Рассмотрим пример. Пусть Некто бросил монетку два раза. Считая каждый исход "орел" - "решка" равновероятным и независимым от предыдущего результата, получим следующие варианты результатов:$$\[ \overline A \ \overline A, \overline A \ A, \ A \ \overline A, \ A \ A \]$$.
где обозначено появление $$$A$$$ - "решки" и $$$\overline A$$$ - "орла". Понятно, что при этом $$$P(A)=\frac 1 2 = 1- P(\overline A)$$$, так как появление "орла" или "решки" события равновероятные. Для удобства введем обозначение $$$P(A)=p$$$ $$$P\overline A)=q$$$. Очевидно, что $$$p+q=1$$$.
Пусть теперь монету кидают 3 раза. Теперь возможны $$$2^3$$$ разных вариантов исходов:$$\[ \overline A \ \overline A \ \overline A , \ \overline A \ \overline A \ A \ , \overline A \ A \ \overline A, \ A \ \overline A \ \overline A, \ \overline A \ A \ A, \ A \ \overline A \ A, \ A \ A \ \overline A , \ A \ A \ A \]$$
Можно убедиться самостоятельно, что, если монетку кидать 4 раза, то получится $$$2^4$$$ различных вероятных комбинаций.
Рассуждая далее, имеем, что в случае $$$n$$$ испытаний Некто получит одну из $$$2^n$$$ комбинаций исходов.
Так как испытания независимые, то, применяя теорему умножения вероятностей найдем вероятности каждого из проведенных испытаний (табл. 5.1 для $$$n=2$$$ ; табл. 5.2 для $$$n=3$$$ ).
| Исход | $$$\overline A \ \overline A $$$ | $$$\overline A \ A $$$ | $$$A \ \overline A $$$ | $$$ A \ A $$$ |
| Вероятность | $$$ qq=q^2 $$$ | $$$ pq$$$ | $$$ qp $$$ | $$$ pp=p^2 $$$ |
| Исход | Вероятность | Исход | Вероятность | Исход | Вероятность | Исход | Вероятность |
| $$$\overline A \ \overline A \ \overline A $$$ | $$$ qqq=q^3 $$$ | $$$\overline A \ A \ \overline A $$$ | $$$ qpq=pq^2 $$$ | $$$\overline A \ \overline A \ A $$$ | $$$ qqp=pq^2 $$$ | $$$ A \ A \ A $$$ | $$$ppp=p^3 $$$ |
| $$$\overline A \ A \ A $$$ | $$$qpp=qp^2 $$$ | $$$A \ \overline A \ A $$$ | $$$pqp=qp^2 $$$ | $$$A \ A \ \overline A $$$ | $$$ppq=qp^2 $$$ | $$$A \ \overline A \ \overline A $$$ | $$$pqq=pq^2 $$$ |
Проанализируем табл. 5.2 более подробно. Заметим, что не появление события А во всех трех испытаниях имеет вероятность $$$P\left (\overline A \ \overline A \ \overline A \right )=q^3$$$, соответствующую только одному единственному исходу $$$\overline A \ \overline A \ \overline A $$$. Тогда вероятность, появления события А один раз соответствует (см. табл. 3)$$\[ P_{3}(1)=P\left (\overline A \overline A \ \overline A \right ) + P\left (\overline A \ A \ \overline A \right ) + P\left (\overline A \ \overline A \ A \right ) =3pq^2 \]$$
Аналогично, вероятность появления 2-х раз А будет равна .$$\[ P_{3}(2)=P\left (\overline A \ A \ \ A \right ) + P\left (A \ \overline A \ A \right ) + P\left (A \ A \ \overline A \right ) =3p^2q \]$$
И, наконец, если событие А состоялось все три раза, то$$\[ P_{3}(3)=P\left (A \ A \ A ) =p^3. \]$$
Можно убедиться, что эти события образуют
Если рассмотреть вероятность $$$P_{n}(m)$$$, вероятность появления собы-тия А m раз в n испытаниях, то, рассуждая так, как это было представлено ранее получим формулу$$\[P_{m,n}=C_{n}^m p^mq^{n-m} \]$$
которая известна как формула Бернулли.Эта формула определяет вероятность появления события А $$$m$$$ раз в $$$n$$$ испытаниях. В формулу входит коэффициент $$$C_{n}^m$$$, который читается как число сочетаний из $$$n$$$ исходов по $$$m$$$ раз. Более коротко число сочетаний из $$$n$$$ по $$$m$$$. Вычисляется по простой формуле: $$$C_{n}^m=\frac {n!} {m!(n-m)!} =\frac {1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n} {1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot m \cdot \left (1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot (n-m) \right ) } $$$
Пример 1. В ящике лежат 20 белых и 10 черных шара. 4 раза извлекали шар, причем после каждого раза взятый шар возвращался в ящик и все шары тщательно перемешивались. Найти вероятность того, что 2 раза из 4-х был извлечен белый шар.
Решение. Решим задачу двумя способами.
