Аннушка... Аннушка?.. – забормотал поэт, тревожно озираясь, - позвольте, позвольте...
К слову "Аннушка" привязались слова "подсолнечное масло", а затем почему-то "Понтий Пилат". Пилата поэт отринул и стал вязать цепочку, начиная со слова "Аннушка". И цепочка эта связалась очень быстро и тотчас привела к сумасшедшему профессору.
М.А. Булгаков. "Мастер и Маргарита"
Если у тебя спрошено будет, что полезнее, солнце или месяц? – ответствуй: месяц. Ибо солнце светит днём, когда и без того светло; а месяц – ночью.
Козьма Прутков
Опишем общую схему выводов, лежащих в основе большого количества моделей человеческих достоверных (дедуктивных) рассуждений.
На рис. 4.1 показано некоторое дерево вывода истинности утверждения f10.
(рис 4.1) Дерево вывода истинности утверждения f10
Первый ярус дерева образуют вершины f1, f2, f3, f4, выполняющие роль аксиом, или утверждений, истинность которых задаётся извне. Стрелки сходятся в одной точке (например, $$f_5 \to f_{10}$$ и $$f_6 \to f_{10}$$), если значение ИСТИНА второго высказывания, достигается при значении ИСТИНА всех первых высказываний (т.е. по схеме И). Стрелки входят в разные точки, если значение ИСТИНА имеет хотя бы одно "входящее" высказывание (если обусловленные ими связи действуют по схеме ИЛИ). Во избежание коллизии стрелки могут дублироваться (две стрелки $$f_6 \to f_{10}$$), а стрелки, обозначающие дизъюнкцию, соединяются скобкой (стрелки $$f_1 \to f_5$$ и $$f_2 \to f_5, f_5 \to f_{10}$$ и $$f_9 \to f_{10}$$ и др.).
Таким образом, возможны разные пути доказательства любого промежуточного и конечного утверждения. Например, доказательство утверждения f9 возможно двумя путями. Раз доказаны утверждения f2 и f3, то f7 следует из их доказанности. Утверждение f6 следует из доказанности f2, тогда f9 следует из доказанности f6 и f7. Второй путь доказательства f9 следует из доказательства f8 на основе f2 или f4.
Схема вывода не обязательно описывается в виде дерева. Она может иметь вид произвольной ориентированной или неориентированной сети (рис. 4.2). "Жирная" точка означает, что, например, для доказательства f2 необходимо доказательство как f2, так и f4. Такая логическая сеть называется И-ИЛИ сетью.
(рис 4.2) И-ИЛИ сеть
Пусть требуется доказать утверждение f6 (на рисунке этому соответствует отмеченная целевая вершина). Априорно доказано утверждение f1. Как из f1 получить f6? Если все связи допускают любую ориентацию, то из f1 можно получить f3, затем f5 и, наконец, f6.
Мы сразу нашли решение, потому что видим его. Но как построить алгоритм перебора возможных смещений в лабиринте возможностей для доказательства пути в целевую вершину?
В данном случае, перебирая возможности смещения из f1, мы пытаемся вывести утверждение f2, но этого нельзя сделать, т.к. требуется доказательство утверждения f3. Обнаруживаем, что доказательство возможно. Теперь доказаны f1 и f3. Попытка продвинуться в f2 и f5 оказывается успешной. На следующем шаге доказываются утверждения f4 и f6. После "чистки" ненужных выводов, остаётся реальный кратчайший путь доказательства $$f_1 \to f_3 \to f_5 \to f_6$$.
Возможен и другой путь доказательства – метод обратной волны (аналог метода динамического программирования). Чтобы доказать f6, надо доказать f5; чтобы доказать f5, надо доказать f3; следует воспользоваться начальным утверждением f1.
Рассмотрим блестящее умозаключение Козьмы Пруткова, рекомендуемое в эпиграфе. Дерево вывода изображено на рис. 4.3. На первом ярусе отражены исходные посылки – аксиомы, обладающие (с точки зрения К. Пруткова) значениями ИСТИНА.
(рис 4.3) Схема доказательства истинности афоризма К. Пруткова
Как видим, солнышку вообще делать нечего, что вполне в духе софистических рассуждений.
Известны схемы вывода альтернативные деревья, альтернативные сети и другие аналоги метода "ветвей и границ".
В рамках данного раздела совершим неформальный переход к нечётким данным, концепция которых уже легла в основу разработки математической логики событий. Будем оперировать высказываниями, значение ИСТИНА которых определена с некоторой вероятностью, как было рассмотрено в Лекции 1.
Рассмотрим пример расчёта надёжности управляющего компьютера, как вероятности решения своей задачи в цикле управления длительности t.
(рис 4.4) Вероятностное дерево логических возможностей для расчёта надёжности компьютера
На рис. 4.4 представлено вероятностное дерево логических возможностей, отражающее многие пути следования к обоснованию положительной ситуации – успешного решения задачи. Мы видим, что дерево вывода как бы перевёрнуто и обладает не единственной целевой вершиной. Принятые обозначения и формулы:
КГ – коэффициент готовности, находится из отношения
, где Т0 - среднее время безотказной работы, Твосст – среднее время восстановления оборудования при неисправности; $$\lambda_1$$ – частота сбоев, $$\lambda_2$$ – частота отказов, $$\lambda = \lambda_1 + \lambda_2$$; Рустр.сб. – вероятность успешного устранения последствий сбоев во время решения задачи; Ррез. – вероятность успешного перехода на резерв во время решения задачи.
Тогда надёжность Р находится как сумма произведений условных вероятностей по всем ветвям дерева, ведущим к успеху:
... из всех зверей пусть государь уподобится двум: льву и лисе. Лев боится капканов, а лиса - волков, следовательно, надо быть подобным лисе, чтобы уметь обойти капканы, и льву, чтобы отпугнуть волков. Тот, кто всегда подобен льву, может не заметить капкана. Из чего следует, что разумный правитель не может и не должен оставаться верным своему обещанию, если это вредит его интересам, и если отпали причины, побудившие его дать обещание.
