Создание модели - акт необходимый при анализе и синтезе сложных систем, но далеко не конечный. Модель - не цель исследователя, а только инструмент для проведения исследований, инструмент эксперимента. В первых темах мы достаточно полно раскрыли афоризм: "Модель есть объект и средство эксперимента".
Эксперимент должен быть информативен, то есть давать всю нужную информацию, которой следует быть полной, точной, достоверной. Но она должна быть получена приемлемым способом. Это означает, что способ должен удовлетворять экономическим, временным и, возможно, другим ограничениям. Такое противоречие разрешается с помощью рационального (оптимального) планирования эксперимента.
Теория планирования эксперимента сложилась в шестидесятые годы двадцатого века благодаря работам выдающегося английского математика, биолога, статистика Рональда Айлмера Фишера (1890-1962 гг.). Одно из первых отечественных изданий: Федоров В. В. Теория оптимального эксперимента. 1971 г. Несколько позже сложилась теория и практика планирования имитационных экспериментов, элементы которых рассматриваются в настоящей теме.
Итак, как мы уже знаем, модель создается для проведения на ней экспериментов. Будем считать, что эксперимент состоит из наблюдений, а каждое наблюдение - из прогонов ( реализаций ) модели.
Для организации экспериментов наиболее важно следующее.
Компьютерный эксперимент с имитационной моделью обладает преимуществами перед натурным экспериментом по всем этим позициям.
Что же такое компьютерный (машинный) эксперимент?
Компьютерный эксперимент представляет собой процесс использования модели с целью получения и анализа интересующей исследователя информации о свойствах моделируемой системы.
Эксперимент требует затрат труда и времени и, следовательно, финансовых затрат. Чем больше мы хотим получить информации от эксперимента, тем он дороже.
Средством достижения приемлемого компромисса между максимумом информации и минимумом затрат ресурсов является план эксперимента.
План эксперимента определяет:
Планирование экспериментов имеет следующие цели:
Таким образом, план эксперимента на компьютере представляет собой метод получения с помощью эксперимента необходимой информации.
Конечно, можно проводить исследования и по такому плану: исследовать модель во всех возможных режимах, при всех возможных сочетаниях внешних и
Очевидно, пользы от такой организации эксперимента мало, полученные данные трудно обозреть и проанализировать. Кроме того, большими будут затраты ресурсов, а они всегда ограничены.
Весь комплекс действий по планированию эксперимента разделяют на две самостоятельные функциональные части:
Стратегическое планирование - разработка условий проведения эксперимента, определение режимов, обеспечивающих наибольшую информативность эксперимента.
Тактическое планирование обеспечивает достижение заданных точности и достоверности результатов.
Формирование стратегического плана выполняется в так называемом
Объектами стратегического планирования являются:
Математические методы планирования экспериментов основаны на так называемом кибернетическом представлении процесса проведения эксперимента (рис. 4.1).
(рис 4.1) Кибернетическое представление экспериментаНа рис. 4.1:
$$x_{i}, i = \overline{1,n}$$ - входные переменные, факторы;
$$y = f(x) + \xi $$ - выходная переменная (реакция, отклик);
$$\xi $$ - ошибка, помеха, вызываемая наличием случайных факторов;
$$f(x) $$ - оператор, моделирующий действие реальной системы, определяющий зависимость выходной переменной $$y$$ от факторов $$x_{i}.$$
Иначе: $$f(x) $$ - модель процесса, протекающего в системе.
Первой проблемой, решаемой при стратегическом планировании, является выбор отклика (реакции), то есть определение, какие величины нужно измерять во время эксперимента, чтобы получить искомые ответы. Естественно, выбор отклика зависит от цели исследования.
Например, при моделировании информационно-поисковой системы может интересовать исследователя время ответа системы на запрос. Но может интересовать такой показатель как максимальное число обслуженных запросов за интервал времени. А может, то и другое. Измеряемых откликов может быть много: $$y _{1},y_{2},\ldots $$ В дальнейшем будем говорить об одном отклике $$y.$$
Второй проблемой стратегического планирования является выбор (определение) существенных факторов и их сочетаний, влияющих на работу моделируемого объекта. Факторами могут быть питающие напряжения, температура, влажность, ритмичность поставок комплектующих и многое другое. Обычно число факторов велико и чем меньше мы знакомы с моделируемой системой, тем большее, нам кажется, число их влияет на работу системы. В теории систем приводится так называемый принцип Парето:
это достигается достаточно глубоким изучением моделируемого объекта и протекающих в нем процессов.
Факторы могут быть количественными и (или) качественными.
Количественные факторы - это те, значения которых числа. Например, интенсивности входных потоков и потоков обслуживания, емкость буфера, число каналов в СМО, доля брака при изготовлении деталей и др.
Качественные факторы - дисциплины обслуживания (LIFO, FIFO и др.) в СМО, "белая сборка", "желтая сборка" радиоэлектронной аппаратуры, квалификация персонала и т. п.
Фактор должен быть управляемым. Управляемость фактора - это возможность установки и поддержания значения фактора постоянным или изменяющимся в соответствии с планом эксперимента. Возможны и неуправляемые факторы, например, влияние внешней среды.
К совокупности воздействующих факторов предъявляются два основных требования:
Совместимость факторов означает, что все комбинации значений факторов осуществимы.
Независимость факторов определяет возможность установления значения фактора на любом уровне независимо от уровней других факторов.
В стратегических планах факторы обозначают латинской буквой $$x_{t}$$, где индекс $$i$$ указывает номер (тип) фактора. Встречаются и такие обозначения факторов: $$A, В, С,\ldots$$ и т. д.
Третьей проблемой стратегического планирования является выбор значений каждого фактора, называемых уровнями фактора.
Число уровней может быть два, три и более. Например, если в качестве одного из факторов выступает температура, то уровнями могут быть: 80o С, 100o С, 120o С.
Для удобства и, следовательно, удешевления эксперимента число уровней следует выбирать поменьше, но достаточное для удовлетворения точности и достоверности эксперимента. Минимальное число уровней - два.
С точки зрения удобства планирования эксперимента целесообразно устанавливать одинаковое число уровней у всех факторов. Такое планирование называют симметричным.
Анализ данных эксперимента существенно упрощается, если назначить уровни факторов, равноотстоящие друг от друга. Такой план называется ортогональным. Ортогональность плана обычно достигают так: две крайние точки области изменения фактора выбирают как два уровня, а остальные уровни располагают так, чтобы они делили полученный отрезок на две части.
Например, диапазон питающего напряжения 30…50 В на пять уровней будет разбит так: 30 В, 35 В, 40 В, 45 В, 50 В.
Эксперимент, в котором реализуются все сочетания уровней всех факторов, называется полным факторным экспериментом (ПФЭ).
План ПФЭ предельно информативен, но он может потребовать неприемлемых затрат ресурсов.
