- Индия, о высокочтимый мой учитель, находится почти на самом краю земного диска и отделена от этого края безлюдными и неизведанными пустынями, ибо на восток от неё не живут ни звери, ни птицы.
Л. Лагин. Старик Хоттабыч
В науке порой долго живут идеи и теории, которые оказываются ошибочными. Новые идеи опровергают старые и оказываются опровергнутыми вновь "более верными". Этот процесс вполне соответствует диалектическому закону "отрицания отрицания", на бытовом уровне утверждающего, что недостижимая правда лежит где-то посредине.
Поэтому изучение истории развития науки должно привести к правильным посылкам для создания искусственного интеллекта.
В [2] Д.А. Поспелов подробно и критически рассматривает формальную модель мышления на базе теории силлогистики, известного учёного древности (кстати, учителя Александра Македонского) Аристотеля, жившего в IV веке д.н.э. Он оставил существенный вклад в области теории мышления. Феномен заключается в том, что, возникнув в уме одного человека – Аристотеля, силлогистика не подвергалась серьёзной критике или опровержению. Её только уточняли.
Студенческая традиция: Если потрогать этот палец, - можно сделаться очень умным.
Целью тогдашних философов было обслуживание софистических рассуждений в учёном споре. Исходное положение спорщика, будь оно истинным или ложным, с высочайшим искусством должно было защищаться до полного признания противной стороной. Как видим, этого не удалось добиться Вольке Костылькову, несмотря на поддержку Старика Хоттабыча.
Философы того времени уже знали, что бывают три типа рассуждений:
Дедуктивные – от общего к частному;
Индуктивные – от частного к общему;
От частного к частному.
Дедуктивный вывод следует считать истинным, достоверным.
На основе двух других типов рассуждений верный вывод проблематичен. Эти типы рассуждений относят к правдоподобным.
Лишь большое количество частных рассуждений способно при обобщении породить гипотезу для индуктивного вывода. Эта гипотеза подтверждается в результате проверки правильности дедуктивных рассуждений на её основе (см. парадигму ученика; мы часто пользуемся выражением: "опыт является критерием истины").
Рассуждения от частного к частному, среди правдоподобных, следует отнести к интуитивным, предполагаемым, способным привести к догадке по аналогии, но никак не к научным. (Какой вывод, кроме эмоционально-поэтического, может следовать из того, что движущийся на вас танк похож на большую черепаху?)
Таким образом, Аристотель исходил из двух положений:
Таким образом, априорно предполагаемые истинные посылки порождают только истинные следствия.
Положения силлогистики Аристотеля позволили средневековому философу Фоме Аквинскому обосновать всю христианскую теологию. Его исходной посылкой являлись Бого-вдохновенные, а потому истинные, сочинения Ветхого и Нового Заветов.
Силлогистика Аристотеля, исходящая из установок сомнительной достоверности, привлекательна и сейчас. Однако то, что допустимо в политике, торговле и средствах массовой информации, недопустимо в экономике и точных науках, в том числе – в сложных системах управления. Поэтому, научить "правильному" вранью так же важно, как научить честности.
Основной логической единицей силлогистики является сущность.
Сущностью называется объект (внимания, изучения), о котором можно что-либо утверждать.
Сущности образуют классы S, P, M, о содержательном смысле которых будет сказано ниже.
Вводится понятие кванторов: всякий и некоторый.
С помощью кванторов строятся шесть схем базовых высказываний, используемых в силлогистике:
S есть P.S не есть P.S есть P.S не есть P.S есть P.S не есть P.
Отметим, что если S определяет сущности, о которых что-то утверждается в высказываниях, то P определяет, что именно о них говорится. Иногда S называют субъектом высказываний, а P – предикатом высказывания (формальным изображением смысла высказывания).
Если высказывания 1 – 4 относятся к некоторым утверждениям о принадлежности или не принадлежности множеств элементов S некоторому классу элементов, обладающих свойством P, то высказывания 5 и 6 имеют несколько другую природу. Высказывание 5 утверждает, что класс S совпадает с классом элементов, обладающих свойством P, а высказывание 6 говорит о том, что эти классы не совпадают.