Николо Макиавелли. Государь
Аристотель говорит о двух основных процессах рассуждений: низходящем или дедуктивном, и восходящем или индуктивном. В соответствии с положениями Н.М. Амосова, изложенными во Введении, дедукция – это рассуждения "от общего к частному", а индукция – "от частного к общему". При таком понимании этих двух процессов возникает иллюзия, что они как будто обратны друг другу, и одну схему рассуждений можно получить из другой прямым обращением. Этой иллюзии поддался и Аристотель. Увлечённый красотой и стройностью воздвигнутого им здания силлогистики, он попытался втиснуть в его объёмы и индуктивное рассуждение, ввести схему индуктивного силлогизма. Но здесь его подстерегала неудача. Индуктивные рассуждения никак не хотели отливаться в ту стройную форму, которая так подошла дедуктивным рассуждениям.
Напомним ещё раз основную цель, которую преследовал Аристотель, создавая силлогистику. Она должна была стать непобедимым оружием в споре. Если оппонент признавал общее положение, например, столь очевидную истину, что "все люди смертны", то после его убеждения в том, что "Сократ есть человек", следует вывод "Сократ смертен". Здесь возразить нечего. Это дедуктивная схема.
При индуктивной схеме спорящий сначала должен сообщить оппоненту несколько утверждений, в истинность которых должны поверить оба, например, "Гомер смертен", "Фидий смертен", "Эзоп смертен". Далее надо убедить оппонента, что Гомер, Фидий и Эзоп являются людьми. Далее надо совершить главный индуктивный шаг, перейдя к утверждению о всём классе людей: "все люди смертны" и заставить оппонента принять это утверждение.
Трудность возникает именно на последнем шаге спора: примет или не примет этот шаг оппонент. Этот шаг требует не умения логически обосновывать свои рассуждения, а веры в свою справедливость. На данном же уровне рассуждений утверждение-вывод является лишь гипотезой, обретающей предельную тождественную истинность в результате установления смертности многих – многих людей. И если найдётся хотя бы один бессмертный человек, то гипотеза рухнет, и оппонент победит.
Мы знаем, что научные гипотезы, выдвинутые на основе огромного количества экспериментов, постоянно уточняются или рушатся вообще, в соответствии с неумолимостью диалектического закона "отрицания отрицания".
Поэтому индуктивные умозаключения всегда являются правдоподобными рассуждениями. Вплоть до середины XIX века их теории просто не существовало.
Джон Стюарт Милль, британский философ, экономист и политический деятель, 1806 - 1873, поставил перед собой задачу нахождения связей между фактами и явлениями на основе анализа их совместного появления или не появления в последовательности экспериментов. При этом он стремился не повторить знаменитой ошибки при установлении причинно-следственной связи "после этого, значит, вследствие этого.
Принципы установления причинно-следственных отношений, которые предложил Милль, основаны на выделении сходства иразличия в наблюдаемых ситуациях.
Принцип единственного различия Милля заключается в следующем: "Если после введения какого-либо фактора $$\alpha$$ появляется или после его удаления исчезает некоторое явление $$\beta$$, то фактор $$\alpha$$ является причиной явления $$\beta (\alpha \to \beta)$$".
Разве в процессе диагностики транспортных средств или при лечении человека мы не применяем этот принцип? Конечно, так складывается первичная гипотеза, наиболее верное предположение, требующее более глубокого исследования и обоснования его механизмов.
Принцип единственного сходства Милля формулируется следующим образом: "Если все обстоятельства явления, кроме одного $$\beta$$ могут отсутствовать, не уничтожая этим явление $$\alpha$$, то это обстоятельство $$\beta$$ является причиной явления $$\alpha (\beta \to \alpha)$$".
Принцип единственного остатка Милля формулируется следующим образом: "Если вычесть из явления ту часть его, которая согласно прежним исследованиям является следствием известных причин, присутствующих в явлении, то остаток явления есть следствие остальных причин".
Например, если из грозы вычесть град, являющийся следствием определённых параметров атмосферы, то оставшиеся параметры атмосферы, всё равно приведут к грозе в другом выражении.
Выходит, аналитический ум мы отмечаем по следованию принципам Милля?!
При использовании методов индуктивных рассуждений Милля весьма важную роль играет способ выделения признаков или фактов, с помощью которых описываются ситуации.
Первая попытка формализации рассуждения по аналогии была предпринята Готфридом Вильгельмом Лейбницем, саксонским философом и математиком (1646 – 1716), в сочинении "Фрагменты логики". Он ввёл обобщённое понятие пропорции для отношения аналогии: "Вещь А так относится к вещи В, как вещь А' к вещи B'".
Для рассуждений по аналогии необходим формальный (алгебраический) язык, на котором можно задавать характеристику, свойства объектов и некоторые правила их преобразования.
Например, на рис. 4.5 показано преобразование F объекта А в объект В. Объект А', сформированный в рамках языка, аналогичен объекту А. Требуется построить аналог В' объекта В в рамках тех же преобразований F, допустимых в языке. Ответ приведён на рисунке.
Но как это сделать? Прежде всего, по требованию данной задачи в формальном языке должны быть определены объекты "солнце", "человечек", "луна", "фантастическое животное". Должны быть определены вращение и взаимное расположение объектов.
(рис 4.5) Преобразование по аналогии
Алгоритм формирования В' предполагает следующие шаги.
Поменять местами $$\text{"второй объект"} \to \text{"первый объект"}, \text{"первый объект"} \to \text{"второй объект"}$$;
Повернуть "первый объект" на 180o;
Зеркально отобразить "второй объект".
Повторить алгоритм преобразования F для получения В' на основе А'.
Следует отметить, что модель Лейбница не описывает полностью все возможности и все случаи рассуждений по аналогии.
Ассоциативное мышление, моделируемое с помощью логических нейронных сетей, обладает значительно большими возможностями. Однако всегда необходимо обладать характеристиками факторного пространства событий, аналогии в котором исследуются, а также определениями эквивалентности.
Мы вновь возвращаемся к работам Д.С. Милля, чтобы объединить то, что уже известно, с рассуждениями по аналогии.
Введём три множества:
А = {a1, …, aP};В = {b1, …, bM};Q = {q1, …, qL}.Причины и следствия – предикаты. За дискретные оценки достоверности может приниматься ряд величин от 0 до 1 с некоторым шагом, например, 1/(L – 1).