1 способ. Обозначим событие $$$A$$$ – "вытащили белый шар", $$$\overline A$$$ - "вытащили черный шар". Тогда рассмотрим все возможные комбинации появления шаров. Таких комбинаций будет $$$2^4$$$:$$\[ A \ A \ A \ A; \ A \ A \ A \ \overline A; \ A \ A \overline A \ A; \ A \ \overline A \ A \ A; \ \overline A \ A \ A \ A; \ \overline A \ \overline A \ A \ A; \ A \ \overline A \ \overline A \ A; \ A \ A \ \overline A \ \overline A; \ \\ \overline A \ A \ A \ \overline A; \ \overline A \ A \ \overline A \ A; \ A \ \overline A \ A \ \overline A; \overline A \ \overline A \ \overline A \ A; \ A \ \overline A \ \overline A \ \overline A; \ \overline A \ A \ \overline A \ \overline A; \ \overline A \ \overline A \ A \ \overline A; \ \overline A \ \overline A \ \overline A \ \overline A. \]$$
Нас интересуют только те исходы, в которых появляются по 2 раза белые и черные шары. Всего таких исходов 6. Вероятность вытащить белый шар $$$P(A)=\frac {20} {30}=\frac 2 3$$$ в каждом из испытаний, так как по условию задачи шарик после испытания возвращается в ящик. Аналогично вычисляем вероятность извлечения черного шарика $$$P(\overline A)=\frac {10} {30}=\frac 1 3$$$. Подсчитаем теперь искомую вероят-ность: $$$P(A_{2} \overline {A_{2}})=6 \cdot \frac 2 3 \cdot \frac 2 3 \cdot \frac 1 3 \cdot \frac 1 3 =\frac 8 {27}$$$,
где 6 - количество благоприятных исходов; $$$\frac 2 3 \cdot \frac 2 3$$$ - вероят-ность появления белого шара в любых 2-х испытаниях; $$$\frac 1 3 \cdot \frac 1 3$$$ - вероятность появления черного шара в любых 2-х испытаниях.
2 способ. Для решения воспользуемся формулой Бернулли (1):$$\[P_{2,4}=C_{4}^2 p^2q^2=\frac {4!} {2! (4-2)!} \cdot \left ( \frac 2 3 \right )^2 \cdot \left ( \frac 1 3 \right )^2 = \frac {2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 2} {2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}= \frac 8 {27}.\]$$
Как видим ответы совпадают, однако первый способ не всегда удобен в применении. Особенно, если речь идет о значительном количестве испытаний.
Пример 2. Вероятность попадания стрелка в цель 0,8. Стрелок делает 10 выстрелов. Найти вероятность, что цель будет поражена 8 раз.
Решение. Для решения задачи воспользуемся формулой Бернулли:$$\[ P_{8,10}=C_{10}^8 p^8q^2=\frac {10!} {8! (10-8)!} \cdot (0,8)^8 (0,2)^2 = \frac {9 \cdot 10} 2 \cdot \frac {4^8} {5^8} \cdot \frac 1 {5^2} \approx 0,3.\]$$
Можно легко убедиться в справедливости следующих равенств:
$$\[P_{0,n}=q^n; \ P_{n,0} = p^n; \ P_{1,n}=n \cdot p \cdot q^{1-n}; \ P_{2,n}=\frac {n(n-1)} 2 p^2 q^{n-2}.\]$$
Все эти формулы являются частным случаем формулы (1).
При $$$n$$$ испытаниях некоторое событие, имеющее вероятность $$$p$$$ может появиться несколько раз, однако, если обозначить $$$m_{0}$$$ - наименьшее количество раз появление некоторого события при $$$n$$$ испытаниях, то получим$$\[P_{m_{0},n}=C_{n}^{m_{0}} p^{m_{0}}q^{n-m_{0}} .\]$$
Очевидно, что $$$ P_{m_{0},n} \geqslant P_{m,n}$$$ выполняется при $$$m_{0} \neq m$$$, т.е. $$$m_{0}$$$ - это гарантированное число появлений события при $$$n$$$ испытаниях. Иными словами, появление события большее количество раз или меньшее будет менее вероятным, чем $$$m_{0}$$$. Если $$$p \neq 0$$$ и $$$n \neq 0$$$, тогда можно записать$$\[ np-q \leqslant m_{0} \leqslant np+p .\]$$
где $$$m_{0}$$$ - наивероятнейшее число появления события А при $$$n$$$ испытаниях; $$$p$$$ - вероятность появления события А при одном испытании; $$$q=1-p$$$.
Если $$$np-q$$$ и $$$np+p$$$ не целые числа, то тогда они округляются до ближайшего целого, но так, чтобы интервал не увеличивался.
Пример 3. В ящике лежат 100 отшлифованных поделочных камня и 80 не шлифован-ных. Из ящика извлекают 20 камней. Какое наивероятнейшее число шлифованных камней будет извлечено при этом.