Для конкретных сущностей имеются две схемы базовых высказываний, введённых позднее (в силлогистике Аристотеля их не было):
а есть P.а не есть P.Связки "есть" и "не есть" традиционно применяются в математике, указывая, скорее на суть, на принадлежность или равенство, чем на наличие. Например, "треугольник есть (суть, это) многоугольник", "сумма квадратов катетов есть (равна) квадрат гипотенузы", "Иванов не есть (не принадлежит) множество лысых".
В теории множеств схемы 5 - 8 интерпретируются соответственно: $$S \subset P, S \subseteq P, a \in P, a \notin P$$.
Приведённая современная теоретико-множественная интерпретация схем позволяет выполнять две процедуры: а) по высказыванию определить, какие взаимоотношения между сущностями классов S и P реализуются; б) по знаниям о том, какие взаимоотношения между сущностями этих классов имеют место, определять соответствующие высказывания с уверенностью, что они являются истинными.
(рис 2.1) Жергоновые отношенияСмысл базовых высказываний можно задать наглядно с помощью так называемых жергоновых отношений, показанных на рис. 2.1.
В табл. 1 показано соответствие между схемами базовых высказываний и случаями, приведёнными на рис. 2.1.
| Номер схемы базового высказывания | Случаи, показанные на рис. 2.1 | Номер схемы базового высказывания | Случаи, показанные на рис. 2.1 |
|---|---|---|---|
| 1 | а, б | 5 | а, б, в, г |
| 2 | д | 6 | в, г, д |
| 3 | а, б, в, г | 7 | е |
| 4 | в, г, д | 8 | ж |
Легко заметить, что при отображённой в таблице интерпретации базовых высказываний схемы 3 и 4 аналогичны схемам 5 и 6, то есть эти высказывания с точки зрения истинности не различаются. В других интерпретациях силлогистики они могут принимать значения ИСТИНА и ЛОЖЬ на разных областях жергоновых отношений.
Тогда необходимы специальные процедуры, которые могли бы проверять взаимосвязь классов S и P, а также вхождение конкретной сущности а в класс P. В силлогистике существование таких эффективно работающих процедур постулируется (предполагается с очевидностью).
Приведём ряд примеров высказываний с указанием областей, в которых эти высказывания интерпретируются как истинные.
S – класс огородных овощей, P – класс съедобных сущностей).S – класс автомобилей, P – класс трамваев).S – класс людей, P – класс живых существ, которые могут прыгнуть в высоту на два метра и более).S – класс деревьев, P – класс всех вечнозеленых растений, включающий в себя и те деревья, которые остаются зимой зелёными).S – класс, состоящий из двух элементов "отец" и "мать", P – класс с именем "родители", в высказывании содержится утверждение о совпадении по объёму этих двух классов).S – класс приматов, P – класс всех обезьян, среди которых и все приматы). Аналогичный пример: люди высокого роста не только те, чей рост выше двух метров (S – класс высоких людей, P – класс тех существ, чей рост выше двух метров).P – списочный состав "нашей лаборатории" - конкретной лаборатории, о которой говорится в данном высказывании). P – список членов клуба филателистов Москвы на тот момент времени, когда актуализируется это высказывание)Любой вывод, представимый в силлогистике Аристотеля, может иметь или не иметь посылок. По числу используемых посылок можно различать выводы ранга 0, 1, 2 и т.д.
Утверждения, для которых посылки не нужны, называются законами силлогистики (в некоторых логических системах они называются аксиомами). Таких законов в силлогистике Аристотеля три: закон тождества, закон противоречия и закон исключённого третьего.
Прежде чем перейти к их формулировкам, введём обозначения, восходящие к Петру Испанскому, жившему в XIII веке и написавшему широко распространённое в Средние века сочинение, в котором излагалась логика Аристотеля с возникшими к тому времени добавлениями.
Эти обозначения (породившие кванторы в современной математической логике), следующие:
А – Всякий + есть +. Е – Всякий + не есть +. I – Некоторый + есть +. О – Некоторый + не есть +.
В этих записях знак плюс означает свободное место, на которое можно поставить имя некоторого конкретного класса сущности. В первой позиции этот класс играет роль класса S, а во второй – Р. Тогда условимся для удобства записи конкретные классы обозначать малыми буквами s и р.