Выражение вида
$$a_i \to b_j; q_k$$будем называть положительной гипотезой, утверждающей, что ai является причиной bj с оценкой достоверности qk.
Выражение вида
$$a_i \nrightarrow b_j; q_k$$будем называть отрицательной гипотезой, утверждающей, что с достоверностью qk ai не является причиной bj.
Гипотезы являются предикатами, максимальная достоверность которых должна быть установлена.
Д. Поспелов рассматривает пример, где впервые прибывший в Москву иностранец приходит к выводу, что все такси – жёлтого цвета:
$$<\text{жёлтый автомобиль}> \to <\text{такси}>; q = ?$$Начальные наблюдения порождают малое значение q достоверности данной гипотезы. По мере развития опыта уверенность в правоте гипотезы у него возрастает. Однако возникает существенный "тормоз" в том случае, если встречается автомобиль жёлтого цвета, не являющийся такси. Такая встреча порождает отрицательную гипотезу. Если отрицательных гипотез не возникает, то наш гость, вернувшись на родину, сообщает новое знание – своё индуктивное заключение: "В той стране, где я был, все жёлтые автомобили – такси. Это верно на 100%!"
Однако он мог высказать и другое утверждение на базе индуктивного мышления: "Там в основном такси – жёлтые машины, процентов на 60".
Но могла бы возникнуть неопределённость такого рода: "Знаешь, там большинство такси – жёлтого цвета!"
Здесь целесообразно говорить об эмпирической истине.
Может ли достоверность гипотезы достичь единичного значения?
По-видимому, весьма высокого значения, по мнению иностранного гостя, эта достоверность обретёт в случае его ознакомления с указом президента о запрещении жёлтой окраски автомобилей и обязательной окраске такси в жёлтый цвет.
Тогда говорят о теоретической истине.
Итак, достижение теоретической истины теоретически возможно при достаточном количестве положительных примеров и при полном отсутствии примеров отрицательных. Это количество может быть разным у разных людей: от малого для людей легковерных, до весьма большого для людей типа "Фомы неверующего".
Не зря говорят, что практика – критерий истины. А критерий имеет численное значение, стремящееся к единице в ходе проверки положительной гипотезы.
Заметим ещё, что на этом примере наблюдается связь между дедуктивным и индуктивным мышлением. Не зря эта связь в виде предпосылки изложена во Введении, в формулировке замечательного советского учёного Н.М. Амосова. Поэтому ДСМ-метод предлагает формальное описание действий в рамках известных сегодня парадигм искусственного интеллекта. Продолжим его рассмотрение.
Выше уже рассматривалась единственная причина, приводящая к следствию. Такие причины являются необходимыми и достаточными.
В советские времена мы могли бы сказать: $$<\text{автомобиль "Волга" с шашечками на боку}> \to <\text{такси}>$$. В наши дни мы так сказать не можем из-за обилия марок, расцветок, расположения, а, возможно, и отсутствия "шашечек", из-за конструктивных особенностей, укомплектованности и т.д.
Здесь должны быть выделены достаточные причины. Помимо откровенной надписи "такси", это может быть принадлежность автомобиля известной фирме "Таксомоторный парк № 20", или "Такси Цель" и пр. Этого достаточно для вывода о том, что вы действительно имеете тело с такси. Но если вы уже сели в такси, то ничего не знаете о том, какой фирме оно принадлежит, и такси ли это на самом деле.
Добавим, что причины могут быть необходимыми, но не достаточными. Связка вида $$<\text{автомобиль}> \to <\text{такси}>$$ говорит лишь о том, что чтобы транспортное средство было такси, необходимо, чтобы оно было автомобилем.
Обобщая, отметим, что необходимо рассматривать несколько причин, приводящих к одному следствию. Тогда положительная гипотеза обретает следующий вид, где каждая причина рассматривается со своим весом:
Здесь $$a_{ir} \in A, r = 1, ..., R, b_j \in B, q_k \in Q, \omega_{jr}$$ – вес r-й причины.
Легко наблюдается переход к логической нейронной сети.
Ясно, что нахождение множества причин – кандидатов для формирования гипотез – дело сложное, и методология научных исследований очерчена весьма обще.
В положительных и отрицательных примерах эти причины скрыты в описаниях реальных объектов, обладающих или не обладающих интересующими нас свойствами.
Д.А. Поспелов сообщает, что первое реальное использование ДСМ-метода было направлено на решение задачи выделения причин того, что некоторое органическое соединение будет обладать свойством биологической активности. Предполагалось, что информация о причинах биологической активности скрыта в структурной формуле химического соединения. Экспериментально для многих соединений было установлено наличие или отсутствие в них биологической активности. Эти экспериментальные факты составили множество положительных и отрицательных примеров.
Программы, реализующие ДСМ-метод, должны были найти новые, неизвестные химикам и фармацевтам закономерности, позволяющие без дорогой и длительной экспериментальной проверки оценивать вероятность того, что вновь синтезированные вещества будут обладать биологической активностью.
Ход исследований был таков:
Рассматривается группа положительных примеров. Находится некоторая часть описания объектов, общая для значительной совокупности из этой группы. Например, не вдаваясь в суть химических технологий, оказалось, что в значительной части структурных формул соединений, обладающих биологической активностью, обнаружилась кольцевая структура с фиксированным заполнением позиций в ней. Тогда есть основание считать эту структуру кандидатом в причины.
На каждом шаге работы ДСМ-метода используются новые наблюдения, подтверждающие или опровергающие уже сформированные гипотезы. На основе их подсчёта уточняется достоверность гипотезы. Гипотеза принимается за истинную, если её достоверность при достаточном количестве экспериментов превысила заданный порог.
Таким образом, с определённой точностью гипотеза становится эмпирически истинной, но подлежит длительному этапу экспериментального применения и оценки эффективности.
Новые гипотезы формируются не только на основе определения в примерах некоторого сходства (общей части в описании структуры). Они могут использовать и принцип различия, также сформулированный Миллем. Различие выявляется для примеров из положительных и отрицательных групп. Найденное различие также служит кандидатом формирующихся гипотез.
Нежная Правда в красивых одеждах ходила,
Принарядившись для сирых, блаженных, калек, -
Грубая Ложь эту Правду к себе заманила:
Мол, оставайся-ка ты у меня на ночлег.