Если отвлечься от компьютерной реализации плана эксперимента, то число измерений откликов (реакций) модели $$N_{C}$$ при ПФЭ равно:
$$N_{C} = q_{1} \cdot q_{2} \cdot\ldots\cdot q_{k} ,$$где $$q_{i}$$ - число уровней $$i $$ -го фактора, $$i =\overline{1, k}$$ ; $$k $$ - число факторов эксперимента.
Величина $$N_{C}$$ определяет структуру стратегического плана, то есть количество наблюдений (информационных точек).
При машинной реализации ПФЭ в каждом наблюдении (информационной точке) нужно выполнить определенное число прогонов (реализаций) модели, чтобы обеспечить заданную точность и достоверность значений откликов. Определение числа прогонов модели является предметом тактического планирования.
Обозначим число прогонов в каждом наблюдении $$p $$. Тогда для симметричного ПФЭ общее число $$N$$ необходимых прогонов модели равно:
$$N = pq^{k}.$$Пример 4.1. Планируется провести компьютерный эксперимент, в котором на отклик модели влияют три фактора. Для каждого фактора установлены три уровня. Требования по точности и достоверности требуют 6000 прогонов модели на каждом уровне (для каждого наблюдения). Время одного прогона модели равно 2 с.
Оценить затраты времени на проведение компьютерного эксперимента.
Решение
Исходные данные: $$k = 5$$, $$q = 2$$, $$p = 6000$$, $$t_{p} =\cfrac{2}{60}=\cfrac{1}{30} мин$$.
Число прогонов модели: $$N = pq^{k} = 6000\cdot 3^{5} = 6000\cdot 243 = 1458000$$.
Затраты времени : $$T=\cfrac{N\cdot t_p}{60}=\cfrac{1458000\cdot 1}{60\cdot 30} = 810 часов$$.
Ранее на рис. 4.1 был показан оператор преобразования - математическая модель процесса $$f(x).$$ В некоторых исследованиях, если $$f(x)$$ - имитационная модель процесса, требуется вместо
нее получить так называемую "вторичную модель" в виде аналитической зависимости. В дальнейшем "вторичная модель" может быть использована на практике или в других исследованиях. В таких случаях математическая модель формируется по данным эксперимента методом регрессионного анализа, что будет предметом нашего рассмотрения в следующей теме.
Многие планы экспериментов в настоящее время стандартизованы. Они имеются в справочниках, математических пакетах программ и системах моделирования. Однако исследователь должен быть готов к модификации имеющихся планов и приспособлению их к специфическим условиям конкретных задач.
С полным факторным экспериментом мы уже знакомы. Это, как отмечалось ранее, самый информативный план, понятный по структуре, но и самый неэкономичный. Поэтому ПФЭ применяют, когда число факторов невелико. В приведенном примере 4.1 при $$k = 5$$, $$q = 2$$, $$p = 6000$$, $$t =\cfrac{2}{60}=\cfrac{1}{30} мин$$ затраты времени на проведение компьютерного эксперимента ожидаются в 106 часов. Поэтому актуальной становится проблема более или менее обоснованного сокращения плана эксперимента (числа наблюдений). Способов сокращения плана и, следовательно, уменьшения затрат времени на проведение экспериментов, много, но все они, в конечном счете, основаны на пренебрежении эффектами парных, тройных и более взаимодействий факторов. Естественно, это снижает точность моделирования, но во многих случаях допустимо.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 4.2. Необходимо провести эксперимент с моделью, имеющей три двухуровневых фактора, с целью построения математической модели ("вторичной модели") процесса в виде:
$$y = b_{0} +b_{1}x_{1} +b_{2}x_{2} + b_{3}x_{3} +b_{12}x_{1}x_{2} + b_{13}x _{1}x_{3} +b_{23}x_{2}x_{3} +b_{123}x _{1}x_{2}x_{3}.$$Уравнение имеет восемь коэффициентов, следовательно, достаточно провести восемь наблюдений. Это уравнение соответствует
ПФЭ типа $$N = 2^3 = 8$$.
Полный факторный эксперимент дает возможность определить не только коэффициенты $$b _{1},b_{2},b _{3}$$, соответствующие так называемым линейным эффектам (их также называют главными), но и коэффициенты $$b_{12},b_{13},b_{23},b_{123}$$, соответствующие всем эффектам взаимодействия факторов, а также свободный член $$b_{0}$$.
Эффекты взаимодействия двух и более факторов проявляются, если влияние каждого из них на отклик зависит от уровней, на которых установлены другие факторы.
Теперь допустим, что число наблюдений в эксперименте, равное восьми, неприемлемо и план надо сократить.
Вполне естественно предположить, что эффекты взаимодействия оказывают на реакцию системы существенно меньшее влияние, чем линейные, или даже отсутствуют вовсе, если факторы обладают свойством независимости.
Исключим их и тогда модель процесса (уравнение отклика, уравнение реакции, "вторичная модель") принимает вид:
$$y = b_{0} +b_{1}x_{1} +b_{2}x_{2} +b_{3}x_{3} .$$Теперь число неизвестных коэффициентов $$b_{i}$$ сократилось вдвое и число необходимых наблюдений для их определения стало равно четырем.
Что это за наблюдения?
Четыре наблюдения достаточны для проведения ПФЭ при двух
факторной модели $$N = 2 $$. Этими факторами, например, могут быть $$x _{1}, x_{2}$$ или другая двухфакторная комбинация из трех факторов.
Уровни третьего фактора $$x_{3}$$ получают из первых двух с помощью, так называемого генерирующего соотношения:
Поскольку факторы двухуровневые, то в общем виде уровни принято обозначать так:
Новый, сокращенный план эксперимента называют полурепликой и обозначают $$2^{3-1}.$$ План приведен в табл. 4.1.
| № | $$x_0$$ | План ПФЭ $$2^{2}$$ | $$x_{3} = x_{1}\cdot x_{2}$$ | Отклик $$y_{i}$$ | |
|---|---|---|---|---|---|
| $$x_{1}$$ | $$x_{2}$$ | ||||
| 1 | 1 | -1 | -1 | +1 | $$y_{1}$$ |
| 2 | 1 | +1 | -1 | -1 | $$y_{2}$$ |
| 3 | 1 | -1 | +1 | -1 | $$y_{3}$$ |
| 4 | 1 | +1 | +1 | +1 | $$y_{4}$$ |
Единичный столбец $$x_{0}$$ обеспечивает вычисление свободного члена $$b_{0}$$ в модели процесса.
Таким же образом можно проводить дальнейшее сокращение планов типа $$2^{k-1},$$ получая четверть реплики $$2^{k-2}$$ и более мелкие реплики.
Естественно, такое сокращение числа экспериментов приводит к "огрублению" коэффициентов $$b_{i}.$$ Следовательно, полученную модель процесса $$y= f ( x)$$ нужно проверять на адекватность, используя для этого "сэкономленные" наблюдения.
Рассмотренное планирование является основой и составной частью для разработки более сложных - несимметричных многоуровневых планов.
Не менее часто целью экспериментов является проверка разного рода гипотез о природе сравниваемых объектов. Например, однородны ли выходы двух систем в смысле законов распределения, характеристик этих законов. Поскольку обработка данных эксперимента ведется методами
Планы
Наиболее популярными из неполных планов является симметричный план "
В планах
Пример 4.3. Построить план "
Решение
Исходные данные: $$k = 3, q =4 $$.