Введём ещё один символ, называемый знаком выводимости $$\vdash$$. Запись $$F \vdash Q$$ означает, что если относительно всех посылок, входящих в совокупность F, известно, что они выводимы, то заключение Q также выводимо. Запись $$\vdash Q$$ означает, что Q выводимо всегда и не зависит от выводимости каких-то других утверждений. Это вывод нулевого ранга, т.е. закон силлогистики (мы говорим: принимаем за аксиому).
Закон тождества формулируется следующим образом: всякий s есть s, или, в принятых обозначениях
Смысл закона состоит в утверждении, что всякая конкретная сущность, входящая в класс S, обладает всеми свойствами элементов этого класса. Формально представляется, что в таком утверждении нет смысла. Однако в человеческом общении оно несёт не информационную, а эмоциональную нагрузку. "Осень есть осень", - говорим мы. "Да, ненастье есть ненастье", - отвечает собеседник.
Для формулировки следующих законов введём две логические связки – конъюнкцию, которую будем обозначать , и дизъюнкцию, которую будем обозначать $$\lor$$. Смысл их состоит в том, что сложное утверждение F1 F2 истинно лишь тогда, когда истинны оба утверждения F1 и F2, а утверждение $$F1 \lor F2$$ истинно в том случае, если истинно хотя бы одно из них. Пусть обозначение $$\neg$$ интерпретируется в записи вида $$\neg F$$ как утверждение о том, что неверно, что F является истинным.
Тогда закон противоречия записывается следующим образом:
$$\vdash \neg (AspEsp).$$Это означает, что невозможна ситуация, когда конкретные сущности из класса S одновременно входят в р и не входят в него.
Известный поэт, "генерал" поэзии того времени, придрался к автору слов песни "Бухенвальдский набат" Исааку Соболеву:
Сотни тысяч заживо сожжённых
Строятся, строятся в шеренги к ряду ряд.
Действительно, как могут строиться мёртвые? Поэт песни (композитор Ванно Мурадели), облетевшей весь мир, остался тщательно скрываем и умер в болезнях и нищете. Конечно, эти слова поэта явились поводом при гонениях "неудобного" правдолюбца, но мы могли бы воскликнуть: "Силлогистику – на службу коммунизма!"
Ещё большую критику может вызвать закон исключённого третьего, записываемый следующим образом:
$$\vdash (Isp \lor Osp).$$Он говорит, что для каждой конкретной сущности а, входящей в s, истинно одно из двух утверждений "а входит в р" или "а не входит в р" (третьего не дано). Совместно эти два утверждения не могут быть истинными, что следует из закона противоречия. Закон исключённого третьего в процессе развития логики подвергается постоянной критике, ибо вся человеческая практика пронизана примерами его невыполнения. Из конструктивной логики этот закон исключён.
Геометрические теоретико-множественные (жергоновы) соотношения, следующие из рис. 2.1, позволяют написать несколько примеров вывода первого ранга, т.е. с одной посылкой, истинность которой является достаточным условием для истинности заключения. Справедливость вывода непосредственно следует из рисунка и таблицы, задающей условия истинности для схем базовых высказываний.
Эти примеры следующие:
$$Asp \vdash \neg Osp; Esp \vdash Esp; Asp \vdash Isp;\\ Esp \vdash Isp; Isp \vdash Ips; Esp \vdash Ops.$$Силлогизмы у Аристотеля – это выводы второго ранга, т.е. выводы, которые можно сделать на основании двух посылок. В этих посылках фигурируют три класса сущностей S, P и M. По многовековой традиции их называют меньший, больший и средний термин.
Каждая посылка и заключение представляют собой базовые высказывания силлогистики.
В соответствии с тем, как используются S, P и M в высказываниях, в силлогистике выделяют четыре фигуры (рис. 2.2), пронумерованные на рисунке.
(рис 2.2) Фигуры установления истинности силлогизмов
Каков смысл этих фигур?
Возьмём первую фигуру. Для того чтобы породить с её помощью конкретные типы силлогизма (они называются модусами), надо выбрать из четырёх символов A, E, I, O по одному для первой и второй посылок и для заключения. Количество комбинаций расстановки четырёх символов по трём позициям равно 43 = 64. При четырёх фигурах это даёт 256 различных модусов. Проиллюстрируем несколько возможных модусов для первой фигуры.