Решение. Определим $$$p$$$ и $$$q$$$ - вероятности извлечения и шлифованного, и не шлифованного поделочного камня. Так как общее число камней в ящике 180, то эти вероятности просто подсчитать:$$\[ p=\frac {100} {180} = \frac 5 9;\ q=1-\frac 5 9 = \frac 4 9 .\]$$
Тогда определим $$$m_{0}$$$ по формуле (3):$$\[ \ 20 \cdot \frac 5 9 -\frac 4 9 \leqslant m_{0} \leqslant 20 \cdot \frac 5 9 + \frac 5 9 .\]$$ $$\[ 10 \frac 2 3 \leqslant m_{0} \leqslant 11 \frac 2 3.\]$$
Округлим левую границу с избытком, а правую с недостатком получим, что $$$m_{0}=11$$$ Т.е. среди 20 извлеченных камней не меньше 11 будут шлифованными.
Часто на практике приходиться решать обратную задачу, когда известно количество , а нужно определить сколько раз необходимо провести испытания.
Пример 4. В ящике лежат 100 шлифованных поделочных камня и 80 не шлифованных. Мастеру необходимо 11 шлифованных камней. Сколько камней, не выбирая, ему надо взять, чтобы среди взятых было нужное количество шлифованных камней?
Решение. Эта задача обратная задаче, рассмотренной в примере 3. Теперь известно $$$m_{0}$$$, нужно найти $$$n$$$. Для этого выполним простейшее преобразо-вание неравенства (3): отнимем от всех его частей $$$np$$$ и $$$m_{0}=11$$$, получим$$\[ \ np-q-np-m_{0} \leqslant m_{0}- np – m_{0} \leqslant np + p –np –m_{0}.\]$$ $$\[ \ -(q+m_{0}) \leqslant –np \leqslant p –m_{0}.\]$$
Умножим последнее неравенство на (- 1) и разделим на $$$p$$$, тогда (при умножении на -1 знаки неравенства меняются на противоположные):$$\[ \ \frac {m_{0}-p} p \leqslant n \leqslant \frac {m_{0}+q} p.\]$$
Воспользуемся полученной формулой (4) для решения нашего примера.$$\[ \ \frac {11- \frac 5 9} {\frac 5 9} \leqslant n \leqslant \frac {11- \frac 4 9} {\frac 5 9}, \]$$
откуда$$\[ \ \frac {94} 5 \leqslant n \leqslant \frac {103} 5, \]$$
или$$\[ \ 18 \frac 4 5 \leqslant n \leqslant 20 \frac 3 5, \]$$
Округляя до целых, получим, что мастеру надо достать 19 либо 20 камней, чтобы среди них гарантиро-ванно было 11 шлифованных.
Пример 5. Вероятность попадания стрелка в цель равна 0,8. Стрелок делает 20 выстре-лов. определить наивероятнейшее количество попаданий.
Решение. Для решения задачи воспользуемся формулой (3):$$\[ \ 20 \cdot 0,8 - 0,2 \leqslant m_{0} \leqslant 20 \cdot 0,8 +0,8, \]$$
откуда
$$\[ \ 15,8 \leqslant m_{0} \leqslant 16,8. \]$$
Следовательно, стрелок скорее всего попадет 16 раз.
Если число испытаний большое, $$$n>100$$$, а вероятность появления события при каждом испытании мала, $$$p<0,3$$$, то для отыскания вероятности что при $$$n$$$ испытаниях некоторое событие случится $$$m$$$ раз используют приближенную формулу Пуассона, которая является обобщением формулы Бернулли:$$\[ \ P_{m,n} =\frac 1 {\sqrt {npq}} \cdot f(x) \]$$
где
$$\[ \ x=\frac {m-np}{\sqrt {npq}}.\]$$Формулу ( 5) часто называют локальной теоремой Муавра-Лапласса.
Здесь функция $$$f(x)=\frac 1 {\sqrt {2\pi}} \cdot e^{- \frac {x^2} 2}$$$. Существуют специальные таблицы, позволяющие вычислить значение данной функции по ее аргументу. На практике вычисляют $$$x$$$, а затем по таблицам определяют значение функции. Если аргумент получился отрицательным, то значение функции будет такое же, как и при положительном аргументе. Т.е. $$$f(-x)=f(x)$$$.
Если вероятность появления события мала ( $$$p<0,3$$$ ), то для отыскания того, что испытание состоится $$$m$$$ раз, можно воспользоваться формулой Пуассона:$$\[ \ P_{n}(m) \approx \frac {\lambda_{n}^m e^{-\lambda_{n}}} {m!},\]$$
где $$$\lambda_{n}=np$$$ - среднее число появления событий.
Если вероятность появления события меняется от испытания к испытанию, но сами испытания независимы, то тогда используется производящая функция $$$\varphi (x)=\prod\limits_{i \to1}^n \left (q_{i}+p_{i}x \right ) $$$, представляющая собой произведение вероятностных биномов. Эта функция обладает интересным свойством, которое просто проведем здесь без доказательства. После перемножения всех биномов и приведения подобных при $$$x^m$$$ коэффициенты при степенях $$$x$$$ представляют собой вероятность того, что событие появится $$$m$$$ раз в $$$n$$$ испытаниях, т.е.$$\[ \prod\limits_{i \to1}^n \left (q_{i}+p_{i}x \right ) = \sum\limits_{m=0}^n P_{m,n}x^m\]$$
Пример 6. Связь с шестью дальними партиями была организована через радио посред-ством радиостанций. Каждый отряд в течение дня имеет возможность в любое время связаться с базой, где радиостанция работает круглосуточно. Если вероятность связи с каждым из отрядов 0,8, найти вероятность того, что в данный момент не менее четырех партий вышли на связь.