Введем обозначения факторов и уровней:
$$A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4} $$ - уровни доминирующего фактора $$A$$ ;
$$B_{1}, B_{2}, B_{3}, B_{4} $$ - уровни фактора $$B $$ ;
$$C_{1}, C_{2}, C_{3}, C_{4} $$ - уровни фактора $$C $$.
План приведен в табл. 4.2.
| Уровни $$В$$ | Уровни $$С$$ | |||
|---|---|---|---|---|
| $$C_{1}$$ | $$C_{2}$$ | $$C_{3}$$ | $$C_{3}$$ | |
| $$B_{1}$$ | $$A_{1}$$ | $$A_{2}$$ | $$A_{3}$$ | $$A_{4}$$ |
| $$B_{2}$$ | $$A_{2}$$ | $$A_{3}$$ | $$A_{4}$$ | $$A_{1}$$ |
| $$B_{3}$$ | $$A_{3}$$ | $$A_{4}$$ | $$A_{1}$$ | $$A_{2}$$ |
| $$B_{4}$$ | $$A_{4}$$ | $$A_{1}$$ | $$A_{2}$$ | $$A_{3}$$ |
В этом плане число наблюдений $$N = 4\cdot 4 =16.$$ В полном плане их было бы $$N = 4^{3} = 64.$$ Сокращение произошло за счет исключения некоторых комбинаций: $$A_{1}B_{2}C_{1}$$, $$A_{1}B_{2}C_{2}$$ и др.
Заметим, что план может быть и несимметричным. В этом случае вместо квадрата будет прямоугольник. И еще: выделение доминирующего фактора не является существенным, то есть, внутри квадрата можно располагать уровни любого из действующих факторов.
В практике планирования экспериментов встречаются и такие неполные планы: один из факторов меняет свои значения при фиксированных значениях других. То есть исследуется поочередно влияние каждого фактора в отдельности.
Иногда применяются и так называемые рандомизированные планы. В таких планах сочетания факторов и уровней для каждого прогона модели выбираются случайно. Вид случайности и объем выборки определяется исследователем.
Рассмотренные способы сокращения общего числа прогонов носят эвристический (субъективный) характер. Они осуществлялись за счет исключения каких-то комбинаций уровней факторов.
Однако во многих случаях исследователь имеет свободу действий в выборе числа факторов $$k,$$ числа уровней $$q$$ и числа прогонов $$p$$ модели в одном наблюдении. Каждый из этих аргументов в конкретной ситуации по-разному влияет на общее число прогонов модели $$N.$$
Исследуем эти влияния.
Как нам уже известно, общее число прогонов (реализаций) модели равно:
$$N = pq^{k}.$$Рассмотрим относительное влияние аргументов $$p, q, k$$ на число реализаций $$N$$.
Сначала нужно получить выражения для вычисления скоростей изменения функции $$N$$ при изменении одного аргумента и неизменных остальных аргументах. Для этого последовательно найдем частные производные первого порядка от функции $$N$$ по этим аргументам:
Теперь сравним попарно полученные производные:
Из соотношений 1 и 2 следует: если $$(kp\succ q}$$ и $$(k \succ q\ln{q})$$, то наибольшее влияние на число $$N$$ оказывает изменение числа уровней $$q$$.
Из соотношений 3 и 1 следует: если $$(p\ln{q}\succ 1)$$ и $$(k \prec q\ln{q})$$, то наибольшее влияние на число $$N$$ оказывает изменение числа факторов $$k$$.
Из соотношений 2 и 3 следует: если $$(q \succ kp)$$ и $$(1\succ p\ln{q})$$, то наибольшее влияние на число $$N$$ оказывает изменение числа реализаций модели на каждом уровне факторов (на каждом наблюдении).
Рассмотренный формальный подход к сокращению числа реализаций не совсем корректен, так как функция общего числа прогонов $$N$$ носит не непрерывный, а дискретный характер. Тем не менее, такой подход применяется с последующим округлением результатов до целых чисел.
Покажем применение формального подхода сокращения реализаций на примере.
Пример 4.4. На вход модели объекта действуют четыре трехуровневых фактора $$(k = 4, q = 3).$$ В каждом наблюдении предполагаются восемь прогонов модели $$(p = 8).$$ Полный факторный эксперимент потребует $$N = pq^{k} =8\cdot 3^{4} =648$$ прогонов или 81 наблюдение. Такие затраты ресурсов неприемлемы.
Требуется определить, какой из аргументов $$(k,q,p)$$ следует уменьшить, чтобы достичь наиболее существенного уменьшения числа реализаций $$N$$.
Решение
Подготовим данные для сравнений:
$$q \ln{q} = 3\ln{3} = 3.3;\, kp = 4\cdot 8 = 32;\, p\ln{q} = 8\cdot {1.1} = 8.8.$$Соблюдается условие:
$$(kp \succ q) \wedge (k \succ q \ln{q}) $$, так как $$(32 \succ 3) \wedge (4 \succ 3.3).$$
Следовательно, наибольшее влияние на изменение $$N$$ оказывает изменение числа уровней $$q $$.
Уменьшим $$q$$ на единицу: $$q = 3 -1 = 2 $$. В этом случае при ПФЭ потребуется выполнить $$N = 8 \cdot 2 =128$$ прогонов или 16 наблюдений, то есть в пять раз меньше.
Варьирование факторов на двух уровнях встречается часто и решение $$q = 2$$ будет приемлемо, если нет обстоятельств, не устраивающих это решение.
Основной задачей тактического планирования является обеспечение результатам компьютерного эксперимента заданных точности и достоверности.
Рассмотрим случай, когда имитационная модель строилась для определения характеристик некоторых случайных величин.
Такими случайными величинами могут быть:
Характеристику случайной величины будем обозначать греческой буквой $$\Theta $$.
С помощью имитационного моделирования точное значение $$\Theta$$ определить нельзя, так как число $$N$$ реализаций модели конечно. При конечном числе реализаций модели определяется приближенное значение характеристики. Обозначим это приближение $$\overline{\Theta}.$$
Приближенное значение $$\overline{\Theta}$$ называют оценка соответствующей характеристики: оценкой матожидания, оценкой дисперсии, оценкой коэффициента корреляции.
Точностью характеристики $$\overline{\Theta}$$ называют величину $$\varepsilon$$ в отношении
$$|\overline{\Theta}-M[\Theta]| < \varepsilon,$$где $$M[\Theta]$$ - матожидание случайной величины.
Величина $$\varepsilon$$ представляет собой абсолютное значение ошибки в определении значения искомой характеристики.