Рассмотрим комбинацию AAA. Ей соответствует следующий модус силлогизма:
Всякий М есть Р
Всякий S есть М
_______________
Всякий S есть Р
Попробуем проверить правильность этого силлогизма. А именно, если его посылки истинные, то всегда ли будет истинным заключение? Для этого используем жергоновы отношения в табл.1. Первая посылка, как это следует из таблицы, даёт две возможности соотношений М и Р. Эти возможности показаны в верхнем ярусе на рис. 2.3. Поскольку вторая посылка тоже истинна, то на нижнем ярусе того же рисунка показаны области, в которых одновременно выполняются требования к истинности обеих посылок.
(рис 2.3) Требуемые соотношения для комбинации ААА
Таких возможных областей три, как это видно из рисунка. Для всех трёх областей между S и Р имеются жергоновы отношения такого типа, который обеспечивает истинность заключения силлогизма. Это значит, что при истинности его посылок результат вывода, т.е. переход к заключению, всегда возможен, и заключение будет истинным.
Рассмотрим другой пример, приняв модус первой фигуры EIO
Всякий М не есть Р
Всякий S есть М
_______________
Всякий S не есть Р.
Для первой посылки есть одна возможная область истинности, показанная на верхнем ярусе рис. 2.4. При добавлении второй посылки с учётом требований к её истинности можно получить четыре варианта, показанные на втором ярусе рисунка.
(рис 2.4) Требуемые соотношения для комбинации EIO
Все четыре полученные области являются областями истинности для базового высказывания, соответствующего заключению в этом силлогизме. Следовательно, истинность его посылок всегда обеспечивает истинность заключения.
Рассмотрим, наконец, ещё один пример, взяв модус AEE первой фигуры на рис. 2.2.
Всякий М есть Р
Всякий S не есть М
_______________
Всякий S не есть Р.
Соответствующая графическая интерпретация дана на рис. 2.5.
(рис 2.5) Соотношения для комбинации AEEДля первой посылки возможны две области истинности в жергоновых отношениях, показанные на верхнем ярусе рисунка. Добавление второй посылки, показанное на нижнем ярусе рисунка, при первой возможности для первой посылки однозначно, а для второй возможности приводит к трём различным возможностям расположения трёх классов сущностей. А именно, два средних случая на нижнем ярусе приводят к ложности заключения. Следовательно, силлогизм АЕЕ не является правильным. Из истинности его посылок не всегда следует истинность его заключения. Вот пример такого ошибочного заключения:
Всякий железный брусок тонет в воде
Всякий кирпич не есть железный брусок
__________________________________
Всякий кирпич не тонет в воде.
Таким образом, имеются силлогизмы, которые всегда обеспечивают правильный вывод, т.е переход к истинному заключению при истинности двух посылок. А есть силлогизмы неправильные, не обеспечивающие такого заключения.
Закономерен вопрос: сколько силлогизмов из 256 возможных являются правильными? Ответ на него и есть ядро силлогистики. Перебирая все возможные модусы, можно обнаружить, что лишь 24 модуса являются правильными, а все остальные могут привести к ошибочному выводу.
Таким образом, правильные модусы образуют ядро теории дедуктивного вывода, в которой от правильных посылок всегда гарантируется переход к правильному заключению. Но, как стало ясно в последующих столетиях, Аристотель создал ядро дедуктивной теории, которое позволило расширить его, сохраняя все основные исходные положения.
На этом мы остановимся в изучении силлогистики Аристотеля. Дело в том, что последующие её расширения (прежде всего, введение операции отрицания) привели к современному состоянию теории "Математическая логика". Как было показано в Лекции 1, именно на её базе (и на базе элементов теории вероятностей) построена математическая логика событий, легшая в основу логических нейронных сетей – средств реализации многих задач искусственного интеллекта.
- Индия, о высокочтимый мой учитель, находится почти на самом краю земного диска и отделена от этого края безлюдными и неизведанными пустынями, ибо на восток от неё не живут ни звери, ни птицы.
Л. Лагин. Старик Хоттабыч
В науке порой долго живут идеи и теории, которые оказываются ошибочными. Новые идеи опровергают старые и оказываются опровергнутыми вновь "более верными". Этот процесс вполне соответствует диалектическому закону "отрицания отрицания", на бытовом уровне утверждающего, что недостижимая правда лежит где-то посредине.