В. Высоцкий. Притча о Правде и Лжи
В теории предикатов отмечалось наличие кванторов общности и существования, как действенных операторов чёткого, точного единственного логического вывода. Эти кванторы являются основой стройной и полной формулировки, а также точного доказательства математических теорем.
Кванторы общности и существования следует считать классическими.
Однако для неточных, приближённых, даже эмоциональных оценок широко используются так называемые квантификаторы, которыми так красочно снабжена речь человека, и которые не только участвуют в рассуждениях, но и формируют выводы.
Конечно, эти выводы не следует считать строгими. Чаще всего они отражают индивидуальное восприятие писателя, поэта, художника-формалиста.
К сожалению, часто квантификаторы используются в софистических спорах с оппонентами в интересах политики, экономики, социологии и др.
Для формализации мышления рассматриваются нечёткие квантификаторы, связанные с нечёткой математикой, основанной Л. Заде.
Основным объектом изучения нечёткой математики являются нечёткие множества на основе определения:
Элемент а принадлежит данному нечёткому множеству А со степенью уверенности $$р, 0 \le р \le 1$$.
Мнения относительно принадлежности элемента нечёткому множеству никогда не бывает однозначным. Отсюда – заведомо неточные выводы. Именно поэтому разрабатываются ГОСТы – государственные стандарты.
В Лекции 1 для перехода к логическим нейронным сетям указанная выше степень уверенности в истинности высказываний была определена как достоверность высказывания (о принадлежности данных). Достоверность – это вероятность того, что данное высказывание истинно, зачастую взятая "с потолка".
Доказывая "полезность" и эффективность применения логических нейронных сетей, лектору приходится убеждать слушателей в том, что жизнь полна неопределённости и противоречий, что сказывается на процессе возбуждения рецепторов. Но мы живём! Ибо человек – общественное животное. Коллектив (народ) поправит.
Введём понятие лингвистической шкалы, как последовательности нечётких квантификаторов, относящихся к оценке элементов нечёткого множества по одному и тому же основанию (расстоянию, длительности, частоте, размерам и т.п.)
Примером лингвистической шкалы может служить шкала расстояний: вплотную, очень близко, близко, ни далеко ни близко, далеко, очень далеко, в бесконечности.
Другой пример – шкала размеров: крошечный, очень маленький, маленький, средний, большой, очень большой, огромный.
Для лингвистических шкал возможно принятие решений ("гостирование") о численных оценках и их границах в метрах, часах, квадратных километрах и т.п. Интервалы оценок и нечёткие квантификаторы образуют взаимно-однозначное соответствие. Именно такой подход реализуется во многих системах принятия решений на логических нейронных сетях – при формировании рецепторного слоя.
Перейдём к нечётким рассуждениям.
Один шаг достоверного (дедуктивного) вывода можно представить в виде схемы:
$$\frac{\text{Посылки F_1; F_2; ..., F_n}}{\text{Следствия }\Phi_1; \Phi_2; ..., \Phi_m}$$Например, запишем одиннадцатую аксиому исчисления высказываний:
$$\frac{A; A \to B}{B}$$Введём некоторые нечёткие квантификаторы и изменим схему (4.6):
$$\frac{>|1 A; A \to B}{>|2 B}$$Здесь >|1 – нечёткий квантификатор, показывающий, что истинность А не является абсолютной. Поскольку в этом случае вывод не может быть достоверным, для степени его достоверности необходимо ввести некоторый квантификатор >|2.
Конкретизируем пример:
Часто идёт дождь; Когда идёт дождь, я не выхожу на улицу
-------------------------------------------------------.
? Я не выхожу на улицу
Здесь часто - квантификатор >|1. Знак вопрос стоит вместо квантификатора >|2, который по интуиции логично принять за тот же >|1 "часто". Вывод "часто я не выхожу на улицу" выглядит вполне логичным.
Рассмотрим другую схему:
$$\frac{А; А \to >|1 В}{>|2 В}$$Развивая предыдущий пример, запишем:
Идёт дождь; Когда идёт дождь, я редко хожу гулять
-------------------------------------------------.
? Я редко хожу гулять
Какой квантификатор здесь надо поставить? Однозначный ответ вряд ли возможен, ведь отсутствует информация о частоте события А.
Рассмотрим, наконец, схему
$$\frac{>|1 А; А \to >|3 В}{>|2 В}$$, при конкретной реализации:
Часто идёт дождь; Когда идёт дождь, я редко хожу гулять
-------------------------------------------------------.
? Я хожу гулять
Здесь выбор квантификатора более обоснован. Однако если использовать часто, то возникает некоторая синхронность гуляния с частотой дождя. Но ведь во время дождя "гуляние" происходит редко. Остаётся использовать "иногда", как бы суммируя как отсутствие дождя, так и прогулки под дождём.
Численные оценки квантификаторов неотделимы от "физического смысла": "дача далеко от Москвы" предполагает другую оценку расстояния, чем "Петербург далеко от Москвы".
Принцип ситуационной инвариантности позволяет, проводя рассуждения для одной ситуации, преобразовать его формальным образом для сходных ситуаций.
Для этого используется лингвистическая шкала. Переход от ситуации к ситуации связан со смещением всех интервалов, соответствующих квантификаторам шкалы, на определённое число позиций влево или вправо по множеству значений признака, учитываемого данной лингвистической шкалой. Такое смещение позволяет использовать в нечётких рассуждениях элементы рассуждений по аксиомам, так как в основе этих рассуждений лежит идея сходства, похожести.
В дополнение рассмотренных схем, в [Посп] приводится ряд схем правдоподобных рассуждений: вероятностные схемы рассуждений, схемы с учётом необходимых условий и др.
Аннушка... Аннушка?.. – забормотал поэт, тревожно озираясь, - позвольте, позвольте...
К слову "Аннушка" привязались слова "подсолнечное масло", а затем почему-то "Понтий Пилат". Пилата поэт отринул и стал вязать цепочку, начиная со слова "Аннушка". И цепочка эта связалась очень быстро и тотчас привела к сумасшедшему профессору.
