеет $$n$$ возможных состояний: $$S_1$$, $$S_2$$, ..., $$S_n$$. Вообще говоря, число состояний может быть бесконечным. Однако модель, как правило, строится для конечного числа состояний.
Смена состояний происходит, будем считать, мгновенно и в строго определенные моменты времени $$t_{l}, l = 1, 2, ...$$ В дальнейшем будем называть временные точки $$t_{l}$$ шагами.
Известны вероятности перехода $$p_{ij}$$ системы за один шаг из состояния $$S_{i}$$ в состояние $$S_{j}$$.
Цель моделирования: определить вероятности состояний системы после $$k$$ -го шага.
Обозначим эти вероятности $$p_{j}(k), j = \overline{1,n}$$ (не путать с вероятностями $$p_{ij}$$).
Если в системе отсутствует последействие, то есть вероятности $$p_{ij}$$ не зависят от предыстории нахождения системы в состоянии $$S_{i}$$, а определяются только этим состоянием, то описанная ситуация соответствует модели дискретной марковской цепи.
Марковская цепь называется однородной, если переходные вероятности $$p_{ij}$$ от времени не зависят, то есть от шага к шагу не меняются. В противном случае, то есть если переходные вероятности $$p_{ij}(t)$$ зависят от времени, марковская цепь называется неоднородной.
Значения $$p_{ij}$$ обычно сводятся в матрицу
Значения $$p_{ij}$$ могут также указываться на графе состояний системы. На рис. 2.1 показан размеченный граф для четырех состояний системы. Обычно вероятности переходов "в себя" - $$p_{11}$$, $$p_{22}$$ и т. д. на графе состояний можно не проставлять, так как их значения дополняют до 1 сумму
Не указываются также нулевые вероятности переходов. Например, на рис. 2.1 это вероятности $$p_{21}$$, $$p_{43}$$ и др.
Математической моделью нахождения вероятностей состояний однородной марковской цепи является рекуррентная зависимость
$$$\begin{array}{*{20}{l}} {{p_j}\left( k \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {{p_i}\left( {k - 1} \right)} {p_{ij}},}{\left( {2.1} \right)} \end{array}$$$где $$p_{j}(k)$$ - вероятность $$j$$ -го состояния системы после $$k$$ -го шага, $$j = \overline{1,n}$$;
$$p_{i}(k-1)$$ - вероятность $$i$$ -го состояния системы после $$(k-1)$$ -го шага, $$i = \overline{1,n}$$;
$$n$$ - число состояний системы;
$$p_{ij}$$ - переходные вероятности.
(рис 2.1) Размеченный граф состояний системыДля неоднородной марковской цепи вероятности состояний системы находятся по формуле:
$$p_{j}(k) = \sum_{i = 1}^n{p_{i}(k - 1)}p_{ij}^{(k)},$$где $$p_{ij}^{(k)}$$ - значения
Пример 2.1. По группе из четырех объектов производится три последовательных выстрела. Найти вероятности состояний группы объектов после третьего выстрела.
Матрица
Размеченный граф состояний приведен на рис. 2.2.
(рис 2.2) Размеченный граф состояний четырех объектовПрежде чем приступить к вычислениям, необходимо ответить на следующие вопросы.
Следовательно, есть все основания для применения ранее введенного рекуррентного выражения (2.1).
Решение. Так как до первого выстрела все объекты целы, то $$p_1(0) = 1$$.
После первого выстрела все значения вероятностей $$p_{j}(1)$$ соответствуют первой строке матрицы
Сформулируем методику моделирования по схеме дискретных марковских процессов (марковских цепей).
Определение свойства зависит от цели исследования. Например, если исследуется объект с целью получения характеристик надежности, то в качестве свойства следует выбрать исправность. Если исследуется загрузка системы, то - занятость. Если, как в примере 2.1, состояния объектов, то - поражен или непоражен.
В рамках изложенной методики моделирования исчерпывающей характеристикой поведения системы является совокупность вероятностей $$p_{j}(k)$$.
При неоднородном марковском процессе переходная вероятность $$p_{ij}$$ представляет собой условную вероятность перехода
$$$p_{ij}^{\left( k \right)} = p\left( {{{S_{j}^{\left( k \right)}} \mathord{\left/ {\vphantom {{S_{j}^{\left( k \right)}} {S_{i}^{\left( k \right)}}}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {S_{i}^{\left( k \right)}}}} \right)$$$, зависящую от $$k$$ - очередного временного шага. В этом случае должны быть указаны более одной матрицы значений $$p_{ij}$$ (для некоторых шагов матрицы могут быть одинаковыми).
Например, при нанесении ударов по объектам, которые могут перемещаться (танковая группировка, корабли и т. п.), последние будут принимать меры по рассредоточению средств или другому защитному маневру, вплоть до активного противодействия атакующей стороне. Очевидно, все эти меры приведут к уменьшению поражающих возможностей стороны, наносящей удары, т. е. к соответствующему изменению
Существует широкий класс систем, которые меняют свои состояния в случайные моменты времени $$t$$. Как и в предыдущем случае, в этих системах рассматривается процесс с дискретными состояниями $$S_{1},S_{2},...,S_{n}$$. Например, переход объекта от исправного состояния к неисправному, соотношение сил сторон в ходе боя и т. п. Оценка эффективности таких систем определяется с помощью вероятностей каждого состояния $$p_{i}(t)$$ на любой момент времени $$t$$, $$i = \overline{1,n}$$.
Чтобы определить вероятности состояния системы $$p_{i}(t)$$ для любого момента времени $$t$$ необходимо воспользоваться математическими моделями марковских процессов с непрерывным временем (непрерывных марковских процессов).
При моделировании состояния систем с непрерывными марковскими процессами мы уже не можем воспользоваться переходными вероятностями $$p_{i}$$, так как вероятность "перескока" системы из одного состояния в другое точно в момент времени $$t$$ равна нулю (как вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины).
Поэтому вместо
где $$p_{ij} (\Delta t)$$ - вероятность того, что система, находившаяся в момент времени $$t$$ в состоянии $$S_{i}$$ за время $$\Delta t$$ перейдет в состояние $$S_{j}$$.
С точностью до бесконечно малых второго порядка из приведенной формулы можно представить:
$$p_{ij} (\Delta t) \approx \lambda_{ij} \cdot \Delta t$$Непрерывный марковский процесс называется однородным,если плотности
Целью моделирования, как и в случае дискретных процессов, является определение вероятностей состояний системы $$p_{i}(t)$$. Эти вероятности находятся интегрированием системы дифференциальных уравнений Колмогорова.
Сформулируем методику моделирования по схеме непрерывных марковских процессов.
Пример 2.2. Составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова для нахождения вероятностей состояний системы, размеченный граф состояний которой представлен на рис. 2.3.
(рис 2.3) Размеченный граф состоянийРешение
$$\left \{ \begin {array} {l} \cfrac{dp_1(t)}{dt} = \lambda_{31}p_3(t) - \lambda_{13}p_1(t) - \lambda_{12}p_1(t) \\ \cfrac{dp_2(t)}{dt} = \lambda_{12}p_1(t) + \lambda_{32}p_3(t) - \lambda_{23}p_2(t) \\ \cfrac{dp_3(t)}{dt} = \lambda_{13}p_1(t) + \lambda_{23}p_2(t) - \lambda_{31}p_3(t) - \lambda_{32}p_3(t) \end {array}$$Очевидно, $$p_{1}(t) + p_{2}(t) + p_{3}(t) = 1$$.
Поэтому любое из первых трех уравнений можно исключить, как линейно зависимое.
Для решения уравнений Колмогорова необходимо задать начальные условия. Для рассмотренного примера 2.2, можно задать такие начальные условия: $$p_{1}(0) = 1$$, $$p_{2}(0) = p_{3}(0) = 0$$.
Однородный марковский процесс с непрерывным временем можно трактовать как процесс смены состояний под влиянием некоторого потока событий. То есть плотность вероятности перехода можно трактовать как интенсивность потока событий, переводящих систему из $$i$$ -го состояния в $$j$$ -е. Такими потоками событий являются отказы техники, вызовы на телефонной станции, рождение и т. п.
При исследовании сложных объектов всегда интересует: возможен ли в исследуемой системе установившейся (стационарный) режим? То есть, как ведет себя система при $$k \to\infty(t \to\infty )$$? Существуют ли предельные значения $$p_{j}(k), p_{i}(t)$$? Как правило, именно эти предельные значения интересуют исследователя.
Ответ на данный вопрос дает теорема Маркова.
Если для однородного дискретного марковского процесса с конечным или счетным числом состояний все $$p_{ij} \succ 0$$, то предельные значения $$p_{j}(k)$$ существуют и их значения не зависят от выбранного начального состояния системы.
Применительно к непрерывным марковским процессам теорема Маркова трактуется так: если процесс однородный и из каждого состояния возможен переход за конечное время в любое другое состояние и число состояний счетно или конечно, то предельные значения $$p_{i}(t)$$ существуют и их значения не зависят от выбранного начального состояния.
Например (рис. 2.4), в системе А стационарный режим есть, а в системе В стационарного режима нет: если система окажется в состоянии $$S_{4}$$ она не сможет перейти ни в какое другое состояние.
(рис 2.4) Примеры графов состояний систем с различными режимамиЧасто в системах самого различного назначения протекают процессы, которые можно представить в виде модели "гибели и размножения".
Граф состояний такого процесса показан на рис. 2.5.
(рис 2.5) Схема "гибели и размножения"Особенностью модели является наличие прямой и обратной связей с каждым соседним состоянием для всех средних состояний; первое и последнее (крайние) состояния связаны только с одним "соседом" (с последующим и предыдущим состояниями соответственно).
Название модели - "гибель и размножение" - связано с представлением, что стрелки вправо означают переход к состояниям, связанным с ростом номера состояния ("рождение"), а стрелки влево - с убыванием номера состояний ("гибель").
Очевидно, стационарное состояние в этом процессе существует. Составлять уравнения Колмогорова нет необходимости, так как структура регулярна, необходимые формулы приводятся в справочниках, а также в рекомендованной литературе.
Для приведенных на рис. 2.5 обозначений формулы имеют вид:
$$$\begin{array}{*{20}{l}} {\begin{array}{*{20}{l}} {{P_1} = \cfrac{1}{{1 + \cfrac{{{\lambda _{12}}}}{{{\mu _{21}}}} + \cfrac{{{\lambda _{12}}{\lambda _{23}}}}{{{\mu _{21}}{\mu _{32}}}} + \cfrac{{{\lambda _{12}}{\lambda _{23}}{\lambda _{34}}}}{{{\mu _{21}}{\mu _{32}}{\mu _{43}}}} + \ldots + \cfrac{{{\lambda _{12}}{\lambda _{23}} \ldots {\lambda _{n - 1,n}}}}{{{\mu _{21}}{\mu _{32}} \ldots {\mu _{n,n - 1}}}}}};} \\ {{P_2} = \cfrac{{{\lambda _{12}}{\lambda _{23}}}}{{{\mu _{21}}{\mu _{32}}}}*{P_1}; \ldots ;{P_n} = \cfrac{{{\lambda _{12}}{\lambda _{23}} \ldots {\lambda _{n - 1,n}}}}{{{\mu _{21}}{\mu _{32}} \ldots {\mu _{n,n - 1}}}}*{P_1}.} \end{array}}{\left( {2.2} \right)} \end{array}$$$Пример 2.3. Имеется система из двух одинаковых и работающих параллельно компьютеров.
Требуется определить надежностные характеристики этой системы.
Решение
В этой системе возможны три состояния:
$$S_{1}$$ - оба компьютера исправны;
$$S_{2}$$ - один компьютер исправен, другой ремонтируется;
$$S_{3}$$ - оба компьютера неисправны и ремонтируются. Будем полагать, что процессы отказов и восстановлений - однородные марковские, одновременный выход из строя обоих компьютеров, как и одновременное восстановление двух отказавших компьютеров практически невозможно.
Поскольку компьютеры одинаковые, то с точки зрения надежности, неважно, какой именно компьютер неисправен в состоянии $$S_{2}$$, важно, что один.
С учетом сказанного, ситуация моделируется схемой "гибели и размножения" (рис. 2.6).
(рис 2.6) На рис. 2.6:
$$\lambda_{12}$$, $$\lambda_{23}$$ - интенсивности потоков отказов;
$$\mu_{21}$$, $$\mu_{32}$$ - интенсивности потоков восстановлений.
Пусть среднее время
Тогда
В состоянии $$S_{1}$$ работают оба компьютера, следовательно:
$$\lambda_{12} = 2\lambda = 2*0,1 = 0,2\;\cfrac{1}{сут}.$$В состоянии $$S_{2}$$ работает один компьютер, значит:
$$\lambda_{23} = \lambda = 0,1\;\cfrac{1}{сут}.$$В состоянии $$S_{2}$$ восстанавливается один компьютер, тогда:
$$\mu_{21} = \mu = 10\;\cfrac{1}{сут}.$$В состоянии $$S_{3}$$ восстанавливаются оба компьютера:
$$\mu_{32} = 2\mu = 20\;\cfrac{1}{сут}.$$Используем зависимости (2.2). Вероятность состояния, когда обе машины исправны:
$$${P_1} = \cfrac{1}{{1 + \cfrac{{{\lambda _{12}}}}{{{\mu _{21}}}} + \cfrac{{{\lambda _{12}}{\lambda _{23}}}}{{{\mu _{21}}{\mu _{32}}}}}} = \cfrac{1}{{1 + \cfrac{{0,2}}{{10}} + \cfrac{{0,2*0,1}}{{10*20}}}} = \cfrac{1}{{1 + 0,02 + 0,0004}} = 0,98.$$$Вероятность второго состояния $$S_{2}$$ (работает один компьютер):
$$P_2 = \cfrac{\lambda_{12}}{\mu_{21}}*P_1 = 0,02*0,98 = 0,0196.$$Аналогично вычисляется и $$P_{3}$$. Хотя найти $$P_{3}$$ можно и так:
$$\[{P_3} = 1 - \left( {{P_1} + {P_2}} \right) = 1 - \left( {0,98 + 0,0196} \right) = 1 - 0,9996 = 0,0004.\]$$Пример 2.4. В полосе объединения работают передатчики противника. Подразделение операторов-связистов армейской контрразведки ведет поиск передатчиков по их радиоизлучениям. Каждый оператор, обнаружив передатчик противника, следит за его частотой, при этом новым поиском не занимается. В процессе слежения частота может быть потеряна, после чего оператор снова осуществляет поиск.
Разработать математическую модель для определения эффективности службы подразделения операторов. Под эффективностью понимается среднее число обнаруженных передатчиков за установленный промежуток времени.
Решение
Будем считать, что наши операторы и радисты противника обладают высокой квалификацией, хорошо натренированы. Следовательно, можно принять, что интенсивности обнаружения частот передатчиков противника и потерь слежения - постоянны. Обнаружение частоты и ее потеря зависят только от того, сколько запеленговано передатчиков в настоящий момент и не зависят от того, когда произошло это пеленгование. Следовательно, процесс обнаружения и потерь слежения за частотами можно считать непрерывным однородным марковским процессом.
Исследуемое свойство этой системы пеленгации: загруженность операторов, что, очевидно, совпадает с числом обнаруженных частот.
Введем обозначения:
$$M$$ - количество операторов;
$$N$$ - количество передатчиков противника, полагаем $$M \ge N$$;
$$\overline{m}$$ - среднее число операторов, ведущих слежение;
$$\overline{n}$$ - среднее число запеленгованных передатчиков;
$$\lambda$$ - интенсивность пеленгации передатчика противника одним оператором;
$$\mu$$ - интенсивность потока потерь слежения оператором;
$$n_{i}$$ - текущая численность запеленгованных передатчиков $$(0,1,2,...,N)$$.
В системе пеленгации возможны следующие состояния:
$$S_{0}$$ - запеленгованных передатчиков нет, поиск ведут $$M$$ операторов, вероятность состояния $$P_{0}$$;
$$S_{1}$$ - запеленгован 1 передатчик, поиск ведут $$(M - 1)$$ операторов, вероятность состояния $$P_{1}$$;
$$S_{2}$$ - запеленгованы 2 передатчика, поиск ведут $$(M - 2)$$ операторов, вероятность состояния $$P_{2}$$;
…
$$S_{n}$$ - запеленгованы $$n_{i}$$ передатчиков, вероятность $$P_{i}$$;
…
$$S_{N}$$ - запеленгованы $$N$$ передатчиков, вероятность $$P_{N}$$.
Цель моделирования - $$\overline{n}$$ - достигается вычислением:
$$\overline{n} = \sum_{i = 0}^{N}P_{i}\cdot n.$$Как и в примере 2.3 полагаем, что одновременное обнаружение или потеря двух и более частот практически невозможно. Граф состояний системы показан на рис. 2.7.
(рис 2.7) Граф состояний системы пеленгацииГраф соответствует процессу "гибели и размножения", полносвязный, число состояний системы конечно, значит, установившийся режим, и предельные значения вероятностей в системе пеленгации существуют.
Пусть, к примеру, количество операторов $$M = 4$$, а количество передатчиков противника $$N = 3$$. В этом случае граф состояний имеет вид (рис. 2.8):
(рис 2.8) Вариант графа состояний системы пеленгацииДля упрощения вычислений примем $$\lambda = \mu$$. Тогда для этой схемы "гибели и размножения" по зависимостям (2.2) имеем:
$$$\begin{array}{*{20}{l}} {{P_0} = \cfrac{1}{{1 + \cfrac{{12\lambda }}{\mu } + \cfrac{{12\lambda *6\lambda }}{{\mu *2\mu }} + \cfrac{{12\lambda *6\lambda *2\lambda }}{{\mu *2\mu *3\mu }}}} = \cfrac{1}{{1 + 12 + 36 + 24}} = \cfrac{1}{{73}} \approx 0,0137;} \\ {{P_1} \approx 0,168;{P_2} \approx 0,5;{P_3} \approx 0,33.} \end{array}$$$Окончательно:
$$\overline{n} = \sum\limits_{i = 0}^3 {{P_{i}}{n_{i}}} = 0*0,0137 + 1*0,168 + 2*0,5 + 3*0,33 = 2,17.$$Таким образом, в условиях данного примера в среднем будут пеленговаться не менее двух передатчиков противника.
Непрерывный марковский процесс полностью определяется значениями плотностей
Простейший поток обладает свойствами:
При решении задач управления, в том числе и управления войсками, часто возникает ряд однотипных задач:
Все эти задачи однотипны в том смысле, что в них присутствует массовый спрос на обслуживание. В удовлетворении этого спроса участвует определенная совокупность элементов, образующая систему массового обслуживания (СМО) (рис. 2.9).
(рис 2.9) Система массового обслуживанияЭлементами СМО являются:
Входящий поток - это совокупность заявок на обслуживание. Часто заявка отождествляется с ее носителем. Например, поток неисправной радиоаппаратуры, поступающий в мастерскую объединения, представляет собой поток заявок - требований на обслуживание в данной СМО.