Поэтому изучение истории развития науки должно привести к правильным посылкам для создания искусственного интеллекта.
В [2] Д.А. Поспелов подробно и критически рассматривает формальную модель мышления на базе теории силлогистики, известного учёного древности (кстати, учителя Александра Македонского) Аристотеля, жившего в IV веке д.н.э. Он оставил существенный вклад в области теории мышления. Феномен заключается в том, что, возникнув в уме одного человека – Аристотеля, силлогистика не подвергалась серьёзной критике или опровержению. Её только уточняли.
Студенческая традиция: Если потрогать этот палец, - можно сделаться очень умным.
Целью тогдашних философов было обслуживание софистических рассуждений в учёном споре. Исходное положение спорщика, будь оно истинным или ложным, с высочайшим искусством должно было защищаться до полного признания противной стороной. Как видим, этого не удалось добиться Вольке Костылькову, несмотря на поддержку Старика Хоттабыча.
Философы того времени уже знали, что бывают три типа рассуждений:
Дедуктивные – от общего к частному;
Индуктивные – от частного к общему;
От частного к частному.
Дедуктивный вывод следует считать истинным, достоверным.
На основе двух других типов рассуждений верный вывод проблематичен. Эти типы рассуждений относят к правдоподобным.
Лишь большое количество частных рассуждений способно при обобщении породить гипотезу для индуктивного вывода. Эта гипотеза подтверждается в результате проверки правильности дедуктивных рассуждений на её основе (см. парадигму ученика; мы часто пользуемся выражением: "опыт является критерием истины").
Рассуждения от частного к частному, среди правдоподобных, следует отнести к интуитивным, предполагаемым, способным привести к догадке по аналогии, но никак не к научным. (Какой вывод, кроме эмоционально-поэтического, может следовать из того, что движущийся на вас танк похож на большую черепаху?)
Таким образом, Аристотель исходил из двух положений:
Таким образом, априорно предполагаемые истинные посылки порождают только истинные следствия.
Положения силлогистики Аристотеля позволили средневековому философу Фоме Аквинскому обосновать всю христианскую теологию. Его исходной посылкой являлись Бого-вдохновенные, а потому истинные, сочинения Ветхого и Нового Заветов.
Силлогистика Аристотеля, исходящая из установок сомнительной достоверности, привлекательна и сейчас. Однако то, что допустимо в политике, торговле и средствах массовой информации, недопустимо в экономике и точных науках, в том числе – в сложных системах управления. Поэтому, научить "правильному" вранью так же важно, как научить честности.
Основной логической единицей силлогистики является сущность.
Сущностью называется объект (внимания, изучения), о котором можно что-либо утверждать.
Сущности образуют классы S, P, M, о содержательном смысле которых будет сказано ниже.
Вводится понятие кванторов: всякий и некоторый.
С помощью кванторов строятся шесть схем базовых высказываний, используемых в силлогистике:
S есть P.S не есть P.S есть P.S не есть P.S есть P.S не есть P.
Отметим, что если S определяет сущности, о которых что-то утверждается в высказываниях, то P определяет, что именно о них говорится. Иногда S называют субъектом высказываний, а P – предикатом высказывания (формальным изображением смысла высказывания).
Если высказывания 1 – 4 относятся к некоторым утверждениям о принадлежности или не принадлежности множеств элементов S некоторому классу элементов, обладающих свойством P, то высказывания 5 и 6 имеют несколько другую природу. Высказывание 5 утверждает, что класс S совпадает с классом элементов, обладающих свойством P, а высказывание 6 говорит о том, что эти классы не совпадают.
Для конкретных сущностей имеются две схемы базовых высказываний, введённых позднее (в силлогистике Аристотеля их не было):
а есть P.а не есть P.Связки "есть" и "не есть" традиционно применяются в математике, указывая, скорее на суть, на принадлежность или равенство, чем на наличие. Например, "треугольник есть (суть, это) многоугольник", "сумма квадратов катетов есть (равна) квадрат гипотенузы", "Иванов не есть (не принадлежит) множество лысых".
В теории множеств схемы 5 - 8 интерпретируются соответственно: $$S \subset P, S \subseteq P, a \in P, a \notin P$$.