Решение. Для решения задачи воспользуемся производящей функцией. Определим па-раметры функции: $$$n=6; \ p=0,8; \ q=1-p=1-0,8=0,2$$$. Построим функцию$$\[ \varphi (x) =(0,2-0,8x)^6 =\\= (0,2)^6+6 \cdot (0,2)^5 (0,8x)^1+15 \cdot (0,2)^4 (0,8x)^2 +20 \cdot (0,2)^3 (0,8x)^3 +15 \cdot (0,2)^2 (0,8x)^4+6 \cdot (0,2)^1 (0,8x)^5 +(0,8x)^6 =\\=0,000064+0,001536x+0,01536x^2+0,08192x^3+0,24576x^4+0,393216x^5+0,262144x^6 \]$$
Сумма всех коэффициентов равна 1, в чем можно убедиться самостоятельно. По условию задачи нам не-обходимо учесть коэффициенты при членах $$$x^4; \ x^5; \ x^6$$$. Тогда искомая вероятность будет равна $$$P(A)=0.24276+0,39321+0,261144=0,90112\approx 0,9$$$
Пример 7. Два специалиста сортируют алмазы, которые затем собирают по размерам. Вероятность ошибки первого 0,1, а второго - 0,3. Из отсортированных алмазов одного размера взяли 2. Най-ти вероятность того, что оба алмаза будут одного размера.
Решение. Для решения задачи воспользуемся производящей функцией. Определим па-раметры функции: для первого специалиста $$$p_{1}=0,9; \ q_{1}=0,1; \ p_{2}=0,7; \ q_{2}=0,3$$$.
Построим функцию: $$$ varphi (x) =(0,1+0,9x) \cdot (0,3+0,7x)=0,03+0,34x+0,63x^2$$$. По условию задачи нам необходимо учесть коэффициент при $$$x^2$$$, т.е. искомая вероятность будет равна $$$P(A)=0,63$$$.
Пример 8. Статистикой установлено, что из каждой 1000 родившихся детей в среднем рождается 485 девочек, а остальные - мальчики. В семье 5 детей. Найти вероятность того, что среди этих детей: 3 мальчика.
Решение. Для решения задачи воспользуемся локальной теоремой Муавра – Лапласа, для которой определим необходимые переменные: $$$p=\frac {1000-485} {1000}=0,515; \ q=\frac {485} {1000}=0,485; \ n=5; \ m=3.$$$.
Воспользуемся формулами (5) и (6): $$$x=\frac {m-np} {\sqrt{npq}}=\frac {3-5 \cdot 0,515} {\sqrt{5 \cdot 0,515 \cdot 0,485}}=\frac {0,425} {1,118} \approx 0,38$$$. Из таблицы находим значение функции $$$f(0,38) \approx 0,3712$$$
Теперь полученные значения подставим в формулу (5), получим: $$$ P_{m,n} =\frac 1 {\sqrt {npq}} \cdot f(x) = \frac 1 {\sqrt {5 \cdot 0,515 \cdot 0,485}} \cdot 0,3712 =\frac {0,3712} {1,118} \approx 0,332$$$
Теорему Бернулли часто используют тогда, когда необходимо оценить вероятность наибольшего отклонения появления событий от ее ожидаемого значения. Случайной величиной в этом случае является число появлений событий и $$$n$$$ независимых испытаниях. В этом случае теорема Бернулли записывается так:$$\[ P \left\{ \left | \frac m n –p \right| \leqslant \tau \right\} > 1-\frac {pq} {n\tau^2}\]$$
Пример 9. Из 1000 изделий, изготовленных цехом, проверили 200 случайно отобранных изделий. Среди них оказалось 25 изделий с браком. Приняв долю бракованных изделий среди отобранных за вероятность изготовления бракованного изделия, оценить вероятность того, что во всей партии бракованных изделий окажется не более 10%.
Решение. Определим вероятность изготовления бракованного изделия: $$$p=\frac {25} {200} =0,125$$$. Отклонение частости появлений бракованных изделий от вероятности $$$p$$$ по абсолютной величине равно $$$\left | \frac m n - p\right|=\left | 0,125-0,1\right| =0,025$.$$ Число испытаний 1000. Используем формулу (9) и находим искомую вероятность:$$\[ P \left\{ \left | \frac m n –p \right| \leqslant 0,025 \right\} > 1-\frac {0,125 \cdot 0,875} {1000 \cdot 0,025^2},\]$$
откуда $$$P \left\{ \left | \frac m n –p \right| \leqslant 0,025 \right\} > 0,825$$$ - получаем ответ.
Рассмотрим пример. Пусть Некто бросил монетку два раза. Считая каждый исход "орел" - "решка" равновероятным и независимым от предыдущего результата, получим следующие варианты результатов:$$\[ \overline A \ \overline A, \overline A \ A, \ A \ \overline A, \ A \ A \]$$.
