Математические модели объектов проектирования РЭС

Показать на конкретных примерах построение математических моделей при проектировании РЭС.

14.1. Общие сведения о математических моделях РЭС

Проектирование радиоэлектронных средств с применением ЭВМ требует описания этого объекта на языке математики в виде, удобном для его алгоритмической реализации.

Математическое описание проектируемого объекта называют математической моделью. На каждом этапе проектирования используется свое математическое описание проектируемого объекта, сложность которого должна быть согласована с возможностями анализа на ЭВМ, что приводит к необходимости иметь для одного объекта несколько моделей различного уровня сложности.

В общей теории математического моделирования математическую модель любого объекта характеризуют внутренними, внешними, выходными параметрами и фазовыми переменными.

Внутренние параметры модели определяются характеристиками компонентов, входящих в проектируемый объект, например номиналы элементов принципиальной схемы. Если проектируемый объект содержит $$n$$ элементарных компонентов, то и его математическая модель будет определяться параметрами, которые образуют вектор внутренних параметров $$W = |w_{1}...w_{n}|^{T}$$. Каждый из параметров $$w_i$$, в свою очередь, может быть функцией, вектором или еще более сложным математическим функционалом в зависимости от объекта проектирования.

Выходные параметры модели - это показатели, характеризующие функциональные, эксплуатационные, конструкторско-технологические, экономические и другие характеристики проектируемого объекта. К таким показателям могут относиться коэффициенты передачи, масса и габариты проектируемого объекта, надежность, стоимость и т.п. Понятия внутренних и выходных параметров инвариантны, при моделировании на более сложном уровне выходные параметры могут стать внутренними и наоборот. Например, сопротивление резистора является внутренним параметром при моделировании усилительного устройства, компонентом которого он является, но это же сопротивление будет выходным параметром при моделировании самого резистора, что требуется при пленочном его исполнении. Вектор выходных параметров модели обозначают

Внешние параметры модели - это характеристики внешней по отношению к проектируемому объекту среды, а также рабочие управляющие воздействия. Вектор внешних параметров в общем случае содержит множество самых различных составляющих. К его составляющим с полным правом можно отнести все, что говорилось ранее о составляющих вектора внутренних параметров.

Будем обозначать его

Уравнения математической модели могут связывать некоторые физические характеристики компонентов, которые полностью характеризуют состояние объекта, но не являются выходными или внутренними параметрами модели (например, токи и напряжения в радиоэлектронных устройствах, внутренними параметрами которых являются номиналы элементов электрических схем, а выходными параметрами - выходная мощность, коэффициент передачи). Такие характеристики называют фазовыми переменными. Минимальный по размерности вектор фазовых переменных $$\overline{V}= |v_{1}...v_{r}|^{T}$$, полностью характеризующий работу объекта проектирования, называют базисным вектором. Например, при составлении уравнений математической модели радиоэлектронных устройств в качестве базисного вектора $$\overline{V} $$ можно использовать вектор узловых потенциалов либо вектор напряжений на конденсаторах и токов в индуктивностях - переменные состояния. Использование вектора фазовых переменных позволяет упростить алгоритмическую реализацию программ, составляющих уравнения математической модели устройства.

В общем случае выходные параметры $$\overline{F}$$ представляются операторами от векторов $$\overline{V},\overline{W},\overline{Q}$$, могут быть определены из решения системы уравнений математической модели устройства. С учетом вышесказанного математическая модель любого радиотехнического объекта может быть представлена в виде следующих систем уравнений:

где $$\overline{\varphi}$$ и $$\overline{\Psi}$$ - операторы, определяющие вид систем уравнений модели.

Система уравнений (14.3) может представлять собой систему линейных алгебраических уравнений, нелинейных уравнений различного вида, дифференциальных в полных или частных производных, и является собственно математической моделью проектируемого объекта. В результате решения системы (14.3) определяются действующие в устройстве фазовые переменные $$\overline{V}$$. Система уравнений (14.2) определяет зависимость выходных параметров объекта от фазовых переменных $$\overline{V}$$.

В частных случаях составляющие вектора $$\overline{V}$$ могут являться внутренними или выходными параметрами объекта, и тогда системы уравнений (14.3) и (14.4) упрощаются.

Часто моделированием называют лишь составление системы (14.3). Решение уравнений (14.3) и отыскание вектора $$F $$ с помощью уравнения (14.4) называют анализом математической модели.

На каждом уровне моделирования различают математические модели проектируемого радиотехнического объекта и компонентов, из которых состоит объект. Математические модели компонентов представляют собой системы уравнений, которые устанавливают связь между фазовыми переменными, внутренними и внешними параметрами, относящимися к данному компоненту. Эти уравнения называют компонентными, а соответствующую модель - компонентной.

