Введение

Теория вероятностей изучает объективные закономерности, присущие массовым случайным явлениям. Значительная часть содержащихся в лекциях сведений дается в рамках вполне конкретных задач и примеров. Методам данной теории отведено три лекции.

Опыт с равновероятными исходами

Рассмотрим такой простой опыт, как бросание монеты. Он имеет два взаимно исключающих исхода: выпадение "орла" и выпадение "решки". Рассмотрим некоторый опыт с конечным числом взаимно исключающих друг друга исходов, которые равноправны по отношению к условию данного опыта, то есть равновероятны. Обозначим как \[ A \] некоторое событие, связанное с указанными исходами.

Вероятность \[ P(A)=\frac{N(A)}{N} \] ,

где \[ N \] — общее число исходов рассматриваемого опыта, \[ N(A) \] — число тех из них, которые приводят к наступлению события \[ A \] . Например, при бросании монеты имеется 2 взаимно исключающих равновероятных исхода (выпадение "орла" и выпадение "решки"), и если \[ A \] — любое из этих событий, то вероятность \[ P(A) = 1 \] , поскольку \[ N(A)=2 \] .

Накопленные практикой многочисленные наблюдения выявили одну замечательную закономерность, которая позволяет придать глубокий смысл понятию вероятности как в рассмотренном выше опыте с равновероятными исходами, так и в самом общем случае. А именно: предположим, что рассматриваемый опыт, явление и тому подобное могут быть воспроизведены многократно. Так что, в принципе, осуществима целая серия одинаковых и независимых друг от друга испытаний, в каждом из которых по воле случая происходит или не происходит интересующее наблюдателя событие \[ A \] . Пусть \[ n \] обозначает число всех опытов в отдельной серии испытаний и n \[ (A) \] — число тех из них, в которых осуществляется событие \[ A \] . Отношение \[ \frac{n(A)}{n} \] называется частотой события \[ A \] в данной серии испытаний. Оказывается, в различных сериях испытаний соответствующие частоты \[ \frac{n(A)}{n} \] при больших \[ n \] практически совпадают. И P \[ (A) \] приблизительно равно \[ \frac{n(A)}{n} \] .

Формально это нужно понимать следующим образом:

\[ P(A)=\lim\limits_{n\to \infty} \frac{n(A)}{n} \] .

Согласно этой эмпирически установленной закономерности вероятность \[ P(A) \] события \[ A \] характеризует долю тех случаев в большой серии опытов, которые приводят к наступлению события.

При подсчете вероятностей большую пользу оказывают комбинаторные формулы. Приведем наиболее важные из них.

Закон сложения вероятностей

Предположим, что в результате рассматриваемого опыта или явления происходит один из взаимно исключающих друг друга исходов, которые будем обозначать греческой буквой \[ \omega \] и называть элементарными событиями или элементарными исходами.

Будем говорить, что событие \[ A \] связано с рассматриваемым опытом (или с элементарными исходами \[ \omega \] ), если по каждому элементарному исходу \[ \omega \] можно точно судить о том, осуществляется или нет данное событие \[ A \] . Обозначим тем же символом \[ A \] совокупность (иначе множество) всех элементарных исходов \[ \omega \] , в результате которых наступает событие \[ A \] . Очевидно, событие \[ A \] происходит тогда и только тогда, когда наступает один из элементарных исходов \[ \omega \] , входящих в указанную совокупность \[ A \] . Вместо того чтобы говорить об исходном событии \[ A \] , можно говорить лишь о событии "наступает элементарный исход \[ \omega \] , входящий в совокупность \[ A \] ".

События \[ A_{1} \] и \[ A_{2} \] называют равными ( \[ A_{1}=A_{2} \] ), если осуществление события \[ A_{1} \] влечет за собой осуществление события \[ A_{2} \] и наоборот, осуществление \[ A_{2} \] влечет за собой осуществление события \[ A_{1} \] .

События \[ A_{1} \] и \[ A_{2} \] называются несовместными или непересекающимися, если наступление одного из этих событий исключает возможность наступления другого, иначе говоря, \[ A_{1} \] и \[ A_{2} \] не могут произойти одновременно.

Объединением или суммой событий \[ A_{1} \] и \[ A_{2} \] называется событие \[ A \] , которое означает осуществление хотя бы одного из событий \[ A_{1}, A_{2}: A= A_{1} \cup A_{2} \] где \[ \cup \] — специальный символ объединения. Аналогично определяется объединение событий \[ A_{1},A_{2},... \] , обозначаемое как \[ A=\mathop{\cup}\limits_k A_k \] .

Пересечением или произведением событий \[ A_{1} \] и \[ A_{2} \] называется событие \[ A \] , которое означает осуществление и события \[ A_{1} \] , и события \[ A_{2}: A= A_{1} \cap A_{2} \] , где \[ \cap \] — специальный символ пересечения. Аналогично определяется произведение событий \[ A_{1},A_{2},... \] , обозначаемое как \[ A=\mathop{\cap}\limits_k A_k \] .

Разностью событий \[ A_{1} \] и \[ A_{2} \] называется событие \[ A \] , которое означает, что происходит событие \[ A_{1} \] , но не происходит событие \[ A_{2}: A = A_1 \setminus A_2 \] . Дополнительным к событию \[ A \] называется событие \[ \bar A \] , которое означает, что событие \[ A \] не происходит: \[ \bar A= \Omega \setminus A_2 \] .

Рассмотрим несовместные события \[ A_{1} \] и \[ A_{2} \] . Представим себе, что проводится серия одинаковых и независимых между собой опытов, результатом каждого из которых могут быть указанные события \[ A, A_1 \] и \[ A_2 \] . Пусть \[ n \] — число всех испытаний, \[ n(A),n(A_1),n(A_2) \] — число тех из них, которые привели к наступлению соответствующих событий \[ A, A_1 \] и \[ A_2 \] . Если в каком-то опыте произошло событие \[ A \] , то это значит, \[ A_2 \] (одновременно \[ A_1 \] и \[ A_2 \] произойти не могут, так как по условию они являются несовместимыми). Поэтому числа \[ n(A),n(A_1),n(A_2) \] связаны между собой следующим равенством:

\[ n(A) = n(A_1) + N(A_2) \] .

Следовательно, частоты рассматриваемых событий таковы, что

\[ \frac{n(A)}{n}=\frac{n(A_1)}{n}+\frac{n(A_2)}{n} \] .

При достаточно большом числе испытаний частоты практически совпадают с соответствующими вероятностями, так что вероятности рассматриваемых событий \[ A=A_1\cup A_2 \] , \[ A_1 \] и \[ A_2 \] должны быть связаны между собой следующим равенством:

\[ P(A)=P(A_1)+P(A_2) \] .

Полученное равенство является выражением так называемого закона сложения вероятностей , согласно которому для любых непересекающихся событий \[ A_1,A_2,.. \] . вероятность их объединения \[ \mathop{\cup}\limits_k A_k \] есть

\[ P(\mathop{\cup}\limits_k A_k)=\sum\limits_kP(A_k) \] .