Как правило, на практике имеют дело с так называемыми рекуррентными потоками, - потоками, обладающими свойствами:
Первые два свойства мы определили ранее. Что касается ограниченного последействия, то оно заключается в том, что интервалы между поступающими заявками являются независимыми случайными величинами.
Рекуррентных потоков много. Каждый закон распределения интервалов порождает свой рекуррентный поток. Рекуррентные потоки иначе называют потоками Пальма.
Поток с полным отсутствием последействия, как уже отмечалось, называется стационарным пуассоновским. У него случайные интервалы между заявками имеют экспоненциальное распределение:
$$F(t) = 1 - e^{ - \lambda t}, f(t) = \lambda e^{ - \lambda t},$$здесь $$\lambda$$ - интенсивность потока.
Название потока - пуассоновский - происходит от того, что для этого
Поток такого типа, как отмечалось ранее, называют также простейшим. Именно такой поток предполагают проектировщики при разработке СМО. Вызвано это тремя причинами.
Во-первых,поток этого типа в теории массового обслуживания аналогичен нормальному закону распределения в теории вероятностей в том смысле, что к простейшему потоку приводит предельный переход для потока, являющегося суммой потоков с произвольными характеристиками при бесконечном увеличении слагаемых и уменьшении их интенсивности. То есть сумма произвольных независимых (без преобладания) потоков с интенсивностями $$\lambda_{i}$$ является простейшим потоком с интенсивностью
$$\lambda = \sum_{i}\lambda_{i}.$$Во-вторых, если обслуживающие каналы (приборы) рассчитаны на простейший поток заявок, то обслуживание других типов потоков (с той же интенсивностью) будет обеспечено с не меньшей эффективностью.
В-третьих, именно такой поток определяет марковский процесс в системе и, следовательно, простоту аналитического анализа системы. При других потоках анализ функционирования СМО сложен.
Часто встречаются системы, у которых поток входных заявок зависит от количества заявок, находящихся в обслуживании. Такие СМО называют замкнутыми (иначе - разомкнутыми). Например, работа мастерской связи объединения может быть представлена моделью замкнутой СМО. Пусть эта мастерская предназначена для обслуживания радиостанций, которых в объединении $$m$$. Каждая из них имеет
где $$n$$ - количество радиостанций, уже находящихся в мастерской на ремонте.
Заявки могут иметь разные права на начало обслуживания. В этом случае говорят, что заявки неоднородные. Преимущества одних потоков заявок перед другими задаются шкалой приоритетов.
Важной характеристикой входного потока является коэффициент вариации:
$$\nu = \cfrac{\sigma}{\overline{\tau}_{инт}},$$где $$\overline{\tau}_{инт}$$ - математическое ожидание длины интервала;
$$\sigma$$ - среднеквадратическое отклонение случайной величины (длины интервала) $$\tau_{инт}$$.
Для простейшего потока $$$\left( {\sigma = \cfrac{1}{\lambda };{\tau _{инт}} = \cfrac{1}{\lambda }} \right):\;\nu = 1.$$$
Для большинства реальных потоков $$0 \le \nu \le 1$$.
При $$\nu = 0$$ поток регулярный, детерминированный.
Коэффициент вариации - характеристика, отражающая степень неравномерности поступления заявок.
Каналы (приборы) обслуживания. В СМО могут быть один или несколько обслуживающих приборов (каналов). Согласно с этим СМО называют одноканальными или многоканальными.
Многоканальные СМО могут состоять из однотипных или разнотипных приборов. Обслуживающими приборами могут быть:
Основная характеристика канала - время обслуживания. Как правило, время обслуживания - величина случайная.
Обычно практики полагают, что время обслуживания имеет экспоненциальный закон распределения:
$$F(t) = 1-e^{-\mu t}, f(t) = \mue e^{-\mu t},$$где $$\mu$$ - интенсивность обслуживания, $$\mu = \cfrac{1}{\overline{\tau}_{обсл}}$$;
$${\overline{\tau}_{обсл}}$$ - математическое ожидание времени обслуживания.
То есть процесс обслуживания - марковский, а это, как теперь нам известно, дает существенные удобства в аналитическом математическом моделировании.
Кроме экспоненциального встречаются $$k$$ -распределение Эрланга, гиперэкспоненциальное, треугольное и некоторые другие. Это нас не должно смущать, так как показано, что значение критериев эффективности СМО мало зависят от вида закона распределения вероятностей времени обслуживания.
При исследовании СМО выпадает из рассмотрения сущность обслуживания, качество обслуживания.
Каналы могут быть абсолютно надежными, то есть не выходить из строя. Вернее, так может быть принято при исследовании. Каналы могут обладать конечной надежностью. В этом случае модель СМО значительно сложнее.
Очередь заявок. В силу случайного характера потоков заявок и обслуживания пришедшая заявка может застать канал (каналы) занятым обслуживанием предыдущей заявки. В этом случае она либо покинет СМО не обслуженной, либо останется в системе, ожидая начало своего обслуживания. В соответствии с этим различают:
СМО с ожиданием характеризуются наличием очередей. Очередь может иметь ограниченную или неограниченную емкость: $$$1 \le L < \infty $$$.
Исследователя обычно интересуют такие статистические характеристики, связанные с пребыванием заявок в очереди:
Нередко встречаются СМО, в которых заявки имеют ограниченное время пребывания в очереди независимо от ее емкости. Такие СМО также относят к СМО смешанного типа.
Выходящий поток - это поток обслуженных заявок, покидающих СМО.
Встречаются случаи, когда заявки проходят через несколько СМО: транзитная связь, производственный конвейер и т. п. В этом случае
Заметим, что интервалы между заявками выходящего потока, это не то же самое, что интервалы обслуживания. Ведь может оказаться, что после окончания очередного обслуживания СМО какое-то время простаивает из-за отсутствия заявок. В этом случае интервал выходящего потока состоит из времени незанятости СМО и интервала обслуживания первой, пришедшей после простоя, заявки.
В системах с отказами есть поток необслуженных заявок. Если в СМО с отказами поступает рекуррентный поток, а обслуживание - экспоненциальное, то и поток необслуженных заявок - рекуррентный.
Очереди свободных каналов. В многоканальных СМО могут образовываться очереди свободных каналов. Количество свободных каналов - величина случайная. Исследователя могут интересовать различные характеристики этой случайной величины. Обычно это среднее число каналов, занятых обслуживанием за интервал исследования.
Таким образом, по признакам, влияющим на функционирование, СМО может принадлежать к одному из типов в соответствии с приводимой классификацией (рис. 2.10).
(рис 2.10) Классификация СМОДля обозначения простых (однофазных) СМО используется символика, предложенная Кендаллом:
$$A/ B/ n/ m.$$$$A$$ -
$$B$$ - случайная длительность обслуживания: $$B = G$$ или $$B = GI$$ - рекуррентное обслуживание с одной и той же функцией распределения $$B(t)$$ для разных каналов; $$B = М$$ - показательное обслуживание; $$B = D$$ - регулярное обслуживание.
$$n$$ - количество обслуживающих каналов. Если $$$n > 1$$$, то система называется многоканальной.
$$m$$ - количество мест для ожидания заявок в очереди. Если $$m = 0$$, то СМО с потерями (без ожидания); $$m = \infty$$ - система с неограниченным ожиданием; $$0 < m < \infty$$ - система с ограниченным числом мест для ожидания.
Под операцией в СМО понимают комплекс мероприятий по обслуживанию входящего потока заявок на интервале времени $$Т$$.
В зависимости от типа системы показателями исхода операции или эффективности системы массового обслуживания являются следующие.
Для СМО с отказами:
Для СМО с неограниченным ожиданием как абсолютная, так и относительная пропускная способности теряют смысл, так как каждая поступившая заявка рано или поздно будет обслужена. Для такой СМО важными показателями являются:
Для СМО смешанного типа используются обе группы показателей: как относительная и
В зависимости от цели операции массового обслуживания любой из приведенных показателей (или совокупность показателей) может быть выбран в качестве критерия эффективности.
Аналитической моделью СМО является совокупность уравнений или формул, позволяющих определять вероятности состояний системы в процессе ее функционирования и рассчитывать показатели эффективности по известным характеристикам входящего потока и каналов обслуживания.
Всеобщей аналитической модели для произвольной СМО не существует. Аналитические модели разработаны для ограниченного числа частных случаев СМО. Аналитические модели, более или менее точно отображающие реальные системы, как правило, сложны и труднообозримы.
Аналитическое моделирование СМО существенно облегчается, если процессы, протекающие в СМО, марковские (потоки заявок простейшие, времена обслуживания распределены экспоненциально). В этом случае все процессы в СМО можно описать обыкновенными дифференциальными уравнениями, а в предельном случае, для стационарных состояний - линейными алгебраическими уравнениями и, решив их, определить выбранные показатели эффективности.
Рассмотрим примеры некоторых СМО.
Пример 2.5. Три автоинспектора проверяют путевые листы у водителей грузовых автомобилей. Если хотя бы один инспектор свободен, проезжающий грузовик останавливают. Если все инспекторы заняты, грузовик, не задерживаясь, проезжает мимо. Поток грузовиков простейший, время проверки случайное с экспоненциальным распределением.
Такую ситуацию можно моделировать трехканальной СМО с отказами (без очереди). Система разомкнутая, с однородными заявками, однофазная, с абсолютно надежными каналами.
Описание состояний:
$$S_{0}$$ - все инспекторы свободны;
$$S_{1}$$ - занят один инспектор;
$$S_{2}$$ - заняты два инспектора;
$$S_{3}$$ - заняты три инспектора.
Граф состояний системы приведен на рис. 2.11.
(рис 2.11) Граф состояний трехканальной СМО с отказамиНа графе: $$\lambda$$ - интенсивность потока грузовых автомобилей; $$\mu$$ - интенсивность проверок документов одним автоинспектором.
Моделирование проводится с целью определения части автомобилей, которые не будут проверены.
Решение
Искомая часть вероятности $$P_{3}$$ - вероятности занятости всех трех инспекторов. Поскольку граф состояний представляет типовую схему "гибели и размножения", то найдем $$P_{3}$$, используя зависимости (2.2).
$$${P_0} = \cfrac{1}{{\sum\limits_{k = 0}^3 {\cfrac{{{\lambda ^3}}}{{3!\mu *2\mu *3\mu }}} }};{P_3} = \cfrac{{{\lambda ^3}}}{{3!\mu *2\mu *3\mu }}*{P_0}.$$$Пропускную способность этого поста автоинспекторов можно характеризовать
Пример 2.6. Для приема и обработки донесений от разведгруппы в разведотделе объединения назначена группа в составе трех офицеров. Ожидаемая интенсивность потока донесений - 15 донесений в час. Среднее время обработки одного донесения одним офицером - $$t_{обс} = 12\;мин$$. Каждый офицер может принимать донесения от любой разведгруппы. Освободившийся офицер обрабатывает последнее из поступивших донесений. Поступающие донесения должны обрабатываться с вероятностью не менее 95 %.
Определить, достаточно ли назначенной группы из трех офицеров для выполнения поставленной задачи.
Решение
Группа офицеров работает как СМО с отказами, состоящая из трех каналов.
Поток донесений с интенсивностью $$\lambda = 15\;\cfrac{1}{час}$$ можно считать простейшим, так как он суммарный от нескольких разведгрупп. Интенсивность обслуживания $$\mu = \cfrac{1}{t_{обс}} = \cfrac{60}{12\;час} = 5\;\cfrac{1}{час}$$. Закон распределения неизвестен, но это несущественно, так как показано, что для систем с отказами он может быть произвольным.
Описание состояний и граф состояний СМО будут аналогичны приведенным в примере 2.5.
Поскольку граф состояний - это схема "гибели и размножения", то для нее имеются готовые выражения для предельных вероятностей состояния:
$$$\begin{array}{*{20}{l}} {{P_1} = \cfrac{\rho }{{1!}}*{P_0};{P_2} = \;\cfrac{{{\rho ^2}}}{{2!}}*{P_0}; \ldots ;{P_n} = \cfrac{{{\rho ^n}}}{{n!}}*{P_0};{P_{n + 1}} = \cfrac{{{\rho ^{n + 1}}}}{{nn!}}*{P_0}; \ldots ;{P_{n + m}} = \cfrac{{{\rho ^{n + m}}}}{{{n^m}n!}}*{P_0};} \\ {{P_0} = {\left( {1 + \cfrac{\rho }{{1!}} + \ldots + \cfrac{{{\rho ^n}}}{{n!}} + \cfrac{{{\rho ^{n + 1}}}}{{nn!}} + \cfrac{{{\rho ^{n + 2}}}}{{{n^2}n!}} + \cfrac{{{\rho ^{n + m}}}}{{{n^m}n!}}} \right)^{ - 1}}.} \end{array}$$$Отношение $$\rho = \cfrac{\lambda}{\mu}$$ называют приведенной интенсивностью потока заявок. Физический смысл ее следующий: величина $$\rho$$ представляет собой среднее число заявок, приходящих в СМО за среднее время обслуживания одной заявки.
В примере $$\rho = \cfrac{\lambda}{\mu} = \cfrac{15}{5} = 3$$.
В рассматриваемой СМО отказ наступает при занятости всех трех каналов, то есть $$P_{отк} = P_{3}$$. Тогда:
$${P_0} = {\left( {1 + \cfrac{3}{{1!}} + \cfrac{{{3^2}}}{{2!}} + \cfrac{{{3^3}}}{{3!}}} \right)^{ - 1}} = 0,077;\;{P_3} = \cfrac{3}{{3!}}*{P_0} = 4,5*0,077 = 0,346.$$Так как
Теперь $$P_{обс} = 1 - P_{отк} = 1 - 0,052 \approx 0,95$$.
Таким образом, только группа из шести офицеров сможет обрабатывать поступающие донесения с вероятностью 95 %.
Пример 2.7. На участке форсирования реки имеются 15 однотипных переправочных средств. Поток поступления техники на переправу в среднем составляет 1 ед./мин, среднее время переправы одной единицы техники - 10 мин (с учетом возвращения назад переправочного средства).
Оценить основные характеристики переправы, в том числе вероятность в немедленной переправе сразу по прибытии единицы техники.
Решение
$$$\begin{array}{*{20}{l}} {\lambda = 1\;ед./мин,\;\mu = 0,1\;ед./мин,\;n = 15.} \\ {{P_0} = {{\left( {1 + \cfrac{{10}}{{1!}} + \cfrac{{{{10}^2}}}{{2!}} + \ldots + \cfrac{{{{10}^{15}}}}{{15!}}} \right)}^{ - 1}} = 4,77*{{10}^{ - 5}};} \\ {{P_{отк}} = {P_{15}} = \cfrac{{{{10}^{15}}}}{{15!}}*{P_0} = 0,0365;} \\ {{P_{обс}} = 1 - {P_{отк}} = 1 - 0,0365 \approx 0,9635.} \end{array}$$$Среднее число работающих переправочных средств:
$$\overline{n}_{з} = \cfrac{A}{\mu} = \cfrac{1}{1/10}=10.$$Коэффициенты использования и простоя переправы:
$$K_{и} = \cfrac{\overline{n}_{з}}{n} = \cfrac{10}{15} = 0,666; K_{п} = 1 - K_{и} = 1 - 0,666 = 0,334.$$Для решения примера была также разработана программа. Интервалы времени поступления техники на переправу, время переправы приняты распределенными по экспоненциальному закону.
Коэффициенты использования переправы после 50 прогонов практически совпадают: $$K_{и} = 0,665$$.
Максимальная длина очереди 15 ед., среднее время пребывания в очереди около 10 мин.
Если взять число переправочных средств 10, то коэффициент использования близок к 1 ( $$K_{и} = 0,997$$ ), максимальная длина очереди - 43 единицы техники.
Если в очереди $$n$$ мест для ожидания, то система может находиться в одном из следующих $$n + 2$$ состояний:
$$S_{0}$$ - в системе нет заявок (ни в очереди, ни на обслуживании);
$$S_{1}$$ - в системе обслуживается одна заявка, очередь пуста;
$$S_{2}$$ - в системе обслуживается одна заявка, и одна заявка находится в очереди, ожидает обслуживания;
…
$$S_{n+1}$$ - в системе обслуживается одна заявка и $$n$$ заявок находятся в очереди, ожидают обслуживания.
Граф состояний такой системы представляет схему "гибели и размножения" (рис. 2.12).
(рис 2.12) Граф состояний одноканальной СМО с ограниченной очередью
Опишем состояния одноканальной замкнутой СМО.
$$S_{0}$$ - заявок на обслуживание нет.
$$S_{k}, k = \overline{1, N}$$ - на обслуживании находится $$k$$ заявок;
$$N$$ - общее число заявок, циркулирующих в системе;
$$\beta$$ - интенсивность требований на обслуживание от одной заявки.
Граф состояний одноканальной замкнутой СМО приведен на рис. 2.13. Модель данной СМО также представляет "схему гибели и размножения".
(рис 2.13) Граф состояний одноканальной замкнутой СМООднако не менее часто модель СМО не сводится к схеме "гибели и размножения". Например, в СМО с конечной надежностью каналов обслуживания.
Построить граф состояний одноканальной СМО с очередью на три заявки и с конечной надежностью каналов обслуживания. При отказе канала обслуживания заявка, находившаяся на обслуживании, теряется. Процессы в системе - марковские.
Описание состояний СМО:
$$S_{0} ... S_{4}$$ - состояния исправной СМО;
$$S^{'}_{0} ... S^{'}_{4}$$ - состояния неисправной СМО.
Обозначения:
$$\lambda$$ - интенсивность поступления заявок;
$$\mu$$ - интенсивность обработки заявки каналом;
$$\nu$$ - интенсивность поломок канала;
$$\eta$$ - интенсивность ремонта неисправного канала.
Граф состояний СМО с конечной надежностью каналов обслуживания приведен на рис. 2.14.
(рис 2.14) Граф состояний СМО с конечной надежностьюЕсли в состоянии $$S_{0}$$ (канал свободен, в
Эта модель не является моделью "гибели и размножения". Поэтому соответствующие вероятности находятся решением
В многоэлементных системах часто целью моделирования является определение средних количеств элементов, находящихся в одинаковых состояниях.
Например, в задаче о пеленгации передатчиков противника командира интересует число запеленгованных передатчиков, а не вероятности пеленгации одного передатчика, двух, трех и т. д. Но чтобы определить среднее число их, надо знать вероятности всех возможных состояний $$p_{i}$$, так как
$$\overline{n} = \sum\limits_{i = 0}^n {{p_{i}*n_{i}}}.$$Но число состояний и, следовательно, число уравнений Колмогорова может оказаться настолько большим, что вызовет непреодолимые трудности при моделировании по схеме марковских процессов.