Математическую модель объекта проектирования, представляющего объединение компонентов, получают на основе математических моделей компонентов, входящих в объект. Объединение компонентных уравнений в математическую модель объекта осуществляется на основе фундаментальных физических законов, выражающих условия непрерывности и равновесия фазовых переменных, например законов Кирхгофа. Уравнения, описывающие эти законы, называют топологическими ; они отражают связи между компонентами в устройстве. Совокупность компонентных и топологических уравнений для проектируемого объекта и образует систему (14.3), являющуюся математической моделью объекта.

Для одного и того же компонента или устройства часто приходится иметь не одну, а несколько моделей. В связи с этим классификация моделей должна выполняться по множеству признаков, чтобы описать все возможные случаи.

По уровню сложности различают полные модели и макромодели. Полные модели объекта проектирования получаются путем непосредственного объединения компонентных моделей в общую систему уравнений. Макромодели представляют собой упрощенные математические модели, аппроксимирующие полные.

В свою очередь, макромодели делят на две группы: факторные и фазовые модели.

Факторные модели предназначены для использования на последующих этапах проектирования.

Фазовые макромодели предназначены для использования на том же этапе проектирования, на котором их получают, для сокращения размерности решаемой задачи.

По способу получения математические модели радиотехнических объектов делят на физические и формальные. Физические модели получают на основе изучения физических закономерностей функционирования проектируемого объекта, так что структура уравнений и параметры модели имеют ясное физическое толкование.

Формальные модели получают на основе измерения и установления связи между основными параметрами объекта в тех случаях, когда физика работы его известна недостаточно полно. Как правило, формальные модели требуют большого числа измерений и по своей природе являются ло - кальными, справедливыми вблизи тех режимов, в которых производились измерения. Такие модели называют моделями "черного ящика" (см. выше).

В современных системах автоматизированного проектирования формирование системы уравнений математической модели проектируемого объекта выполняется автоматически с помощью ЭВМ. В зависимости от того, что положено в основу алгоритма формирования системы уравнений, модели радиоэлектронных объектов делят на электрические, физико-топологические и технологические.

Понятие электрической модели включает либо систему уравнений, связывающих напряжения и токи в электрической схеме, являющейся моделью объекта, либо саму электрическую схему, составленную из базовых элементов (резисторов, конденсаторов), на основе которой можно в ЭВМ получить систему уравнений, связывающих напряжения и токи в модели объекта.

В физико-топологических моделях исходными параметрами являются геометрические размеры определяющих областей проектируемого объекта и электрофизические характеристики материала, из которых они состоят. В результате решения системы уравнений поля находятся внутри и на внешних выводах устройства. Такие модели применяются при разработке полупроводниковых приборов, СВЧ-устройств и в ряде других случаев.

Технологические модели основываются на параметрах технологических процессов изготовления проектируемого объекта (температура и время диффузии, концентрация диффузанта). Выходные параметры такой модели - совокупность физико-топологических либо технологических параметров.

Существуют и другие варианты классификации математических моделей элементов и узлов радиоустройств.

В проектировании электронных средств выделяют три направления информационных технологий, обеспечивающих, соответственно, решение задач схемотехнического проектирования, конструирования и электродинамического моделирования.

14.2 . Математические модели РЭС на микро - и макроуровнях.

Компонентные и топологические уравнения

Для одного и того же объекта на микро - и макроуровнях используют разные математические модели. На микроуровне ММ должна отражать внутренние по отношению к объекту процессы, протекающие в сплошных средах. На макроуровне ММ того же объекта служит для отражения только тех его свойств, которые характеризуют взаимодействие этого объекта с другими элементами в составе исследуемой системы .

Уравнения, входящие в ММЭ, называют .Топологические уравнения могут выражать законы сохранения, условия неразрывности, равновесия и т. д.

Программа моделирования радиотехнических и других объектов должна автоматически формировать систему уравнений математической модели из базового набора элементарных схемных элементов, компонентные уравнения для которых хранятся в библиотеке программ. Для синтеза адекватных реальному объекту моделей большинства радиотехнических устройств базовый набор должен содержать, по крайней мере, пять типов сосредоточенных схемных элементов, перечисленных в табл. 14.1. В таблице приведены и компонентные уравнения для каждого из элементов базового набора.

В используемых в САПР методах формирования ММС принято моделируемую систему представлять в виде совокупности физически однородных подсистем. Каждая подсистема описывает процессы определенной физической природы, например механические, электрические, тепловые, гидравлические. Как правило, для описания состояния одной подсистемы достаточно применять фазовые переменные двух типов - потенциала и потока.