Достоверность оценки характеристики $$\overline{\Theta}$$ называют вероятность $$\alpha$$ того, что заданная точность достигается:
$$P(|\overline{\Theta}-M[\Theta]| < \varepsilon ) = \alpha.$$Достоверность характеризует повторяемость, устойчивость эксперимента и трактуется так: если для оценки $$M[\Theta]$$ использовать величину $$\overline{\Theta},$$ то в среднем на каждые 1000 применений этого правила в $$1000\cdot\alpha $$ случаев величина $$\overline{\Theta}$$ будет отличаться от $$M[\Theta]$$ на величину меньше $$\varepsilon $$.
В ряде случаев целесообразно пользоваться понятием относительной точности $$d=\cfrac{\varepsilon}{M[\Theta]}$$
В этом случае достоверность оценки имеет вид:
$$P\left ( \cfrac{\overline{\Theta}-M[\Theta]}{M[\Theta]} < d\right ) = \alpha$$Найдем функциональную связь точности е и достоверности а с количеством реализаций модели, когда в качестве показателей эффективности выступают матожидание и дисперсия некоторой случайной величины (времени, расстояния и т. п.).
Найдем искомую связь для случая, когда целью эксперимента является определение оценки матожидания некоторой случайной величины.
В $$N$$ прогонах модели получены независимые значения интересующего нас показателя эффективности:
$$a _{1}, a _{2}, \ldots, a_{i}, \ldots, a_{N} .$$В качестве оценки матожидания возьмем выборочное среднее (среднее арифметическое):
$$\overline{a}=\cfrac{\sum\limits_{i=1}^{N}{a_i}}{N}$$В последующей теме мы покажем, что оценка такого вида является наилучшей.
Согласно центральной предельной теореме, если значения $$a_{i }$$ независимы и имеют конечные дисперсии одного порядка, то при большом числе слагаемых $$N$$ случайная величина $$\overline{a}$$ имеет практически нормальное распределение с матожиданием и дисперсией соответственно:
$$M[\overline{a}]=M[a],\,\sigma_{\overline{a}}^2=\cfrac{\sigma_{a}^2}{N},\,\, \sigma_{\overline{a}}=\cfrac{\sigma_{a}}{\sqrt{N}}$$где $$\sigma_{a}^2$$ - дисперсия искомой случайной величины $$a.$$
Следовательно, справедливо
$$P(|\overline{a}-M[a]|< t_a\sigma_{\overline{a}}) = \Phi^*(t_{\alpha}),$$где $$\Phi^*(t_{\alpha}) = \cfrac{2}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{0}^{t_{\alpha}}{e^{-\frac{z^2}{2}}dz}$$ - интеграл вероятности.
В некоторых изданиях под интегралом вероятности понимают несколько иное выражение, поэтому целесообразно пользоваться интегралом Лапласа, который связан с интегралом вероятности
так: $$\Phi^{*}(t _{\alpha }) = 2\Phi(t _{\alpha })$$. $$\Phi(t _{\alpha })$$ - интеграл Лапласа. Из приведенного следует:
$$P(|\overline{a}-M[a]|< t_a\sigma_{\overline{a}}) = 2\Phi(t_{\alpha}),$$Сравнивая это выражение с выражением (4.1), имеем:
$$\varepsilon = t_{\alpha}\sigma_{\overline{a}}= t_{\alpha}\cfrac{\sigma_{\alpha}}{\sqrt{N}}=\alpha,\,\, t_{\alpha}=\Phi^{-1}\left (\cfrac{\alpha}{2}\right )$$Интеграл Лапласа табулирован, следовательно, задаваясь значением достоверности $$\alpha $$, определяется аргумент $$t_{\alpha }$$.
Итак, искомая связь между точностью $$\varepsilon $$, достоверностью $$\alpha $$ и числом реализаций модели получена:
$$\varepsilon = t_{\alpha }\cfrac{\sigma_{\alpha}}{\sqrt{N}},\,\, N = t^{2}_{\alpha } \cfrac{\sigma_{\alpha}^2}{\varepsilon^2} .$$Из выражений (4.2) следует:
Достоверность результата $$\alpha $$ указана значением аргумента функции Лапласа $$t_{\alpha }$$. Связь значения $$t_{\alpha } $$ с $$\alpha $$ находится из таблицы значений функции (интеграла) Лапласа. Наиболее употребительные соответствия $$t_{\alpha }$$ и $$\alpha $$ приведены в табл. 4.3.
| $$\alpha$$ | 0.8 | 0.85 | 0.9 | 0.95 | 0.99 | 0.995 | 0.999 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $$t_{\alpha}$$ | 1.28 | 1.44 | 1.65 | 1.96 | 2.58 | 2.81 | 3.30 |
Чтобы пользоваться формулами (4.2), нужно знать дисперсию $$\sigma^{2}_{a}$$. Очень редки случаи, когда значение дисперсии известно до эксперимента, поэтому возможны два способа предварительного определения дисперсии.
Первый способ. Иногда заранее известен размах значений искомой случайной величины:
$$R = \max {a_{i}} -\min{a_i}.$$В предположении нормального распределения случайной величины $$a$$, можно с использованием "правила трех сигм" получить приближенную оценку $$\sigma_{\alpha}$$:
$$\cfrac{R}{2}\approx 3\sigma_{a},\,\, \sigma_a\approx \cfrac{R}{6},\,\, \sigma_a^2\approx \cfrac{R^2}{36}$$Второй способ. Надо воспользоваться оценкой дисперсии. Для этого необходимо выполнить предварительный прогон модели в количестве $$N = 1000$$ реализаций. С использованием полученного ряда $$a_{i} , i =\overline{1, N}$$, найдем оценку дисперсии:
$$S_{\alpha}^2=\cfrac{1}{N^{*}-1}\sum\limits_{i-1}^N{(a_i-\overline{a})^2},\,\, S=\sqrt{\cfrac{1}{N^{*}-1}\sum\limits_{i-1}^N{(a_i-\overline{a})^2}}$$Здесь $$\overline{a}$$ - среднеарифметическое значение по $$N^{*}$$ измерениям. И в этом случае формулы (4.2) имеют вид:
$$N=t_{\alpha}^2\cfrac{S^2_{a}}{\varepsilon^2},\,\, \varepsilon=t_{\alpha}\cfrac{S_a}{\sqrt{N}}$$Вычисленную дисперсию $$S^{2}_a$$ подставим в формулу для определения $$N$$. Если окажется $$N > N^*,$$ то моделирование должно быть продолжено до выполнения $$N$$ реализаций. Если же $$N \le N^*$$, то моделирование заканчивается. Необходимая точность $$\varepsilon$$ оценки случайной величины $$a$$ (искомого показателя эффективности) при заданной достоверности $$\alpha$$ достигнута.
Если в технических условиях задана относительная точность $$d=\cfrac{\varepsilon}{\overline{a}}$$, то формулы (4.3) принимают вид:
$$N=t_{\alpha}^2\cfrac{S^2_{a}}{d^2\overline{a}^2},\,\, d=t_{\alpha}\cfrac{S_a}{\overline{a}\sqrt{N}}$$Значение $$\overline{a}$$ определяется на основании $$N = 1000$$ прогонов модели. Все дальнейшие расчеты аналогичны только что рассмотренным аналитическим выражениям.