Например, в соединении имеется 100 радиостанций. Каждая из них может находиться в боевых условиях в пяти состояниях:
$$S_{1}$$ - исправна, работает, не обнаружена;
$$S_{2}$$ - исправна, работает, обнаружена;
$$S_{3}$$ - работоспособна, но подавлена помехами;
$$S_{4}$$ - обнаружена, поражена;
$$S_{5}$$ - находится в ремонте.
Для определения средних численностей каждого из этих состояний пришлось бы составить $$5^{100}$$ уравнений Колмогорова. Очевидно, такое моделирование не годится.
В исследовании операций есть метод, позволяющий успешно решать такие и аналогичные задачи. Этот метод называется метод динамики средних.
Метод динамики средних позволяет непосредственно определять математическое ожидание числа элементов сложной системы, находящихся в одинаковых состояниях.
Метод дает приближенные результаты. Но обладает замечательным свойством: чем больше система имеет элементов и состояний, тем точнее результат математического моделирования.
Для получения расчетных формул метода предположим, что имеем дело с системой, обладающей следующими признаками:
Цель моделирования: определить средние количества элементов (математические ожидания) $$m_{i}(t)$$, находящихся в одинаковых состояниях $$S_{i}$$, и дисперсию $$D_{i}(t)$$.
Схематично такая система может быть представлена так, как показано на рис. 2.15.
Система имеет $$N$$ элементов, а каждый элемент имеет $$n$$ состояний. Численность $$i$$ -го состояния на любой момент времени - величина случайная. Обозначим ее $$x_{i}(t)$$. Матожидание и дисперсия этой случайной величины:
$$m_{i}(t) = M[x_{i}(t)],\;D_{i}(t) = D[x_{i}(t)].$$В дальнейшем для лучшей обозримости формул аргумент $$t$$ писать не будем:
$$m_{i} = M[x_{i}],\;D_{i} = D[x_{i}].$$
(рис 2.15) Схематичное представление системыВведем переменную $$x^k$$ так что:
$$x_{i}^k = \left \{ \begin {array}{ll} 1, \text{если } k\text{-й элемент находится в состоянии } i,\;\text{вероятность } p_{i};\\ 0, \text{если } k\text{-й элемент не находится в состоянии } i,\;\text{вероятность } (1 - p_{i}). \end{array}$$Отсюда следует, что случайная величина $$x_{i}$$ равна:
$$x_{i} = \sum\limits_{k = 1}^{N}{x_{i}^k}.$$В силу однородности элементов и независимости состояний случайная величина $$x_{i}$$ имеет
или окончательно
$$m_{i} = Np_{i},\;D_{i} = Np_{i}(1 - p_{i}) = m_{i}\left ( 1 - \cfrac{m_{i}}{N} \right ).$$Равенство $$m_{i} = Np_{i}$$ связывает вероятность $$i$$ -го состояния элемента в произвольный момент времени с матожиданием численности этих состояний по всем элементам.
Определять значения $$p_{i}$$ для одного элемента мы умеем. Для этого достаточно составить систему уравнений Колмогорова и решить ее.
Вспомним, что система уравнений Колмогорова для одного элемента содержит $$n$$ уравнений, для всех $$N$$ элементов - $$n^N$$, а метод динамики средних в $$n^{N - 1}$$ раз меньше. В этом и состоит выигрыш, который дает применение метода динамики средних.
Порядок моделирования с использованием метода динамики средних заключается в следующем.
Поскольку процессы в элементах - марковские, то справедливы все рассуждения об установившихся значениях $$m_{i}$$, об условиях существования установившихся значений $$m_{i}(t) = m_{i}$$.
Полученные уравнения для $$m_{i}$$ называют уже не уравнениями Колмогорова, а уравнениями динамики средних. Поскольку они получаются из уравнений Колмогорова путем умножения всех членов на постоянное число $$N$$, то их можно писать сразу для средних численностей состояний $$m_{i}$$ по образцу уравнений для вероятностей $$p_{i}$$.
Рассмотрим на примере методику моделирования с использованием метода динамики средних.
Пример 2.8. В части имеются 100 средств связи (СС). СС выходят из строя с интенсивностью $$\lambda_{12}$$. При нахождении СС в неисправном состоянии проводится его диагностика, в результате чего оно может быть отправлено в ремонтное подразделение части (интенсивность отправки $$\lambda_{23}$$ ), либо во внешнее ремонтное подразделение (интенсивность отправки $$\lambda_{24}$$ ), либо списано (интенсивность списания $$\lambda_{c}$$ ). В ремонтном подразделении части СС ремонтируются с интенсивностью $$\lambda_{31}$$, а во внешнем ремонтном подразделении - с интенсивностью $$\lambda_{41}$$. СС части пополняются с интенсивностью $$\lambda_{п}$$, в среднем равной интенсивности списания.
Требуется провести моделирование с целью определения средних численностей каждого состояния СС.
Решение
Система может иметь следующие четыре состояния:
$$S_{1}$$ - СС исправно;
$$S_{2}$$ - СС неисправно, производится диагностика;
$$S_{3}$$ - СС находится на ремонте в ремонтном подразделении части;
$$S_{4}$$ - СС находится на ремонте во внешнем ремонтном подразделении.
Размеченный граф состояний представлен на рис. 2.16.
(рис 2.16) Размеченный граф состояний системы ремонтаКаждое уравнение системы составляется по тому же правилу, что и система дифференциальных уравнений Колмогорова.
$$\left \{ \begin{array}{l} \cfrac{dm_1}{dt} = -\lambda_{12}m_1 + \lambda_{31}m_3 + \lambda_{41}m_4 + \lambda_{11}m_2\\ \cfrac{dm_2}{dt} = -\lambda_{23}m_2 - \lambda_{24}m_2 - \lambda_{c}m_2 + \lambda_{12}m_1\\ \cfrac{dm_3}{dt} = -\lambda_{31}m_3 + \lambda_{23}m_2\\ \cfrac{dm_4}{dt} = -\lambda_{41}m_4 + \lambda_{24}m_2\\ \end{array}$$Численности состояний являются функциями времени, т. е. $$m_{i} = m_{i}(t)$$. В системе дифференциальных уравнений запись упрощена. Выражение для пополняющего члена написано из условия равенства в среднем пополнения и убыли $$\lambda_{c}m_{п} = \lambda_{2}m_{2}$$. Также мы не можем воспользоваться нормировочным условием $$\sum\limits_{i = 1}^4{m_{i}(t)} = 100$$, так как в силу случайного характера списания и пополнения в некоторые моменты времени оно может не выполняться. Общее число СС в части при этом меняется со временем:
$$N\left( t \right) = N + \int\limits_0^t {{\lambda _{п}}\left( t \right)dt} - \int\limits_0^t {{\lambda _{с}}\left( t \right)dt}$$Решить систему ДУ можно методом численного интегрирования, например, Рунге-Кутта, задав начальные значения численностей состояний для момента $$t = 0$$:
$$m_{1}(0) = 100,\;m_{2}(0) = 0,\;m_{3}(0) = 0,\;m_{4}(0) = 0,$$считая интенсивности $$\lambda_{ij},\;\lambda_{c},\;\lambda_{п}$$ известными.
Дисперсия вычисляется по формуле:
$$D_{i} = m_{i}\left [1 - \left ( m_{i} / \sum\limits_{i = 1}^4{m_{i}} \right ) \right ],\;i = \overline{1,4}$$По дисперсии определяется среднеквадратическое отклонение численности состояний $$\sigma_{i} = \sqrt{D_{i}}$$ и находится диапазон возможных значений численности $$S_{i}$$ состояния $$m_{i} \pm 3\sigma_{i}$$.
Метод динамики средних справедлив и для предельных значений численностей состояний. В данной задаче уравнения динамики средних -
Однако прежде чем переходить к этим уравнениям, нужно сначала убедиться, что
Как показывает практика, метод динамики средних вполне приемлем и для немарковских процессов, то есть для произвольных распределений времен нахождения элементов в состояниях $$S_{i}$$.
Хотя в этих случаях мы формально не имеем права написать уравнения динамики средних, однако массовость явления делает вид распределения не очень существенным. Следовательно, при моделировании не следует тратить время на проверку марковости процесса. Чем больше элементов в системе, чем она сложнее, тем точнее она моделируется методом динамики средних.
При большом числе элементов также становится не очень существенным требование однородности элементов.
Теперь попробуем разобраться с требованием, которое мы также ввели ранее - требование независимости элементов.
Применяя метод динамики средних, мы можем встретиться с очень серьезной трудностью. Дело в том, что интенсивности потоков событий, переводящих элементы из одного состояния в другое, могут зависеть от численности состояний. Например, в примере 2.6 интенсивность $$\lambda_{12}$$ зависит от того, сколько в данный момент времени находится СС в состоянии $$S_{2}$$: СС может либо сразу ремонтироваться, либо ожидать очереди ввиду занятости рабочих мест. Численности состояний случайны, следовательно, интенсивности потоков событий тоже случайны и неизвестны. Точное решение в таких ситуациях невозможно, однако вполне приемлемое для практики решение находится с помощью допущения, которое называют "принцип квазирегулярности".
Принцип квазирегулярности состоит в следующем: интенсивности $$\lambda_{i}$$ зависят не от мгновенных значений численности состояний $$x_{i}$$ , а от их средних значений (математических ожиданий) $$m_{i}$$.
Погрешность от этого допущения при моделировании тем меньше, чем ближе к линейной зависимости $$\lambda_{i} = f(m_{i})$$ и чем больше общее количество элементов $$N$$.
На практике проверено, что при $$N = 50 \ldots 100$$ точность моделирования приемлема для инженерных "прикидок", если же функции $$\lambda_{i} = f(mi)$$ близки к линейным, то приемлемые результаты получаются и при $$N = 10$$.
Пример 2.9. Каждый автомат, находящийся на вооружении в воинской части, может находиться в исправном состоянии или ремонтироваться в мастерской части. Если бы каждый неисправный автомат сразу попадал к свободному мастеру, то никаких очередей из автоматов, ожидающих ремонта, не было, и граф состояний автомата имел бы вид, приведенный на рис. 2.17.
Здесь:
$$S_{1}$$ - автомат исправен;
$$S_{2}$$ - автомат неисправен, ремонтируется;
$$\lambda_{1}$$ - интенсивность выхода автомата из строя;
$$\lambda_{2}$$ - интенсивность ремонта автомата одним мастером.
(рис 2.17) Граф состояний автоматаВ этом случае $$\lambda_{1}$$ и $$\lambda_{2}$$ были бы постоянными величинами и, естественно, не зависели от численности состояний. Уравнения динамики средних имели бы вид:
$$\left \{ \begin{array}{l} 0 = - \lambda_{1}m_{1} + \lambda_{2}m_{2};\\ m_1 + m_2 = N; \end{array}$$так как мы полагаем, что процессы наработки на отказ и ремонта - марковские и стационарный режим существует. $$N$$ - общее число автоматов в части.
Уравнение для состояния $$S_{2}$$ не пишем, так как оно линейно зависит от первого.
А теперь предположим, что в мастерской части два мастера и неисправные автоматы могут ожидать ремонта. В этом случае интенсивность переходов из неисправного состояние в исправное зависит от числа автоматов, находящихся в мастерской. Обозначим эту интенсивность $$\tilde{\lambda}_{2}$$. Граф состояний имеет вид (рис. 2.18).
(рис 2.18) Граф состояний автоматаОбщую интенсивность ремонта мастерской обозначим $$\psi(x_{2})$$. График ее показан на рис. 2.19а.
(рис 2.19) Графики \phi(x2) и \lambda 2При $$x_{2} = 2$$ интенсивность $$\phi(2)$$ максимальна, так как работают оба мастера. При дальнейшем увеличении $$x_{2}$$ интенсивность $$\phi(2)$$ возрастать не может.
Очевидно, интенсивность ремонта, приходящаяся на один автомат, находящийся в мастерской:
$$\tilde{\lambda}_2 = \cfrac{\phi(x_2)}{x_2}\;.$$График зависимости $$\tilde{\lambda}_{2}$$ от $$х_{2}$$ показан на рис. 2.19б.
Применим принцип квазирегулярности, то есть будем считать, что $$\tilde{\lambda}_{2}$$ зависит не от случайных численностей $$х_{2}$$, а от среднего значения (матожидания) $$m_{2}$$. Тогда:
$$\tilde{\lambda}_2 = \cfrac{\phi(m_2)}{m_2}$$и уравнения динамики средних примут вид:
$$\left \{ \begin{array}{l} 0 = - \lambda_{1}m_{1} + \cfrac{\phi(m_2)}{m_2}\;m_{2};\\ m_1 + m_2 = N. \end{array}$$Зависимость $$\phi(m_{2})$$ задана рис. 2.19б.
Пример 2.10. Вернемся к задаче о пеленгации передатчиков противника. Поскольку целью ее решения являлось определение среднего числа запеленгованных передатчиков, то возможно применение метода динамики средних. Обозначим:
$$S_{1}$$ - состояние "передатчик запеленгован";
$$x$$ - случайная численность состояния $$S_{1}$$;
$$S_{2}$$ - состояние "передатчик потерян";
$$\lambda$$ - интенсивность обнаружения частоты передатчика противника одним оператором;
$$\mu$$ - интенсивность потерь слежения запеленгованного передатчика противника;
$$(M - x)$$ - текущее число операторов, ведущих поиск;
$$(M - x)\lambda$$ - интенсивность обнаружения всеми операторами одного передатчика;
$$(N - x)$$ - число не захваченных частот передатчиков, находящихся в состоянии $$S_{2}$$.
Граф состояний одного передатчика приведен на рис. 2.20. Заменим, в соответствии с принципом квазирегулярности, случайную численность обнаруженных передатчиков $$x$$ на среднее значение $$\overline{n}$$ и, учитывая наличие стационарности, запишем уравнение динамики средних:
$$0 = - \mu\overline{n} + (M - \overline{n})(N - \overline{n})\lambda.$$
(рис 2.20) Граф состояний передатчикаУравнения динамики средних могут быть нелинейными и, следовательно, решение будет не единственным. В таких случаях берется то решение, которое не противоречит смыслу задачи.
Для упрощения расчетов положим $$M = N = 10;\;\lambda = \mu$$. В этом случае уравнение принимает вид:
$$\overline{n}^2 - 21\overline{n} + 100 = 0.$$Его решение $$\overline{n} = 10,5 - \sqrt{\cfrac{21^2}{4} - 100} = 7,3$$ передатчика (знак плюс перед корнем отбрасываем, так как в этом случае корень будет равен 13,7, что бессмысленно). Решение этого примера с помощью уравнений Колмогорова дает ответ $$\overline{n} = 7,43$$. Расхождение в 2,5 % объясняется малочисленностью группировок $$M$$ и $$N$$. Впрочем, полученный результат может быть вполне приемлемым.
Приемлемая по точности математическая модель такой сложной системы как бой невозможна из-за наличия неопределенных и неформализуемых факторов и уникальных ситуаций. Однако, приблизительные частные модели возможны и целесообразны для количественного обоснования некоторых решений, оценки обстановки, прогнозирования результатов решений и др.
Рассмотрим некоторые элементарные модели боя.
Постановка задачи
Две группировки А и Б ведут бой. В составе группировок А и Б $$N_{1}$$ и $$N_{2}$$ боевых единиц со скорострельностями $$\lambda_{1}$$ и $$\lambda_{2}$$ и вероятностями поражения цели при одном выстреле $$P_{1}$$ и $$P_{2}$$ соответственно. Каждая группировка однородна, но не обязательно группировки однородны между собой. Например, бой танков с танками, танков с противотанковыми средствами, истребителей с бомбардировщиками и т. п.
Высокоорганизованным боем называют бой с полной информацией, а именно:
При этих допущениях процесс динамики боя двух группировок может рассматриваться как случайный марковский процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем, для которого могут быть получены уравнения динамики средних, позволяющие определить для любого момента времени средние численности сторон.
Цель моделирования. Прогнозирование средних количеств пораженных и непораженных боевых единиц каждой группировки на любой момент времени.
Каждое средство противоборствующих сторон А и Б может находиться в одном из двух состояний соответственно:
$$S_{1}(S_{2})$$ - не поражено;
$$S^{'}_{1}(S^{'}_{2})$$ - поражено.
Графы состояний для каждой группировки элементарны (рис. 2.21).
(рис 2.21) Граф состояний противоборствующих сторонИнтенсивность $$\tilde{\lambda}_{2}$$ - интенсивность потока поражающих выстрелов стороны Б, приходящихся на одну боевую единицу стороны А, то есть переводящих ее из состояния $$S_{1}$$ в состояние $$S^{'}_{1}$$.
Аналогичные рассуждения объясняют $$\tilde{\lambda}_{1}$$. Очевидно, для начального состояния ( $$t = 0$$ ):
$$\tilde{\lambda}_{2} = \cfrac{\lambda_2 N_2 P_2}{N_1};\; \tilde{\lambda}_{1} = \cfrac{\lambda_1 N_1 P_1}{N_2}.$$В ходе боя численности боеспособных единиц сторон будут случайным образом изменяться (уменьшаться, так как пополнение средств поражения сторон мы пока не рассматриваем). Обозначим эти случайные численности каждой стороны $$x_{1}(t)$$ и $$x_{2}(t)$$ соответственно. Тогда:
$$\tilde{\lambda}_{2} = \cfrac{\lambda_2 P_2 x_2(t)}{x_1(t)}; \tilde{\lambda}_{1} = \cfrac{\lambda_1 P_1 x_1(t)}{x_2(t)}.$$Зависимость $$\lambda_{2}(t)$$ и $$\lambda_{1}(t)$$ от случайных значений $$x_{2}(t)$$ и $$x_{1}(t)$$ делает аналитическое решение задачи практически невозможным. Поэтому, используя принцип квазирегулярности, заменим $$x_{2}(t)$$ и $$x_{1}(t)$$ их матожиданиями $$m_{2}(t)$$ и $$m_{1}(t)$$.
Заметим, что $$m_{1}(t)$$ и $$m_{2}(t)$$ являются целью моделирования.
