Моделирование и оптимизация в проектировании технологии

Показать роль математических моделей в управлении качеством наукоемкой промышленной продукции.

5.1. Модели в системном анализе

Принципиальная особенность системного анализа - широкое использование на всех языках методологии моделей систем. Модель является основным рабочим инструментом системного анализа. Модель - это, прежде всего, средство отображения реальной системы, а построение модели - это процесс уяснения общих свойств системы и закономерностей ее функционирования и развития, т. е. овладения систематическими методами построения моделей систем - необходимое условие овладения методологией системного анализа.

В общем случае системы делят на реальные и абстрактные. Абстрактные системы представляют собой математические модели реальных систем, отражающие их основные свойства. В зависимости от выбора различных существенных черт системы (элементов и связей между ними) можно получить различные модели, описывающие с различных точек зрения реальную систему.

С введением понятия математической модели претерпело изменение и понятие "технологический процесс", используемое в научно-технической литературе.

Раньше технологический процесс рассматривался как часть производственного процесса, состоящего из совокупности технологических операций, выполнение которых приводило к получению готового продукта или полуфабриката. При этом сложный многомерный процесс расчленялся на ряд подпроцессов, характеризующихся малым количеством параметров и однотипной физической, химической, электрической природой. Такие мелкие подпроцессы удобнее было описывать с помощью математических моделей, анализировать их поведение и связи.

Однако внедрение систем автоматизации во все сферы проектирования и управления технологическими процессами привело к более широкому его понятию. Этому изменению в значительной степени способствовало создание и использование ранее известных многочисленных математических методов и способов, создание алгоритмов для работы с многомерными, сложными объектами, процессы в которых подвергаются воздействию различных случайных факторов.

Понятие технологического процесса приблизилось в настоящее время к понятию процесса, определенного Норбертом Винером при создании им основных принципов кибернетики как процесс "передачи, хранения и переработки информации".

Технологические процессы сейчас рассматриваются как совокупность действий людей, математических и технических средств, включающую на определенных этапах процессы экономические и социально-политические.

Такое изменение понятия технологического процесса привело к изменению понятия его идентификации, т. е. определение его структуры, параметров, свойств и т. д. Если раньше идентификация процесса в смысле построения его модели означала, прежде всего, выявление физических свойств в виде описания электрических, физических, тепловых и др. процессов, то сейчас понятие идентификации значительно расширилось и формализовалось.

Задача идентификации является в настоящее время составной частью задач автоматизации проектирования и управления технологическим процессом.

Выделение идентификации в самостоятельную задачу делается обычно из чисто методологических соображений, т.к. методы синтеза модели существенно отличаются от методов синтеза управления.

Под идентификацией понимается определение характеристик "вход-выход" объекта путем активного или пассивного эксперимента, причем структура связей входных и выходных переменных считается известной. По мере развития системы идентификация предусматривает непрерывно уточняющуюся модель объекта. Это адаптивные, самонастраивающиеся и т. п. системы. Для сложных многомерных, многосвязных объектов при наличии наблюдаемых (неуправляемых) входных переменных определение характеристик возможно только в условиях нормальной эксплуатации объекта.

При решении практических задач, в том числе при идентификации технологического процесса, не представляется возможным учесть в модели все переменные и все внутренние связи между многочисленными переменными. Поэтому построение модели осуществляется по относительно небольшому количеству переменных. Выбор этих переменных определяется целью построения модели, наличием технических средств передачи и обработки необходимой информации, уровнем теории, имеющимися алгоритмами и математическим обеспечением.

Четко сформулированные цели и требования к системе управления технологическим процессом являются той основой, которая должна быть обеспечена строящейся моделью.

Для того чтобы можно было судить о том, какая построена модель, удовлетворяет ли она предъявляемым к ней требованиям, необходимо уметь количественно оценить уровень наших знаний о технологическом процессе, степень соответствия модели реальному процессу. С этой целью вводится количественная мера степени идентичности ( адекватности, изоморфности) модели реальному процессу, объекту. При построении такой меры, естественно, стремятся к тому, чтобы она базировалась на тех характеристиках, которые используются при идентификации объекта, и могла быть определена по этим характеристикам или непосредственно по данным "вход-выход".