Вышеприведенные рассуждения и выражения были справедливы в предположении нормального закона распределения случайной величины $$a $$. Если в этом есть сомнение, то для определения связи $$\varepsilon$$, $$\alpha$$ и $$N$$ можно воспользоваться
С учетом направления знаков неравенств получим:
$$\cfrac{\sigma^2_{\alpha}}{N\sigma^2}=1-\alpha \Rightarrow N = \cfrac{\sigma^2_{\alpha}}{\varepsilon^2(1-\alpha)} \Rightarrow \varepsilon =\sqrt{\cfrac{\sigma^2_{\alpha}}{N(1-\alpha)}}$$Также как и в предыдущих случаях вместо неизвестной дисперсии $$\sigma^{2}_{a}$$ следует использовать ее оценку $$S^{2}_a$$, вычисленную по данным $$N^*$$ прогонов модели. И еще: обратим внимание, что в данном случае достоверность $$\alpha$$ участвует в формулах в явном виде.
Итак, в выражениях (4.3) мы вместо неизвестной дисперсии $$\sigma_{а}^{2}$$ используем ее оценку $$S^{2}_a$$. В этом случае вместо аргумента функции Лапласа $$t_{\alpha}$$ надо использовать параметр распределения Стьюдента $$t^*_{\alpha}$$, значения которого зависят не только от уровня достоверности $$\аlpha$$, но и от числа так называемых степеней свободы $$k = N -1$$. Здесь, как и прежде, $$N$$ - число прогонов модели. Вообще-то, при $$N \to\infty$$ распределение Стьюдента стремится к нормальному распределению, но при малом числе прогонов модели $$t^*_{\alpha}$$ заметно отличается от $$t_{\alpha}$$.
Для практических целей значения $$t^*_{\alpha}$$ можно взять из табл. 4.4.
Из табл. 4.4 видно, что при $$k = N-1> 120$$ значения $$t^*_{\alpha}$$ и $$t_{\alpha}$$ практически совпадают. Но при меньших значениях $$N$$ следует пользоваться величиной $$t^*_{\alpha}$$.
| $$k$$ | $$\alpha$$ | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| 0.8 | 0.9 | 0.95 | 0.99 | 0.999 | |
| 10 | 1.37 | 1.81 | 2.23 | 3.17 | 4.6 |
| 20 | 1.33 | 1.73 | 2.1 | 2.85 | 3.73 |
| 30 | 1.31 | 1.7 | 2.04 | 2.75 | 3.65 |
| 40 | 1.3 | 1.68 | 2.02 | 2.7 | 3.55 |
| 60 | 1.3 | 1.67 | 2.0 | 2.67 | 3.41 |
| 120 | 1.29 | 1.66 | 1.98 | 2.62 | 3.37 |
Мы научились находить оценку матожидания $$\overline{a}$$ некоторой случайной величины $$a$$ с заданными точностью и достоверностью.
Теперь рассмотрим задачу определения оценки дисперсии $$S^2$$ случайной величины $$a$$ также с заданными точностью и достоверностью.
Опустим вывод и приведем окончательный вид формул для расчета $$N$$ и $$\varepsilon$$:
$$N=t_{\alpha}^2\cfrac{(\mu_4-\sigma^4)}{\varepsilon^2};\,\, \varepsilon=t_{\alpha}\sqrt{\cfrac{(\mu_4-\sigma^4)}{\varepsilon^2}}$$где $$\mu_{4}$$ - эмпирический центральный момент четвертого порядка:
$$\mu_4=\cfrac{1}{N}\sum\limits_{i=1}^{N}{(a_i - \overline{a})^4}$$Неизвестное значение $$\sigma$$ заменяется оценкой $$S$$, как было рассмотрено ранее.
Если определяемая случайная величина имеет нормальное распределение, то $$\mu_{4} = 3\sigmа^{4}\approx 3S^{4}$$ и выражения для $$N$$ и $$\varepsilon$$ принимают вид:
$$N=t_{\alpha}^2\cfrac{2S^4}{\varepsilon^2};\,\, \varepsilon=t_{\alpha}\cfrac{S^2\sqrt{2}}{\sqrt{N}}$$Как и ранее при малых значениях $$N $$ ( $$N < 120$$ ) следует использовать параметр распределения Стьюдента $$t^*_{\alpha}$$.
Из сопоставления (4.3) и (4.4) следует, что одно и то же количество реализаций модели обеспечит разное значение ошибки $$\varepsilon$$ при оценке матожидания случайной величины $$a$$ и ее дисперсии - при одинаковой достоверности. И иначе: одинаковую точность определения оценок матожидания и дисперсии случайного параметра при одинаковой достоверности обеспечит разное число реализаций модели.
Пример 4.5. В результате предварительных прогонов модели $$N =1000$$ определена оценка дисперсии $$S^{2} = 10 ед^{2}$$.
Определить число реализаций модели $$N_{1}$$ и $$N_{2}$$ для определения оценок матожидания и дисперсии случайной величины $$a$$ соответственно с точностью $$\varepsilon = 0,1$$ и достоверностью $$\аlpha = 0.9.$$
Решение
$$N_1=t_{\alpha}^2\cfrac{S^2}{\varepsilon^2}=1.65^2\cfrac{10}{0.1^2}\approx 2720 \\ N_2=t_{\alpha}^2\cfrac{2S^4}{\varepsilon^2}=1.65^2\cfrac{200}{0.1^2}\approx 54450 \\$$Мы рассматриваем случай, когда в качестве показателя эффективности выступает вероятность свершения (или не свершения) какого-либо события, например, поражения цели, выхода из строя техники, завершения комплекса работ в заданное время и др.
В качестве оценки вероятности $$P$$ события $$\overline{a}$$ выступает частота его свершения:
$$\overline{P}=\cfrac{m}{N}$$где $$N$$ - число реализаций модели;
$$m$$ - число свершений данного события.
Использование частоты $$\overline{P}$$ в качестве оценки искомой вероятности $$P$$ основано на теореме Я. Бернулли, которую в данном случае можно в формализованном виде записать так:
$$\lim\limits_{N\to \infty}{\cfrac{m}{N}}=P$$Точность и достоверность этой оценки связаны уже с известным определением достоверности:
$$P(|\overline{P}-P|<\varepsilon)=\alpha$$Задача сводится к нахождению такого количества реализаций $$N,$$ чтобы оценка $$\overline{P}$$ отличалась от искомого значения $$P$$ менее, чем на $$\varepsilon$$ с заданной достоверностью. Здесь, как и ранее, $$\varepsilon$$ - абсолютное значение, характеризующее точность оценки.