После замены выражения для $$\tilde{\lambda}_{2}$$ и $$\tilde{\lambda}_{1}$$ принимают вид:
$$\tilde{\lambda}_{2} = \cfrac{\lambda_2 P_2 m_2(t)}{m_1(t)};\; \tilde{\lambda}_{1} = \cfrac{\lambda_1 P_1 m_1(t)}{m_2(t)}.$$Запишем уравнения динамики средних для состояний $$S_{1}$$ и $$S_{2}$$:
$$\left \{ \begin{array}{l} \cfrac{dm_1(t)}{dt} = - \cfrac{\lambda_2 P_2 m_2(t)}{m_1(t)} \cdot m_1(t);\\ \cfrac{dm_2(t)}{dt} = - \cfrac{\lambda_1 P_1 m_1(t)}{m_2(t)} \cdot m_2(t).\\ \end{array}$$Для состояний $$S^{'}_{1}$$ и $$S^{'}_{2}$$ уравнения не нужны, так как средние численности этих состояний $$m^{'}_{1}(t)$$ и $$m^{'}_{2}(t)$$ однозначно связаны с $$m_{1}(t)$$ и $$m_{2}(t)$$:
$$m_{1}(t) + m^{'}_{1}(t) = N_{1};\; m_{2}(t) + m^{'}_{2}(t) = N_{2}.$$После очевидного упрощения уравнения динамики средних принимают вид:
$$$\begin{array}{*{20}{l}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\cfrac{{d{m_1}\left( t \right)}}{{dt}} = - {\lambda _2}{P_2}{m_2}\left( t \right);} \\ {\cfrac{{d{m_2}\left( t \right)}}{{dt}} = - {\lambda _1}{P_1}{m_1}\left( t \right).} \end{array}} \right.}{\left( {2.3} \right)} \end{array}$$$Здесь и далее для лучшей обозримости аргумент $$t$$ в $$m_{1}(t)$$ и $$m_{2}(t)$$ опустим.
Систему уравнений (2.3) обычно называют уравнениями динамики боя, иногда - уравнениями Ланчестера. Ланчестер - полковник английской армии времен первой мировой войны. Именно он предложил излагаемые подходы формализации боевых действий.
Искомые численности сторон $$m_{1}$$ и $$m_{2}$$ находятся интегрированием системы (2.3) при начальных условиях:
$$t = 0,\; m_{1} = N_{1},\; m_{2} = N_{2}.$$Решение имеет вид:
$$$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{m_1} = {N_1}\operatorname{ch} \left( {\sqrt {{\lambda _1}{P_1}{\lambda _2}{P_2}} \cdot t} \right) - {N_2}\sqrt {\cfrac{{{\lambda _2}{P_2}}}{{{\lambda _1}{P_1}}}} \operatorname{sh} \left( {\sqrt {{\lambda _1}{P_1}{\lambda _2}{P_2}} \cdot t} \right);} \\ {{m_2} = {N_2}\operatorname{ch} \left( {\sqrt {{\lambda _1}{P_1}{\lambda _2}{P_2}} \cdot t} \right) - {N_1}\sqrt {\cfrac{{{\lambda _1}{P_1}}}{{{\lambda _2}{P_2}}}} \operatorname{sh} \left( {\sqrt {{\lambda _1}{P_1}{\lambda _2}{P_2}} \cdot t} \right).} \end{array}} \right.$$$Для лучшей обозримости введем обозначения:
$$\Lambda_{1} = \lambda_{1} P_{1}$$ - эффективная скорострельность стороны А;
$$\Lambda_{2} = \lambda_{2} P_{2}$$ - эффективная скорострельность стороны Б.
Эффективные скорострельности характеризуют плотности потоков успешных выстрелов соответствующей стороны.
$$\mu_{1} = \cfrac{m_1}{N_1}$$ - доля боеспособных единиц стороны А;
$$\mu_{2} = \cfrac{m_2}{N_2}$$ - доля боеспособных единиц стороны Б;
$$\chi = \cfrac{N_1\sqrt{\Lambda_1}}{N_2\sqrt{\Lambda_2}}$$ - коэффициент преимущества стороны А над стороной Б;
$$\tilde{t} = \sqrt{\Lambda_1\Lambda_2}\cdot t$$ - приведенное время.
С учетом этих обозначений решение модели высокоорганизованного боя выглядит так:
$$$\begin{array}{*{20}{l}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\mu _1} = \operatorname{ch} \tilde t - \cfrac{1}{\chi }\operatorname{sh} \tilde t;} \\ {{\mu _2} = \operatorname{ch} \tilde t - \chi \operatorname{sh} \tilde t.} \end{array}} \right.}{\left( {2.4} \right)} \end{array}$$$Графически варианты решений модели в зависимости от коэффициента превосходства представлены на рис. 2.22.
(рис 2.22) Графики решений уравнений динамики среднихИз формул видно, что убывание численности группировок в большей мере зависит от соотношения сил $$N_{2} / N_{1}$$, чем от соотношения эффективных скорострельностей $$\Lambda_{2} / \Lambda_{1}$$: первое отношение входит в формулы непосредственно, а второе - под знаком корня. Увеличение начальной численности $$N_{1}$$ в два раза удваивает параметр $$\chi$$, тогда как удвоение $$\Lambda_{1}$$ увеличивает $$\chi$$ только в $$\sqrt{2} = 1,4$$ раза. Поэтому повышение скорострельности менее выгодно.
В рамках данной модели при $$\chi > 1$$ выигрывает бой сторона А, при $$\chi < 1$$ - сторона Б.
Кривые $$\mu = f(\tilde{t})$$ на рис. 2.22 оборваны до достижения нуля, так как при малочисленных группировках метод динамики средних дает большие ошибки.
Если силы сторон равны ( $$\chi = 1$$ ), то динамика сохранения сил сторон одинакова; $$\mu_1 = \mu_{2}$$ в любой момент боя. Бой будет продолжаться до определенного уровня истощения сил, после чего неизбежны попытки политического решения конфликта.
В рамках этой модели бой заканчивается разгромом слабой стороны тем быстрее, чем больше превосходство другой. Победа в этой модели достигается числом, не уменьем. Не учитывается опыт, способности командиров, обученность личного состава. Впрочем, параметр $$P$$ косвенно учитывает обученность экипажей средств поражения.
Пример 2.11. Группировка, в составе которой 270 противотанковых средств (ПТС), находится в обороне. Скорострельность каждого ПТС 6 выстр./мин, вероятность поражения одним ПТС одного танка равна 0,3. Скорострельность танка 4 выстр./мин, вероятность поражения одним танком одного ПТС 0,25 при коэффициенте превосходства 1,2.
Спрогнозировать, сколько нужно танков, чтобы прорвать оборону при полном уничтожении ПТС группировки.
Решение
Известно, что
$$\chi = \cfrac{N_1\sqrt{\Lambda_1}}{N_2\sqrt{\Lambda_2}};$$откуда
$$N_1 = \cfrac{N_2\chi}{\cfrac{\sqrt{\Lambda_1}}{\sqrt{\Lambda_2}}} = \cfrac{270*1,2}{\cfrac{\sqrt{4*0,25}}{\sqrt{6*0,3}}} = 440.$$Заметим, коэффициент преимущества $$\chi$$ не имеет иного смысла, кроме упрощения формул для вычисления $$\mu_{1}$$ и $$\mu_{2}$$. Поэтому результаты расчетов не имеют оперативно-тактического обоснования.
Задача 2.12. Сторона А имеет 30 огневых средств со скорострельностью каждого 5 выстр./мин и вероятностью поражения 0,2. Сторона Б имеет 40 огневых средств со скорострельностью каждого 4 выстр./мин и вероятностью поражения 0,3.
Провести расчеты для прогноза исхода боя, времени его окончания и количества сохранившихся огневых средств у победившей стороны.
Решение
Исходные данные
$$N_{1} = 30,\; \lambda_1 = 5 \ выстр./мин,\; P_{1} = 0,2;\\ N_{2} = 40,\; \lambda_1 = 4 \ выстр./мин,\; P_{1} = 0,3.$$Прогнозирование исхода боя
Составим соотношения превосходства сторон:
$$\chi_{12} = \cfrac{N_1}{N_2}\sqrt{\cfrac{\lambda_1 P_1}{\lambda_2 P_2}} = \cfrac{30}{40}\sqrt{\cfrac{5*0,2}{4*0,3}} = 0,68;\; \chi_{21} = \cfrac{1}{\chi_{12}} = \cfrac{1}{0,68}=1,46.$$Так как $$\chi_{21} > \chi_{12}$$, то преимущество будет у стороны Б, то есть победить должна сторона Б.
Прогнозирование времени окончания боя
Бой продолжается до полной победы, то есть $$\mu_1 = 0$$ или из (2.4)
$$$\begin{array}{*{20}{l}} {{\mu _1} = \operatorname{ch} \tilde t - {\chi _{21}}\operatorname{sh} \tilde t = 0.}{\left( {2.5} \right)} \end{array}$$$Учтем, что $${\operatorname{ch} ^2}\tilde t - {\operatorname{sh} ^2}\tilde t = 1$$, откуда
$$$\begin{array}{*{20}{l}} {{{\operatorname{ch} }^2}\tilde t = 1 + {{\operatorname{sh} }^2}\tilde t.}{\left( {2.6} \right)} \end{array}$$$С другой стороны, из (2.5) $$\operatorname{ch} \tilde t = {\chi _{21}}\operatorname{sh} \tilde t$$.
Из выражений (2.5) и (2.6) имеем:
$$$\begin{array}{*{20}{l}} {1 + {{\operatorname{sh} }^2}\tilde t = \chi _{21}^2{{\operatorname{sh} }^2}\tilde t,\;1 = {{\operatorname{sh} }^2}\tilde t(\chi _{21}^2 - 1),\;{{\operatorname{sh} }^2}\tilde t = \cfrac{1}{{\chi _{21}^2 - 1}},} \\ {\operatorname{sh} \tilde t = \sqrt {\cfrac{1}{{\chi _{21}^2 - 1}}} ,\;\tilde t = \operatorname{arcsh} \sqrt {\cfrac{1}{{\chi _{21}^2 - 1}}} .} \end{array}$$$Так как $$\tilde{t} = \sqrt{P_1\lambda_1 P_2\lambda_2}t$$, то $$t = \cfrac{\operatorname{arcsh}\sqrt{\cfrac{1}{\chi^2_{21} - 1}}}{\sqrt{P_1\lambda_1 P_2\lambda_2}}$$.
$$t = \cfrac{\operatorname{arcsh}\sqrt{\cfrac{1}{1,46^2 - 1}}}{\sqrt{5*0,2*4*0,3}} = \cfrac{\operatorname{arcsh} 0,94}{\sqrt{1,2}} = \cfrac{0,84}{1,095} = 0,767.$$Определение количества огневых средств, сохранившихся у стороны Б
$$\mu_2 = \ch\tilde{t} - \cfrac{1}{\chi_{21}}\sh\tilde{t}.$$Так как из выражения (2.5) $$\ch\tilde{t} = \chi_{21}\sh\tilde{t}$$, то
$$$\begin{array}{*{20}{l}} {{\mu _2} = \left( {{\chi _{21}} - \cfrac{1}{{{\chi _{21}}}}} \right)\operatorname{sh} \tilde t = ({\chi _{21}} - {\chi _{12}})\operatorname{sh} \tilde t = } \\ { = (1,46 - 0,68)\operatorname{sh} \tilde t = 0,78*0,94 = 0,73.} \end{array}$$$Теперь $$m_{2} = \mu_{2}N_{2} = 0,73*40 = 29,2$$.
К концу боя у стороны Б останется от 29 до 30 огневых средств, тогда как огневые средства стороны А будут полностью уничтожены.
Приведенные результаты прогноза исхода боя двух группировок являются приблизительными, оценочными, так как при малых количествах огневых средств ( $$\mu_1 \to 0$$ ) метод динамики средних, лежащий в основе уравнений динамики боя, может давать существенные ошибки.
В ходе боя противоборствующие стороны могут вводить резервы. Пусть сторона А вводит резерв $$R_{1}$$ в момент времени $$t_{1}$$, сторона Б - резерв $$R_{2}$$ в момент времени $$t_{2}$$. Такую ситуацию можно наглядно представить диаграммой (рис. 2.23).
Весь интервал исследования содержит три подинтервала, так в сумме резервы обеими сторонами вводятся три раза.
(рис 2.23) Иллюстрация к пополнению группировок
Предположим, что одна из сторон, например, сторона А, ведет огонь в то время, когда сторона Б еще не в состоянии ответить. Представим эту ситуацию диаграммой (рис. 2.24).
Цель моделирования также состоит в определении $$m_{1}$$ и $$m_{2}$$ на любой момент противоборства сторон. Как и в предыдущем случае, решение находится по частям для каждого характерного временного промежутка. Здесь их два.
Значения $$m_{2}$$ находят интегрированием при начальном условии $$m_{1} = N_{1}$$.
(рис 2.24) Иллюстрация к упреждению удара
Боевые единицы двух противоборствующих сторон распределены случайно (для противоположной стороны) на площадях $$S_{1}$$ и $$S_{2}$$. Каждая боевая единица занимает некоторую площадь - позицию, величина которой $$\sigma_{1}$$ и $$\sigma_{2}$$ у сторон А и Б соответственно. Цель уничтожается при попадании заряда в площадь цели.
Схематично такое противоборство показано на рис. 2.25.
Как и в предыдущих случаях, $$N_{1}$$ и $$N_{2}$$ - первоначальные численности боевых единиц, скорострельности боевых единиц $$\lambda_{1}$$ и $$\lambda_{2}$$, вероятности поражения одним выстрелом - $$P_{1}$$ и $$P_{2}$$ сторон А и Б соответственно.
Огонь по площадям $$S_{1}$$ и $$S_{2}$$ ведется неприцельно.
(рис 2.25) Иллюстрация к модели боя с неполной информациейЦель моделирования - определение среднего числа непораженных целей $$m_{1}$$ и $$m_{2}$$ на каждый момент времени ведения огня.
Уравнения динамики боя соответствуют уравнениям динамики средних (2.3). Однако, в отличие от высокоорганизованного боя, вероятности $$P_{1}$$ и $$P_{2}$$ зависят от числа непораженных целей $$m_{1}$$ и $$m_2$$:
$$P_1 = \cfrac{\sigma_2 m_2}{S_2};\;P_2 = \cfrac{\sigma_1 m_1}{S_1}.$$Следовательно, уравнения имеют вид:
$$\left \{ \begin{array}{l} \cfrac{dm_1}{dt} = - \lambda_2\cfrac{\sigma_1 m_1}{S_1}m_2;\\ \cfrac{dm_2}{dt} = - \lambda_1\cfrac{\sigma_2 m_2}{S_2}m_1. \end{array}$$Начальные условия для интегрирования: $$m_{1} = N_{1}$$ и $$m_{2} = N_{2}$$.
Если площади целей различны ( $$\sigma_{1i};\;\sigma_{2j}$$ ), то в уравнениях очевидны замены:
$$\sigma_{1}\cdot m_{1} \to \sum\limits_{i = 1}^{m_1}\sigma_{1i};\;\sigma_{2}\cdot m_{2} \to \sum\limits_{j = 1}^{m_2}\sigma_{2j}.$$Такая ситуация возможна при плохой разведке, связи, управлении огнем.
Пусть $$m_{1}$$ - время запаздывания открытия огня стороной А, $$m_{2}$$ - стороной Б. Тогда интенсивности потоков поражающих выстрелов сторон, приходящихся на одну цель, равны:
$$\tilde{\lambda}_1 = \cfrac{\lambda_1 P_1 m_1(t)}{m_2(t - \tau_1)};\;\tilde{\lambda}_2 = \cfrac{\lambda_2 P_2 m_2(t)}{m_1(t - \tau_2)}.$$Уравнения динамики боя принимают вид:
$$\left \{ \begin{array}{l} \cfrac{dm_1}{dt} = \cfrac{\lambda_1 P_1 m_1(t)}{m_2(t - \tau_1)}m_1(t),\; m_1(0)=N_1;\\ \cfrac{dm_2}{dt} = \cfrac{\lambda_2 P_2 m_2(t)}{m_1(t - \tau_2)}m_2(t),\; m_2(0)=N_2. \end{array}$$На рис. 2.26 в момент времени $$t$$ действительные значения боеспособных средств сторон равны $$m_{1}(t)$$ и $$m_{2}(t)$$. Но в это время сторона А ведет огонь по целям, разведанным ранее, в момент времени $$t - \tau_{1}$$; сторона Б - по целям, разведанным в момент времени $$t - \tau_{2}$$.
(рис 2.26) Иллюстрация к учету запаздывания в переносе и открытии огняЦенность рассмотренных моделей противоборства сторон в функциональном плане всегда ограничена - об этом было сказано в начале п. 2.8. Но они, бесспорно, расширяют наши представления о приемах и подходах к аналитическому моделированию сложных процессов.
Во многих случаях модель может быть представлена в виде конструкций из математических символов. В первой теме такие модели мы назвали аналитическими, чтобы отделить от других математических моделей - имитационных. С развитием последних область применения аналитических моделей сократилась. Однако актуальность такого моделирования сохраняется для систем, особенно тех, в которых протекают так называемые процессы без последействия. Процессы без последействия находят место при функционировании многих технических систем. Впервые один из типов такого процесса ввел в научный обиход и исследовал отечественный математик А. А. Марков, поэтому процессы без последействия и системы, в которых они протекают, названы марковскими, а один из типов такого процесса назван цепью Маркова. В настоящее время теория марковских процессов разработана широко и детально, в основном, благодаря отечественным ученым А. Я. Хинчину, Б. В. Гнеденко, А. Н. Колмогорову и другим. Популярность этой теории состоит еще и в том, что она может быть применена и к системам с последействием, которые с помощью некоторых ухищрений можно трактовать как марковские.
В этой теме рассматриваются элементы теории марковских процессов и ряд аналитических моделей, в основе которых лежит допущение о марковости протекающих в моделируемых объектах процессов. К таковым, в первую очередь, относится широкий класс самых разнообразных объектов, имеющих общее название систем массового обслуживания (СМО). Для ряда стандартных структур СМО аналитические модели, связывающие показатели эффективности СМО с характеристиками элементов СМО, приведены в соответствующих справочниках. Здесь же приводятся классификация СМО и приемы построения графов состояний СМО, позволяющих строить или применять готовые аналитические модели.
Заметим, что для ряда современных сложных СМО аналитическое моделирование неприемлемо в силу недостаточности адекватных математических средств. В этих случаях следует применять имитационное моделирование, которое детально рассматривается в следующих темах.
В многоэлементных системах с большим числом состояний аналитическое моделирование на основе теории марковских процессов становится весьма громоздким. В этом случае используется так называемый метод динамики средних, который в основе имеет также марковость процесса. Этот метод существенно упрощает аналитическое моделирование для случаев определения средних характеристик состояний моделируемой системы. В этой теме дано обоснование метода и приводятся примеры его применения.
Наиболее полное исследование процесса функционирования систем получается, если известны явные математические зависимости, связывающие искомые показатели с начальными условиями, параметрами и переменными исследуемой системы. Для многих современных систем, являющихся объектами моделирования, такие математические зависимости отсутствуют или малопригодны, и следует применять другое моделирование, как правило, имитационное.
Однако есть ряд конкретных математических схем, проверенных практикой и доказавших эффективность моделированием. Целью изучения настоящей темы является освоение таких математических моделей.