Особенностью технологического процесса, как уже отмечалось, является вероятностный характер. Все измеряемые входные переменные не определяют однозначно выхода объекта. Степень идентичности модели для разных объектов различна, но никогда не достигает единицы. Это является следствием многих причин: недостаточной изученности процесса, отсутствия точного математического описания, отсутствия необходимых датчиков для измерения технологических параметров. Степень связи, т.е. отношение условной дисперсии выхода относительно всех входных переменных к дисперсии выходной величины колеблется от 0, 3 до 0, 95 и редко бывает больше. Таким образом, остаточная дисперсия, т.е. дисперсия выхода, при применении идеальной системы управления не равна нулю. Остаточная дисперсия для физических моделей значительно больше, чем для моделей, полученных с помощью методов идентификации.

Математическое моделирование обязательно включает три взаимосвязанные стадии:

Построение модели - самая тонкая и ответственная часть математического моделирования. При этом требуется не только и не столько знание математики, сколько глубокое понимание сущности описываемых явлений.

Существует много способов определения модели технологических процессов. Каждый способ дает возможность построить модель, адекватную процессу в том или ином смысле, что зависит от выбранного критерия. Таким образом, применяя множество способов, можно получить множество моделей, изоморфных физическому объекту.

Поэтому при выборе структуры модели и критерия адекватности модели процессу необходимо исходить из цели моделирования процесса, из той задачи, которая стоит перед исследователем при разработке модели.

В общем виде математической моделью (математическим описанием) называют совокупность математических уравнений, которые отражают зависимость выходных величин от входных, дополненную ограничениями, накладываемыми на эти величины условиями физической осуществимости, требованиями безопасности функционирования, уравнениями связи с другими объектами.

Математическое описание, составляющее структуру модели, может быть представлено в виде системы алгебраических и дифференциальных уравнений, отражающих взаимное влияние различных параметров, причем присутствие в математическом описании уравнений одного вида (например, алгебраических) не исключает возможности наличия уравнений и другого вида (дифференциальных).

Необходимо, чтобы модель достаточно верно описывала качественно и количественно свойства моделируемого процесса, т. е. она должна быть адекватна моделируемому процессу. Для проверки адекватности математической модели реальному процессу нужно сравнить результаты измерений в ходе процесса с результатами предсказания модели в идентичных условиях (при определенных значениях параметров).

Конечной целью разработки математических моделей является предсказание ( прогнозирование ) результатов проведения технологического процесса и выработка рекомендаций (или управляющих воздействий) по возможным воздействиям на его ход.

Математические описания объектов проектирования усложняются и видоизменяются от одного этапа проектирования к другому. Более того, даже на одном этапе может быть использовано несколько разных математических описаний ( моделей ). Множество математических моделей, применяемых за время всего процесса проектирования, включает модели различных типов и по форме, и по содержанию.

Наиболее простыми математическими моделями объекта проектирования или управления (прибора, агрегата, цеха т. д.) являются его детерминированные (точно определенные), статистические и стационарные модели. Детерминированные модели не учитывают случайные изменения параметров, статистические - игнорируют переходные процессы (например, вследствие их быстрого протекания), стационарные пренебрегают медленными изменениями характеристик объекта во времени.

Более сложными являются детерминированные динамические модели объектов управления, отражающие влияние на объект значений входных воздействий не только в данный момент, но и в прошлые моменты времени.

Еще более сложны статистические и динамические стохастические модели, когда все процессы в объекте или их часть описываются случайными функциями времени, и для решения задач управления приходится использовать гораздо более сложный математический аппарат теории вероятностей и математической статистики.

5.2. ММ технологического процесса

Эти модели связывают все измеряемые показатели качества выпускаемого изделия (т. е. как количественные, так и качественные его характеристики) с параметрами технологического процесса.

Как уже указывалось выше, особенностью большинства технологических процессов является их стохастический характер, что определяет выбор вида их математической модели. Наиболее эффективными для решения задач идентификации и управления качеством продукции как результата технологического процесса признаны статистические методы.

Статистические методы дают возможность не только описать технологические процессы в виде математических формул, которые отражают закономерности, происходящие в каждом из процессов, и взаимосвязи между ними. Эти методы позволяют получать такие важные практические показатели, как точность результатов каждого из процессов и работы в целом, произвести оценку качества выпускаемой продукции на каждой стадии обработки, определить уровень наладки, разработать методы контроля и многие другие.