Для нахождения функциональной связи между точностью, достоверностью и числом реализаций модели введем переменную $$x_{i}$$ - результат исхода $$i $$ -й реализации модели:
$$x_i=\left \{ \begin{array}{ll} 1, \text{ событие свершилось, вероятность } P,\\ 0, \text{ событие не свершилось, вероятность } 1-P. \end{array}$$Тогда частота свершения события (оценка искомой вероятности) будет определяться следующим выражением:
$$\overline{P}=\cfrac{\sum\limits_{i=1}^{N}{x_i}}{N}$$Величина $${\sum\limits_{i=1}^{N}{x_i}}$$ - случайная и дискретная. Она при таком задании $$x_{i}$$ имеет
Из этого следует:
$$M[\overline{P}]=M\left [\frac{\sum\limits_{i=1}^{N}{x_i}}{N}\right ]=\cfrac{1}{N}NP=P,\\ D[\overline{P}]=D\left [\frac{\sum\limits_{i=1}^{N}{x_i}}{N}\right ]=\cfrac{1}{N^2}NP(1-P)= \cfrac{P(1-P)}{N},\\ \sigma_{\overline{P}}=\sqrt{D[\overline{P}]}=\cfrac{P(1-P)}{N}$$В теории вероятностей есть теорема Лапласа (частный случай центральной предельной теоремы), сущность которой состоит в том, что при больших значениях числа реализаций $$N$$
Следовательно, можно записать:
$$P(|\overline{P}-P|< t_{\alpha}\sigma_{\overline{P}})=2\Phi(t_{\alpha}),\\ P\left (|\overline{P}-P|< t_{\alpha}\sqrt{\cfrac{P(1-P)}{N}}\right)=2\Phi(t_{\alpha}).$$Следуя рассуждениям, приведенным ранее, получим искомые формулы:
$$\varepsilon=t_{\alpha}\sqrt{\cfrac{P(1-P)}{N}},\,\, N=t_{\alpha}^2{\cfrac{P(1-P)}{\varepsilon^2}}.$$Как и ранее, $$t_{\alpha }$$ - аргумент функции Лапласа, $$t_{\alpha}=\Phi^{-1}\left ( \cfrac{\alpha}{2}\right )$$
Если априорные сведения хотя бы о порядке искомой вероятности $$P$$ неизвестны, то использование значения абсолютной ошибки $$\varepsilon$$ может не иметь смысла. Например, может быть так, что исследователь задал значение абсолютной ошибки $$\varepsilon=1$$, а искомое значение вероятности оказалось $$P = 0.01$$. Очевидно, явное несоответствие. Поэтому целесообразно оперировать относительной погрешностью: $$d=\cfrac{\varepsilon}{p}$$
В этом случае формулы (4.5) принимают вид:
$$d=t_{\alpha}\sqrt{\cfrac{1-P}{PN}},\,\, N= t_{\alpha}^2\cfrac{1-P}{Pd^2}$$Из формул (4.6) следует, что при определении оценок малых вероятностей с приемлемо высокой точностью необходимо выполнить очень большое число реализаций модели. При отсутствии высокопроизводительного компьютера применение статистического моделирования становится проблематичным.
Пример 4.6. Вероятность $$P = 0,1.$$
Определить число реализаций модели и затраты машинного времени для оценки данной вероятности с относительной точностью $$d =1%$$ и достоверностью $$\alpha = 0.9.$$ На выполнение одной реализации модели требуется 5 сек.
Решение
Из табл. 4.3 находим $$t_{\alpha } = 1.65 $$. Относительная точность $$d=0,01$$.
$$N= t_{\alpha}^2\cfrac{1-P}{Pd^2}= 1.65^2\cfrac{1-0.1}{0.1\cdot 0.01^2}=2.7252\cfrac{0.9}{0.1\cdot 0.01^2}=\cfrac{2.45}{10^{-5}}=245000$$Если на выполнение одной реализации требуется 5 сек, то затраты машинного времени составят $$\cfrac{245000\cdot 5}{3600}\approx 340 часов$$
В формулах (4.5) и (4.6) для вычисления $$N$$ или $$\varepsilon(d)$$ присутствует та же неопределенность, которую мы обсуждали ранее: вычисления требуют знания вероятности $$P$$, а она до эксперимента неизвестна. Эта неопределенность снимается так.
Выполняется предварительно $$N^*$$ прогонов модели. Обычно $$N^*= 1000.$$ По данным этих прогонов вычисляют ориентировочное значение оценки вероятности $$\overline{P}^* $$, которую и подставляют в формулу вместо вероятности $$P$$.
Если окажется $$N > N^* $$, моделирование следует продолжить до выполнения $$N$$ реализаций.
Если окажется $$N \le N^*,$$ то моделирование заканчивается. При этом если $$N <N,$$ то следует определить действительную точность $$\varepsilon$$ или $$d$$ для $$N = 1000$$ реализаций. Очевидно, в этом случае достигнутая точность будет выше заданной (ошибка меньше заданной)
Но более удобно рассчитывать число реализаций на так называемый наихудший случай.
Вернемся к формуле (4.5)
$$N= t_{\alpha}^2\cfrac{P(1-P)}{\varepsilon^2}$$Анализ формулы показывает, что число реализаций модели в зависимости от вероятности $$P$$ изменяется от $$0$$ (при $$P = 0$$ ) до $$0$$ (при $$P = 1$$ ), проходя через максимум. Максимальное значение $$N$$ принимает при $$P = 0.5$$:
$$\cfrac{\particial{N}}{\particial{P}}= \cfrac{t_{\alpha}^2}{\varepsilon^{2}}(1-2P)=0, \,\,.1-2P=0,\,\, P=0.5$$То есть наибольшее число реализаций модели будет тогда, когда искомая вероятность равна $$0.5$$.
В этом случае число реализаций определяется так:
$$N_m= t_{\alpha}^2\cfrac{P(1-P)}{\varepsilon^2}= t_{\alpha}^2\cfrac{0.5(1-0.5)}{\varepsilon^2} = \cfrac{t_{\alpha}^2}{4\varepsilon^2}$$Если в результате моделирования окажется, что искомая вероятность значительно отличается от 0,5 (в любую сторону), то точность моделирования будет выше заданной (ошибка $$\varepsilon$$ меньше). Для определения этой точности следует воспользоваться уже известной формулой (4.5), но при $$N =N_{m}:$$
$$\varepsilon=t_{\alpha}\sqrt{\cfrac{P(1-P)}{N_m}}$$Пример 4.7. Сервер обрабатывает запросы, поступающие с автоматизированных рабочих мест (АРМ) с интервалами, распределенными по экспоненциальному закону со средним значением $$T_{1} = 2мин.$$ Вычислительная сложность запросов распределена по нормальному закону с математическим ожиданием $$S_{1} = 6\cdot 10^{7} оп$$ и среднеквадратическим отклонением $$S_{2} = 2\cdot 10^{5} оп.$$ Производительность сервера по обработке запросов $$Q = 5\cdot 10^{5} оп/c.$$
Построить алгоритм имитационной модели с целью определения вероятности обработки запросов за время $$T =1час.$$ Исследовать зависимость вероятности обработки запросов от интервалов их поступления, вычислительной сложности и производительности сервера.