где обозначено появление $$$A$$$ - "решки" и $$$\overline A$$$ - "орла". Понятно, что при этом $$$P(A)=\frac 1 2 = 1- P(\overline A)$$$, так как появление "орла" или "решки" события равновероятные. Для удобства введем обозначение $$$P(A)=p$$$ $$$P\overline A)=q$$$. Очевидно, что $$$p+q=1$$$.
Пусть теперь монету кидают 3 раза. Теперь возможны $$$2^3$$$ разных вариантов исходов:$$\[ \overline A \ \overline A \ \overline A , \ \overline A \ \overline A \ A \ , \overline A \ A \ \overline A, \ A \ \overline A \ \overline A, \ \overline A \ A \ A, \ A \ \overline A \ A, \ A \ A \ \overline A , \ A \ A \ A \]$$
Можно убедиться самостоятельно, что, если монетку кидать 4 раза, то получится $$$2^4$$$ различных вероятных комбинаций.
Рассуждая далее, имеем, что в случае $$$n$$$ испытаний Некто получит одну из $$$2^n$$$ комбинаций исходов.
Так как испытания независимые, то, применяя теорему умножения вероятностей найдем вероятности каждого из проведенных испытаний (табл. 5.1 для $$$n=2$$$ ; табл. 5.2 для $$$n=3$$$ ).
| Исход | $$$\overline A \ \overline A $$$ | $$$\overline A \ A $$$ | $$$A \ \overline A $$$ | $$$ A \ A $$$ |
| Вероятность | $$$ qq=q^2 $$$ | $$$ pq$$$ | $$$ qp $$$ | $$$ pp=p^2 $$$ |
| Исход | Вероятность | Исход | Вероятность | Исход | Вероятность | Исход | Вероятность |
| $$$\overline A \ \overline A \ \overline A $$$ | $$$ qqq=q^3 $$$ | $$$\overline A \ A \ \overline A $$$ | $$$ qpq=pq^2 $$$ | $$$\overline A \ \overline A \ A $$$ | $$$ qqp=pq^2 $$$ | $$$ A \ A \ A $$$ | $$$ppp=p^3 $$$ |
| $$$\overline A \ A \ A $$$ | $$$qpp=qp^2 $$$ | $$$A \ \overline A \ A $$$ | $$$pqp=qp^2 $$$ | $$$A \ A \ \overline A $$$ | $$$ppq=qp^2 $$$ | $$$A \ \overline A \ \overline A $$$ | $$$pqq=pq^2 $$$ |
Проанализируем табл. 5.2 более подробно. Заметим, что не появление события А во всех трех испытаниях имеет вероятность $$$P\left (\overline A \ \overline A \ \overline A \right )=q^3$$$, соответствующую только одному единственному исходу $$$\overline A \ \overline A \ \overline A $$$. Тогда вероятность, появления события А один раз соответствует (см. табл. 3)$$\[ P_{3}(1)=P\left (\overline A \overline A \ \overline A \right ) + P\left (\overline A \ A \ \overline A \right ) + P\left (\overline A \ \overline A \ A \right ) =3pq^2 \]$$
Аналогично, вероятность появления 2-х раз А будет равна .$$\[ P_{3}(2)=P\left (\overline A \ A \ \ A \right ) + P\left (A \ \overline A \ A \right ) + P\left (A \ A \ \overline A \right ) =3p^2q \]$$
И, наконец, если событие А состоялось все три раза, то$$\[ P_{3}(3)=P\left (A \ A \ A ) =p^3. \]$$
Можно убедиться, что эти события образуют
Если рассмотреть вероятность $$$P_{n}(m)$$$, вероятность появления собы-тия А m раз в n испытаниях, то, рассуждая так, как это было представлено ранее получим формулу$$\[P_{m,n}=C_{n}^m p^mq^{n-m} \]$$
которая известна как формула Бернулли.Эта формула определяет вероятность появления события А $$$m$$$ раз в $$$n$$$ испытаниях. В формулу входит коэффициент $$$C_{n}^m$$$, который читается как число сочетаний из $$$n$$$ исходов по $$$m$$$ раз. Более коротко число сочетаний из $$$n$$$ по $$$m$$$. Вычисляется по простой формуле: $$$C_{n}^m=\frac {n!} {m!(n-m)!} =\frac {1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n} {1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot m \cdot \left (1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot (n-m) \right ) } $$$
Пример 1. В ящике лежат 20 белых и 10 черных шара. 4 раза извлекали шар, причем после каждого раза взятый шар возвращался в ящик и все шары тщательно перемешивались. Найти вероятность того, что 2 раза из 4-х был извлечен белый шар.
Решение. Решим задачу двумя способами.