Анализ статистических формул дает возможность установить наиболее рациональные пути ведения процесса производства, разработать требования (технические условия) на поставляемое сырье и заготовки, правильно выбрать режимы. Математический анализ закономерностей процессов дает возможность значительно сократить затраты времени и средств на проведение экспериментальных работ, т. к. основные выводы в результате теоретического анализа позволяют установить главные характеристики технологической линии при изменении отдельных показателей каждого из процессов. Таким образом, анализ технологического процесса заключается в том, чтобы установить такие характеристики каждой из операций процесса в целом, чтобы с наименьшими затратами и наибольшей производительностью обеспечить выпуск продукции высокого качества. Для решения этих вопросов широко применяются статистические методы.

На рис. 5.1 приведена блок-схема алгоритма построения математических моделей. Структура уравнения регрессии задается априори, например, для простого случая:

где $$у $$ - выходная величина (показатель качества );

$$x_{1}$$, $$x_{2}$$, $$x_{3}$$ - входные величины (измеряемые параметры процесса);

$$в_{0}$$, $$в_{1}$$, $$в_{2}$$, $$в_{3}$$ - коэффициенты уравнений регрессии, определяемые из

экспериментов

Количество слагаемых зависит от числа входных параметров, количество уравнений - от числа выходных показателей качества.

Рассмотрим блок-схему алгоритма.

Блок 1. Ввод исходных данных - параметров технологического процесса $$х_j$$, признаков качества готовой продукции $$y$$, объем выборки, критерий Стьюдента - для определении значимости коэффициентов регрессии, и критерий Фишера - для оценки адекватности построенной математической модели. Критерии определяются по соответствующим таблицам, в зависимости от доверительной вероятности и объема выборки. Осуществляется проверка данных и, при необходимости, корректировка.

Блок 2. Вычисление оценок статистических характеристик: математического ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения, центрированных случайных величин. Речь идет об оценках потому, что они рассчитываются для ограниченной выборки, взятой из всей генеральной совокупности, а результаты распространяются на всю генеральную совокупность.

Блок 3. Промежуточные расчеты.

Блок 4. Для определения коэффициентов уравнения (уравнений) регрессии рассчитываются определители системы.

Блок 5. Вычисление коэффициентов уравнения (уравнений) регрессии.

Блок 6. Установление счетчика коэффициентов.

Блок 7. В цикле осуществляется проверка коэффициентов на значимость по критерию Стьюдента: если соответствующий коэффициент больше критерия Стьюдента, то он признается значимым и оставляется в уравнении.

Блок 8. В случае если коэффициент меньше критерия Стьюдента, то он исключается из уравнения, производится переход на блок 4, в котором происходит перерасчет определителей, уже без исключенного коэффициента.

Блоки 9-10 обеспечивают рассмотрение в цикле всех коэффициентов. После их рассмотрения получаем окончательное уравнение регрессии, которое необходимо далее проверить на адекватность. Для этого служит блок 11.

Блок 11. Расчет дисперсии адекватности для расчета критерия Фишера.

Блок 12. Расчет критерия Фишера для полученной модели ( моделей ).

Блок 13. Осуществляется сравнение рассчитанного значения критерия Фишера с табличным его значением. Если расчетное значение меньше табличного, то модель признается адекватной, и ее можно использовать для прогнозирования качества производимой продукции.

В случае получения неадекватной математической модели следует переходить к нелинейной модели, т. е. вводить квадратичные члены и эффекты взаимодействия, например, для приведенного выше простого уравнения добавятся такие члены:

5.3. Оценка качества промышленной продукции

Прежде чем приступить к изложению проблем оптимизации, рассмотрим методы оценки качества промышленной продукции. Как уже было сказано, формирование критериев качества и управления должно производиться на самых первых стадиях проектирования промышленных изделий.

Управление качеством промышленной продукции обязательно предполагает его оценку. Без научно обоснованных методов оценки показателей невозможно определить фактическое качество выпускаемой продукции, спрогнозировать его динамику на перспективу, рассчитать экономически оптимальный уровень, разработать обоснованные плановые задания, нельзя контролировать их выполнение.

В каждом изделии те или иные свойства, определяющие его качество, представлены в определенном количестве (показателе качества ). Поскольку свойства могут иметь единый и комплексный характер, постольку и показатели качества, характеризующие эти свойства, принято делить на единичные и комплексные.