М.А. Булгаков. "Мастер и Маргарита"
Если у тебя спрошено будет, что полезнее, солнце или месяц? – ответствуй: месяц. Ибо солнце светит днём, когда и без того светло; а месяц – ночью.
Козьма Прутков
Опишем общую схему выводов, лежащих в основе большого количества моделей человеческих достоверных (дедуктивных) рассуждений.
На рис. 4.1 показано некоторое дерево вывода истинности утверждения f10.
(рис 4.1) Дерево вывода истинности утверждения f10
Первый ярус дерева образуют вершины f1, f2, f3, f4, выполняющие роль аксиом, или утверждений, истинность которых задаётся извне. Стрелки сходятся в одной точке (например, $$f_5 \to f_{10}$$ и $$f_6 \to f_{10}$$), если значение ИСТИНА второго высказывания, достигается при значении ИСТИНА всех первых высказываний (т.е. по схеме И). Стрелки входят в разные точки, если значение ИСТИНА имеет хотя бы одно "входящее" высказывание (если обусловленные ими связи действуют по схеме ИЛИ). Во избежание коллизии стрелки могут дублироваться (две стрелки $$f_6 \to f_{10}$$), а стрелки, обозначающие дизъюнкцию, соединяются скобкой (стрелки $$f_1 \to f_5$$ и $$f_2 \to f_5, f_5 \to f_{10}$$ и $$f_9 \to f_{10}$$ и др.).
Таким образом, возможны разные пути доказательства любого промежуточного и конечного утверждения. Например, доказательство утверждения f9 возможно двумя путями. Раз доказаны утверждения f2 и f3, то f7 следует из их доказанности. Утверждение f6 следует из доказанности f2, тогда f9 следует из доказанности f6 и f7. Второй путь доказательства f9 следует из доказательства f8 на основе f2 или f4.
Схема вывода не обязательно описывается в виде дерева. Она может иметь вид произвольной ориентированной или неориентированной сети (рис. 4.2). "Жирная" точка означает, что, например, для доказательства f2 необходимо доказательство как f2, так и f4. Такая логическая сеть называется И-ИЛИ сетью.
(рис 4.2) И-ИЛИ сеть
Пусть требуется доказать утверждение f6 (на рисунке этому соответствует отмеченная целевая вершина). Априорно доказано утверждение f1. Как из f1 получить f6? Если все связи допускают любую ориентацию, то из f1 можно получить f3, затем f5 и, наконец, f6.
Мы сразу нашли решение, потому что видим его. Но как построить алгоритм перебора возможных смещений в лабиринте возможностей для доказательства пути в целевую вершину?
В данном случае, перебирая возможности смещения из f1, мы пытаемся вывести утверждение f2, но этого нельзя сделать, т.к. требуется доказательство утверждения f3. Обнаруживаем, что доказательство возможно. Теперь доказаны f1 и f3. Попытка продвинуться в f2 и f5 оказывается успешной. На следующем шаге доказываются утверждения f4 и f6. После "чистки" ненужных выводов, остаётся реальный кратчайший путь доказательства $$f_1 \to f_3 \to f_5 \to f_6$$.
Возможен и другой путь доказательства – метод обратной волны (аналог метода динамического программирования). Чтобы доказать f6, надо доказать f5; чтобы доказать f5, надо доказать f3; следует воспользоваться начальным утверждением f1.
Рассмотрим блестящее умозаключение Козьмы Пруткова, рекомендуемое в эпиграфе. Дерево вывода изображено на рис. 4.3. На первом ярусе отражены исходные посылки – аксиомы, обладающие (с точки зрения К. Пруткова) значениями ИСТИНА.
(рис 4.3) Схема доказательства истинности афоризма К. Пруткова
Как видим, солнышку вообще делать нечего, что вполне в духе софистических рассуждений.
Известны схемы вывода альтернативные деревья, альтернативные сети и другие аналоги метода "ветвей и границ".
В рамках данного раздела совершим неформальный переход к нечётким данным, концепция которых уже легла в основу разработки математической логики событий. Будем оперировать высказываниями, значение ИСТИНА которых определена с некоторой вероятностью, как было рассмотрено в Лекции 1.
Рассмотрим пример расчёта надёжности управляющего компьютера, как вероятности решения своей задачи в цикле управления длительности t.
(рис 4.4) Вероятностное дерево логических возможностей для расчёта надёжности компьютера
На рис. 4.4 представлено вероятностное дерево логических возможностей, отражающее многие пути следования к обоснованию положительной ситуации – успешного решения задачи. Мы видим, что дерево вывода как бы перевёрнуто и обладает не единственной целевой вершиной. Принятые обозначения и формулы:
КГ – коэффициент готовности, находится из отношения
, где Т0 - среднее время безотказной работы, Твосст – среднее время восстановления оборудования при неисправности; $$\lambda_1$$ – частота сбоев, $$\lambda_2$$ – частота отказов, $$\lambda = \lambda_1 + \lambda_2$$; Рустр.сб. – вероятность успешного устранения последствий сбоев во время решения задачи; Ррез. – вероятность успешного перехода на резерв во время решения задачи.
Тогда надёжность Р находится как сумма произведений условных вероятностей по всем ветвям дерева, ведущим к успеху:
... из всех зверей пусть государь уподобится двум: льву и лисе. Лев боится капканов, а лиса - волков, следовательно, надо быть подобным лисе, чтобы уметь обойти капканы, и льву, чтобы отпугнуть волков. Тот, кто всегда подобен льву, может не заметить капкана. Из чего следует, что разумный правитель не может и не должен оставаться верным своему обещанию, если это вредит его интересам, и если отпали причины, побудившие его дать обещание.
Николо Макиавелли. Государь
Аристотель говорит о двух основных процессах рассуждений: низходящем или дедуктивном, и восходящем или индуктивном. В соответствии с положениями Н.М. Амосова, изложенными во Введении, дедукция – это рассуждения "от общего к частному", а индукция – "от частного к общему". При таком понимании этих двух процессов возникает иллюзия, что они как будто обратны друг другу, и одну схему рассуждений можно получить из другой прямым обращением. Этой иллюзии поддался и Аристотель. Увлечённый красотой и стройностью воздвигнутого им здания силлогистики, он попытался втиснуть в его объёмы и индуктивное рассуждение, ввести схему индуктивного силлогизма. Но здесь его подстерегала неудача. Индуктивные рассуждения никак не хотели отливаться в ту стройную форму, которая так подошла дедуктивным рассуждениям.