Приведённая современная теоретико-множественная интерпретация схем позволяет выполнять две процедуры: а) по высказыванию определить, какие взаимоотношения между сущностями классов S и P реализуются; б) по знаниям о том, какие взаимоотношения между сущностями этих классов имеют место, определять соответствующие высказывания с уверенностью, что они являются истинными.
(рис 2.1) Жергоновые отношенияСмысл базовых высказываний можно задать наглядно с помощью так называемых жергоновых отношений, показанных на рис. 2.1.
В табл. 1 показано соответствие между схемами базовых высказываний и случаями, приведёнными на рис. 2.1.
| Номер схемы базового высказывания | Случаи, показанные на рис. 2.1 | Номер схемы базового высказывания | Случаи, показанные на рис. 2.1 |
|---|---|---|---|
| 1 | а, б | 5 | а, б, в, г |
| 2 | д | 6 | в, г, д |
| 3 | а, б, в, г | 7 | е |
| 4 | в, г, д | 8 | ж |
Легко заметить, что при отображённой в таблице интерпретации базовых высказываний схемы 3 и 4 аналогичны схемам 5 и 6, то есть эти высказывания с точки зрения истинности не различаются. В других интерпретациях силлогистики они могут принимать значения ИСТИНА и ЛОЖЬ на разных областях жергоновых отношений.
Тогда необходимы специальные процедуры, которые могли бы проверять взаимосвязь классов S и P, а также вхождение конкретной сущности а в класс P. В силлогистике существование таких эффективно работающих процедур постулируется (предполагается с очевидностью).
Приведём ряд примеров высказываний с указанием областей, в которых эти высказывания интерпретируются как истинные.
S – класс огородных овощей, P – класс съедобных сущностей).S – класс автомобилей, P – класс трамваев).S – класс людей, P – класс живых существ, которые могут прыгнуть в высоту на два метра и более).S – класс деревьев, P – класс всех вечнозеленых растений, включающий в себя и те деревья, которые остаются зимой зелёными).S – класс, состоящий из двух элементов "отец" и "мать", P – класс с именем "родители", в высказывании содержится утверждение о совпадении по объёму этих двух классов).S – класс приматов, P – класс всех обезьян, среди которых и все приматы). Аналогичный пример: люди высокого роста не только те, чей рост выше двух метров (S – класс высоких людей, P – класс тех существ, чей рост выше двух метров).P – списочный состав "нашей лаборатории" - конкретной лаборатории, о которой говорится в данном высказывании). P – список членов клуба филателистов Москвы на тот момент времени, когда актуализируется это высказывание)Любой вывод, представимый в силлогистике Аристотеля, может иметь или не иметь посылок. По числу используемых посылок можно различать выводы ранга 0, 1, 2 и т.д.
Утверждения, для которых посылки не нужны, называются законами силлогистики (в некоторых логических системах они называются аксиомами). Таких законов в силлогистике Аристотеля три: закон тождества, закон противоречия и закон исключённого третьего.
Прежде чем перейти к их формулировкам, введём обозначения, восходящие к Петру Испанскому, жившему в XIII веке и написавшему широко распространённое в Средние века сочинение, в котором излагалась логика Аристотеля с возникшими к тому времени добавлениями.
Эти обозначения (породившие кванторы в современной математической логике), следующие:
А – Всякий + есть +. Е – Всякий + не есть +. I – Некоторый + есть +. О – Некоторый + не есть +.
В этих записях знак плюс означает свободное место, на которое можно поставить имя некоторого конкретного класса сущности. В первой позиции этот класс играет роль класса S, а во второй – Р. Тогда условимся для удобства записи конкретные классы обозначать малыми буквами s и р.
Введём ещё один символ, называемый знаком выводимости $$\vdash$$. Запись $$F \vdash Q$$ означает, что если относительно всех посылок, входящих в совокупность F, известно, что они выводимы, то заключение Q также выводимо. Запись $$\vdash Q$$ означает, что Q выводимо всегда и не зависит от выводимости каких-то других утверждений. Это вывод нулевого ранга, т.е. закон силлогистики (мы говорим: принимаем за аксиому).