В инженерной практике часто возникает задача моделирования процессов случайной смены состояний в исследуемом объекте. В рамках нашей профессии нас интересуют дискретные состояния. Например, техническое состояние объекта может характеризоваться дискретными состояниями: исправен - неисправен, загружен - находится в простое и т. п. Численности боевых средств противоборствующих сторон изменяются дискретно, очереди объектов, ожидающих обслуживания, и многое другое.
Вид очередного состояния может определяться случайным образом, смена состояний может происходить в случайные или не случайные моменты времени.
Большой класс случайных процессов составляют процессы без последействия, которые в математике называют марковскими процессами в честь Андрея Андреевича Маркова - старшего (1856-1922), выдающегося русского математика, разработавшего основы теории таких процессов.
Сущность процесса без последействия понятна из определения.
Случайный процесс называется марковским, если вероятность перехода системы в новое состояние зависит только от состояния системы в настоящий момент и не зависит от того, когда и каким образом система перешла в это состояние.
Практически любой случайный процесс является марковским или может быть сведен к марковскому. В последнем случае достаточно в понятие состояния включить всю предысторию смен состояний системы.
А. А. Марков имеет дополнение к фамилии "старший" потому, что его сын - тоже Андрей Андреевич Марков - выдающийся математик, специалист в области теории алгоритмов и др.
А. А. Марков - старший известен также как давший вероятностное обоснование метода наименьших квадратов, приведший одно из доказательств предельной теоремы теории вероятностей и многое другое.
Дальнейшее развитие теория марковских процессов получила в работах выдающегося отечественного математика Андрея Николаевича Колмогорова.
Марковские процессы делятся на два класса:
Дискретной марковской цепью называется случайный процесс, при котором смена дискретных состояний происходит в определенные моменты времени.
Непрерывным марковским процессом называется случайный процесс, при котором смена дискретных состояний происходит в случайные моменты времени.
Итак, моделирование на основе дискретных марковских процессов.
Рассмотрим ситуацию, когда моделируемый процесс обладает следующими особенностями.
Система $$S$$ имеет $$n$$ возможных состояний: $$S_1$$, $$S_2$$, ..., $$S_n$$. Вообще говоря, число состояний может быть бесконечным. Однако модель, как правило, строится для конечного числа состояний.
Смена состояний происходит, будем считать, мгновенно и в строго определенные моменты времени $$t_{l}, l = 1, 2, ...$$ В дальнейшем будем называть временные точки $$t_{l}$$ шагами.
Известны вероятности перехода $$p_{ij}$$ системы за один шаг из состояния $$S_{i}$$ в состояние $$S_{j}$$.
Цель моделирования: определить вероятности состояний системы после $$k$$ -го шага.
Обозначим эти вероятности $$p_{j}(k), j = \overline{1,n}$$ (не путать с вероятностями $$p_{ij}$$).
Если в системе отсутствует последействие, то есть вероятности $$p_{ij}$$ не зависят от предыстории нахождения системы в состоянии $$S_{i}$$, а определяются только этим состоянием, то описанная ситуация соответствует модели дискретной марковской цепи.
Марковская цепь называется однородной, если переходные вероятности $$p_{ij}$$ от времени не зависят, то есть от шага к шагу не меняются. В противном случае, то есть если переходные вероятности $$p_{ij}(t)$$ зависят от времени, марковская цепь называется неоднородной.
Значения $$p_{ij}$$ обычно сводятся в матрицу
Значения $$p_{ij}$$ могут также указываться на графе состояний системы. На рис. 2.1 показан размеченный граф для четырех состояний системы. Обычно вероятности переходов "в себя" - $$p_{11}$$, $$p_{22}$$ и т. д. на графе состояний можно не проставлять, так как их значения дополняют до 1 сумму
Не указываются также нулевые вероятности переходов. Например, на рис. 2.1 это вероятности $$p_{21}$$, $$p_{43}$$ и др.
Математической моделью нахождения вероятностей состояний однородной марковской цепи является рекуррентная зависимость
$$$\begin{array}{*{20}{l}} {{p_j}\left( k \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {{p_i}\left( {k - 1} \right)} {p_{ij}},}{\left( {2.1} \right)} \end{array}$$$где $$p_{j}(k)$$ - вероятность $$j$$ -го состояния системы после $$k$$ -го шага, $$j = \overline{1,n}$$;
$$p_{i}(k-1)$$ - вероятность $$i$$ -го состояния системы после $$(k-1)$$ -го шага, $$i = \overline{1,n}$$;
$$n$$ - число состояний системы;
$$p_{ij}$$ - переходные вероятности.
(рис 2.1) Размеченный граф состояний системыДля неоднородной марковской цепи вероятности состояний системы находятся по формуле:
$$p_{j}(k) = \sum_{i = 1}^n{p_{i}(k - 1)}p_{ij}^{(k)},$$где $$p_{ij}^{(k)}$$ - значения
Пример 2.1. По группе из четырех объектов производится три последовательных выстрела. Найти вероятности состояний группы объектов после третьего выстрела.
Матрица
Размеченный граф состояний приведен на рис. 2.2.
(рис 2.2) Размеченный граф состояний четырех объектовПрежде чем приступить к вычислениям, необходимо ответить на следующие вопросы.
Следовательно, есть все основания для применения ранее введенного рекуррентного выражения (2.1).
Решение. Так как до первого выстрела все объекты целы, то $$p_1(0) = 1$$.
После первого выстрела все значения вероятностей $$p_{j}(1)$$ соответствуют первой строке матрицы
Сформулируем методику моделирования по схеме дискретных марковских процессов (марковских цепей).
Определение свойства зависит от цели исследования. Например, если исследуется объект с целью получения характеристик надежности, то в качестве свойства следует выбрать исправность. Если исследуется загрузка системы, то - занятость. Если, как в примере 2.1, состояния объектов, то - поражен или непоражен.
В рамках изложенной методики моделирования исчерпывающей характеристикой поведения системы является совокупность вероятностей $$p_{j}(k)$$.
При неоднородном марковском процессе переходная вероятность $$p_{ij}$$ представляет собой условную вероятность перехода
$$$p_{ij}^{\left( k \right)} = p\left( {{{S_{j}^{\left( k \right)}} \mathord{\left/ {\vphantom {{S_{j}^{\left( k \right)}} {S_{i}^{\left( k \right)}}}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {S_{i}^{\left( k \right)}}}} \right)$$$, зависящую от $$k$$ - очередного временного шага. В этом случае должны быть указаны более одной матрицы значений $$p_{ij}$$ (для некоторых шагов матрицы могут быть одинаковыми).
Например, при нанесении ударов по объектам, которые могут перемещаться (танковая группировка, корабли и т. п.), последние будут принимать меры по рассредоточению средств или другому защитному маневру, вплоть до активного противодействия атакующей стороне. Очевидно, все эти меры приведут к уменьшению поражающих возможностей стороны, наносящей удары, т. е. к соответствующему изменению
Существует широкий класс систем, которые меняют свои состояния в случайные моменты времени $$t$$. Как и в предыдущем случае, в этих системах рассматривается процесс с дискретными состояниями $$S_{1},S_{2},...,S_{n}$$. Например, переход объекта от исправного состояния к неисправному, соотношение сил сторон в ходе боя и т. п. Оценка эффективности таких систем определяется с помощью вероятностей каждого состояния $$p_{i}(t)$$ на любой момент времени $$t$$, $$i = \overline{1,n}$$.
Чтобы определить вероятности состояния системы $$p_{i}(t)$$ для любого момента времени $$t$$ необходимо воспользоваться математическими моделями марковских процессов с непрерывным временем (непрерывных марковских процессов).
При моделировании состояния систем с непрерывными марковскими процессами мы уже не можем воспользоваться переходными вероятностями $$p_{i}$$, так как вероятность "перескока" системы из одного состояния в другое точно в момент времени $$t$$ равна нулю (как вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины).
Поэтому вместо
где $$p_{ij} (\Delta t)$$ - вероятность того, что система, находившаяся в момент времени $$t$$ в состоянии $$S_{i}$$ за время $$\Delta t$$ перейдет в состояние $$S_{j}$$.
С точностью до бесконечно малых второго порядка из приведенной формулы можно представить:
$$p_{ij} (\Delta t) \approx \lambda_{ij} \cdot \Delta t$$Непрерывный марковский процесс называется однородным,если плотности
Целью моделирования, как и в случае дискретных процессов, является определение вероятностей состояний системы $$p_{i}(t)$$. Эти вероятности находятся интегрированием системы дифференциальных уравнений Колмогорова.
Сформулируем методику моделирования по схеме непрерывных марковских процессов.
Пример 2.2. Составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова для нахождения вероятностей состояний системы, размеченный граф состояний которой представлен на рис. 2.3.
(рис 2.3) Размеченный граф состоянийРешение
$$\left \{ \begin {array} {l} \cfrac{dp_1(t)}{dt} = \lambda_{31}p_3(t) - \lambda_{13}p_1(t) - \lambda_{12}p_1(t) \\ \cfrac{dp_2(t)}{dt} = \lambda_{12}p_1(t) + \lambda_{32}p_3(t) - \lambda_{23}p_2(t) \\ \cfrac{dp_3(t)}{dt} = \lambda_{13}p_1(t) + \lambda_{23}p_2(t) - \lambda_{31}p_3(t) - \lambda_{32}p_3(t) \end {array}$$Очевидно, $$p_{1}(t) + p_{2}(t) + p_{3}(t) = 1$$.
Поэтому любое из первых трех уравнений можно исключить, как линейно зависимое.
Для решения уравнений Колмогорова необходимо задать начальные условия. Для рассмотренного примера 2.2, можно задать такие начальные условия: $$p_{1}(0) = 1$$, $$p_{2}(0) = p_{3}(0) = 0$$.
Однородный марковский процесс с непрерывным временем можно трактовать как процесс смены состояний под влиянием некоторого потока событий. То есть плотность вероятности перехода можно трактовать как интенсивность потока событий, переводящих систему из $$i$$ -го состояния в $$j$$ -е. Такими потоками событий являются отказы техники, вызовы на телефонной станции, рождение и т. п.
При исследовании сложных объектов всегда интересует: возможен ли в исследуемой системе установившейся (стационарный) режим? То есть, как ведет себя система при $$k \to\infty(t \to\infty )$$? Существуют ли предельные значения $$p_{j}(k), p_{i}(t)$$? Как правило, именно эти предельные значения интересуют исследователя.
Ответ на данный вопрос дает теорема Маркова.
Если для однородного дискретного марковского процесса с конечным или счетным числом состояний все $$p_{ij} \succ 0$$, то предельные значения $$p_{j}(k)$$ существуют и их значения не зависят от выбранного начального состояния системы.
Применительно к непрерывным марковским процессам теорема Маркова трактуется так: если процесс однородный и из каждого состояния возможен переход за конечное время в любое другое состояние и число состояний счетно или конечно, то предельные значения $$p_{i}(t)$$ существуют и их значения не зависят от выбранного начального состояния.
Например (рис. 2.4), в системе А стационарный режим есть, а в системе В стационарного режима нет: если система окажется в состоянии $$S_{4}$$ она не сможет перейти ни в какое другое состояние.
(рис 2.4) Примеры графов состояний систем с различными режимамиЧасто в системах самого различного назначения протекают процессы, которые можно представить в виде модели "гибели и размножения".
Граф состояний такого процесса показан на рис. 2.5.
(рис 2.5) Схема "гибели и размножения"Особенностью модели является наличие прямой и обратной связей с каждым соседним состоянием для всех средних состояний; первое и последнее (крайние) состояния связаны только с одним "соседом" (с последующим и предыдущим состояниями соответственно).
Название модели - "гибель и размножение" - связано с представлением, что стрелки вправо означают переход к состояниям, связанным с ростом номера состояния ("рождение"), а стрелки влево - с убыванием номера состояний ("гибель").
Очевидно, стационарное состояние в этом процессе существует. Составлять уравнения Колмогорова нет необходимости, так как структура регулярна, необходимые формулы приводятся в справочниках, а также в рекомендованной литературе.
Для приведенных на рис. 2.5 обозначений формулы имеют вид:
$$$\begin{array}{*{20}{l}} {\begin{array}{*{20}{l}} {{P_1} = \cfrac{1}{{1 + \cfrac{{{\lambda _{12}}}}{{{\mu _{21}}}} + \cfrac{{{\lambda _{12}}{\lambda _{23}}}}{{{\mu _{21}}{\mu _{32}}}} + \cfrac{{{\lambda _{12}}{\lambda _{23}}{\lambda _{34}}}}{{{\mu _{21}}{\mu _{32}}{\mu _{43}}}} + \ldots + \cfrac{{{\lambda _{12}}{\lambda _{23}} \ldots {\lambda _{n - 1,n}}}}{{{\mu _{21}}{\mu _{32}} \ldots {\mu _{n,n - 1}}}}}};} \\ {{P_2} = \cfrac{{{\lambda _{12}}{\lambda _{23}}}}{{{\mu _{21}}{\mu _{32}}}}*{P_1}; \ldots ;{P_n} = \cfrac{{{\lambda _{12}}{\lambda _{23}} \ldots {\lambda _{n - 1,n}}}}{{{\mu _{21}}{\mu _{32}} \ldots {\mu _{n,n - 1}}}}*{P_1}.} \end{array}}{\left( {2.2} \right)} \end{array}$$$Пример 2.3. Имеется система из двух одинаковых и работающих параллельно компьютеров.
Требуется определить надежностные характеристики этой системы.
Решение
В этой системе возможны три состояния:
$$S_{1}$$ - оба компьютера исправны;
$$S_{2}$$ - один компьютер исправен, другой ремонтируется;
$$S_{3}$$ - оба компьютера неисправны и ремонтируются. Будем полагать, что процессы отказов и восстановлений - однородные марковские, одновременный выход из строя обоих компьютеров, как и одновременное восстановление двух отказавших компьютеров практически невозможно.
Поскольку компьютеры одинаковые, то с точки зрения надежности, неважно, какой именно компьютер неисправен в состоянии $$S_{2}$$, важно, что один.
С учетом сказанного, ситуация моделируется схемой "гибели и размножения" (рис. 2.6).
(рис 2.6) На рис. 2.6:
$$\lambda_{12}$$, $$\lambda_{23}$$ - интенсивности потоков отказов;
$$\mu_{21}$$, $$\mu_{32}$$ - интенсивности потоков восстановлений.
Пусть среднее время
Тогда
В состоянии $$S_{1}$$ работают оба компьютера, следовательно:
$$\lambda_{12} = 2\lambda = 2*0,1 = 0,2\;\cfrac{1}{сут}.$$В состоянии $$S_{2}$$ работает один компьютер, значит:
$$\lambda_{23} = \lambda = 0,1\;\cfrac{1}{сут}.$$В состоянии $$S_{2}$$ восстанавливается один компьютер, тогда:
$$\mu_{21} = \mu = 10\;\cfrac{1}{сут}.$$В состоянии $$S_{3}$$ восстанавливаются оба компьютера:
$$\mu_{32} = 2\mu = 20\;\cfrac{1}{сут}.$$Используем зависимости (2.2). Вероятность состояния, когда обе машины исправны:
$$${P_1} = \cfrac{1}{{1 + \cfrac{{{\lambda _{12}}}}{{{\mu _{21}}}} + \cfrac{{{\lambda _{12}}{\lambda _{23}}}}{{{\mu _{21}}{\mu _{32}}}}}} = \cfrac{1}{{1 + \cfrac{{0,2}}{{10}} + \cfrac{{0,2*0,1}}{{10*20}}}} = \cfrac{1}{{1 + 0,02 + 0,0004}} = 0,98.$$$Вероятность второго состояния $$S_{2}$$ (работает один компьютер):
$$P_2 = \cfrac{\lambda_{12}}{\mu_{21}}*P_1 = 0,02*0,98 = 0,0196.$$Аналогично вычисляется и $$P_{3}$$. Хотя найти $$P_{3}$$ можно и так:
$$\[{P_3} = 1 - \left( {{P_1} + {P_2}} \right) = 1 - \left( {0,98 + 0,0196} \right) = 1 - 0,9996 = 0,0004.\]$$Пример 2.4. В полосе объединения работают передатчики противника. Подразделение операторов-связистов армейской контрразведки ведет поиск передатчиков по их радиоизлучениям. Каждый оператор, обнаружив передатчик противника, следит за его частотой, при этом новым поиском не занимается. В процессе слежения частота может быть потеряна, после чего оператор снова осуществляет поиск.
Разработать математическую модель для определения эффективности службы подразделения операторов. Под эффективностью понимается среднее число обнаруженных передатчиков за установленный промежуток времени.
Решение
Будем считать, что наши операторы и радисты противника обладают высокой квалификацией, хорошо натренированы. Следовательно, можно принять, что интенсивности обнаружения частот передатчиков противника и потерь слежения - постоянны. Обнаружение частоты и ее потеря зависят только от того, сколько запеленговано передатчиков в настоящий момент и не зависят от того, когда произошло это пеленгование. Следовательно, процесс обнаружения и потерь слежения за частотами можно считать непрерывным однородным марковским процессом.
Исследуемое свойство этой системы пеленгации: загруженность операторов, что, очевидно, совпадает с числом обнаруженных частот.
Введем обозначения:
$$M$$ - количество операторов;
$$N$$ - количество передатчиков противника, полагаем $$M \ge N$$;
$$\overline{m}$$ - среднее число операторов, ведущих слежение;
$$\overline{n}$$ - среднее число запеленгованных передатчиков;
$$\lambda$$ - интенсивность пеленгации передатчика противника одним оператором;
$$\mu$$ - интенсивность потока потерь слежения оператором;
$$n_{i}$$ - текущая численность запеленгованных передатчиков $$(0,1,2,...,N)$$.
В системе пеленгации возможны следующие состояния:
$$S_{0}$$ - запеленгованных передатчиков нет, поиск ведут $$M$$ операторов, вероятность состояния $$P_{0}$$;
$$S_{1}$$ - запеленгован 1 передатчик, поиск ведут $$(M - 1)$$ операторов, вероятность состояния $$P_{1}$$;
$$S_{2}$$ - запеленгованы 2 передатчика, поиск ведут $$(M - 2)$$ операторов, вероятность состояния $$P_{2}$$;
…
$$S_{n}$$ - запеленгованы $$n_{i}$$ передатчиков, вероятность $$P_{i}$$;
…
$$S_{N}$$ - запеленгованы $$N$$ передатчиков, вероятность $$P_{N}$$.
Цель моделирования - $$\overline{n}$$ - достигается вычислением:
$$\overline{n} = \sum_{i = 0}^{N}P_{i}\cdot n.$$Как и в примере 2.3 полагаем, что одновременное обнаружение или потеря двух и более частот практически невозможно. Граф состояний системы показан на рис. 2.7.
(рис 2.7) Граф состояний системы пеленгацииГраф соответствует процессу "гибели и размножения", полносвязный, число состояний системы конечно, значит, установившийся режим, и предельные значения вероятностей в системе пеленгации существуют.