1 способ. Обозначим событие $$$A$$$ – "вытащили белый шар", $$$\overline A$$$ - "вытащили черный шар". Тогда рассмотрим все возможные комбинации появления шаров. Таких комбинаций будет $$$2^4$$$:$$\[ A \ A \ A \ A; \ A \ A \ A \ \overline A; \ A \ A \overline A \ A; \ A \ \overline A \ A \ A; \ \overline A \ A \ A \ A; \ \overline A \ \overline A \ A \ A; \ A \ \overline A \ \overline A \ A; \ A \ A \ \overline A \ \overline A; \ \\ \overline A \ A \ A \ \overline A; \ \overline A \ A \ \overline A \ A; \ A \ \overline A \ A \ \overline A; \overline A \ \overline A \ \overline A \ A; \ A \ \overline A \ \overline A \ \overline A; \ \overline A \ A \ \overline A \ \overline A; \ \overline A \ \overline A \ A \ \overline A; \ \overline A \ \overline A \ \overline A \ \overline A. \]$$
Нас интересуют только те исходы, в которых появляются по 2 раза белые и черные шары. Всего таких исходов 6. Вероятность вытащить белый шар $$$P(A)=\frac {20} {30}=\frac 2 3$$$ в каждом из испытаний, так как по условию задачи шарик после испытания возвращается в ящик. Аналогично вычисляем вероятность извлечения черного шарика $$$P(\overline A)=\frac {10} {30}=\frac 1 3$$$. Подсчитаем теперь искомую вероят-ность: $$$P(A_{2} \overline {A_{2}})=6 \cdot \frac 2 3 \cdot \frac 2 3 \cdot \frac 1 3 \cdot \frac 1 3 =\frac 8 {27}$$$,
где 6 - количество благоприятных исходов; $$$\frac 2 3 \cdot \frac 2 3$$$ - вероят-ность появления белого шара в любых 2-х испытаниях; $$$\frac 1 3 \cdot \frac 1 3$$$ - вероятность появления черного шара в любых 2-х испытаниях.
2 способ. Для решения воспользуемся формулой Бернулли (1):$$\[P_{2,4}=C_{4}^2 p^2q^2=\frac {4!} {2! (4-2)!} \cdot \left ( \frac 2 3 \right )^2 \cdot \left ( \frac 1 3 \right )^2 = \frac {2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 2} {2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}= \frac 8 {27}.\]$$
Как видим ответы совпадают, однако первый способ не всегда удобен в применении. Особенно, если речь идет о значительном количестве испытаний.
Пример 2. Вероятность попадания стрелка в цель 0,8. Стрелок делает 10 выстрелов. Найти вероятность, что цель будет поражена 8 раз.
Решение. Для решения задачи воспользуемся формулой Бернулли:$$\[ P_{8,10}=C_{10}^8 p^8q^2=\frac {10!} {8! (10-8)!} \cdot (0,8)^8 (0,2)^2 = \frac {9 \cdot 10} 2 \cdot \frac {4^8} {5^8} \cdot \frac 1 {5^2} \approx 0,3.\]$$
Можно легко убедиться в справедливости следующих равенств:
$$\[P_{0,n}=q^n; \ P_{n,0} = p^n; \ P_{1,n}=n \cdot p \cdot q^{1-n}; \ P_{2,n}=\frac {n(n-1)} 2 p^2 q^{n-2}.\]$$
Все эти формулы являются частным случаем формулы (1).
При $$$n$$$ испытаниях некоторое событие, имеющее вероятность $$$p$$$ может появиться несколько раз, однако, если обозначить $$$m_{0}$$$ - наименьшее количество раз появление некоторого события при $$$n$$$ испытаниях, то получим$$\[P_{m_{0},n}=C_{n}^{m_{0}} p^{m_{0}}q^{n-m_{0}} .\]$$
Очевидно, что $$$ P_{m_{0},n} \geqslant P_{m,n}$$$ выполняется при $$$m_{0} \neq m$$$, т.е. $$$m_{0}$$$ - это гарантированное число появлений события при $$$n$$$ испытаниях. Иными словами, появление события большее количество раз или меньшее будет менее вероятным, чем $$$m_{0}$$$. Если $$$p \neq 0$$$ и $$$n \neq 0$$$, тогда можно записать$$\[ np-q \leqslant m_{0} \leqslant np+p .\]$$
где $$$m_{0}$$$ - наивероятнейшее число появления события А при $$$n$$$ испытаниях; $$$p$$$ - вероятность появления события А при одном испытании; $$$q=1-p$$$.
Если $$$np-q$$$ и $$$np+p$$$ не целые числа, то тогда они округляются до ближайшего целого, но так, чтобы интервал не увеличивался.
Пример 3. В ящике лежат 100 отшлифованных поделочных камня и 80 не шлифован-ных. Из ящика извлекают 20 камней. Какое наивероятнейшее число шлифованных камней будет извлечено при этом.
Решение. Определим $$$p$$$ и $$$q$$$ - вероятности извлечения и шлифованного, и не шлифованного поделочного камня. Так как общее число камней в ящике 180, то эти вероятности просто подсчитать:$$\[ p=\frac {100} {180} = \frac 5 9;\ q=1-\frac 5 9 = \frac 4 9 .\]$$
Тогда определим $$$m_{0}$$$ по формуле (3):$$\[ \ 20 \cdot \frac 5 9 -\frac 4 9 \leqslant m_{0} \leqslant 20 \cdot \frac 5 9 + \frac 5 9 .\]$$ $$\[ 10 \frac 2 3 \leqslant m_{0} \leqslant 11 \frac 2 3.\]$$
Округлим левую границу с избытком, а правую с недостатком получим, что $$$m_{0}=11$$$ Т.е. среди 20 извлеченных камней не меньше 11 будут шлифованными.