Закон тождества формулируется следующим образом: всякий s есть s, или, в принятых обозначениях
Смысл закона состоит в утверждении, что всякая конкретная сущность, входящая в класс S, обладает всеми свойствами элементов этого класса. Формально представляется, что в таком утверждении нет смысла. Однако в человеческом общении оно несёт не информационную, а эмоциональную нагрузку. "Осень есть осень", - говорим мы. "Да, ненастье есть ненастье", - отвечает собеседник.
Для формулировки следующих законов введём две логические связки – конъюнкцию, которую будем обозначать , и дизъюнкцию, которую будем обозначать $$\lor$$. Смысл их состоит в том, что сложное утверждение F1 F2 истинно лишь тогда, когда истинны оба утверждения F1 и F2, а утверждение $$F1 \lor F2$$ истинно в том случае, если истинно хотя бы одно из них. Пусть обозначение $$\neg$$ интерпретируется в записи вида $$\neg F$$ как утверждение о том, что неверно, что F является истинным.
Тогда закон противоречия записывается следующим образом:
$$\vdash \neg (AspEsp).$$Это означает, что невозможна ситуация, когда конкретные сущности из класса S одновременно входят в р и не входят в него.
Известный поэт, "генерал" поэзии того времени, придрался к автору слов песни "Бухенвальдский набат" Исааку Соболеву:
Сотни тысяч заживо сожжённых
Строятся, строятся в шеренги к ряду ряд.
Действительно, как могут строиться мёртвые? Поэт песни (композитор Ванно Мурадели), облетевшей весь мир, остался тщательно скрываем и умер в болезнях и нищете. Конечно, эти слова поэта явились поводом при гонениях "неудобного" правдолюбца, но мы могли бы воскликнуть: "Силлогистику – на службу коммунизма!"
Ещё большую критику может вызвать закон исключённого третьего, записываемый следующим образом:
$$\vdash (Isp \lor Osp).$$Он говорит, что для каждой конкретной сущности а, входящей в s, истинно одно из двух утверждений "а входит в р" или "а не входит в р" (третьего не дано). Совместно эти два утверждения не могут быть истинными, что следует из закона противоречия. Закон исключённого третьего в процессе развития логики подвергается постоянной критике, ибо вся человеческая практика пронизана примерами его невыполнения. Из конструктивной логики этот закон исключён.
Геометрические теоретико-множественные (жергоновы) соотношения, следующие из рис. 2.1, позволяют написать несколько примеров вывода первого ранга, т.е. с одной посылкой, истинность которой является достаточным условием для истинности заключения. Справедливость вывода непосредственно следует из рисунка и таблицы, задающей условия истинности для схем базовых высказываний.
Эти примеры следующие:
$$Asp \vdash \neg Osp; Esp \vdash Esp; Asp \vdash Isp;\\ Esp \vdash Isp; Isp \vdash Ips; Esp \vdash Ops.$$Силлогизмы у Аристотеля – это выводы второго ранга, т.е. выводы, которые можно сделать на основании двух посылок. В этих посылках фигурируют три класса сущностей S, P и M. По многовековой традиции их называют меньший, больший и средний термин.
Каждая посылка и заключение представляют собой базовые высказывания силлогистики.
В соответствии с тем, как используются S, P и M в высказываниях, в силлогистике выделяют четыре фигуры (рис. 2.2), пронумерованные на рисунке.
(рис 2.2) Фигуры установления истинности силлогизмов
Каков смысл этих фигур?
Возьмём первую фигуру. Для того чтобы породить с её помощью конкретные типы силлогизма (они называются модусами), надо выбрать из четырёх символов A, E, I, O по одному для первой и второй посылок и для заключения. Количество комбинаций расстановки четырёх символов по трём позициям равно 43 = 64. При четырёх фигурах это даёт 256 различных модусов. Проиллюстрируем несколько возможных модусов для первой фигуры.
Рассмотрим комбинацию AAA. Ей соответствует следующий модус силлогизма:
Всякий М есть Р
Всякий S есть М
_______________
Всякий S есть Р
Попробуем проверить правильность этого силлогизма. А именно, если его посылки истинные, то всегда ли будет истинным заключение? Для этого используем жергоновы отношения в табл.1. Первая посылка, как это следует из таблицы, даёт две возможности соотношений М и Р. Эти возможности показаны в верхнем ярусе на рис. 2.3. Поскольку вторая посылка тоже истинна, то на нижнем ярусе того же рисунка показаны области, в которых одновременно выполняются требования к истинности обеих посылок.