Напомним ещё раз основную цель, которую преследовал Аристотель, создавая силлогистику. Она должна была стать непобедимым оружием в споре. Если оппонент признавал общее положение, например, столь очевидную истину, что "все люди смертны", то после его убеждения в том, что "Сократ есть человек", следует вывод "Сократ смертен". Здесь возразить нечего. Это дедуктивная схема.
При индуктивной схеме спорящий сначала должен сообщить оппоненту несколько утверждений, в истинность которых должны поверить оба, например, "Гомер смертен", "Фидий смертен", "Эзоп смертен". Далее надо убедить оппонента, что Гомер, Фидий и Эзоп являются людьми. Далее надо совершить главный индуктивный шаг, перейдя к утверждению о всём классе людей: "все люди смертны" и заставить оппонента принять это утверждение.
Трудность возникает именно на последнем шаге спора: примет или не примет этот шаг оппонент. Этот шаг требует не умения логически обосновывать свои рассуждения, а веры в свою справедливость. На данном же уровне рассуждений утверждение-вывод является лишь гипотезой, обретающей предельную тождественную истинность в результате установления смертности многих – многих людей. И если найдётся хотя бы один бессмертный человек, то гипотеза рухнет, и оппонент победит.
Мы знаем, что научные гипотезы, выдвинутые на основе огромного количества экспериментов, постоянно уточняются или рушатся вообще, в соответствии с неумолимостью диалектического закона "отрицания отрицания".
Поэтому индуктивные умозаключения всегда являются правдоподобными рассуждениями. Вплоть до середины XIX века их теории просто не существовало.
Джон Стюарт Милль, британский философ, экономист и политический деятель, 1806 - 1873, поставил перед собой задачу нахождения связей между фактами и явлениями на основе анализа их совместного появления или не появления в последовательности экспериментов. При этом он стремился не повторить знаменитой ошибки при установлении причинно-следственной связи "после этого, значит, вследствие этого.
Принципы установления причинно-следственных отношений, которые предложил Милль, основаны на выделении сходства иразличия в наблюдаемых ситуациях.
Принцип единственного различия Милля заключается в следующем: "Если после введения какого-либо фактора $$\alpha$$ появляется или после его удаления исчезает некоторое явление $$\beta$$, то фактор $$\alpha$$ является причиной явления $$\beta (\alpha \to \beta)$$".
Разве в процессе диагностики транспортных средств или при лечении человека мы не применяем этот принцип? Конечно, так складывается первичная гипотеза, наиболее верное предположение, требующее более глубокого исследования и обоснования его механизмов.
Принцип единственного сходства Милля формулируется следующим образом: "Если все обстоятельства явления, кроме одного $$\beta$$ могут отсутствовать, не уничтожая этим явление $$\alpha$$, то это обстоятельство $$\beta$$ является причиной явления $$\alpha (\beta \to \alpha)$$".
Принцип единственного остатка Милля формулируется следующим образом: "Если вычесть из явления ту часть его, которая согласно прежним исследованиям является следствием известных причин, присутствующих в явлении, то остаток явления есть следствие остальных причин".
Например, если из грозы вычесть град, являющийся следствием определённых параметров атмосферы, то оставшиеся параметры атмосферы, всё равно приведут к грозе в другом выражении.
Выходит, аналитический ум мы отмечаем по следованию принципам Милля?!
При использовании методов индуктивных рассуждений Милля весьма важную роль играет способ выделения признаков или фактов, с помощью которых описываются ситуации.
Первая попытка формализации рассуждения по аналогии была предпринята Готфридом Вильгельмом Лейбницем, саксонским философом и математиком (1646 – 1716), в сочинении "Фрагменты логики". Он ввёл обобщённое понятие пропорции для отношения аналогии: "Вещь А так относится к вещи В, как вещь А' к вещи B'".
Для рассуждений по аналогии необходим формальный (алгебраический) язык, на котором можно задавать характеристику, свойства объектов и некоторые правила их преобразования.
Например, на рис. 4.5 показано преобразование F объекта А в объект В. Объект А', сформированный в рамках языка, аналогичен объекту А. Требуется построить аналог В' объекта В в рамках тех же преобразований F, допустимых в языке. Ответ приведён на рисунке.
Но как это сделать? Прежде всего, по требованию данной задачи в формальном языке должны быть определены объекты "солнце", "человечек", "луна", "фантастическое животное". Должны быть определены вращение и взаимное расположение объектов.
(рис 4.5) Преобразование по аналогии
Алгоритм формирования В' предполагает следующие шаги.
Поменять местами $$\text{"второй объект"} \to \text{"первый объект"}, \text{"первый объект"} \to \text{"второй объект"}$$;
Повернуть "первый объект" на 180o;
Зеркально отобразить "второй объект".
Повторить алгоритм преобразования F для получения В' на основе А'.
Следует отметить, что модель Лейбница не описывает полностью все возможности и все случаи рассуждений по аналогии.
Ассоциативное мышление, моделируемое с помощью логических нейронных сетей, обладает значительно большими возможностями. Однако всегда необходимо обладать характеристиками факторного пространства событий, аналогии в котором исследуются, а также определениями эквивалентности.
Мы вновь возвращаемся к работам Д.С. Милля, чтобы объединить то, что уже известно, с рассуждениями по аналогии.
Введём три множества:
А = {a1, …, aP};В = {b1, …, bM};Q = {q1, …, qL}.Причины и следствия – предикаты. За дискретные оценки достоверности может приниматься ряд величин от 0 до 1 с некоторым шагом, например, 1/(L – 1).
Выражение вида
$$a_i \to b_j; q_k$$будем называть положительной гипотезой, утверждающей, что ai является причиной bj с оценкой достоверности qk.
Выражение вида
$$a_i \nrightarrow b_j; q_k$$будем называть отрицательной гипотезой, утверждающей, что с достоверностью qk ai не является причиной bj.
Гипотезы являются предикатами, максимальная достоверность которых должна быть установлена.