Часто на практике приходиться решать обратную задачу, когда известно количество , а нужно определить сколько раз необходимо провести испытания.
Пример 4. В ящике лежат 100 шлифованных поделочных камня и 80 не шлифованных. Мастеру необходимо 11 шлифованных камней. Сколько камней, не выбирая, ему надо взять, чтобы среди взятых было нужное количество шлифованных камней?
Решение. Эта задача обратная задаче, рассмотренной в примере 3. Теперь известно $$$m_{0}$$$, нужно найти $$$n$$$. Для этого выполним простейшее преобразо-вание неравенства (3): отнимем от всех его частей $$$np$$$ и $$$m_{0}=11$$$, получим$$\[ \ np-q-np-m_{0} \leqslant m_{0}- np – m_{0} \leqslant np + p –np –m_{0}.\]$$ $$\[ \ -(q+m_{0}) \leqslant –np \leqslant p –m_{0}.\]$$
Умножим последнее неравенство на (- 1) и разделим на $$$p$$$, тогда (при умножении на -1 знаки неравенства меняются на противоположные):$$\[ \ \frac {m_{0}-p} p \leqslant n \leqslant \frac {m_{0}+q} p.\]$$
Воспользуемся полученной формулой (4) для решения нашего примера.$$\[ \ \frac {11- \frac 5 9} {\frac 5 9} \leqslant n \leqslant \frac {11- \frac 4 9} {\frac 5 9}, \]$$
откуда$$\[ \ \frac {94} 5 \leqslant n \leqslant \frac {103} 5, \]$$
или$$\[ \ 18 \frac 4 5 \leqslant n \leqslant 20 \frac 3 5, \]$$
Округляя до целых, получим, что мастеру надо достать 19 либо 20 камней, чтобы среди них гарантиро-ванно было 11 шлифованных.
Пример 5. Вероятность попадания стрелка в цель равна 0,8. Стрелок делает 20 выстре-лов. определить наивероятнейшее количество попаданий.
Решение. Для решения задачи воспользуемся формулой (3):$$\[ \ 20 \cdot 0,8 - 0,2 \leqslant m_{0} \leqslant 20 \cdot 0,8 +0,8, \]$$
откуда
$$\[ \ 15,8 \leqslant m_{0} \leqslant 16,8. \]$$
Следовательно, стрелок скорее всего попадет 16 раз.
Если число испытаний большое, $$$n>100$$$, а вероятность появления события при каждом испытании мала, $$$p<0,3$$$, то для отыскания вероятности что при $$$n$$$ испытаниях некоторое событие случится $$$m$$$ раз используют приближенную формулу Пуассона, которая является обобщением формулы Бернулли:$$\[ \ P_{m,n} =\frac 1 {\sqrt {npq}} \cdot f(x) \]$$
где
$$\[ \ x=\frac {m-np}{\sqrt {npq}}.\]$$Формулу ( 5) часто называют локальной теоремой Муавра-Лапласса.
Здесь функция $$$f(x)=\frac 1 {\sqrt {2\pi}} \cdot e^{- \frac {x^2} 2}$$$. Существуют специальные таблицы, позволяющие вычислить значение данной функции по ее аргументу. На практике вычисляют $$$x$$$, а затем по таблицам определяют значение функции. Если аргумент получился отрицательным, то значение функции будет такое же, как и при положительном аргументе. Т.е. $$$f(-x)=f(x)$$$.
Если вероятность появления события мала ( $$$p<0,3$$$ ), то для отыскания того, что испытание состоится $$$m$$$ раз, можно воспользоваться формулой Пуассона:$$\[ \ P_{n}(m) \approx \frac {\lambda_{n}^m e^{-\lambda_{n}}} {m!},\]$$
где $$$\lambda_{n}=np$$$ - среднее число появления событий.
Если вероятность появления события меняется от испытания к испытанию, но сами испытания независимы, то тогда используется производящая функция $$$\varphi (x)=\prod\limits_{i \to1}^n \left (q_{i}+p_{i}x \right ) $$$, представляющая собой произведение вероятностных биномов. Эта функция обладает интересным свойством, которое просто проведем здесь без доказательства. После перемножения всех биномов и приведения подобных при $$$x^m$$$ коэффициенты при степенях $$$x$$$ представляют собой вероятность того, что событие появится $$$m$$$ раз в $$$n$$$ испытаниях, т.е.$$\[ \prod\limits_{i \to1}^n \left (q_{i}+p_{i}x \right ) = \sum\limits_{m=0}^n P_{m,n}x^m\]$$
Пример 6. Связь с шестью дальними партиями была организована через радио посред-ством радиостанций. Каждый отряд в течение дня имеет возможность в любое время связаться с базой, где радиостанция работает круглосуточно. Если вероятность связи с каждым из отрядов 0,8, найти вероятность того, что в данный момент не менее четырех партий вышли на связь.