Особенностью топологических уравнений является то, что каждое из них связывает однотипные фазовые переменные, относящиеся к разным элементам системы. Примером могут служить уравнения законов Кирхгофа, записываемые относительно либо токов, либо напряжений ветвей. Для компонентных уравнений характерно то, что они связывают разнотипные фазовые переменные, относящиеся к одному элементу. Например, уравнение закона Ома связывает ток и напряжение резистора.

Формы представления моделей

Элементы подсистем бывают простыми и сложными. Элемент называют простым, если соответствующая ему ММЭ может быть представлена в виде одного линейного уравнения, связывающего переменную типа потенциала $$U$$ и переменную типа потока $$I$$, характеризующие состояние данного элемента. В физически однородных подсистемах различают три типа простых элементов. Это элементы емкостного, индуктивного и резистивного типов. Соответствующие им ММЭ имеют вид

где $$C$$, $$L$$, $$U$$, $$I$$ - параметры элементов.

Элементы подсистем в зависимости от числа однотипных фазовых переменных, входящих в ММЭ, делят на двухполюсники и многополюсники. Двухполюсник характеризуется парой переменных типа $$U$$ и $$I$$, определяется так же, как простой элемент, если снять условие линейности уравнения. Многополюсник можно представить как совокупность взаимосвязанных двухполюсников.

Для представления математических моделей на макроуровне применяют несколько форм.

Инвариантная форма - представление модели в виде системы уравнений, записанной на общепринятом математическом языке, безотносительно к методу численного решения. Применительно к системам обыкновенных дифференциальных уравнений различают две инвариантные формы: нормальную и общую, определяемые тем, в каком виде - явном или неявном относительно вектора производных - представлена система.

Ряд форм модели получается при преобразовании ее уравнений на основе формул и требований выбранного численного метода решения. Так, численное решение дифференциальных уравнений как в частных производных, так и в обыкновенных требует их предварительного преобразования - дискретизации и алгебраизации. Дискретизация заключается в замене непрерывных независимых переменных (времени и пространственных координат) дискретным множеством их значений.

Алгебраизованная форма - результат представления дифференциальных уравнений в полученных после дискретизации точках в алгебраизованном виде с помощью формул численного интегрирования. Ряд численных методов решения основан на линеаризации исходных уравнений.

Линеаризованная форма модели - представление уравнений в линейном виде. Алгебраизация и линеаризация могут осуществляться по отношению ко всем или только к избранным переменным, уравнениям или их частям, что увеличивает разнообразие возможных форм представления моделей.

Формы представления моделей определяются также используемыми языковыми средствами. Наряду с традиционным математическим языком применяют алгоритмические языки, а также те или иные графические изображения. Рассмотрим особенности представления моделей в виде эквивалентных схем.

Последние облегчают пользователю восприятие модели и приводят к представлению модели в той или иной схемной форме, например представление моделей в виде эквивалентных схем, графов. К таким формам относится также представление разностных уравнений с помощью шаблонов.

В разных областях техники применяют специфические системы обозначений элементов на эквивалентных схемах. Существует единая система обозначений для элементов всех подсистем, обычно применяемая при изображении электрических эквивалентных схем. При этом элементы представляют собой двухполюсники, которые могут быть пяти различных видов; их условные обозначения приведены на рис. 14.1.

Получение эквивалентных схем - обычная для инженеров-схемотехников операция, выполняемая при анализе функционирования радиоэлектронных устройств. Переход от принципиальной электрической схемы к эквивалентной заключается в замене обозначений электронных приборов обозначениями двухполюсников (рис. 14.1) и добавлении ветвей, отображающих учитываемые паразитные параметры. Осуществляется составление на основе электрогидравлических и электротепловых аналогий эквивалентных схем, отражающих гидравлические, пневматические и тепловые процессы в проектируемых устройствах.

Для отражения взаимосвязей подсистем различной физической природы, из которых состоит моделируемая техническая система, в эквивалентные схемы подсистем вводят специальные преобразовательные элементы. Различают три вида связей подсистем. Трансформаторная и гираторная связи выражают соотношения между фазовыми переменными двух подсистем, этим типам связей соответствуют преобразовательные элементы, представляемые парами источников тока или напряжения. Третий вид связи выражает влияние фазовых переменных одной подсистемы на параметры элементов другой и задается в виде зависимостей $$С$$, $$L $$ или $$R $$ от фазовых переменных, если для источника объемного расхода в гидравлической подсистеме использовать выражение $$g = SV$$, а для источника силы в механической подсистеме - выражение $$F = SP$$, где $$V$$ - скорость перемещения поршня; $$S$$ - площадь поршня; $$Р$$ - давление жидкости в цилиндре.

Для конденсаторов, катушек индуктивности и резисторов чаще всего применяют простые модели (15.5). Примерами сложных элементов являются транзисторы, диоды, трансформаторы.

Контрольные вопросы