Решение
Для построения алгоритма имитационной модели введем следующие идентификаторы:
$$t1 $$ - текущее время поступления запроса;
$$t2$$ - интервал поступления запросов;
$$t3$$ - текущее время окончания обработки запроса;
$$t4$$ - время обработки запроса;
$$k$$ - счетчик количества прогонов модели (реализаций);
$$P$$ - вероятность обработки запросов;
$$M$$ - счетчик количества обработанных запросов;
$$N$$ - заданное количество прогонов модели (реализаций);
$$R$$ - количество запросов за $$N$$ прогонов модели;
$$T$$ - время моделирования.
Алгоритм модели приведен на рис. 4.2.
(рис 4.2) Алгоритм модели обработки запросов серверомВыберем интервалы варьирования уровней факторов.
$$T_{1} =120 \pm 60 c$$ - средний интервал поступления запросов.
Для изменения математического ожидания и среднеквадрати-ческого отклонения целесообразно ввести коэффициент, принимающий два значения, например, $$h_{1} = 0.5$$ и $$h_{2} =1.5 $$. Тогда $$S_1 = 2\cdot 10^7 \pm 3\cdot 10^7 оп$$, $$S_2 = 2\cdot 10^5 \pm 1\cdot 10^5 оп$$, $$Q = 5\cdot 10^5 \pm 2\cdot 10^5 оп/с$$ - производительность сервера.
В соответствии с интервалами варьирования представим уровни факторов таблицей (табл. 4.5). В табл. 4.5 индексы н и в - нижний и верхний уровни факторов соответственно.
| $$T_1$$ | $$S_1/S_2$$ | $$Q$$ | |||
|---|---|---|---|---|---|
| $$T_{1Н}$$ | $$T_{1В}$$ | $$(S_1/S_2)_Н$$ | $$(S_1/S_2)_В$$ | $$Q_Н$$ | $$Q_В$$ |
| $$60$$ | $$180$$ | $$3\cdot 10^7 /1\cdot 10^5$$ | $$9\cdot 10^7 /3\cdot 10^5$$ | $$3\cdot 10^5$$ | $$7 \cdot 10^5$$ |
| -1 | +1 | -1 | +1 | -1 | +1 |
Составим план факторного эксперимента:
| № | $$T_{1}$$ | $$S_{1} /S_{2}$$ | $$Q$$ | $$Y$$ | |
|---|---|---|---|---|---|
| $$N_{0} =1000$$ | $$N_{0} =9600$$ | ||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 1 | -1 | -1 | -1 | 0.375 | 0.375 |
| 2 | -1 | -1 | +1 | 0.584 | 0.583 |
| 3 | -1 | +1 | -1 | 0.166 | 0.167 |
| 4 | -1 | +1 | +1 | 0.32 | 0.319 |
| 5 | +1 | -1 | -1 | 0.64 | 0.642 |
| 6 | +1 | -1 | +1 | 0.809 | 0.808 |
| 7 | +1 | +1 | -1 | 0.376 | 0.375 |
Проведем эксперимент. Выполним первое наблюдение при $$N_{0} =1000$$ прогонов модели. Получим вероятность обработки запросов $$P_{0} =0,375$$. Занесем ее в табл. 4.5 (строка 1, столбец 5) Зададимся точностью $$\varepsilon = 0,01$$ и доверительной вероятностью $$\alpha = 0,95$$. По таблице значений функции Лапласа найдем ее аргумент $$t_{\alpha } = 1,96$$ (см. табл. 4.3).
Рассчитаем требуемое количество прогонов модели при $$\varepsilon = 0,01$$ и $$\alpha = 0,95 $$:
$$N= t_{\alpha}^2\cfrac{P(1-P)}{\varepsilon^2}= 1.96^2\cfrac{0.375(1-0.375)}{0.01^2}= 3.8416\cdot\cfrac{0.375\cdot 0.625}{0.01^2}= 9003$$При расчете числа прогонов для "худшего случая" (а такой вариант возможен, так как в табл. 4.6 мы видим, что есть $$P_{0} \approx 0.5$$ ) получим:
$$N=1.96^2\cfrac{0.5\cdot 0.5)}{0.01^2}= 3.8416\cdot\cfrac{0.25}{0.01^2}= 9604$$До сих пор мы предполагали, что выходные данные модели образуют ряд значений $$a_{i}$$, статистически независимых и принадлежащих одному закону распределения. Однако это не всегда так.
Пусть, например, целью статистического моделирования будет определение матожидания времени пребывания заявки в очереди $$\overline{t}_{ож}$$ одноканальной системы массового обслуживания.
В результате эксперимента с моделью будет получен ряд значений $$t_{ож i}, i = \overline{1,N}$$, которые заведомо статистически зависимы:
при большом времени ожидания $$k $$ -й заявки значение $$t_{ож}_{k+1}$$, не может быть малым, если обе заявки находились одновременно в очереди. Связь точности оценки $$\varepsilon$$, среднего времени ожидания $$\overline{t}_{ож}$$ с количеством реализаций $$N$$ в этом случае выглядит иначе, чем было рассмотрено ранее. Мы рассмотрим метод определения точности и количества реализаций для статистически зависимых последовательностей - откликов модели, в основе которого лежит так называемый регенеративный анализ.
Допустим, что в результате эксперимента с имитационной моделью получен ряд значений $$t_{ожi}$$, приведенный в табл. 4.7.
Здесь $$i$$ - порядковый номер поступающих заявок.
| $$i$$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | … |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $$\overline{t}_{ож}$$ | 0 | 5 | 7 | 0 | 3 | 0 | 3 | 9 | 11 | 2 | 0 | … |
Обратим внимание на то, что заявка 1 застает канал обслуживания свободным: ее время ожидания в очереди равно нулю. Такая же ситуация возникла для заявок 4, 6 и 11. Период занятости и простоя канала обслуживания образуют цикл его работы. В табл. 4.7 можно выделить три таких цикла, в которые входят следующие наборы обслуженных заявок:
Заявка 11 является началом нового цикла 4 и т. д.
Начала каждого цикла неотличимы друг от друга - заявка поступает на обслуживание без ожидания. Говорят так: система восстанавливается (регенерируется) к началу каждого цикла, следовательно, поведение системы в очередном цикле не зависит от ее поведения в предыдущих циклах.
Введем обозначения:
$$\Theta _{k}$$ - сумма времен ожидания $$k $$ -го цикла, $$k =\overline{1,n}$$ ;
$$q_{k}$$ - количество заявок, образующих $$k $$ -й цикл. Для данных, приведенных в табл. 4.5:
$$\Theta_1=0+5+7=12,\,\, \Theta_2=0+3=3,\,\, \Theta_3=0+3+9+11+2=25,\ldots\\ q_1=3,\,\,q_2=2,\,\,q_3=5,\,\,\ldots$$Таким образом, мы получили пары чисел - независимых и одинаково распределенных:
$$(\Theta_1,q_1), (\Theta_2,q_2), (\Theta_3,q_3).$$Заметим, что числа $$\Theta _{k}$$ и $$q_{k}$$ между собой зависимы.