Пусть, к примеру, количество операторов $$M = 4$$, а количество передатчиков противника $$N = 3$$. В этом случае граф состояний имеет вид (рис. 2.8):
(рис 2.8) Вариант графа состояний системы пеленгацииДля упрощения вычислений примем $$\lambda = \mu$$. Тогда для этой схемы "гибели и размножения" по зависимостям (2.2) имеем:
$$$\begin{array}{*{20}{l}} {{P_0} = \cfrac{1}{{1 + \cfrac{{12\lambda }}{\mu } + \cfrac{{12\lambda *6\lambda }}{{\mu *2\mu }} + \cfrac{{12\lambda *6\lambda *2\lambda }}{{\mu *2\mu *3\mu }}}} = \cfrac{1}{{1 + 12 + 36 + 24}} = \cfrac{1}{{73}} \approx 0,0137;} \\ {{P_1} \approx 0,168;{P_2} \approx 0,5;{P_3} \approx 0,33.} \end{array}$$$Окончательно:
$$\overline{n} = \sum\limits_{i = 0}^3 {{P_{i}}{n_{i}}} = 0*0,0137 + 1*0,168 + 2*0,5 + 3*0,33 = 2,17.$$Таким образом, в условиях данного примера в среднем будут пеленговаться не менее двух передатчиков противника.
Непрерывный марковский процесс полностью определяется значениями плотностей
Простейший поток обладает свойствами:
При решении задач управления, в том числе и управления войсками, часто возникает ряд однотипных задач:
Все эти задачи однотипны в том смысле, что в них присутствует массовый спрос на обслуживание. В удовлетворении этого спроса участвует определенная совокупность элементов, образующая систему массового обслуживания (СМО) (рис. 2.9).
(рис 2.9) Система массового обслуживанияЭлементами СМО являются:
Входящий поток - это совокупность заявок на обслуживание. Часто заявка отождествляется с ее носителем. Например, поток неисправной радиоаппаратуры, поступающий в мастерскую объединения, представляет собой поток заявок - требований на обслуживание в данной СМО.
Как правило, на практике имеют дело с так называемыми рекуррентными потоками, - потоками, обладающими свойствами:
Первые два свойства мы определили ранее. Что касается ограниченного последействия, то оно заключается в том, что интервалы между поступающими заявками являются независимыми случайными величинами.
Рекуррентных потоков много. Каждый закон распределения интервалов порождает свой рекуррентный поток. Рекуррентные потоки иначе называют потоками Пальма.
Поток с полным отсутствием последействия, как уже отмечалось, называется стационарным пуассоновским. У него случайные интервалы между заявками имеют экспоненциальное распределение:
$$F(t) = 1 - e^{ - \lambda t}, f(t) = \lambda e^{ - \lambda t},$$здесь $$\lambda$$ - интенсивность потока.
Название потока - пуассоновский - происходит от того, что для этого
Поток такого типа, как отмечалось ранее, называют также простейшим. Именно такой поток предполагают проектировщики при разработке СМО. Вызвано это тремя причинами.
Во-первых,поток этого типа в теории массового обслуживания аналогичен нормальному закону распределения в теории вероятностей в том смысле, что к простейшему потоку приводит предельный переход для потока, являющегося суммой потоков с произвольными характеристиками при бесконечном увеличении слагаемых и уменьшении их интенсивности. То есть сумма произвольных независимых (без преобладания) потоков с интенсивностями $$\lambda_{i}$$ является простейшим потоком с интенсивностью
$$\lambda = \sum_{i}\lambda_{i}.$$Во-вторых, если обслуживающие каналы (приборы) рассчитаны на простейший поток заявок, то обслуживание других типов потоков (с той же интенсивностью) будет обеспечено с не меньшей эффективностью.
В-третьих, именно такой поток определяет марковский процесс в системе и, следовательно, простоту аналитического анализа системы. При других потоках анализ функционирования СМО сложен.
Часто встречаются системы, у которых поток входных заявок зависит от количества заявок, находящихся в обслуживании. Такие СМО называют замкнутыми (иначе - разомкнутыми). Например, работа мастерской связи объединения может быть представлена моделью замкнутой СМО. Пусть эта мастерская предназначена для обслуживания радиостанций, которых в объединении $$m$$. Каждая из них имеет
где $$n$$ - количество радиостанций, уже находящихся в мастерской на ремонте.
Заявки могут иметь разные права на начало обслуживания. В этом случае говорят, что заявки неоднородные. Преимущества одних потоков заявок перед другими задаются шкалой приоритетов.
Важной характеристикой входного потока является коэффициент вариации:
$$\nu = \cfrac{\sigma}{\overline{\tau}_{инт}},$$где $$\overline{\tau}_{инт}$$ - математическое ожидание длины интервала;
$$\sigma$$ - среднеквадратическое отклонение случайной величины (длины интервала) $$\tau_{инт}$$.
Для простейшего потока $$$\left( {\sigma = \cfrac{1}{\lambda };{\tau _{инт}} = \cfrac{1}{\lambda }} \right):\;\nu = 1.$$$
Для большинства реальных потоков $$0 \le \nu \le 1$$.
При $$\nu = 0$$ поток регулярный, детерминированный.
Коэффициент вариации - характеристика, отражающая степень неравномерности поступления заявок.
Каналы (приборы) обслуживания. В СМО могут быть один или несколько обслуживающих приборов (каналов). Согласно с этим СМО называют одноканальными или многоканальными.
Многоканальные СМО могут состоять из однотипных или разнотипных приборов. Обслуживающими приборами могут быть:
Основная характеристика канала - время обслуживания. Как правило, время обслуживания - величина случайная.
Обычно практики полагают, что время обслуживания имеет экспоненциальный закон распределения:
$$F(t) = 1-e^{-\mu t}, f(t) = \mue e^{-\mu t},$$где $$\mu$$ - интенсивность обслуживания, $$\mu = \cfrac{1}{\overline{\tau}_{обсл}}$$;
$${\overline{\tau}_{обсл}}$$ - математическое ожидание времени обслуживания.
То есть процесс обслуживания - марковский, а это, как теперь нам известно, дает существенные удобства в аналитическом математическом моделировании.
Кроме экспоненциального встречаются $$k$$ -распределение Эрланга, гиперэкспоненциальное, треугольное и некоторые другие. Это нас не должно смущать, так как показано, что значение критериев эффективности СМО мало зависят от вида закона распределения вероятностей времени обслуживания.
При исследовании СМО выпадает из рассмотрения сущность обслуживания, качество обслуживания.
Каналы могут быть абсолютно надежными, то есть не выходить из строя. Вернее, так может быть принято при исследовании. Каналы могут обладать конечной надежностью. В этом случае модель СМО значительно сложнее.
Очередь заявок. В силу случайного характера потоков заявок и обслуживания пришедшая заявка может застать канал (каналы) занятым обслуживанием предыдущей заявки. В этом случае она либо покинет СМО не обслуженной, либо останется в системе, ожидая начало своего обслуживания. В соответствии с этим различают:
СМО с ожиданием характеризуются наличием очередей. Очередь может иметь ограниченную или неограниченную емкость: $$$1 \le L < \infty $$$.
Исследователя обычно интересуют такие статистические характеристики, связанные с пребыванием заявок в очереди:
Нередко встречаются СМО, в которых заявки имеют ограниченное время пребывания в очереди независимо от ее емкости. Такие СМО также относят к СМО смешанного типа.
Выходящий поток - это поток обслуженных заявок, покидающих СМО.
Встречаются случаи, когда заявки проходят через несколько СМО: транзитная связь, производственный конвейер и т. п. В этом случае
Заметим, что интервалы между заявками выходящего потока, это не то же самое, что интервалы обслуживания. Ведь может оказаться, что после окончания очередного обслуживания СМО какое-то время простаивает из-за отсутствия заявок. В этом случае интервал выходящего потока состоит из времени незанятости СМО и интервала обслуживания первой, пришедшей после простоя, заявки.
В системах с отказами есть поток необслуженных заявок. Если в СМО с отказами поступает рекуррентный поток, а обслуживание - экспоненциальное, то и поток необслуженных заявок - рекуррентный.
Очереди свободных каналов. В многоканальных СМО могут образовываться очереди свободных каналов. Количество свободных каналов - величина случайная. Исследователя могут интересовать различные характеристики этой случайной величины. Обычно это среднее число каналов, занятых обслуживанием за интервал исследования.
Таким образом, по признакам, влияющим на функционирование, СМО может принадлежать к одному из типов в соответствии с приводимой классификацией (рис. 2.10).
(рис 2.10) Классификация СМОДля обозначения простых (однофазных) СМО используется символика, предложенная Кендаллом:
$$A/ B/ n/ m.$$$$A$$ -
$$B$$ - случайная длительность обслуживания: $$B = G$$ или $$B = GI$$ - рекуррентное обслуживание с одной и той же функцией распределения $$B(t)$$ для разных каналов; $$B = М$$ - показательное обслуживание; $$B = D$$ - регулярное обслуживание.
$$n$$ - количество обслуживающих каналов. Если $$$n > 1$$$, то система называется многоканальной.
$$m$$ - количество мест для ожидания заявок в очереди. Если $$m = 0$$, то СМО с потерями (без ожидания); $$m = \infty$$ - система с неограниченным ожиданием; $$0 < m < \infty$$ - система с ограниченным числом мест для ожидания.
Под операцией в СМО понимают комплекс мероприятий по обслуживанию входящего потока заявок на интервале времени $$Т$$.
В зависимости от типа системы показателями исхода операции или эффективности системы массового обслуживания являются следующие.
Для СМО с отказами:
Для СМО с неограниченным ожиданием как абсолютная, так и относительная пропускная способности теряют смысл, так как каждая поступившая заявка рано или поздно будет обслужена. Для такой СМО важными показателями являются:
Для СМО смешанного типа используются обе группы показателей: как относительная и
В зависимости от цели операции массового обслуживания любой из приведенных показателей (или совокупность показателей) может быть выбран в качестве критерия эффективности.
Аналитической моделью СМО является совокупность уравнений или формул, позволяющих определять вероятности состояний системы в процессе ее функционирования и рассчитывать показатели эффективности по известным характеристикам входящего потока и каналов обслуживания.
Всеобщей аналитической модели для произвольной СМО не существует. Аналитические модели разработаны для ограниченного числа частных случаев СМО. Аналитические модели, более или менее точно отображающие реальные системы, как правило, сложны и труднообозримы.
Аналитическое моделирование СМО существенно облегчается, если процессы, протекающие в СМО, марковские (потоки заявок простейшие, времена обслуживания распределены экспоненциально). В этом случае все процессы в СМО можно описать обыкновенными дифференциальными уравнениями, а в предельном случае, для стационарных состояний - линейными алгебраическими уравнениями и, решив их, определить выбранные показатели эффективности.
Рассмотрим примеры некоторых СМО.
Пример 2.5. Три автоинспектора проверяют путевые листы у водителей грузовых автомобилей. Если хотя бы один инспектор свободен, проезжающий грузовик останавливают. Если все инспекторы заняты, грузовик, не задерживаясь, проезжает мимо. Поток грузовиков простейший, время проверки случайное с экспоненциальным распределением.
Такую ситуацию можно моделировать трехканальной СМО с отказами (без очереди). Система разомкнутая, с однородными заявками, однофазная, с абсолютно надежными каналами.
Описание состояний:
$$S_{0}$$ - все инспекторы свободны;
$$S_{1}$$ - занят один инспектор;
$$S_{2}$$ - заняты два инспектора;
$$S_{3}$$ - заняты три инспектора.
Граф состояний системы приведен на рис. 2.11.
(рис 2.11) Граф состояний трехканальной СМО с отказамиНа графе: $$\lambda$$ - интенсивность потока грузовых автомобилей; $$\mu$$ - интенсивность проверок документов одним автоинспектором.
Моделирование проводится с целью определения части автомобилей, которые не будут проверены.
Решение
Искомая часть вероятности $$P_{3}$$ - вероятности занятости всех трех инспекторов. Поскольку граф состояний представляет типовую схему "гибели и размножения", то найдем $$P_{3}$$, используя зависимости (2.2).
$$${P_0} = \cfrac{1}{{\sum\limits_{k = 0}^3 {\cfrac{{{\lambda ^3}}}{{3!\mu *2\mu *3\mu }}} }};{P_3} = \cfrac{{{\lambda ^3}}}{{3!\mu *2\mu *3\mu }}*{P_0}.$$$Пропускную способность этого поста автоинспекторов можно характеризовать
Пример 2.6. Для приема и обработки донесений от разведгруппы в разведотделе объединения назначена группа в составе трех офицеров. Ожидаемая интенсивность потока донесений - 15 донесений в час. Среднее время обработки одного донесения одним офицером - $$t_{обс} = 12\;мин$$. Каждый офицер может принимать донесения от любой разведгруппы. Освободившийся офицер обрабатывает последнее из поступивших донесений. Поступающие донесения должны обрабатываться с вероятностью не менее 95 %.
Определить, достаточно ли назначенной группы из трех офицеров для выполнения поставленной задачи.
Решение
Группа офицеров работает как СМО с отказами, состоящая из трех каналов.
Поток донесений с интенсивностью $$\lambda = 15\;\cfrac{1}{час}$$ можно считать простейшим, так как он суммарный от нескольких разведгрупп. Интенсивность обслуживания $$\mu = \cfrac{1}{t_{обс}} = \cfrac{60}{12\;час} = 5\;\cfrac{1}{час}$$. Закон распределения неизвестен, но это несущественно, так как показано, что для систем с отказами он может быть произвольным.
Описание состояний и граф состояний СМО будут аналогичны приведенным в примере 2.5.
Поскольку граф состояний - это схема "гибели и размножения", то для нее имеются готовые выражения для предельных вероятностей состояния:
$$$\begin{array}{*{20}{l}} {{P_1} = \cfrac{\rho }{{1!}}*{P_0};{P_2} = \;\cfrac{{{\rho ^2}}}{{2!}}*{P_0}; \ldots ;{P_n} = \cfrac{{{\rho ^n}}}{{n!}}*{P_0};{P_{n + 1}} = \cfrac{{{\rho ^{n + 1}}}}{{nn!}}*{P_0}; \ldots ;{P_{n + m}} = \cfrac{{{\rho ^{n + m}}}}{{{n^m}n!}}*{P_0};} \\ {{P_0} = {\left( {1 + \cfrac{\rho }{{1!}} + \ldots + \cfrac{{{\rho ^n}}}{{n!}} + \cfrac{{{\rho ^{n + 1}}}}{{nn!}} + \cfrac{{{\rho ^{n + 2}}}}{{{n^2}n!}} + \cfrac{{{\rho ^{n + m}}}}{{{n^m}n!}}} \right)^{ - 1}}.} \end{array}$$$Отношение $$\rho = \cfrac{\lambda}{\mu}$$ называют приведенной интенсивностью потока заявок. Физический смысл ее следующий: величина $$\rho$$ представляет собой среднее число заявок, приходящих в СМО за среднее время обслуживания одной заявки.
В примере $$\rho = \cfrac{\lambda}{\mu} = \cfrac{15}{5} = 3$$.
В рассматриваемой СМО отказ наступает при занятости всех трех каналов, то есть $$P_{отк} = P_{3}$$. Тогда:
$${P_0} = {\left( {1 + \cfrac{3}{{1!}} + \cfrac{{{3^2}}}{{2!}} + \cfrac{{{3^3}}}{{3!}}} \right)^{ - 1}} = 0,077;\;{P_3} = \cfrac{3}{{3!}}*{P_0} = 4,5*0,077 = 0,346.$$Так как
Теперь $$P_{обс} = 1 - P_{отк} = 1 - 0,052 \approx 0,95$$.
Таким образом, только группа из шести офицеров сможет обрабатывать поступающие донесения с вероятностью 95 %.
Пример 2.7. На участке форсирования реки имеются 15 однотипных переправочных средств. Поток поступления техники на переправу в среднем составляет 1 ед./мин, среднее время переправы одной единицы техники - 10 мин (с учетом возвращения назад переправочного средства).
Оценить основные характеристики переправы, в том числе вероятность в немедленной переправе сразу по прибытии единицы техники.
Решение
$$$\begin{array}{*{20}{l}} {\lambda = 1\;ед./мин,\;\mu = 0,1\;ед./мин,\;n = 15.} \\ {{P_0} = {{\left( {1 + \cfrac{{10}}{{1!}} + \cfrac{{{{10}^2}}}{{2!}} + \ldots + \cfrac{{{{10}^{15}}}}{{15!}}} \right)}^{ - 1}} = 4,77*{{10}^{ - 5}};} \\ {{P_{отк}} = {P_{15}} = \cfrac{{{{10}^{15}}}}{{15!}}*{P_0} = 0,0365;} \\ {{P_{обс}} = 1 - {P_{отк}} = 1 - 0,0365 \approx 0,9635.} \end{array}$$$Среднее число работающих переправочных средств:
$$\overline{n}_{з} = \cfrac{A}{\mu} = \cfrac{1}{1/10}=10.$$Коэффициенты использования и простоя переправы:
$$K_{и} = \cfrac{\overline{n}_{з}}{n} = \cfrac{10}{15} = 0,666; K_{п} = 1 - K_{и} = 1 - 0,666 = 0,334.$$Для решения примера была также разработана программа. Интервалы времени поступления техники на переправу, время переправы приняты распределенными по экспоненциальному закону.
Коэффициенты использования переправы после 50 прогонов практически совпадают: $$K_{и} = 0,665$$.
Максимальная длина очереди 15 ед., среднее время пребывания в очереди около 10 мин.
Если взять число переправочных средств 10, то коэффициент использования близок к 1 ( $$K_{и} = 0,997$$ ), максимальная длина очереди - 43 единицы техники.
Если в очереди $$n$$ мест для ожидания, то система может находиться в одном из следующих $$n + 2$$ состояний:
$$S_{0}$$ - в системе нет заявок (ни в очереди, ни на обслуживании);
$$S_{1}$$ - в системе обслуживается одна заявка, очередь пуста;
$$S_{2}$$ - в системе обслуживается одна заявка, и одна заявка находится в очереди, ожидает обслуживания;
…
$$S_{n+1}$$ - в системе обслуживается одна заявка и $$n$$ заявок находятся в очереди, ожидают обслуживания.
Граф состояний такой системы представляет схему "гибели и размножения" (рис. 2.12).
(рис 2.12) Граф состояний одноканальной СМО с ограниченной очередью
Опишем состояния одноканальной замкнутой СМО.
$$S_{0}$$ - заявок на обслуживание нет.
$$S_{k}, k = \overline{1, N}$$ - на обслуживании находится $$k$$ заявок;
$$N$$ - общее число заявок, циркулирующих в системе;
$$\beta$$ - интенсивность требований на обслуживание от одной заявки.
Граф состояний одноканальной замкнутой СМО приведен на рис. 2.13. Модель данной СМО также представляет "схему гибели и размножения".
