Элементы теории вероятностей и математической статистики

Пусть задан некоторый статистический ряд из элементов x₁, x₂,..., x_n. Если эти элементы могут принимать все мыслимые допустимые значения, а объект с этими характеристиками рассматривается как единый (как система), то такую совокупность называют генеральной совокупностью ; часто при этом предполагается (как и нами везде ниже), что она является конечной и упорядоченной по возрастанию: \[ x_1<x_2<\dotsc <x_n \] .

Любое непустое подмножество генеральной совокупности называется выборкой . Если выборка осуществлена случайным образом, то она называется случайной выборкой. Далее мы часто под выборкой будем понимать ранжированную, упорядоченную выборку.

Средняя величина генеральной совокупности в целом называется общей средней . Она отражает общие черты всей совокупности. Средняя величина для отдельной выборки называется средней по выборке или выборочной средней . Она отражает общие черты группы.

Основная цель статистических расчетов, как правило, состоит в том, чтобы по характеристикам выборки получить достоверную информацию о свойствах исходных генеральных совокупностей.

Пример. Повышение среднемесячной зарплаты, например, от 1200 руб. до 1500 руб. отражает лишь общую тенденцию динамики зарплаты (ее рост) по всем категориям трудящихся. В различных группах средние величины по группе могут сильно различаться, а в некоторых группах и не возрастать. Сравнительный анализ групповых и общих средних может дать информацию для характеристики социально-экономических слоев населения, о наличии и степени расслоения общества, о наличии и силе связей между групповым (факторным) признаком и результативным показателем.

Существуют различные меры средних величин.

Чаще используется средняя арифметическая характеристика: \[ \bar x = \frac {\sum\limits^n_{i=1} x_i}{n} = \frac {x_1+x_2+\dotsc+ x_n}{n} . \]

Она называется также выборочной средней или эмпирической средней.

Если измерения были неравноточными, или разной важности, то при вычислении средней арифметической характеристики используются весовые коэффициенты (например, отражающие точность измерения, инструмента) и такая средняя характеристика называется средневзвешенной оценкой . Она применяется также при вычислении общей средней (генеральной выборки) по выборочным средним (средним групп, выборок): \[ \bar x = \frac {\sum\limits^n_{i=1} x_i\omega_i} {\sum\limits^n_{i=1} \omega_i}, \] где \[ \omega_i \] - веса (частоты).

При расчете средневзвешенных оценок по выборке важное значение имеет выбор веса и его обоснование. Средняя гармоническая величина, как и средняя арифметическая, может быть простой и взвешенной. Если все веса равны между собой, то можно использовать среднюю гармоническую в виде \[ \bar x_{\text{гарм}} = \frac {n}{\sum\limits^n_{i=1}\frac {1}{x_i} }. \]

Средняя квадратичная взвешенная величина вычисляется по формуле \[ \bar x_{\text{кв}} = \sqrt {\frac {\sum\limits^n_{i=1} x_i ^2\omega_i } {\sum\limits^n_{i=1} \omega_i } } . \]

Если \[ \omega_i=1 \] для всех i=1,2,...,n, то получаем просто среднее квадратичное. Эти величины характеризуют "концентрацию" данных выборки около среднего (или другой характерной тенденции).

К средним величинам, которые характеризуют структурные изменения, относятся мода и медиана. Они определяются лишь структурой распределения, и их часто называют структурными средними (позиционными средними).

Мода - наиболее часто встречающееся значение признака у элементов данной совокупности. Она соответствует определенному значению признака. Мода может быть и не единственной.

Часто важно знать, где у выборки находится "центр" данных.

Медиана - значение признака, которое делит элементы ранжированной выборки на две равные части. Это середина ранжированного ряда. Если число элементов n - четно, то это среднее арифметическое двух средних элементов (хотя это значение может и не быть элементом ряда).

Для данных, имеющих "хорошее поведение", медиана всегда лежит в промежутке между средним арифметическим и модой. Эти величины выстраиваются по возрастанию следующим образом (напомним про упорядоченность по возрастанию выборки, предполагаемую нами для любого статистического ряда): среднее, медиана, мода, или же в обратном порядке. Прямой или обратный порядок их расположения можно определить, вычислив коэффициент асимметрии: \[ K= \frac {\frac {1}{n}\sum\limits^n_{i=1} (x_i-\bar x)^3} {\Biggl(\sqrt{\frac {1}{n}\sum\limits^n_{i=1} (x_i-\bar x)^2} \Biggr) ^3}. \]

Этот коэффициент (часто называемый третьим центральным моментом) отражает относительную изменчивость данных, их "поведение".

Группа оценок, называемых мерой рассеяния, разброса или вариацией, часто дает наиболее объективную характеристику.

Мера рассеяния - оценка, показывающая, как остальные элементы совокупности (выборки) группируются около средних величин.