Целью дальнейших рассуждений является определение оценки
матожидания времени пребывания заявки в очереди $$\overline{t}_{ож}$$, отличающееся от $$M [t_{ож}]$$ на величину не более $$\varepsilon$$ при заданной достоверности $$\alpha $$. Так как
$$\sum\limits_{i=1}^{N}{t_{ожi}}= \sum\limits_{k=1}^{n}{\Theta_k},\,\, N=\sum\limits_{k=1}^{n}{q_k},$$где $$n$$ - число циклов, то оценка матожидания времени пребывания заявки в очереди определяется так:
$$\overline{t}_{ож}=\cfrac{\sum\limits_{i=1}^{N}{t_{ожi}}}{N}= \cfrac{\sum\limits_{k=1}^{n}{\Theta_k}}{\sum\limits_{k=1}^{n}{q_k}}$$Разделим числитель и знаменатель на число циклов $$N$$ и получим:
$$\overline{t}_{ож}=\cfrac{\cfrac {\sum\limits_{k=1}^{n}{\Theta_k}}{n}}{\cfrac {\sum\limits_{k=1}^{n}{q_k}}{n}} = \cfrac{\overline{\Theta}}{\overline{q}}$$В соответствии с центральной предельной теоремой оценка длительности цикла $$\overline{\Theta}$$ при числе циклов $$n\to\infty$$ есть случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием и дисперсией соответственно:
$$M[\overline{\Theta}]=M[\Theta], \sigma_{\overline{\Theta}}^{2}=\cfrac{\sigma^2}{n}$$где $$\sigma^{2}$$ - дисперсия, представляющая собой сумму дисперсий зависимых между собой случайных величин $${\Theta}$$ и $$q $$.
Следовательно, имеет место уже знакомое нам выражение
$$P\left ( |\overline{\Theta}-M[{\Theta}]| < t_{\sigma}\cfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \right ) = 2\Phi (t_{sigma})$$Если $$\varepsilon$$ - граничное значение ошибки для оценки $$\overline{t}_{ож}$$, то очевидно граничное значение ошибки для оценки $$\overline{\Theta}$$ равно $$\varepsilon\overline{q}.$$
Тогда $$t_{\alpha}\cfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = \varepsilon\overline{q}$$. Из этого следует:
Коэффициент $$t_{\alpha}$$, как и ранее, характеризует достоверность оценки $$\overline{t}_{ож}$$ и является аргументом функции Лапласа:$$t_{\alpha}=\Phi^{-1}\left ( \cfrac{\alpha}{2} \right )$$
Значения $$\sigma^2$$ и $$\overline{q}$$ до эксперимента неизвестны. Их ориентировочные значения должны быть определены по данным предварительных прогонов модели в количестве $$n^*$$ реализаций циклов. Обычно $$n^* =50\ldots100.$$
Оценку дисперсии $$\sigma^{2}$$ обозначим $$S^{2}.$$ Она вычисляется так:
$$S^{2}= S^{2}_{\Theta} - 2 \overline{t}_{ож}r_{\Theta,q} +t^2_{ож}S_q^2$$Здесь:
$$S_{\Theta}^2=\cfrac{1}{n^*-1}\sum\limits_{k=1}^{n^*}{(\Theta_k-\overline{\Theta})^2}$$ - оценка дисперсии $$\Theta$$ ;
$$S_{q}^2=\cfrac{1}{n^*-1}\sum\limits_{k=1}^{n^*}{(q_k-\overline{q})^2}$$ - оценка дисперсии $$q$$ ;
$$r_{\Theta,q}=\cfrac{1}{n^*-1}\sum\limits_{k=1}^{n^*}{(q_k-\overline{q})(\Theta_k-\overline{\Theta})}$$ - корреляционный момент случайных величин $$\Theta$$ и $$q$$ ;
$$\overline{\Theta}=\cfrac{\sum\limits_{k=1}^{n^*}{\Theta_k}}{n^*},\,\, \overline{q}=\cfrac{\sum\limits_{k=1}^{n^*}{q_k}}{n^*},\,\, \overline{t}_{ож}=\cfrac{\overline{\Theta}}{\overline{q}}$$И, наконец, необходимое число циклов будет определено:
$$n = t_{\alpha}^2\cfrac{S^2}{\varepsilon^2\overline{q}^2}.$$Если окажется $$n > n^* $$, то моделирование продолжается до достижения $$n$$ циклов. Если же окажется $$n\le n^*,$$ то моделирование заканчивается и, если необходимо, дается оценка достигнутой точности.
Признак конца моделирования: $$n = n_{зад}$$ или количество обслуженных СМО заявок $$n = N_{зад} =n _{зад}\cdot \overline{q}$$.
К тактическому планированию эксперимента относится и решение так называемой проблемы начальных условий.
В отличие от реальной системы модель работает прогонами - для накопления нужной статистики. Поэтому при каждом новом прогоне модели требуется какое-то время, чтобы установился стационарный режим, характеристики которого интересуют исследователя.
То есть начальные условия искажают характеристики стационарного режима.
Например, моделируется функционирование направления связи. В установившемся режиме входной буфер направления имеет среднее заполнение поступившими, но не обработанными пока сообщениями. Но перед каждым очередным прогоном в модели устанавливаются нулевые начальные условия.
Или еще: вероятность обслуживания заявки в СМО имеет какое-то стационарное значение. Но в начальный момент эта вероятность равна нулю.
Следовательно, начальные установки регистрируемого параметра (показателя эффективности и др.) искажают результат.
Для устранения ошибок, вызываемых не соответствующей установкой начальных условий, возможно применение следующих мер:
Первый подход требует от разработчика знания типичных условий работы и умения внести в модель эти условия. В моделях сложных систем это вряд ли выполнимо.
При втором подходе требуется слишком долгое моделирование до наступления такого состояния, когда исчезает влияние собранных неверных данных. Стоимость такого моделирования для сложных систем может оказаться слишком высокой, что делает этот подход нежелательным.
Третий подход оказывается наиболее удобным. Нужно на определенной стадии моделирования отбросить статистику с последующим продолжением моделирования без каких-либо модификаций модели. Такой подход используется в ряде систем моделирования. Заметим, однако, что время установки
Все эти приемы могут уменьшить влияние переходных процессов в модели на результаты эксперимента, однако свести его к нулю не могут.
Определить требуемое количество $$N$$ реализаций модели для достижения требуемой точности и достоверности.
Для получения официальных документов о завершении программы дополнительного профессионального образования (удостоверения о повышении квалификации, дипломов о профессиональной переподготовке и MBA) необходимо предоставить:
Внимание! Вы можете не заказывать доставку бумажной версии официального документы, а скачать его в электронном виде и распечатать самостоятельно. Информация о выданном документе в течение 1 месяца загружается в Федеральную информационную систему «Федеральный реестр сведений о документах об образовании и (или) о квалификации, документах об обучении» - ФИС ФРДО.
Доступ на новый сайт осуществляется с использованием адреса электронной почты, который был указан вами при регистрации на "старом". Мы постарались перенести все ваши данные с прежнего ресурса, однако не исключена вероятность потери части информации.
При возникновении проблемы со входом, воспользуйтесь функцией сброса пароля
Если вы обнаружите несоответствия, пожалуйста, сообщите нам.