(рис 2.13) Граф состояний одноканальной замкнутой СМООднако не менее часто модель СМО не сводится к схеме "гибели и размножения". Например, в СМО с конечной надежностью каналов обслуживания.
Построить граф состояний одноканальной СМО с очередью на три заявки и с конечной надежностью каналов обслуживания. При отказе канала обслуживания заявка, находившаяся на обслуживании, теряется. Процессы в системе - марковские.
Описание состояний СМО:
$$S_{0} ... S_{4}$$ - состояния исправной СМО;
$$S^{'}_{0} ... S^{'}_{4}$$ - состояния неисправной СМО.
Обозначения:
$$\lambda$$ - интенсивность поступления заявок;
$$\mu$$ - интенсивность обработки заявки каналом;
$$\nu$$ - интенсивность поломок канала;
$$\eta$$ - интенсивность ремонта неисправного канала.
Граф состояний СМО с конечной надежностью каналов обслуживания приведен на рис. 2.14.
(рис 2.14) Граф состояний СМО с конечной надежностьюЕсли в состоянии $$S_{0}$$ (канал свободен, в
Эта модель не является моделью "гибели и размножения". Поэтому соответствующие вероятности находятся решением
В многоэлементных системах часто целью моделирования является определение средних количеств элементов, находящихся в одинаковых состояниях.
Например, в задаче о пеленгации передатчиков противника командира интересует число запеленгованных передатчиков, а не вероятности пеленгации одного передатчика, двух, трех и т. д. Но чтобы определить среднее число их, надо знать вероятности всех возможных состояний $$p_{i}$$, так как
$$\overline{n} = \sum\limits_{i = 0}^n {{p_{i}*n_{i}}}.$$Но число состояний и, следовательно, число уравнений Колмогорова может оказаться настолько большим, что вызовет непреодолимые трудности при моделировании по схеме марковских процессов.
Например, в соединении имеется 100 радиостанций. Каждая из них может находиться в боевых условиях в пяти состояниях:
$$S_{1}$$ - исправна, работает, не обнаружена;
$$S_{2}$$ - исправна, работает, обнаружена;
$$S_{3}$$ - работоспособна, но подавлена помехами;
$$S_{4}$$ - обнаружена, поражена;
$$S_{5}$$ - находится в ремонте.
Для определения средних численностей каждого из этих состояний пришлось бы составить $$5^{100}$$ уравнений Колмогорова. Очевидно, такое моделирование не годится.
В исследовании операций есть метод, позволяющий успешно решать такие и аналогичные задачи. Этот метод называется метод динамики средних.
Метод динамики средних позволяет непосредственно определять математическое ожидание числа элементов сложной системы, находящихся в одинаковых состояниях.
Метод дает приближенные результаты. Но обладает замечательным свойством: чем больше система имеет элементов и состояний, тем точнее результат математического моделирования.
Для получения расчетных формул метода предположим, что имеем дело с системой, обладающей следующими признаками:
Цель моделирования: определить средние количества элементов (математические ожидания) $$m_{i}(t)$$, находящихся в одинаковых состояниях $$S_{i}$$, и дисперсию $$D_{i}(t)$$.
Схематично такая система может быть представлена так, как показано на рис. 2.15.
Система имеет $$N$$ элементов, а каждый элемент имеет $$n$$ состояний. Численность $$i$$ -го состояния на любой момент времени - величина случайная. Обозначим ее $$x_{i}(t)$$. Матожидание и дисперсия этой случайной величины:
$$m_{i}(t) = M[x_{i}(t)],\;D_{i}(t) = D[x_{i}(t)].$$В дальнейшем для лучшей обозримости формул аргумент $$t$$ писать не будем:
$$m_{i} = M[x_{i}],\;D_{i} = D[x_{i}].$$(рис 2.15) Схематичное представление системыВведем переменную $$x^k$$ так что:
$$x_{i}^k = \left \{ \begin {array}{ll} 1, \text{если } k\text{-й элемент находится в состоянии } i,\;\text{вероятность } p_{i};\\ 0, \text{если } k\text{-й элемент не находится в состоянии } i,\;\text{вероятность } (1 - p_{i}). \end{array}$$Отсюда следует, что случайная величина $$x_{i}$$ равна:
$$x_{i} = \sum\limits_{k = 1}^{N}{x_{i}^k}.$$В силу однородности элементов и независимости состояний случайная величина $$x_{i}$$ имеет
или окончательно
$$m_{i} = Np_{i},\;D_{i} = Np_{i}(1 - p_{i}) = m_{i}\left ( 1 - \cfrac{m_{i}}{N} \right ).$$Равенство $$m_{i} = Np_{i}$$ связывает вероятность $$i$$ -го состояния элемента в произвольный момент времени с матожиданием численности этих состояний по всем элементам.
Определять значения $$p_{i}$$ для одного элемента мы умеем. Для этого достаточно составить систему уравнений Колмогорова и решить ее.
Вспомним, что система уравнений Колмогорова для одного элемента содержит $$n$$ уравнений, для всех $$N$$ элементов - $$n^N$$, а метод динамики средних в $$n^{N - 1}$$ раз меньше. В этом и состоит выигрыш, который дает применение метода динамики средних.
Порядок моделирования с использованием метода динамики средних заключается в следующем.
Поскольку процессы в элементах - марковские, то справедливы все рассуждения об установившихся значениях $$m_{i}$$, об условиях существования установившихся значений $$m_{i}(t) = m_{i}$$.
Полученные уравнения для $$m_{i}$$ называют уже не уравнениями Колмогорова, а уравнениями динамики средних. Поскольку они получаются из уравнений Колмогорова путем умножения всех членов на постоянное число $$N$$, то их можно писать сразу для средних численностей состояний $$m_{i}$$ по образцу уравнений для вероятностей $$p_{i}$$.
Рассмотрим на примере методику моделирования с использованием метода динамики средних.
Пример 2.8. В части имеются 100 средств связи (СС). СС выходят из строя с интенсивностью $$\lambda_{12}$$. При нахождении СС в неисправном состоянии проводится его диагностика, в результате чего оно может быть отправлено в ремонтное подразделение части (интенсивность отправки $$\lambda_{23}$$ ), либо во внешнее ремонтное подразделение (интенсивность отправки $$\lambda_{24}$$ ), либо списано (интенсивность списания $$\lambda_{c}$$ ). В ремонтном подразделении части СС ремонтируются с интенсивностью $$\lambda_{31}$$, а во внешнем ремонтном подразделении - с интенсивностью $$\lambda_{41}$$. СС части пополняются с интенсивностью $$\lambda_{п}$$, в среднем равной интенсивности списания.
Требуется провести моделирование с целью определения средних численностей каждого состояния СС.
Решение
Система может иметь следующие четыре состояния:
$$S_{1}$$ - СС исправно;
$$S_{2}$$ - СС неисправно, производится диагностика;
$$S_{3}$$ - СС находится на ремонте в ремонтном подразделении части;
$$S_{4}$$ - СС находится на ремонте во внешнем ремонтном подразделении.
Размеченный граф состояний представлен на рис. 2.16.
(рис 2.16) Размеченный граф состояний системы ремонтаКаждое уравнение системы составляется по тому же правилу, что и система дифференциальных уравнений Колмогорова.
$$\left \{ \begin{array}{l} \cfrac{dm_1}{dt} = -\lambda_{12}m_1 + \lambda_{31}m_3 + \lambda_{41}m_4 + \lambda_{11}m_2\\ \cfrac{dm_2}{dt} = -\lambda_{23}m_2 - \lambda_{24}m_2 - \lambda_{c}m_2 + \lambda_{12}m_1\\ \cfrac{dm_3}{dt} = -\lambda_{31}m_3 + \lambda_{23}m_2\\ \cfrac{dm_4}{dt} = -\lambda_{41}m_4 + \lambda_{24}m_2\\ \end{array}$$Численности состояний являются функциями времени, т. е. $$m_{i} = m_{i}(t)$$. В системе дифференциальных уравнений запись упрощена. Выражение для пополняющего члена написано из условия равенства в среднем пополнения и убыли $$\lambda_{c}m_{п} = \lambda_{2}m_{2}$$. Также мы не можем воспользоваться нормировочным условием $$\sum\limits_{i = 1}^4{m_{i}(t)} = 100$$, так как в силу случайного характера списания и пополнения в некоторые моменты времени оно может не выполняться. Общее число СС в части при этом меняется со временем:
$$N\left( t \right) = N + \int\limits_0^t {{\lambda _{п}}\left( t \right)dt} - \int\limits_0^t {{\lambda _{с}}\left( t \right)dt}$$Решить систему ДУ можно методом численного интегрирования, например, Рунге-Кутта, задав начальные значения численностей состояний для момента $$t = 0$$:
$$m_{1}(0) = 100,\;m_{2}(0) = 0,\;m_{3}(0) = 0,\;m_{4}(0) = 0,$$считая интенсивности $$\lambda_{ij},\;\lambda_{c},\;\lambda_{п}$$ известными.
Дисперсия вычисляется по формуле:
$$D_{i} = m_{i}\left [1 - \left ( m_{i} / \sum\limits_{i = 1}^4{m_{i}} \right ) \right ],\;i = \overline{1,4}$$По дисперсии определяется среднеквадратическое отклонение численности состояний $$\sigma_{i} = \sqrt{D_{i}}$$ и находится диапазон возможных значений численности $$S_{i}$$ состояния $$m_{i} \pm 3\sigma_{i}$$.
Метод динамики средних справедлив и для предельных значений численностей состояний. В данной задаче уравнения динамики средних -
Однако прежде чем переходить к этим уравнениям, нужно сначала убедиться, что
Как показывает практика, метод динамики средних вполне приемлем и для немарковских процессов, то есть для произвольных распределений времен нахождения элементов в состояниях $$S_{i}$$.
Хотя в этих случаях мы формально не имеем права написать уравнения динамики средних, однако массовость явления делает вид распределения не очень существенным. Следовательно, при моделировании не следует тратить время на проверку марковости процесса. Чем больше элементов в системе, чем она сложнее, тем точнее она моделируется методом динамики средних.
При большом числе элементов также становится не очень существенным требование однородности элементов.
Теперь попробуем разобраться с требованием, которое мы также ввели ранее - требование независимости элементов.
Применяя метод динамики средних, мы можем встретиться с очень серьезной трудностью. Дело в том, что интенсивности потоков событий, переводящих элементы из одного состояния в другое, могут зависеть от численности состояний. Например, в примере 2.6 интенсивность $$\lambda_{12}$$ зависит от того, сколько в данный момент времени находится СС в состоянии $$S_{2}$$: СС может либо сразу ремонтироваться, либо ожидать очереди ввиду занятости рабочих мест. Численности состояний случайны, следовательно, интенсивности потоков событий тоже случайны и неизвестны. Точное решение в таких ситуациях невозможно, однако вполне приемлемое для практики решение находится с помощью допущения, которое называют "принцип квазирегулярности".
Принцип квазирегулярности состоит в следующем: интенсивности $$\lambda_{i}$$ зависят не от мгновенных значений численности состояний $$x_{i}$$ , а от их средних значений (математических ожиданий) $$m_{i}$$.
Погрешность от этого допущения при моделировании тем меньше, чем ближе к линейной зависимости $$\lambda_{i} = f(m_{i})$$ и чем больше общее количество элементов $$N$$.
На практике проверено, что при $$N = 50 \ldots 100$$ точность моделирования приемлема для инженерных "прикидок", если же функции $$\lambda_{i} = f(mi)$$ близки к линейным, то приемлемые результаты получаются и при $$N = 10$$.
Пример 2.9. Каждый автомат, находящийся на вооружении в воинской части, может находиться в исправном состоянии или ремонтироваться в мастерской части. Если бы каждый неисправный автомат сразу попадал к свободному мастеру, то никаких очередей из автоматов, ожидающих ремонта, не было, и граф состояний автомата имел бы вид, приведенный на рис. 2.17.
Здесь:
$$S_{1}$$ - автомат исправен;
$$S_{2}$$ - автомат неисправен, ремонтируется;
$$\lambda_{1}$$ - интенсивность выхода автомата из строя;
$$\lambda_{2}$$ - интенсивность ремонта автомата одним мастером.
(рис 2.17) Граф состояний автоматаВ этом случае $$\lambda_{1}$$ и $$\lambda_{2}$$ были бы постоянными величинами и, естественно, не зависели от численности состояний. Уравнения динамики средних имели бы вид:
$$\left \{ \begin{array}{l} 0 = - \lambda_{1}m_{1} + \lambda_{2}m_{2};\\ m_1 + m_2 = N; \end{array}$$так как мы полагаем, что процессы наработки на отказ и ремонта - марковские и стационарный режим существует. $$N$$ - общее число автоматов в части.
Уравнение для состояния $$S_{2}$$ не пишем, так как оно линейно зависит от первого.
А теперь предположим, что в мастерской части два мастера и неисправные автоматы могут ожидать ремонта. В этом случае интенсивность переходов из неисправного состояние в исправное зависит от числа автоматов, находящихся в мастерской. Обозначим эту интенсивность $$\tilde{\lambda}_{2}$$. Граф состояний имеет вид (рис. 2.18).
(рис 2.18) Граф состояний автоматаОбщую интенсивность ремонта мастерской обозначим $$\psi(x_{2})$$. График ее показан на рис. 2.19а.
(рис 2.19) Графики \phi(x2) и \lambda 2При $$x_{2} = 2$$ интенсивность $$\phi(2)$$ максимальна, так как работают оба мастера. При дальнейшем увеличении $$x_{2}$$ интенсивность $$\phi(2)$$ возрастать не может.
Очевидно, интенсивность ремонта, приходящаяся на один автомат, находящийся в мастерской:
$$\tilde{\lambda}_2 = \cfrac{\phi(x_2)}{x_2}\;.$$График зависимости $$\tilde{\lambda}_{2}$$ от $$х_{2}$$ показан на рис. 2.19б.
Применим принцип квазирегулярности, то есть будем считать, что $$\tilde{\lambda}_{2}$$ зависит не от случайных численностей $$х_{2}$$, а от среднего значения (матожидания) $$m_{2}$$. Тогда:
$$\tilde{\lambda}_2 = \cfrac{\phi(m_2)}{m_2}$$и уравнения динамики средних примут вид:
$$\left \{ \begin{array}{l} 0 = - \lambda_{1}m_{1} + \cfrac{\phi(m_2)}{m_2}\;m_{2};\\ m_1 + m_2 = N. \end{array}$$Зависимость $$\phi(m_{2})$$ задана рис. 2.19б.
Пример 2.10. Вернемся к задаче о пеленгации передатчиков противника. Поскольку целью ее решения являлось определение среднего числа запеленгованных передатчиков, то возможно применение метода динамики средних. Обозначим:
$$S_{1}$$ - состояние "передатчик запеленгован";
$$x$$ - случайная численность состояния $$S_{1}$$;
$$S_{2}$$ - состояние "передатчик потерян";
$$\lambda$$ - интенсивность обнаружения частоты передатчика противника одним оператором;
$$\mu$$ - интенсивность потерь слежения запеленгованного передатчика противника;
$$(M - x)$$ - текущее число операторов, ведущих поиск;
$$(M - x)\lambda$$ - интенсивность обнаружения всеми операторами одного передатчика;
$$(N - x)$$ - число не захваченных частот передатчиков, находящихся в состоянии $$S_{2}$$.
Граф состояний одного передатчика приведен на рис. 2.20. Заменим, в соответствии с принципом квазирегулярности, случайную численность обнаруженных передатчиков $$x$$ на среднее значение $$\overline{n}$$ и, учитывая наличие стационарности, запишем уравнение динамики средних:
$$0 = - \mu\overline{n} + (M - \overline{n})(N - \overline{n})\lambda.$$(рис 2.20) Граф состояний передатчикаУравнения динамики средних могут быть нелинейными и, следовательно, решение будет не единственным. В таких случаях берется то решение, которое не противоречит смыслу задачи.
Для упрощения расчетов положим $$M = N = 10;\;\lambda = \mu$$. В этом случае уравнение принимает вид:
$$\overline{n}^2 - 21\overline{n} + 100 = 0.$$Его решение $$\overline{n} = 10,5 - \sqrt{\cfrac{21^2}{4} - 100} = 7,3$$ передатчика (знак плюс перед корнем отбрасываем, так как в этом случае корень будет равен 13,7, что бессмысленно). Решение этого примера с помощью уравнений Колмогорова дает ответ $$\overline{n} = 7,43$$. Расхождение в 2,5 % объясняется малочисленностью группировок $$M$$ и $$N$$. Впрочем, полученный результат может быть вполне приемлемым.
Приемлемая по точности математическая модель такой сложной системы как бой невозможна из-за наличия неопределенных и неформализуемых факторов и уникальных ситуаций. Однако, приблизительные частные модели возможны и целесообразны для количественного обоснования некоторых решений, оценки обстановки, прогнозирования результатов решений и др.
Рассмотрим некоторые элементарные модели боя.
Постановка задачи
Две группировки А и Б ведут бой. В составе группировок А и Б $$N_{1}$$ и $$N_{2}$$ боевых единиц со скорострельностями $$\lambda_{1}$$ и $$\lambda_{2}$$ и вероятностями поражения цели при одном выстреле $$P_{1}$$ и $$P_{2}$$ соответственно. Каждая группировка однородна, но не обязательно группировки однородны между собой. Например, бой танков с танками, танков с противотанковыми средствами, истребителей с бомбардировщиками и т. п.
Высокоорганизованным боем называют бой с полной информацией, а именно:
При этих допущениях процесс динамики боя двух группировок может рассматриваться как случайный марковский процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем, для которого могут быть получены уравнения динамики средних, позволяющие определить для любого момента времени средние численности сторон.
Цель моделирования. Прогнозирование средних количеств пораженных и непораженных боевых единиц каждой группировки на любой момент времени.
Каждое средство противоборствующих сторон А и Б может находиться в одном из двух состояний соответственно:
$$S_{1}(S_{2})$$ - не поражено;
$$S^{'}_{1}(S^{'}_{2})$$ - поражено.
Графы состояний для каждой группировки элементарны (рис. 2.21).
(рис 2.21) Граф состояний противоборствующих сторонИнтенсивность $$\tilde{\lambda}_{2}$$ - интенсивность потока поражающих выстрелов стороны Б, приходящихся на одну боевую единицу стороны А, то есть переводящих ее из состояния $$S_{1}$$ в состояние $$S^{'}_{1}$$.