Д. Поспелов рассматривает пример, где впервые прибывший в Москву иностранец приходит к выводу, что все такси – жёлтого цвета:
$$<\text{жёлтый автомобиль}> \to <\text{такси}>; q = ?$$Начальные наблюдения порождают малое значение q достоверности данной гипотезы. По мере развития опыта уверенность в правоте гипотезы у него возрастает. Однако возникает существенный "тормоз" в том случае, если встречается автомобиль жёлтого цвета, не являющийся такси. Такая встреча порождает отрицательную гипотезу. Если отрицательных гипотез не возникает, то наш гость, вернувшись на родину, сообщает новое знание – своё индуктивное заключение: "В той стране, где я был, все жёлтые автомобили – такси. Это верно на 100%!"
Однако он мог высказать и другое утверждение на базе индуктивного мышления: "Там в основном такси – жёлтые машины, процентов на 60".
Но могла бы возникнуть неопределённость такого рода: "Знаешь, там большинство такси – жёлтого цвета!"
Здесь целесообразно говорить об эмпирической истине.
Может ли достоверность гипотезы достичь единичного значения?
По-видимому, весьма высокого значения, по мнению иностранного гостя, эта достоверность обретёт в случае его ознакомления с указом президента о запрещении жёлтой окраски автомобилей и обязательной окраске такси в жёлтый цвет.
Тогда говорят о теоретической истине.
Итак, достижение теоретической истины теоретически возможно при достаточном количестве положительных примеров и при полном отсутствии примеров отрицательных. Это количество может быть разным у разных людей: от малого для людей легковерных, до весьма большого для людей типа "Фомы неверующего".
Не зря говорят, что практика – критерий истины. А критерий имеет численное значение, стремящееся к единице в ходе проверки положительной гипотезы.
Заметим ещё, что на этом примере наблюдается связь между дедуктивным и индуктивным мышлением. Не зря эта связь в виде предпосылки изложена во Введении, в формулировке замечательного советского учёного Н.М. Амосова. Поэтому ДСМ-метод предлагает формальное описание действий в рамках известных сегодня парадигм искусственного интеллекта. Продолжим его рассмотрение.
Выше уже рассматривалась единственная причина, приводящая к следствию. Такие причины являются необходимыми и достаточными.
В советские времена мы могли бы сказать: $$<\text{автомобиль "Волга" с шашечками на боку}> \to <\text{такси}>$$. В наши дни мы так сказать не можем из-за обилия марок, расцветок, расположения, а, возможно, и отсутствия "шашечек", из-за конструктивных особенностей, укомплектованности и т.д.
Здесь должны быть выделены достаточные причины. Помимо откровенной надписи "такси", это может быть принадлежность автомобиля известной фирме "Таксомоторный парк № 20", или "Такси Цель" и пр. Этого достаточно для вывода о том, что вы действительно имеете тело с такси. Но если вы уже сели в такси, то ничего не знаете о том, какой фирме оно принадлежит, и такси ли это на самом деле.
Добавим, что причины могут быть необходимыми, но не достаточными. Связка вида $$<\text{автомобиль}> \to <\text{такси}>$$ говорит лишь о том, что чтобы транспортное средство было такси, необходимо, чтобы оно было автомобилем.
Обобщая, отметим, что необходимо рассматривать несколько причин, приводящих к одному следствию. Тогда положительная гипотеза обретает следующий вид, где каждая причина рассматривается со своим весом:
Здесь $$a_{ir} \in A, r = 1, ..., R, b_j \in B, q_k \in Q, \omega_{jr}$$ – вес r-й причины.
Легко наблюдается переход к логической нейронной сети.
Ясно, что нахождение множества причин – кандидатов для формирования гипотез – дело сложное, и методология научных исследований очерчена весьма обще.
В положительных и отрицательных примерах эти причины скрыты в описаниях реальных объектов, обладающих или не обладающих интересующими нас свойствами.
Д.А. Поспелов сообщает, что первое реальное использование ДСМ-метода было направлено на решение задачи выделения причин того, что некоторое органическое соединение будет обладать свойством биологической активности. Предполагалось, что информация о причинах биологической активности скрыта в структурной формуле химического соединения. Экспериментально для многих соединений было установлено наличие или отсутствие в них биологической активности. Эти экспериментальные факты составили множество положительных и отрицательных примеров.
Программы, реализующие ДСМ-метод, должны были найти новые, неизвестные химикам и фармацевтам закономерности, позволяющие без дорогой и длительной экспериментальной проверки оценивать вероятность того, что вновь синтезированные вещества будут обладать биологической активностью.
Ход исследований был таков:
Рассматривается группа положительных примеров. Находится некоторая часть описания объектов, общая для значительной совокупности из этой группы. Например, не вдаваясь в суть химических технологий, оказалось, что в значительной части структурных формул соединений, обладающих биологической активностью, обнаружилась кольцевая структура с фиксированным заполнением позиций в ней. Тогда есть основание считать эту структуру кандидатом в причины.
На каждом шаге работы ДСМ-метода используются новые наблюдения, подтверждающие или опровергающие уже сформированные гипотезы. На основе их подсчёта уточняется достоверность гипотезы. Гипотеза принимается за истинную, если её достоверность при достаточном количестве экспериментов превысила заданный порог.
Таким образом, с определённой точностью гипотеза становится эмпирически истинной, но подлежит длительному этапу экспериментального применения и оценки эффективности.
Новые гипотезы формируются не только на основе определения в примерах некоторого сходства (общей части в описании структуры). Они могут использовать и принцип различия, также сформулированный Миллем. Различие выявляется для примеров из положительных и отрицательных групп. Найденное различие также служит кандидатом формирующихся гипотез.
Нежная Правда в красивых одеждах ходила,
Принарядившись для сирых, блаженных, калек, -
Грубая Ложь эту Правду к себе заманила:
Мол, оставайся-ка ты у меня на ночлег.
В. Высоцкий. Притча о Правде и Лжи
В теории предикатов отмечалось наличие кванторов общности и существования, как действенных операторов чёткого, точного единственного логического вывода. Эти кванторы являются основой стройной и полной формулировки, а также точного доказательства математических теорем.
Кванторы общности и существования следует считать классическими.