Количественная оценка того или иного отдельного свойства не вызывает особых затруднений. Однако они возникают уже при разработке комплексного группового показателя, количественно характеризующего органическую совокупность тех или иных свойств. Разработка обобщенных показателей качества изделий представляет наибольшие трудности. Прежде всего, встает проблема определения коэффициентов весомости единичных показателей. Решение многих проблем лежит на пути применения системного подхода к качеству продукции как совокупности ее свойств и к исследованию обобщенного критерия качества как системы, формирующейся под влиянием комплексных показателей более низкого иерархического уровня и единичных показателей.

Качество продукции, как известно, представляет не набор свойств продукции, а их определенную систему. Точно так же и показатели качества продукции находятся в определенных системных связях друг с другом, в частности, расположены на различных уровнях иерархии. Если принять, что в этой иерархии нулевой уровень занимает обобщенный критерий качества продукции, то на следующем уровне будут находиться показатели, количественно характеризующие группы свойств, под непосредственным воздействием которых формируется качество изделия. В их числе могут, например, находиться такие комплексные групповые показатели, как конструктивный, физический, экономический и другие (рис. 5.2).

Каждый из этих показателей формируется под влиянием комплексных показателей более низкого уровня либо из единичных показателей.

После того, как определен набор показателей качества данной продукции, приступают к определению их численных значений.

Согласно стандартам, под управлением качеством продукции понимается установление, обеспечение и поддержание необходимого уровня качества продукции при ее разработке, производстве и эксплуатации или потреблении, осуществляемые путем систематического контроля качества и целенаправленного воздействия на условия и факторы, влияющие на качество продукции. Стандартное определение качества продукции, установленное этими документами, гласит: " Качество продукции есть совокупность свойств продукции, обуславливающих ее пригодность удовлетворять определенные потребности в соответствии с ее назначением".

В каждом изделии те или иные свойства, определяющие его качество, представлены в определенном количестве (показателе качества ). Поскольку свойства могут иметь единый и комплексный характер, постольку и показатели качества, характеризующие эти свойства, принято делить на единичные и комплексные.

Разновидностью комплексного показателя является обобщенный критерий качества продукции. Под ним понимается комплексный показатель, количественно характеризующий весь комплекс свойств продукции, по которому оценивается ее качество.

Количественная оценка того или иного отдельного свойства не вызывает особых затруднений. Однако они возникают уже при разработке комплексного группового показателя, количественно характеризующего органическую совокупность тех или иных свойств.

При оценке качества продукции применяют дифференциальный, комплексный и смешанный методы.

Дифференциальным называется метод оценки уровня качества продукции, основанный на использовании единичных показателей.

При дифференциальном методе рассчитывают относительные показатели качества продукции $$y_j $$ по формулам:

или

где $$p_j$$ - значение $$j$$ -го показателя качества оцениваемой продукции;

$$p_{j\delta}$$ - значение $$j$$ -ro базового показателя;

$$l$$ - количество показателей качества продукции.

Из формул (5.1) и (5.2) выбирают ту, при которой увеличению относительного показателя отвечает улучшение качества продукции. Например, относительный показатель для производительности, мощности, энерговооруженности изделий и т. д. вычисляют по формуле (5.1), т. к. увеличение значения единичного показателя указывает на улучшение качества продукции. Относительный показатель материалоемкости, содержания вредных примесей и т. п. рассчитывают по формуле (5.2), т. к. в этом случае улучшение качества продукции определяется уменьшением значения единичного показателя.

Формулы (5.1) и (5.2) справедливы при отсутствии ограничений в значениях единичных показателей качества продукции. При наличии таких ограничений, равных $$p_{пр}$$, относительные показатели $$y_{j} $$ вычисляются по формуле:

Следовательно, при комплексной оценке качества продукции всегда следует стремиться определять такую зависимость комплексного показателя от частных показателей, чтобы она отражала физическую сущность рассматриваемого явления.

Под базовым образцом понимается образец продукции, принятый для сравнения при оценке ее технического уровня и качества, соответствующий передовым научно-техническим достижениям на установленный период. При этом определяют, достигнут ли уровень базового образца в целом, по каким показателям он достигнут, какие показатели наиболее сильно отличаются от базовых.

Принцип сравнения совокупности единичных показателей качества оцениваемого и базового образцов продукции является основным, но не единичным. Этот принцип оказывается неприемлемым при оценке образцов продукции в условиях отсутствия аналогов, например, при создании принципиально новых образцов продукции или в условиях ограниченной информации об аналогах. В этих условиях используется принцип максимума полезного эффекта от использования образца продукции, т. е. принцип максимального (минимального) значения обобщенного показателя качества.

Контрольные вопросы