Аналогичные рассуждения объясняют $$\tilde{\lambda}_{1}$$. Очевидно, для начального состояния ( $$t = 0$$ ):
$$\tilde{\lambda}_{2} = \cfrac{\lambda_2 N_2 P_2}{N_1};\; \tilde{\lambda}_{1} = \cfrac{\lambda_1 N_1 P_1}{N_2}.$$В ходе боя численности боеспособных единиц сторон будут случайным образом изменяться (уменьшаться, так как пополнение средств поражения сторон мы пока не рассматриваем). Обозначим эти случайные численности каждой стороны $$x_{1}(t)$$ и $$x_{2}(t)$$ соответственно. Тогда:
$$\tilde{\lambda}_{2} = \cfrac{\lambda_2 P_2 x_2(t)}{x_1(t)}; \tilde{\lambda}_{1} = \cfrac{\lambda_1 P_1 x_1(t)}{x_2(t)}.$$Зависимость $$\lambda_{2}(t)$$ и $$\lambda_{1}(t)$$ от случайных значений $$x_{2}(t)$$ и $$x_{1}(t)$$ делает аналитическое решение задачи практически невозможным. Поэтому, используя принцип квазирегулярности, заменим $$x_{2}(t)$$ и $$x_{1}(t)$$ их матожиданиями $$m_{2}(t)$$ и $$m_{1}(t)$$.
Заметим, что $$m_{1}(t)$$ и $$m_{2}(t)$$ являются целью моделирования.
После замены выражения для $$\tilde{\lambda}_{2}$$ и $$\tilde{\lambda}_{1}$$ принимают вид:
$$\tilde{\lambda}_{2} = \cfrac{\lambda_2 P_2 m_2(t)}{m_1(t)};\; \tilde{\lambda}_{1} = \cfrac{\lambda_1 P_1 m_1(t)}{m_2(t)}.$$Запишем уравнения динамики средних для состояний $$S_{1}$$ и $$S_{2}$$:
$$\left \{ \begin{array}{l} \cfrac{dm_1(t)}{dt} = - \cfrac{\lambda_2 P_2 m_2(t)}{m_1(t)} \cdot m_1(t);\\ \cfrac{dm_2(t)}{dt} = - \cfrac{\lambda_1 P_1 m_1(t)}{m_2(t)} \cdot m_2(t).\\ \end{array}$$Для состояний $$S^{'}_{1}$$ и $$S^{'}_{2}$$ уравнения не нужны, так как средние численности этих состояний $$m^{'}_{1}(t)$$ и $$m^{'}_{2}(t)$$ однозначно связаны с $$m_{1}(t)$$ и $$m_{2}(t)$$:
$$m_{1}(t) + m^{'}_{1}(t) = N_{1};\; m_{2}(t) + m^{'}_{2}(t) = N_{2}.$$После очевидного упрощения уравнения динамики средних принимают вид:
$$$\begin{array}{*{20}{l}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\cfrac{{d{m_1}\left( t \right)}}{{dt}} = - {\lambda _2}{P_2}{m_2}\left( t \right);} \\ {\cfrac{{d{m_2}\left( t \right)}}{{dt}} = - {\lambda _1}{P_1}{m_1}\left( t \right).} \end{array}} \right.}{\left( {2.3} \right)} \end{array}$$$Здесь и далее для лучшей обозримости аргумент $$t$$ в $$m_{1}(t)$$ и $$m_{2}(t)$$ опустим.
Систему уравнений (2.3) обычно называют уравнениями динамики боя, иногда - уравнениями Ланчестера. Ланчестер - полковник английской армии времен первой мировой войны. Именно он предложил излагаемые подходы формализации боевых действий.
Искомые численности сторон $$m_{1}$$ и $$m_{2}$$ находятся интегрированием системы (2.3) при начальных условиях:
$$t = 0,\; m_{1} = N_{1},\; m_{2} = N_{2}.$$Решение имеет вид:
$$$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{m_1} = {N_1}\operatorname{ch} \left( {\sqrt {{\lambda _1}{P_1}{\lambda _2}{P_2}} \cdot t} \right) - {N_2}\sqrt {\cfrac{{{\lambda _2}{P_2}}}{{{\lambda _1}{P_1}}}} \operatorname{sh} \left( {\sqrt {{\lambda _1}{P_1}{\lambda _2}{P_2}} \cdot t} \right);} \\ {{m_2} = {N_2}\operatorname{ch} \left( {\sqrt {{\lambda _1}{P_1}{\lambda _2}{P_2}} \cdot t} \right) - {N_1}\sqrt {\cfrac{{{\lambda _1}{P_1}}}{{{\lambda _2}{P_2}}}} \operatorname{sh} \left( {\sqrt {{\lambda _1}{P_1}{\lambda _2}{P_2}} \cdot t} \right).} \end{array}} \right.$$$Для лучшей обозримости введем обозначения:
$$\Lambda_{1} = \lambda_{1} P_{1}$$ - эффективная скорострельность стороны А;
$$\Lambda_{2} = \lambda_{2} P_{2}$$ - эффективная скорострельность стороны Б.
Эффективные скорострельности характеризуют плотности потоков успешных выстрелов соответствующей стороны.
$$\mu_{1} = \cfrac{m_1}{N_1}$$ - доля боеспособных единиц стороны А;
$$\mu_{2} = \cfrac{m_2}{N_2}$$ - доля боеспособных единиц стороны Б;
$$\chi = \cfrac{N_1\sqrt{\Lambda_1}}{N_2\sqrt{\Lambda_2}}$$ - коэффициент преимущества стороны А над стороной Б;
$$\tilde{t} = \sqrt{\Lambda_1\Lambda_2}\cdot t$$ - приведенное время.
С учетом этих обозначений решение модели высокоорганизованного боя выглядит так:
$$$\begin{array}{*{20}{l}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\mu _1} = \operatorname{ch} \tilde t - \cfrac{1}{\chi }\operatorname{sh} \tilde t;} \\ {{\mu _2} = \operatorname{ch} \tilde t - \chi \operatorname{sh} \tilde t.} \end{array}} \right.}{\left( {2.4} \right)} \end{array}$$$Графически варианты решений модели в зависимости от коэффициента превосходства представлены на рис. 2.22.
(рис 2.22) Графики решений уравнений динамики среднихИз формул видно, что убывание численности группировок в большей мере зависит от соотношения сил $$N_{2} / N_{1}$$, чем от соотношения эффективных скорострельностей $$\Lambda_{2} / \Lambda_{1}$$: первое отношение входит в формулы непосредственно, а второе - под знаком корня. Увеличение начальной численности $$N_{1}$$ в два раза удваивает параметр $$\chi$$, тогда как удвоение $$\Lambda_{1}$$ увеличивает $$\chi$$ только в $$\sqrt{2} = 1,4$$ раза. Поэтому повышение скорострельности менее выгодно.
В рамках данной модели при $$\chi > 1$$ выигрывает бой сторона А, при $$\chi < 1$$ - сторона Б.
Кривые $$\mu = f(\tilde{t})$$ на рис. 2.22 оборваны до достижения нуля, так как при малочисленных группировках метод динамики средних дает большие ошибки.
Если силы сторон равны ( $$\chi = 1$$ ), то динамика сохранения сил сторон одинакова; $$\mu_1 = \mu_{2}$$ в любой момент боя. Бой будет продолжаться до определенного уровня истощения сил, после чего неизбежны попытки политического решения конфликта.
В рамках этой модели бой заканчивается разгромом слабой стороны тем быстрее, чем больше превосходство другой. Победа в этой модели достигается числом, не уменьем. Не учитывается опыт, способности командиров, обученность личного состава. Впрочем, параметр $$P$$ косвенно учитывает обученность экипажей средств поражения.
Пример 2.11. Группировка, в составе которой 270 противотанковых средств (ПТС), находится в обороне. Скорострельность каждого ПТС 6 выстр./мин, вероятность поражения одним ПТС одного танка равна 0,3. Скорострельность танка 4 выстр./мин, вероятность поражения одним танком одного ПТС 0,25 при коэффициенте превосходства 1,2.
Спрогнозировать, сколько нужно танков, чтобы прорвать оборону при полном уничтожении ПТС группировки.
Решение
Известно, что
$$\chi = \cfrac{N_1\sqrt{\Lambda_1}}{N_2\sqrt{\Lambda_2}};$$откуда
$$N_1 = \cfrac{N_2\chi}{\cfrac{\sqrt{\Lambda_1}}{\sqrt{\Lambda_2}}} = \cfrac{270*1,2}{\cfrac{\sqrt{4*0,25}}{\sqrt{6*0,3}}} = 440.$$Заметим, коэффициент преимущества $$\chi$$ не имеет иного смысла, кроме упрощения формул для вычисления $$\mu_{1}$$ и $$\mu_{2}$$. Поэтому результаты расчетов не имеют оперативно-тактического обоснования.
Задача 2.12. Сторона А имеет 30 огневых средств со скорострельностью каждого 5 выстр./мин и вероятностью поражения 0,2. Сторона Б имеет 40 огневых средств со скорострельностью каждого 4 выстр./мин и вероятностью поражения 0,3.
Провести расчеты для прогноза исхода боя, времени его окончания и количества сохранившихся огневых средств у победившей стороны.
Решение
Исходные данные
$$N_{1} = 30,\; \lambda_1 = 5 \ выстр./мин,\; P_{1} = 0,2;\\ N_{2} = 40,\; \lambda_1 = 4 \ выстр./мин,\; P_{1} = 0,3.$$Прогнозирование исхода боя
Составим соотношения превосходства сторон:
$$\chi_{12} = \cfrac{N_1}{N_2}\sqrt{\cfrac{\lambda_1 P_1}{\lambda_2 P_2}} = \cfrac{30}{40}\sqrt{\cfrac{5*0,2}{4*0,3}} = 0,68;\; \chi_{21} = \cfrac{1}{\chi_{12}} = \cfrac{1}{0,68}=1,46.$$Так как $$\chi_{21} > \chi_{12}$$, то преимущество будет у стороны Б, то есть победить должна сторона Б.
Прогнозирование времени окончания боя
Бой продолжается до полной победы, то есть $$\mu_1 = 0$$ или из (2.4)
$$$\begin{array}{*{20}{l}} {{\mu _1} = \operatorname{ch} \tilde t - {\chi _{21}}\operatorname{sh} \tilde t = 0.}{\left( {2.5} \right)} \end{array}$$$Учтем, что $${\operatorname{ch} ^2}\tilde t - {\operatorname{sh} ^2}\tilde t = 1$$, откуда
$$$\begin{array}{*{20}{l}} {{{\operatorname{ch} }^2}\tilde t = 1 + {{\operatorname{sh} }^2}\tilde t.}{\left( {2.6} \right)} \end{array}$$$С другой стороны, из (2.5) $$\operatorname{ch} \tilde t = {\chi _{21}}\operatorname{sh} \tilde t$$.
Из выражений (2.5) и (2.6) имеем:
$$$\begin{array}{*{20}{l}} {1 + {{\operatorname{sh} }^2}\tilde t = \chi _{21}^2{{\operatorname{sh} }^2}\tilde t,\;1 = {{\operatorname{sh} }^2}\tilde t(\chi _{21}^2 - 1),\;{{\operatorname{sh} }^2}\tilde t = \cfrac{1}{{\chi _{21}^2 - 1}},} \\ {\operatorname{sh} \tilde t = \sqrt {\cfrac{1}{{\chi _{21}^2 - 1}}} ,\;\tilde t = \operatorname{arcsh} \sqrt {\cfrac{1}{{\chi _{21}^2 - 1}}} .} \end{array}$$$Так как $$\tilde{t} = \sqrt{P_1\lambda_1 P_2\lambda_2}t$$, то $$t = \cfrac{\operatorname{arcsh}\sqrt{\cfrac{1}{\chi^2_{21} - 1}}}{\sqrt{P_1\lambda_1 P_2\lambda_2}}$$.
$$t = \cfrac{\operatorname{arcsh}\sqrt{\cfrac{1}{1,46^2 - 1}}}{\sqrt{5*0,2*4*0,3}} = \cfrac{\operatorname{arcsh} 0,94}{\sqrt{1,2}} = \cfrac{0,84}{1,095} = 0,767.$$Определение количества огневых средств, сохранившихся у стороны Б
$$\mu_2 = \ch\tilde{t} - \cfrac{1}{\chi_{21}}\sh\tilde{t}.$$Так как из выражения (2.5) $$\ch\tilde{t} = \chi_{21}\sh\tilde{t}$$, то
$$$\begin{array}{*{20}{l}} {{\mu _2} = \left( {{\chi _{21}} - \cfrac{1}{{{\chi _{21}}}}} \right)\operatorname{sh} \tilde t = ({\chi _{21}} - {\chi _{12}})\operatorname{sh} \tilde t = } \\ { = (1,46 - 0,68)\operatorname{sh} \tilde t = 0,78*0,94 = 0,73.} \end{array}$$$Теперь $$m_{2} = \mu_{2}N_{2} = 0,73*40 = 29,2$$.
К концу боя у стороны Б останется от 29 до 30 огневых средств, тогда как огневые средства стороны А будут полностью уничтожены.
Приведенные результаты прогноза исхода боя двух группировок являются приблизительными, оценочными, так как при малых количествах огневых средств ( $$\mu_1 \to 0$$ ) метод динамики средних, лежащий в основе уравнений динамики боя, может давать существенные ошибки.
В ходе боя противоборствующие стороны могут вводить резервы. Пусть сторона А вводит резерв $$R_{1}$$ в момент времени $$t_{1}$$, сторона Б - резерв $$R_{2}$$ в момент времени $$t_{2}$$. Такую ситуацию можно наглядно представить диаграммой (рис. 2.23).
Весь интервал исследования содержит три подинтервала, так в сумме резервы обеими сторонами вводятся три раза.
(рис 2.23) Иллюстрация к пополнению группировок
Предположим, что одна из сторон, например, сторона А, ведет огонь в то время, когда сторона Б еще не в состоянии ответить. Представим эту ситуацию диаграммой (рис. 2.24).
Цель моделирования также состоит в определении $$m_{1}$$ и $$m_{2}$$ на любой момент противоборства сторон. Как и в предыдущем случае, решение находится по частям для каждого характерного временного промежутка. Здесь их два.
Значения $$m_{2}$$ находят интегрированием при начальном условии $$m_{1} = N_{1}$$.
(рис 2.24) Иллюстрация к упреждению удара
Боевые единицы двух противоборствующих сторон распределены случайно (для противоположной стороны) на площадях $$S_{1}$$ и $$S_{2}$$. Каждая боевая единица занимает некоторую площадь - позицию, величина которой $$\sigma_{1}$$ и $$\sigma_{2}$$ у сторон А и Б соответственно. Цель уничтожается при попадании заряда в площадь цели.
Схематично такое противоборство показано на рис. 2.25.
Как и в предыдущих случаях, $$N_{1}$$ и $$N_{2}$$ - первоначальные численности боевых единиц, скорострельности боевых единиц $$\lambda_{1}$$ и $$\lambda_{2}$$, вероятности поражения одним выстрелом - $$P_{1}$$ и $$P_{2}$$ сторон А и Б соответственно.
Огонь по площадям $$S_{1}$$ и $$S_{2}$$ ведется неприцельно.
(рис 2.25) Иллюстрация к модели боя с неполной информациейЦель моделирования - определение среднего числа непораженных целей $$m_{1}$$ и $$m_{2}$$ на каждый момент времени ведения огня.
Уравнения динамики боя соответствуют уравнениям динамики средних (2.3). Однако, в отличие от высокоорганизованного боя, вероятности $$P_{1}$$ и $$P_{2}$$ зависят от числа непораженных целей $$m_{1}$$ и $$m_2$$:
$$P_1 = \cfrac{\sigma_2 m_2}{S_2};\;P_2 = \cfrac{\sigma_1 m_1}{S_1}.$$Следовательно, уравнения имеют вид:
$$\left \{ \begin{array}{l} \cfrac{dm_1}{dt} = - \lambda_2\cfrac{\sigma_1 m_1}{S_1}m_2;\\ \cfrac{dm_2}{dt} = - \lambda_1\cfrac{\sigma_2 m_2}{S_2}m_1. \end{array}$$Начальные условия для интегрирования: $$m_{1} = N_{1}$$ и $$m_{2} = N_{2}$$.
Если площади целей различны ( $$\sigma_{1i};\;\sigma_{2j}$$ ), то в уравнениях очевидны замены:
$$\sigma_{1}\cdot m_{1} \to \sum\limits_{i = 1}^{m_1}\sigma_{1i};\;\sigma_{2}\cdot m_{2} \to \sum\limits_{j = 1}^{m_2}\sigma_{2j}.$$Такая ситуация возможна при плохой разведке, связи, управлении огнем.
Пусть $$m_{1}$$ - время запаздывания открытия огня стороной А, $$m_{2}$$ - стороной Б. Тогда интенсивности потоков поражающих выстрелов сторон, приходящихся на одну цель, равны:
$$\tilde{\lambda}_1 = \cfrac{\lambda_1 P_1 m_1(t)}{m_2(t - \tau_1)};\;\tilde{\lambda}_2 = \cfrac{\lambda_2 P_2 m_2(t)}{m_1(t - \tau_2)}.$$Уравнения динамики боя принимают вид:
$$\left \{ \begin{array}{l} \cfrac{dm_1}{dt} = \cfrac{\lambda_1 P_1 m_1(t)}{m_2(t - \tau_1)}m_1(t),\; m_1(0)=N_1;\\ \cfrac{dm_2}{dt} = \cfrac{\lambda_2 P_2 m_2(t)}{m_1(t - \tau_2)}m_2(t),\; m_2(0)=N_2. \end{array}$$На рис. 2.26 в момент времени $$t$$ действительные значения боеспособных средств сторон равны $$m_{1}(t)$$ и $$m_{2}(t)$$. Но в это время сторона А ведет огонь по целям, разведанным ранее, в момент времени $$t - \tau_{1}$$; сторона Б - по целям, разведанным в момент времени $$t - \tau_{2}$$.
(рис 2.26) Иллюстрация к учету запаздывания в переносе и открытии огняЦенность рассмотренных моделей противоборства сторон в функциональном плане всегда ограничена - об этом было сказано в начале п. 2.8. Но они, бесспорно, расширяют наши представления о приемах и подходах к аналитическому моделированию сложных процессов.
Для получения официальных документов о завершении программы дополнительного профессионального образования (удостоверения о повышении квалификации, дипломов о профессиональной переподготовке и MBA) необходимо предоставить:
Внимание! Вы можете не заказывать доставку бумажной версии официального документы, а скачать его в электронном виде и распечатать самостоятельно. Информация о выданном документе в течение 1 месяца загружается в Федеральную информационную систему «Федеральный реестр сведений о документах об образовании и (или) о квалификации, документах об обучении» - ФИС ФРДО.
Доступ на новый сайт осуществляется с использованием адреса электронной почты, который был указан вами при регистрации на "старом". Мы постарались перенести все ваши данные с прежнего ресурса, однако не исключена вероятность потери части информации.
При возникновении проблемы со входом, воспользуйтесь функцией сброса пароля
Если вы обнаружите несоответствия, пожалуйста, сообщите нам.