Однако для неточных, приближённых, даже эмоциональных оценок широко используются так называемые квантификаторы, которыми так красочно снабжена речь человека, и которые не только участвуют в рассуждениях, но и формируют выводы.
Конечно, эти выводы не следует считать строгими. Чаще всего они отражают индивидуальное восприятие писателя, поэта, художника-формалиста.
К сожалению, часто квантификаторы используются в софистических спорах с оппонентами в интересах политики, экономики, социологии и др.
Для формализации мышления рассматриваются нечёткие квантификаторы, связанные с нечёткой математикой, основанной Л. Заде.
Основным объектом изучения нечёткой математики являются нечёткие множества на основе определения:
Элемент а принадлежит данному нечёткому множеству А со степенью уверенности $$р, 0 \le р \le 1$$.
Мнения относительно принадлежности элемента нечёткому множеству никогда не бывает однозначным. Отсюда – заведомо неточные выводы. Именно поэтому разрабатываются ГОСТы – государственные стандарты.
В Лекции 1 для перехода к логическим нейронным сетям указанная выше степень уверенности в истинности высказываний была определена как достоверность высказывания (о принадлежности данных). Достоверность – это вероятность того, что данное высказывание истинно, зачастую взятая "с потолка".
Доказывая "полезность" и эффективность применения логических нейронных сетей, лектору приходится убеждать слушателей в том, что жизнь полна неопределённости и противоречий, что сказывается на процессе возбуждения рецепторов. Но мы живём! Ибо человек – общественное животное. Коллектив (народ) поправит.
Введём понятие лингвистической шкалы, как последовательности нечётких квантификаторов, относящихся к оценке элементов нечёткого множества по одному и тому же основанию (расстоянию, длительности, частоте, размерам и т.п.)
Примером лингвистической шкалы может служить шкала расстояний: вплотную, очень близко, близко, ни далеко ни близко, далеко, очень далеко, в бесконечности.
Другой пример – шкала размеров: крошечный, очень маленький, маленький, средний, большой, очень большой, огромный.
Для лингвистических шкал возможно принятие решений ("гостирование") о численных оценках и их границах в метрах, часах, квадратных километрах и т.п. Интервалы оценок и нечёткие квантификаторы образуют взаимно-однозначное соответствие. Именно такой подход реализуется во многих системах принятия решений на логических нейронных сетях – при формировании рецепторного слоя.
Перейдём к нечётким рассуждениям.
Один шаг достоверного (дедуктивного) вывода можно представить в виде схемы:
$$\frac{\text{Посылки F_1; F_2; ..., F_n}}{\text{Следствия }\Phi_1; \Phi_2; ..., \Phi_m}$$Например, запишем одиннадцатую аксиому исчисления высказываний:
$$\frac{A; A \to B}{B}$$Введём некоторые нечёткие квантификаторы и изменим схему (4.6):
$$\frac{>|1 A; A \to B}{>|2 B}$$Здесь >|1 – нечёткий квантификатор, показывающий, что истинность А не является абсолютной. Поскольку в этом случае вывод не может быть достоверным, для степени его достоверности необходимо ввести некоторый квантификатор >|2.
Конкретизируем пример:
Часто идёт дождь; Когда идёт дождь, я не выхожу на улицу
-------------------------------------------------------.
? Я не выхожу на улицу
Здесь часто - квантификатор >|1. Знак вопрос стоит вместо квантификатора >|2, который по интуиции логично принять за тот же >|1 "часто". Вывод "часто я не выхожу на улицу" выглядит вполне логичным.
Рассмотрим другую схему:
$$\frac{А; А \to >|1 В}{>|2 В}$$Развивая предыдущий пример, запишем:
Идёт дождь; Когда идёт дождь, я редко хожу гулять
-------------------------------------------------.
? Я редко хожу гулять
Какой квантификатор здесь надо поставить? Однозначный ответ вряд ли возможен, ведь отсутствует информация о частоте события А.
Рассмотрим, наконец, схему
$$\frac{>|1 А; А \to >|3 В}{>|2 В}$$, при конкретной реализации:
Часто идёт дождь; Когда идёт дождь, я редко хожу гулять
-------------------------------------------------------.
? Я хожу гулять
Здесь выбор квантификатора более обоснован. Однако если использовать часто, то возникает некоторая синхронность гуляния с частотой дождя. Но ведь во время дождя "гуляние" происходит редко. Остаётся использовать "иногда", как бы суммируя как отсутствие дождя, так и прогулки под дождём.
Численные оценки квантификаторов неотделимы от "физического смысла": "дача далеко от Москвы" предполагает другую оценку расстояния, чем "Петербург далеко от Москвы".
Принцип ситуационной инвариантности позволяет, проводя рассуждения для одной ситуации, преобразовать его формальным образом для сходных ситуаций.
Для этого используется лингвистическая шкала. Переход от ситуации к ситуации связан со смещением всех интервалов, соответствующих квантификаторам шкалы, на определённое число позиций влево или вправо по множеству значений признака, учитываемого данной лингвистической шкалой. Такое смещение позволяет использовать в нечётких рассуждениях элементы рассуждений по аксиомам, так как в основе этих рассуждений лежит идея сходства, похожести.
В дополнение рассмотренных схем, в [Посп] приводится ряд схем правдоподобных рассуждений: вероятностные схемы рассуждений, схемы с учётом необходимых условий и др.
Для получения официальных документов о завершении программы дополнительного профессионального образования (удостоверения о повышении квалификации, дипломов о профессиональной переподготовке и MBA) необходимо предоставить:
Внимание! Вы можете не заказывать доставку бумажной версии официального документы, а скачать его в электронном виде и распечатать самостоятельно. Информация о выданном документе в течение 1 месяца загружается в Федеральную информационную систему «Федеральный реестр сведений о документах об образовании и (или) о квалификации, документах об обучении» - ФИС ФРДО.
Доступ на новый сайт осуществляется с использованием адреса электронной почты, который был указан вами при регистрации на "старом". Мы постарались перенести все ваши данные с прежнего ресурса, однако не исключена вероятность потери части информации.
При возникновении проблемы со входом, воспользуйтесь функцией сброса пароля
Если вы обнаружите несоответствия, пожалуйста, сообщите нам.