(рис 2.3) Требуемые соотношения для комбинации ААА
Таких возможных областей три, как это видно из рисунка. Для всех трёх областей между S и Р имеются жергоновы отношения такого типа, который обеспечивает истинность заключения силлогизма. Это значит, что при истинности его посылок результат вывода, т.е. переход к заключению, всегда возможен, и заключение будет истинным.
Рассмотрим другой пример, приняв модус первой фигуры EIO
Всякий М не есть Р
Всякий S есть М
_______________
Всякий S не есть Р.
Для первой посылки есть одна возможная область истинности, показанная на верхнем ярусе рис. 2.4. При добавлении второй посылки с учётом требований к её истинности можно получить четыре варианта, показанные на втором ярусе рисунка.
(рис 2.4) Требуемые соотношения для комбинации EIO
Все четыре полученные области являются областями истинности для базового высказывания, соответствующего заключению в этом силлогизме. Следовательно, истинность его посылок всегда обеспечивает истинность заключения.
Рассмотрим, наконец, ещё один пример, взяв модус AEE первой фигуры на рис. 2.2.
Всякий М есть Р
Всякий S не есть М
_______________
Всякий S не есть Р.
Соответствующая графическая интерпретация дана на рис. 2.5.
(рис 2.5) Соотношения для комбинации AEEДля первой посылки возможны две области истинности в жергоновых отношениях, показанные на верхнем ярусе рисунка. Добавление второй посылки, показанное на нижнем ярусе рисунка, при первой возможности для первой посылки однозначно, а для второй возможности приводит к трём различным возможностям расположения трёх классов сущностей. А именно, два средних случая на нижнем ярусе приводят к ложности заключения. Следовательно, силлогизм АЕЕ не является правильным. Из истинности его посылок не всегда следует истинность его заключения. Вот пример такого ошибочного заключения:
Всякий железный брусок тонет в воде
Всякий кирпич не есть железный брусок
__________________________________
Всякий кирпич не тонет в воде.
Таким образом, имеются силлогизмы, которые всегда обеспечивают правильный вывод, т.е переход к истинному заключению при истинности двух посылок. А есть силлогизмы неправильные, не обеспечивающие такого заключения.
Закономерен вопрос: сколько силлогизмов из 256 возможных являются правильными? Ответ на него и есть ядро силлогистики. Перебирая все возможные модусы, можно обнаружить, что лишь 24 модуса являются правильными, а все остальные могут привести к ошибочному выводу.
Таким образом, правильные модусы образуют ядро теории дедуктивного вывода, в которой от правильных посылок всегда гарантируется переход к правильному заключению. Но, как стало ясно в последующих столетиях, Аристотель создал ядро дедуктивной теории, которое позволило расширить его, сохраняя все основные исходные положения.
На этом мы остановимся в изучении силлогистики Аристотеля. Дело в том, что последующие её расширения (прежде всего, введение операции отрицания) привели к современному состоянию теории "Математическая логика". Как было показано в Лекции 1, именно на её базе (и на базе элементов теории вероятностей) построена математическая логика событий, легшая в основу логических нейронных сетей – средств реализации многих задач искусственного интеллекта.
Для получения официальных документов о завершении программы дополнительного профессионального образования (удостоверения о повышении квалификации, дипломов о профессиональной переподготовке и MBA) необходимо предоставить:
Внимание! Вы можете не заказывать доставку бумажной версии официального документы, а скачать его в электронном виде и распечатать самостоятельно. Информация о выданном документе в течение 1 месяца загружается в Федеральную информационную систему «Федеральный реестр сведений о документах об образовании и (или) о квалификации, документах об обучении» - ФИС ФРДО.
Доступ на новый сайт осуществляется с использованием адреса электронной почты, который был указан вами при регистрации на "старом". Мы постарались перенести все ваши данные с прежнего ресурса, однако не исключена вероятность потери части информации.
При возникновении проблемы со входом, воспользуйтесь функцией сброса пароля
Если вы обнаружите несоответствия, пожалуйста, сообщите нам.