Решение. Для решения задачи воспользуемся производящей функцией. Определим па-раметры функции: $$$n=6; \ p=0,8; \ q=1-p=1-0,8=0,2$$$. Построим функцию$$\[ \varphi (x) =(0,2-0,8x)^6 =\\= (0,2)^6+6 \cdot (0,2)^5 (0,8x)^1+15 \cdot (0,2)^4 (0,8x)^2 +20 \cdot (0,2)^3 (0,8x)^3 +15 \cdot (0,2)^2 (0,8x)^4+6 \cdot (0,2)^1 (0,8x)^5 +(0,8x)^6 =\\=0,000064+0,001536x+0,01536x^2+0,08192x^3+0,24576x^4+0,393216x^5+0,262144x^6 \]$$
Сумма всех коэффициентов равна 1, в чем можно убедиться самостоятельно. По условию задачи нам не-обходимо учесть коэффициенты при членах $$$x^4; \ x^5; \ x^6$$$. Тогда искомая вероятность будет равна $$$P(A)=0.24276+0,39321+0,261144=0,90112\approx 0,9$$$
Пример 7. Два специалиста сортируют алмазы, которые затем собирают по размерам. Вероятность ошибки первого 0,1, а второго - 0,3. Из отсортированных алмазов одного размера взяли 2. Най-ти вероятность того, что оба алмаза будут одного размера.
Решение. Для решения задачи воспользуемся производящей функцией. Определим па-раметры функции: для первого специалиста $$$p_{1}=0,9; \ q_{1}=0,1; \ p_{2}=0,7; \ q_{2}=0,3$$$.
Построим функцию: $$$ varphi (x) =(0,1+0,9x) \cdot (0,3+0,7x)=0,03+0,34x+0,63x^2$$$. По условию задачи нам необходимо учесть коэффициент при $$$x^2$$$, т.е. искомая вероятность будет равна $$$P(A)=0,63$$$.
Пример 8. Статистикой установлено, что из каждой 1000 родившихся детей в среднем рождается 485 девочек, а остальные - мальчики. В семье 5 детей. Найти вероятность того, что среди этих детей: 3 мальчика.
Решение. Для решения задачи воспользуемся локальной теоремой Муавра – Лапласа, для которой определим необходимые переменные: $$$p=\frac {1000-485} {1000}=0,515; \ q=\frac {485} {1000}=0,485; \ n=5; \ m=3.$$$.
Воспользуемся формулами (5) и (6): $$$x=\frac {m-np} {\sqrt{npq}}=\frac {3-5 \cdot 0,515} {\sqrt{5 \cdot 0,515 \cdot 0,485}}=\frac {0,425} {1,118} \approx 0,38$$$. Из таблицы находим значение функции $$$f(0,38) \approx 0,3712$$$
Теперь полученные значения подставим в формулу (5), получим: $$$ P_{m,n} =\frac 1 {\sqrt {npq}} \cdot f(x) = \frac 1 {\sqrt {5 \cdot 0,515 \cdot 0,485}} \cdot 0,3712 =\frac {0,3712} {1,118} \approx 0,332$$$
Теорему Бернулли часто используют тогда, когда необходимо оценить вероятность наибольшего отклонения появления событий от ее ожидаемого значения. Случайной величиной в этом случае является число появлений событий и $$$n$$$ независимых испытаниях. В этом случае теорема Бернулли записывается так:$$\[ P \left\{ \left | \frac m n –p \right| \leqslant \tau \right\} > 1-\frac {pq} {n\tau^2}\]$$
Пример 9. Из 1000 изделий, изготовленных цехом, проверили 200 случайно отобранных изделий. Среди них оказалось 25 изделий с браком. Приняв долю бракованных изделий среди отобранных за вероятность изготовления бракованного изделия, оценить вероятность того, что во всей партии бракованных изделий окажется не более 10%.
Решение. Определим вероятность изготовления бракованного изделия: $$$p=\frac {25} {200} =0,125$$$. Отклонение частости появлений бракованных изделий от вероятности $$$p$$$ по абсолютной величине равно $$$\left | \frac m n - p\right|=\left | 0,125-0,1\right| =0,025$.$$ Число испытаний 1000. Используем формулу (9) и находим искомую вероятность:$$\[ P \left\{ \left | \frac m n –p \right| \leqslant 0,025 \right\} > 1-\frac {0,125 \cdot 0,875} {1000 \cdot 0,025^2},\]$$
откуда $$$P \left\{ \left | \frac m n –p \right| \leqslant 0,025 \right\} > 0,825$$$ - получаем ответ.
Для получения официальных документов о завершении программы дополнительного профессионального образования (удостоверения о повышении квалификации, дипломов о профессиональной переподготовке и MBA) необходимо предоставить:
Внимание! Вы можете не заказывать доставку бумажной версии официального документы, а скачать его в электронном виде и распечатать самостоятельно. Информация о выданном документе в течение 1 месяца загружается в Федеральную информационную систему «Федеральный реестр сведений о документах об образовании и (или) о квалификации, документах об обучении» - ФИС ФРДО.
Доступ на новый сайт осуществляется с использованием адреса электронной почты, который был указан вами при регистрации на "старом". Мы постарались перенести все ваши данные с прежнего ресурса, однако не исключена вероятность потери части информации.
При возникновении проблемы со входом, воспользуйтесь функцией сброса пароля
Если вы обнаружите несоответствия, пожалуйста, сообщите нам.